3.5极值与最值
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高等数学3.5函数最大值和最小值-精品文档
河北工业职业技术学院
高等数学
主讲人 宋从芝
3.5 函数的最大值和最小值
本讲概要
闭区间上连续函数的最值
某区间内有唯一极值点 实际问题在开区间内有唯一驻点
一.闭区间上连续函数的最值 存在性
设函数 f(x) 在[a, b]上连续
在闭区间上一定有最大值和最小值。
可能的最值点
y y y
oa
bx
o a
容积最大？
图形：
48 x x 48 (a) 48-2x (b)
48-2x
解 设截去的小正方形的边长为xcm， 铁盒的容积为 据题意，则有 Vcm，
4 Vx 8 2 x 4 0x2 问题归结为：求x为何值时，函数V在区间内(0,24)
2
即，求最大值点。 取得最大值，
x 2 4 82 x 2 V 482x +
2
2 0 0 y 5 kx 4 0 031 k 0 x 0 0值最小,求最小值点。
y 5k x x 400
2
3k
5x3 x2 4 0 0 k x2 4 0 0
令y 0，得
2 5 x3 x 4 0 0
2 2 2 5 x 9 x 4 0 0
x 15 在[0,100]的驻点x=15。
2 0 0 y 5 kx 4 0 031 k 0 x 0 0x1
使用闭区间上求最值的方法， 比较函数值的大小：
y1 5 8 0 k 3
y0 0 0 k 4
最 小 值 为 f 2 8 。
3 2 练习 求函数 fx 在[-2,0]上的 2 x 6 x 1 8 x 7
最大值与最小值。
高等数学
主讲人 宋从芝
3.5 函数的最大值和最小值
本讲概要
闭区间上连续函数的最值
某区间内有唯一极值点 实际问题在开区间内有唯一驻点
一.闭区间上连续函数的最值 存在性
设函数 f(x) 在[a, b]上连续
在闭区间上一定有最大值和最小值。
可能的最值点
y y y
oa
bx
o a
容积最大？
图形：
48 x x 48 (a) 48-2x (b)
48-2x
解 设截去的小正方形的边长为xcm， 铁盒的容积为 据题意，则有 Vcm，
4 Vx 8 2 x 4 0x2 问题归结为：求x为何值时，函数V在区间内(0,24)
2
即，求最大值点。 取得最大值，
x 2 4 82 x 2 V 482x +
2
2 0 0 y 5 kx 4 0 031 k 0 x 0 0值最小,求最小值点。
y 5k x x 400
2
3k
5x3 x2 4 0 0 k x2 4 0 0
令y 0，得
2 5 x3 x 4 0 0
2 2 2 5 x 9 x 4 0 0
x 15 在[0,100]的驻点x=15。
2 0 0 y 5 kx 4 0 031 k 0 x 0 0x1
使用闭区间上求最值的方法， 比较函数值的大小：
y1 5 8 0 k 3
y0 0 0 k 4
最 小 值 为 f 2 8 。
3 2 练习 求函数 fx 在[-2,0]上的 2 x 6 x 1 8 x 7
最大值与最小值。
3.5函数的极值与最大值最小值
9
(4)极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22. f ( x) x3 3x2 9x 5 图形如下
M
2019/5/13
N
10
3(第二充分条件)设 f ( x)在x0 处具有二阶导数, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0, 那末 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0 处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0 处取得极小值.
f
(
x
)
2x 2x
3
3
x [3,1][2,4] x (1,2)
2019/5/13
18
3
解方程 f ( x) 0,得 x1 2 不可导点为x 1,2
计算 f (3) 20 f (1) 0;
f (3) 1; 24
f (2) 0 f (4) 6;
0.5公里
s(t )
A
敌我相距函数 s(t)
B
s(t) (0.5 t)2 (4 2t)2
4公里
(2) 求s s(t)的最小值点.
