解析法证明平面几何问题共36页
数学奥赛平面几何
《竞赛数学解题研究》之平面几何专题一、平面几何中的一些重要定理：1、梅涅劳斯定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。
2、塞瓦定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则AF 、BE 、CD 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。
3、托勒密定理：四边形ABCD 内接于圆的充要条件是CD BC CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅4、西摩松定理：设P 是ABC ∆外接圆上任一点，过P 向ABC ∆的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
5、斯德瓦特定理：设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点，则BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅2226、共角定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆7、共边定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个边相等，则CA B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆举例说明：1、设M 、N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 上的点，且AM:AC=CN:CE=k,如果BMN 三点共线，试求k 。
（IMO23,1982）2、在四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆的面积之比为3：4：1，点M 、N 分别 是AC 、CD 上的点，且AM:AC=CN:CD, 并且BMN 三点共线，求证：M 、N 分别是AC 、 CD 的中点。
解析法在平面解析几何中的应用
解析法在平面解析几何中的应用解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。
比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。
这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
解析几何的基本内容在解析几何中，首先是建立坐标系。
如上图，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。
利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。
除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。
在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。
坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。
用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。
这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。
解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。
解析几何在数学发展中起了推动作用。
恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变书，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，……”解析几何的应用解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。
在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。
在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。
椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。
比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。
专题八 解析几何
专题八 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式． 【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x －3｜＝1； (2)|x －3｜≤4； (3)1＜|x －3｜≤4．例2 已知矩形ABCD 及同一平面上一点P ，求证：P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜P A |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( ) A ．－4 B ．4 C ．－12 D ．12 2．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，则向量AB 的数量的最小值为( ) A ．21B ．0C ．41 D ．413．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( ) A ．(1，－2，－3) B ．(1，2，3) C ．(－1，－2，3) D ．(－1，2，3) 4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x －3y ＋2＝0 C ．x ＋3y ＋2＝0 D ．x －3y －2＝0 二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______． 6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______． 7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______．图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD 满足AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝AC 2＋BD 2．10．求证：以A (4，3，1)，B (7，1，2)，C (5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A (1，3)，B (4，5)，点P 在x 轴上，求|P A |＋｜PB ｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线．．．．．． 2．直线的倾斜角和斜率x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°． 我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率⋅--=1212x x yy k 倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)； 斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：);,(2121121121y y x x x x xx y y y y =/=/--=--一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 (1)l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0或)0(222121=/=/B A B B A A (2)l 1与l 2平行⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C CB B A AC A C A B C C B B A B A 或或而(3)l 1与l 2重合⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212121222111C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2； l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合⇔k 1＝k 2，b 1＝b 2． 5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1 B 2＝0． 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1．6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式⋅+++=2211||BA C By Ax d【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，【例题分析】例1(1)直线082=-+y x 的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值； (2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围．例6 如图，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) A ． B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______． 6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______． 7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______． 8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)． (1)求｜P A ｜的最小值；(2)若|P A |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程．11．已知点P 到两个定点M (－1，0)、N (1，0)距离的比为，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程． 5343-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+2§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x－2y＋a＝0的上方，则实数a的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则实数a的取值范围是______．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；(2)如果函数y＝ax2＋bx＋a的图象与x轴有两个交点，试在aOb坐标平面内画出点(a，b)表示的平面区域图8－3－1例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值； (2)z 2＝x －y 的最大值； (3)z 3＝x 2＋y 2的最小值； (4)的取值范围(x ≠1)．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4． (1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围． ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x 14-=x yz ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( ) A ．a ＜0或a ＞2 B ．a ＝0或a ＝2 C ．0＜a ＜2 D ．0≤a ≤2 2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7A ．B ．C ．D ．二、填空题5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______．7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤α⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 0059．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％()，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围． ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=%100⨯§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径．(2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则 d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内． 3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则 ＞0方程组有两解直线和圆相交； ＝0方程组有一解直线和圆相切； ＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则 d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离． 4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则 d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切；R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含． 【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题． 【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程：(1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上；(3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2． )2,2(E D --21.422F E D -+⇔⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程．