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5. 故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
y
o
x0
x
o
x0
x
2019/5/13
3
二 函数极值的定义
定义 设函数f ( x)在区间(a, b)内有定义, x0是
(a, b)内的一个点, 如果存在着点 x0的一个邻域, 对于这邻域内的
函数的极值与最值
函数的极值与最值函数是数学中常见的概念，它描述了一种输入与输出之间的关系。
在数学的研究中，我们经常需要探讨函数的极值与最值，这些信息对于理解函数性质以及解决实际问题非常重要。
一、极值的概念及求解方法极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
函数的极大值对应于其图像的局部最高点，而极小值对应于其图像的局部最低点。
要找到一个函数在定义域内的极值，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 找到函数的导数，导数可以帮助我们找到函数的增减性以及临界点。
2. 求解导数为零的点，这些点即为函数的可能的极值点。
3. 利用导数的符号确定这些临界点是极大值还是极小值。
4. 在临界点以及函数定义域的端点处进行比较，找到函数的极值。
举个例子来说明。
考虑函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1在定义域[-3, 4]上的极值问题：1. 首先求解导数f'(x) = 6x^2 - 18x + 12。
2. 将导数置为零并解方程，得到6x^2 - 18x + 12 = 0，化简后得到x = 1。
3. 利用导数的符号，可以得出当x < 1时，导数为负，即函数单调递减；当x > 1时，导数为正，即函数单调递增。
所以x = 1是函数的极小值点。
4. 比较临界点x = 1以及函数定义域的端点x = -3和x = 4处的函数值，找到函数的极小值为f(1) = 6。
二、最值的概念及求解方法最值是函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。
与极值不同的是，最值不要求在一定的区间内取得，而是考虑了整个定义域。
要找到一个函数在定义域内的最值，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 首先找到函数的定义域，即函数取值的范围。
2. 在定义域内比较函数取值，找到最大值与最小值。
继续以函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1为例：1. 函数f(x)的定义域为整个实数集，因此我们需要在全局范围内找到最值。
2. 比较函数在定义域内的取值，可以通过求导并求解导函数为零的点，或者观察函数的图像来找到最大值与最小值。
3.5 函数的极值与最大值最小值
因为在1的左右邻域内f (x)0
所以f(x)在1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值
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铃
例4已知f(x)x3+ax2bx在x=1处有极值-12,试确定常系数a与b 解 因为f(x)x3+ax2bx,所以 f (x)3x2+2ax+b 因为f(1)=-12为极值点,所以,令f (1)0
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三、数学建模——最优化问题
1.数学建模 数学模型是用数学符号、数学公式、程序、图、表 刻画客观事物的本质的属性、结构与联系。创建一个 数学模型的全过程称为数学建模。为解决一个实际问 题，建立数学模型是一种有效的重要方法．
2.最优化模型 给定一个函数(称为目标函数)，寻找自变量的一个取值使得 对于定义域中所有的情况中，目标函数取得最小值或者最大 值．
f (x)
f(x)
↗
不可导
极大值0
↘
0
极小值
1 2
↗
(4)函数f(x)在区间( 0)和(1 )单调增加, 在区间 (0 1)单调减少. 在点x0处有极大值0，在点x1处有极小值-1/2
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定理3(第二充分条件)
设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0 那么 >>>证明 (2)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极小值
M
注意：极值在哪些点处取得？
m
驻点 + 奇点
x1 x2
首页
x3 x4 x5
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最大值和最小值的求法 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这此点
函数的极值与最大值最小值
极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 考察x=0是否是函数y=x3的 驻点, 是否是函数的极值点.