例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点．(1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由；(2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．3).1,62(练习8－4 一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9 2．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．53．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) A ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( )A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5 二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______．6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______． 7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个．8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．62251=+bya x 11122≤+ba 11122≥+ba )0(33≥=x x y 23255§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解；(2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质． 【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，求动点P 的轨迹方程．例2 已知P 为抛物线y ＝x 2＋1上一动点，A (2，3)，P 关于A 的对称点为点P ′，求动点P ′的轨迹方程．例3 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2＋y 2＝1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ ｜的比等于常数2．求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．例4 已知曲线C ：｜xy |＝1．(1)画出曲线C 的图象，并研究其对称性； (2)讨论圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与C 的交点情况．⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y xF练习8－5 一、选择题1．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．｜x |－y ＝0 D ．｜x ｜－|y |＝0 2．下列方程的曲线关于x ＝0对称的是( ) A ．x 2－x ＋y 2＝1 B ．x 2－y 2＝1 C ．x －y ＝1 D ．x 2y ＋xy 2＝13．已知等腰△ABC 的底边两端点的坐标分别为B (4，0)，C (0，－4)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x (x ≠2) C ．y ＝－x D ．y ＝－x (x ≠2) 4．直线y ＝2k 与曲线9k 2x 2＋y 2＝18k 2|x |(k ∈R ，k ≠0)的公共点的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题5．曲线x ＋y －7＝0与xy ＝10的交点坐标是______．6．曲线(x －2)2＋x (y －2)＝0关于点A (1，1)的对称曲线方程是______． 7．与直线和直线y ＝4距离相等的点的轨迹方程为______．8．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是______． 三、解答题9．已知两圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝9，C 2：x 2＋y 2＝16．圆C 过圆C 1，C 2的两个交点，且过点(7，7)，求圆C 的方程．10．已知曲线C ：y 2＝x ＋1，定点A (3，1)，B 为曲线C 上任一点，点P 在线段AB 上且有｜BP ｜∶｜P A ｜＝1∶2，当B 在曲线C 上运动时，求点P 的轨迹方程．11．设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，求动点Q的轨迹方程．013=+-y x§8－6 椭 圆【知识要点】1．椭圆定义：平面内与两定点F 1，F 2的距离之和等于定长(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离｜F 1F 2｜叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程和几何性质(如下表所示)：3．对于椭圆的两种标准方程应注意如下几点：(1)在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0； (2)椭圆的焦点总在长轴上；(3)在方程Ax 2＋By 2＝C 中，只要A 、B 、C 同号，且A ≠B 就是椭圆方程；(4)在求椭圆的标准方程时，如果明确了焦点所在的坐标轴，方程只有一种形式；如果不明确焦点所在的坐标轴，方程有两种形式． 【复习要求】掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆性质的初步应用 【例题分析】例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点；(2)长轴与短轴长之和为20，焦距为；(3)以边长为4的正△ABC 的顶点B 、C 为焦点，经过顶点A ．54例2 已知椭圆C 的方程为(1)求实数m 的取值范围； (2)若椭圆C 的离心率为，求实数m 的值．例3在平面直角坐标系xOy 中，A (－3，0)，B (3，0)，动点P 满足，设动点P 的轨迹为C ． (1)求轨迹C 的方程；(2)若C 上有一点M 满足∠AMB ＝30°，求△MAB 的面积．例4 如图8－6－1，已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2，0)，线段AN 的垂直平分线为l ，垂足B ，l 交MA 于点P ．则 (1)点B 曲轨迹方程是______； (2)点P 的轨迹方程是______．图8－6－1例5 已知直线l ：y ＝x ＋1与椭圆相交于A 、B 两点． (1)求AB 的中点坐标； (2)求｜AB ｜．例6 已知椭圆过点M (0，1)的直线l 与椭圆C 相交于两点A 、B ． (1)若l 与x 轴相交于点P ，且P 为AM 的中点，求直线l 的方程；(2)设点，求的最大值． ,12822=-+m y x 21=e ,10||||=+12:22=+y x C 14:22=+y x C )21,0(N ||NB NA +练习8－6一、选择题1．已知F (c ，0)是椭圆的右焦点，设b ＝c ，则椭圆的离心率为( )A ．B ．C ．D ．22．如果方程x 2＋my 2＝2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C ．(1，＋∞) D ．(0，1)3．已知椭圆的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是|PF 1｜与｜PF 2｜的等差中项，则该椭圆的方程为( )A ．B ．C ．D ． 4．设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，P 为椭圆C 上任一点，记△PF 1F 2的内切圆为⊙M ，则点P 到⊙M 的切线长为( ) A ．B ．2C ．4D ．二、填空题5．长轴长为4，短轴长为2，且焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为______． 6．在平面α 内，有一条线段｜AB ｜＝4，P 为α 内一个动点，满足｜P A ｜＋｜PB ｜＝6．设M 为AB 的中点，则｜PM ｜的最大值为______，最小值为______．7．椭圆的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，则当时，点P 的横坐标的取值范围是______．8．设F 为椭圆的右焦点，A (4，4)，点P 为椭圆C 上任意一点，则｜PF ｜－｜P A ｜的最大值为______． 三、解答题9．已知△ABC 的两个顶点为B (－2，0)，C (2，0)，周长为12． (1)求顶点A 的轨迹方程； (2)若直线与点A 的轨迹交于M ，N 两点，求△BMN 的面积．10．设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的－点．已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF 1｜＞｜PF 2｜，求的值．11．已知点P 为椭圆x 2＋2y 2＝98上一点，A (0，5)，求｜P A ｜的最值．)0(1:2222>>=+b a by a x C 22221191622=+y x 1121622=+y x 13422=+y x 14322=+y x 11216:22=+y x C 32314922=+y x 021<⋅PF 1925:22=+y x C x y 21=14922=+y x ||||21PF PF§8－7 双曲线【知识要点】1．双曲线定义：平面内与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2｜)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F 1F 2｜叫做双曲线的焦距．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质，并了解其性质的初步应用． 【例题分析】例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为； (2)顶点间的距离为6，渐近线方程为45.23x y ±=例2 设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且则的||值等于______．例3 如图8－7－1，从双曲线的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线，切点为T ，延长F 1T 交双曲线右支于P 点．设M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|TF 1|＝_______；｜MO |－｜MT |_______．图8－7－1例4 已知点和，动点C 到A ，B 两点的距离之差的绝对值为2．记点C 的轨迹为W ． (1)求轨迹W 的方程；(2)设W 与直线y ＝x －2交于两点D ，E ，求线段DE 的长度．例5 如图8－7－2，△AOB 的顶点A 在射线l ：上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足｜AM |·｜MB ｜＝3．当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W ．图8－7－2(1)求轨迹W 的方程；(2)设P (m ，0)为x 轴正半轴上一点，求｜PM |的最小值f (m )．1422=-y x ,021=⋅PF PF 21PF PF ⋅125922=-y x )0,3(-A )0,3(B )0(3>=x x y练习8－7一、选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( )A ．B ．C ．D ． 2．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．C ．D ．3．已知双曲线，以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是( )A ．aB ．bC ．D ．4．设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且，则等于( ) A ． B ．C ．D ．二、填空题5．设F 1、F 2为双曲线的两个焦点，若其实轴的两个顶点将线段F 1F 2三等分，则此双曲线的渐近线方程为______．6．与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的方程______． 7．设双曲线x 2＋my 2＝1的离心率e ＞2，则实数m 的取值范围是______．8．设P 为双曲线上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若｜PF 1｜：｜PF 2｜＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为______．三、解答题9．已知F 1、F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°．求双曲线的渐近线方程．112422=-y x 141222=-y x 161022=-y x 110622=-y x )2(12222>=-a y a x 3π3362332)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ab 22b a +1922=-y x 021=⋅PF ||21PF +10510252)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 191622=-y x )3,32(-A 11222=-y x )0,0(12222>>=-b a by a x10．如图8－7－3，已知双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C 的一个顶点A ′与点A 关于直线y ＝x 对称．设直线l 过点A ，斜率为k ．图8－7－3(1)求双曲线C 的方程；(2)当k ＝1时，在双曲线C 的上支上求点B ，使其与直线l的距离为11．设A 、B 是双曲线上的两点，点N (1，2)是线段AB 的中点． (1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么? )0,2(A .21222=-y x§8－8 抛物线【知识要点】1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和几何性质(见下页表所示)：3．几点注意(1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．(2)标准方程的左边是二次项，右边是一次项，且二次项的系数为1．通过x，y的范围可以判定抛物线的开口方向．