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
带你当学霸之数学篇：极值和最值
带你当学霸之数学篇：极值和最值极值和最值是两个很容易弄错的概念，不是因为他有难度，而是因为，因为你容易看岔眼！！最值在是最大值，极值是最凸和最凹的点。
极值和最值，终有一字之差。
极值定义：设函数f（x）在点的某空心领域内有定义。
如果对该领域内的任何点x(x ),均有f(x)<f( )(或f(x)>f( )),则称f ( )是f(x)的极大值（或极小值），称是f(x)的极大值点（或极小值点）曲线在极值点处，或有水平切线，或不存在。
但点有水平切线的点不一定是极值点，切线不存在的点也不一定是极值点。
这说明，极值点应在f’(x)为0或不存在的点去找。
点是函数f（x）的极值点的必要条件：f’（x）=0或f’（x）不存在使f’（x）=0或f’（x）不存在的点未必是极值点，它们叫做可疑极值点，其中f’（x）=0为f(x)的驻点。
1. 极值点第一判别法：设函数f(x)在点的某空心领域内可导且在点处连续。
1）如果在点的左邻域内有f’（x）>0, 在点的右邻域内有f’（x）<0,则是f(x)的极大值点2）如果在点的左邻域内有f’（x）<0，在点的右邻域内有f’（x）>0, 则是f(x)的极小值点3）如果在点的某空心领域内f’（x）恒为正或负，则不是极值点2. 极值点第二判别法（只适用于驻点,设其为）1）当f”( )>0时，是f(x)的极小值2）当f”( )<0时，是f(x)的极大值最值一.1.连续函数在闭区间上必有最值2,求连续函数在闭区间上的最值只需比较函数及其驻点，导数不存在点以及端点处对函数值3.若连续函数在闭区间上只有一个驻点，且该驻点为极值点，则必为最值点二、例：从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗，求留下的扇形中心角“A”取多大时，做成的漏斗的容积最大？解：设漏斗容积为V，底圆半径为R，高位h.则设漏斗容积为V，底圆半径为r,高为h，则0<x<2令V’=0，舍去x=0——by 曹国凯童睿睿。
高等数学3.5函数的极值与最大值最小值（PDF）
如果x U (x0 )有：f(x) f(x0 )， 或f(x) f(x0 )，则 f (x0 ) 0
定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
定理1(必要条件) 设 f ( x) 在 x0 有导数，且在 x0 处
取得极值，则f (x0 ) 0
则 f ( x) 在 x0 取得极大值.
(2) 如果 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0 而 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0;
则 f ( x) 在 x0 取得 极小值.
y
o
x0
y
(是极值点情形)
xo
x0
x
一、函数极. 值的求法
定理2(第一充分条件)
设f
x
3
x 2, f ( x) 不存在. 但f ( x)在 x 2 连续
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1 是f ( x) 的极大值
一、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点 x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0, x0 )时, f '( x)
若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值 为所求的最值
三、应用举例
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，
定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
定理1(必要条件) 设 f ( x) 在 x0 有导数，且在 x0 处
取得极值，则f (x0 ) 0
则 f ( x) 在 x0 取得极大值.
(2) 如果 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0 而 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0;
则 f ( x) 在 x0 取得 极小值.
y
o
x0
y
(是极值点情形)
xo
x0
x
一、函数极. 值的求法
定理2(第一充分条件)
设f
x
3
x 2, f ( x) 不存在. 但f ( x)在 x 2 连续
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1 是f ( x) 的极大值
一、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点 x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0, x0 )时, f '( x)
若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值 为所求的最值
三、应用举例
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，
高数 3-5极值与最值
2 3
2 解 f ′( x ) = − ( x − 2 ) 3 当x = 2时, f ′( x )不存在 .
−
f ( x )在该点连续 .
f 当x < 2时， ′( x ) > 0; 当x > 2时， ′( x ) < 0. f ∴ f ( 2) = 1为f ( x )的极大值 .
二、应用举例
例1 求函数 y = 2 x + 3 x − 12x + 14的在 −3,4] [
3 2
. 上的最大值与最小值
解
∵ f ′( x ) = 6( x + 2)( x − 1) 解方程 f ′( x ) = 0, 得 x1 = −2, x2 = 1.
f ( −2) = 34;
计算 f ( −3) = 23;
↑
↓
↑
极
值 f (−1) = 10, −
极 值 f ( 3) = −22.
f ( x) = x − 3 x − 9 x + 5
3 2
M
m
定理3(第二充分条件) 定理3(第二充分条件) 3(第二充分条件
设 f ' ( x0 ) = 0, f '' ( x0 ) ≠ 0, 那末 '' (1)当 处取得严格极大值; 严格极大值 (1)当 f ( x0 ) < 0时, f (x)在 x0处取得严格极大值; (2)当 处取得严格极小值. 严格极小值 (2)当 f '' ( x0 ) > 0时, f (x)在 x0处取得严格极小值.