(3)抛物线的焦点弦具有很多重要性质，且应用广泛．【复习要求】了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质，并了解其性质的初步应用．【例题分析】例1 (1)求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点A(2，－4)的抛物线的方程；(2)平面内一个动点P到点F(4，0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2个单位，求动点P的轨迹方程．例2已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(m，n)在抛物线上．(1)求｜PF｜的值(用m，p表示)；(2)设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在抛物线上，且2m＝x1＋x2，求证：2｜PF｜＝｜P1F｜＋｜P2F|；(3)设过F的直线l与C相交于两点A，B，判断以AB为直径的圆与y轴的位置关系，并说明理由．例3 设F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，点P为抛物线C上一点，若点P到点F的距离等于点P到直线l：x＝－1的距离．(1)求抛物线C的方程；(2)设过点P的直线l1与抛物线C的另一交点为Q点，且线段PQ的中点坐标为(3，2)，求｜PQ｜．例4已知抛物线C：y2＝4x，设B(3，0)，对C上的动点M，求｜BM｜的最小值．练习8－8 一、选择题1．抛物线y 2＝8x 的准线方程是( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝－4 C ．y ＝－2 D ．y ＝－42．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝4ax 2的焦点坐标为( ) A ．(a ，0)B ．(0，a )C ．D ．随a 的符号而定3．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) A ．B ．C ．D ．34．过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0 二、填空题5．抛物线x 2＝－4y 的焦点坐标是______，准线方程是______． 6．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得线段的中点坐标是______．7．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则的最小值是______． 8．以抛物线y 2＝8x 上一点A 为圆心，经过坐标原点O ，且与直线x ＋2＝0相切的圆的方程是______． 三、解答题9．给定直线l ：y ＝2x －16，抛物线C ：y 2＝ax (a ＞0)．(1)当抛物线C 的焦点在直线l 上时，确定抛物线C 的方程； (2)若△ABC 的三个顶点都在(1)所确定的抛物线C 上，且点A 的纵坐标为8，直线BC 的方程为4x ＋y －40＝0，求△ABC 的重心的坐标．10．给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 与C 相交A 、B 两点，求以AB 为直径的圆的方程．11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直y 轴于点B ，设OB 的中点为M ． (1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． )161,0(a3457582221y y§8－9 圆锥曲线综合问题【知识要点】1．在圆锥曲线的综合问题中，要关注数学思想与方法的渗透．(1)数形结合思想不是简单的画图，而应该要分析图形中隐含的量及位置间的关系． (2)直线与圆锥曲线联立不是方程思想的全部，它只是方程思想的一个重要形式． 2．直线与圆锥曲线．设直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆锥曲线f (x ，y )＝0相交于点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．将直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆锥曲线f (x ，y )＝0联立，得方程组，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，记为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，(1)应用判别式，则有①＞0有两个实数解(有两个交点)； ②＝0有一个实数解(有一个交点)； ③＜0没有实数解(没有交点)．对于双曲线和抛物线在考虑交点个数时，还应注意到形的问题． (2)应用韦达定理，可得 在研究中点、弦长等问题时，利用韦达定理常可以使问题得到解决．3．会求简单的轨迹方程问题．4．关注解析几何与数列、向量等知识的综合，注意把握它们的内在联系． 【例题分析】例1 (1)平面内的直线l 与双曲线最多有______个交点；(2)若平面内与y 不平行的直线l 与双曲线不相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ⎩⎨⎧==++0),(0y x f C By Ax ∆⇔∆⇔∆⇔⋅=-=+⋅ac x x a b x x B A B A ,)0,0(12222>>=-b a by a x 191622=-y x例2 已知两定点M (－1，0)、N (1，0)，直线l ：y ＝－2x ＋3，在l 上满足｜PM ｜＋｜PN |＝4的点P 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个例3 已知椭圆的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，并且线段AB 的中点在直线x＋y ＝0上，求直线AB 的方程．例4 已知双曲线C ：3x 2－y 2＝1，过点M (0，－1)的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点．(1)若，求直线l 的方程；(2)若点A 、B 在y 轴的同一侧，求直线l 的斜率的取值范围．例5 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F (2，0)，且离心率(1)求椭圆的方程(用λ 表示)；(2)若存在过点A (1，0)的直线l ，使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，求λ 的取值范围． 1222=+y x 10||=AB ).0(2>=λλe。
用解析法解数学题
系和 空 间 笛 氏直 角坐 标 系 ， 用 解 析法 解 代 数 题 、 运
平几 题 ． 立几题 及 三角题 ，
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２０ ０ ２年 第 ２期
数 学学 习 与研 究
解
如 图建 立平 面
（９ ９年 全国 高 中数 学联 赛 加 试翘 ） １９
（） ２ 因为 由① 已 证 得 （． Ｃ上 Ｂ Ｄ， 而 ＡＢ ∞ 是菱 形 ， （
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证明
如 图， 建立 平 面直 角 坐标 系
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（Ｉ ？请 给 出证 明 ． ’』 （ ０ ０年 全 国高 考 数学 （ 史类 ） ２０ 文 试题 ）
空间解析几何中的点与平面的位置关系
汇报人：XX
汇报时间：20XX/XX/XX
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目录
CONTENTS
1 点与平面的位置关系
2 点与平面之间的距离公式
3 点与平面平行和垂直的条 件
4 点与平面之间的其他位置 关系
5 点与平面位置关系的实际 应用
点与平面的位置关系
点的定义
点是几何学的基 本元素之一，没 有大小和形状， 只有位置。
点在空间中占据 一个确定的位置， 通常用有序实数 对来表示。
点在平面几何中 表示二维空间中 的一个点，具有 横坐标和纵坐标 。
点也可以表示三 维空间中的一个 点，具有三个坐 标值：横坐标、 纵坐标和竖坐标 。
平面的定义
平面是一个无限 延展、没有厚度 的几何对象。
平面可以由点集 的极限性质来定 义。
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判定：可以通过向平面引垂线的方法来判断点与平面的相交关系
应用：在几何学、物理学等领域中，点与平面的相交关系有着广泛的应用
点与平面位置关系的实际应用
空间几何中的实际问题
飞机飞行：飞机飞行过程中需要计算点与平面的位置关系，以确保飞行安全。 建筑设计：建筑设计时需要考虑点与平面的位置关系，以确保建筑结构的稳定性和安全性。 地球物理学：地球物理学中需要利用点与平面的位置关系，来研究地球的物理性质和运动规律。 医学成像：医学成像中需要利用点与平面的位置关系，来获取人体内部结构和病变的信息。
理解距离公式的几何意义有助于深入探究空间中点与平面的位置关 系，为进一步学习空间解析几何奠定基础。
点与平面平行和垂直的条件
点与平面平行的条件
点在平面上且与平面平行
点在平面外且与平面平行
平面解析几何
怎样避免这种情况发生呢？解决办法是加上“重 合”两字。即，圆的切线是与圆有两个重合交点 的直线。这个定义可以推广到一般圆锥曲线。
6、如何看待解析几何成为教学难点？
在“平面解析几何初步”模块中，学生将在平面 直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代 数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系， 并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想， 初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
在“圆锥曲线与方程”模块中，学生将学习圆锥 曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系， 掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在 刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已 学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的 对应关系，进一步体会数形结合的思想。
以二次曲线为例。二次曲线的方程之所以复杂， 是由于坐标系的任意选取所产生的。如果选取适 当的坐标系，那么曲线方程就可以大为简化，这 也就是通常所说的标准方程。我们就是通过标准 方程来研究相应曲线的性质的。
4、如何理解圆锥曲线的统一性
圆锥曲线是解析几何的核心内容，是解析几何基 本思想和基本方法的具体运用。高中学习三种圆 锥曲线是单独展开的，对它们统一性的揭示不够 充分。理解圆锥曲线的统一性至少有三个角度： 统一的来源、统一的定义、统一的方程。
◎统一的来源(圆锥截线的观点)
设圆锥面母线、截平面与轴线的夹角分别为α,θ
☆截面不过圆锥顶点(非退化圆锥曲线)
θ=π/2时，曲线是圆； α<θ<π/2时，曲线是椭圆； θ=α时，曲线是抛物线； 0≤θ<α时，曲线是双曲线． 上述曲线离心率均为cosθ/cosα
用解析法解平面几何问题
解 析 法1、 如图：四边形ABCD 的对角线AC ⊥BD ，交点为O ，自O 向各边作垂线，垂足为E 、F 、G 、H ；连EO 交CD 于E ′，连FO 交DA 于F ′，连GO 交AB 于G ′，连HO 交BC 于H ′。
求证：E 、F 、G 、H 、E ′、F ′、G ′、H ′八点共圆。
2、 如图：设H 是锐角三角形ABC 的垂心，由A 向以BC为直径的圆作切线AP ，AQ ，切点分别为P 、Q 。
求证：P 、H 、Q 三点共线。
3、 如图：过圆中弦AB 的中点M ，任引两弦CD 和EF ，连CF 、ED 分别交弦AB 于Q 、P 。
求证：PM=MQ 。
4、 如图：已知ABCD 是正方形，CE ∥BD ，BE=BD ，BE 交CD 于点H 。
求证：DE=DH 。
5、 用解析法证明圆的切割线定理。
6、 用解析法证明半角的正切公式：θθθθθsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=。
7、 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈≠-≠⎩⎨⎧=+=+Z k k abc c b a c b a ,2,0sin cos sin cos πθϕϕϕθθ 求证：2cos2sin2cosϕθϕθϕθ-=+=+cba8、设a>0，b>0，c>0，求证：bc c b ab b a -++-+2222≥ac c a ++22说明等号何时成立。
练习题：1、已知方程|x|=ax+1有一个负根但没有正根，则a 的取值范围是 。
2、已知()21x x f +=，若b a R b a ≠∈,,，则()()||||b a b f a f --与的大小关系为（ ） （A ）()()||||b a b f a f -<- （B ）()()||||b a b f a f -=- （C ）()()||||b a b f a f ->- （D ）不能确定3、函数()1sin 3cos --=ααx f 的值域为 。
平面几何解题方法介绍湖南师范大学附属中学羊明亮
知识与方法
羊明亮 湖南师范大学附属中学
数学竞赛中常用的著名定理有：梅涅劳斯定理及其逆定理、塞瓦定理及其逆定理、托勒
密定理（不等式）、西姆松定理及其逆定理、欧拉定理，另外，还用到斯特瓦尔定理、蝴蝶
定理等. 除了上述定理外,我们还应掌握有关根轴、完全四边形、调和四边形、调和线束（点列）
⑥
SZ1Z2Z3
1 2
Im(
z1
z2
z2 z3
z3z1).
注：以上点 Z 对应的复数用 z 表示。
4、向量法
由于向量既反映数量关系，又体现位置关系，所以它能数形相辅地用代数方法研究几何
问题，即把几何代数化，时几何问题能用代数运算解决，由此可见，解析法、复数法实质上
是一种特殊的向量方法，向量法兼有几何的直观性、表述的简洁性和方法的一般性等待点.
⑤ 几何中旋转变换问题在向量法中对应的是向量的外积表示，由向量的外积可以
表示平面上一个向量旋转以后的向量。
5、面积法
用图形的面积知识来解决几何问题的方法称为面积法，一般有两类：①求多边行的面积；
②用面积有关知识作为计算或论证手段，通过适当的变换，从而得出所考虑的量与量之间关
系，最后得出结论，或者将边之间的比和面积结合起来得到一个等式（称面积方程），然后
AMB CMB . 证明: BE 平分 AC .
证明:不妨设五边形 ABCDE 内接于复平面上以原点 O 为圆心的单位圆, A, B,C, D, E
对应的复数分别为 a, b, c, d, e ,则 M 对应的复数 m 1 (b d ) . 2
由 AC DE ,有 ac de .
①
由
AMB
( z1
z2 ) 即