一、函数极值的求法
定理1 必要条件) 定理1(必要条件) 设 f (x)在点x0 处具有导数,且 处具有导数, 在x0处 得 值 那 必 f ' ( x0 ) = 0. 取 极 , 末 定 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 点, 注意
2 解 f ′( x ) = − ( x − 2 ) 3 当x = 2时, f ′( x )不存在 .
−
f ( x )在该点连续 .
f 当x < 2时， ′( x ) > 0; 当x > 2时， ′( x ) < 0. f ∴ f ( 2) = 1为f ( x )的极大值 .
二、应用举例
例1 求函数 y = 2 x + 3 x − 12x + 14的在 −3,4] [
3 2
. 上的最大值与最小值
解
∵ f ′( x ) = 6( x + 2)( x − 1) 解方程 f ′( x ) = 0, 得 x1 = −2, x2 = 1.
f ( −2) = 34;
计算 f ( −3) = 23;
↑
↓
↑
极
值 f (−1) = 10, −
极 值 f ( 3) = −22.
f ( x) = x − 3 x − 9 x + 5
3 2
M
m
定理3(第二充分条件) 定理3(第二充分条件) 3(第二充分条件
设 f ' ( x0 ) = 0, f '' ( x0 ) ≠ 0, 那末 '' (1)当 处取得严格极大值; 严格极大值 (1)当 f ( x0 ) < 0时, f (x)在 x0处取得严格极大值; (2)当 处取得严格极小值. 严格极小值 (2)当 f '' ( x0 ) > 0时, f (x)在 x0处取得严格极小值.
一、函数极值的求法
定理1 必要条件) 定理1(必要条件) 设 f (x)在点x0 处具有导数,且 处具有导数, 在x0处 得 值 那 必 f ' ( x0 ) = 0. 取 极 , 末 定 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 点, 注意
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o
x0
x
o
x0
x
求极值的步骤:
(1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点; (2)考察这些点两侧导函数的符号,从而确定极值点;
(3)求出极值点的函数值,即为极值.
例1. 求函数
2 3
的极值 .
1 3
解: 1) 求导数 f ( x) x ( x 1) 2 x 3 2) 求极值可疑点
令 0 , 得驻点 x 2.4 (0 , ) 根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 , 驻点又 唯一, 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .
内容小结
1. 连续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点
(2) 第一充分条件
过 过
由正变负 由负变正
是极小点， 其极小值为
定理2 (第二判别法) 设 x0 是 f ( x ) 的一个驻点 , f ( x0 ) 0
1 . f ( x0 ) 0 , 则 f ( x0 ) 为极小值 .
2 . f ( x0 ) 0 , 则 f ( x0 ) 为极大值 .
+
－
－
+
例2 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 的极值. 解
清楚(视角 最大) ?
1.4
解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则
1.8
x 1.4 1.8 1.8 arctan arctan , x (0 , ) x x 1.4 ( x 2 5.76) 3.2 1.8 2 2 2 2 2 ( x 3.22 )( x 2 1.82 ) x 3.2 x 1.8
y 1 1 . 2 1 x
x [ 5, 1 )
3 由 y 0 得驻点 x 4 [ 5 , 1 ) .
f (5) 5 6 ,
3 3 f 4 41 5 , 2 4
f (1) 1 .
3 M f 4 5, 4
m f (5) 5 ) 0 ,
f ( x ) f (a ).
P45 2（3）. 当 0 x 时, sin x tan x 2 x 2
设 f ( x ) sin x tan x 2 x
则 f ' ( x ) cos x sec 2 x 2 f '' ( x ) sin x 2 sec 2 x tan x sin x( 2 sec 3 x 1) 1 f '' ( x ) 0, 当 0 x , ( sec x 1) 2 cos x f ' ( x ) 单增, f ' ( x ) f ' (0) 0
f a cos cos a 1 0 , 3 3 2
a 2.
f ( x) 2 sin x 3sin 3x .
f 2 sin 3 sin 3 0 . 3 3
f 2 sin 1 sin 3 为极大值 . 3 3 3
第五节
函数的极值与
最值
一、函数的极值及其求法
定义 . 当 x U ( x0 ) 时 , f ( x ) f ( x0 ) 都成立 ,
f ( x ) f ( x0 )
都成立 ,
x1 x2 x3 x4 x5
x6
单调性 区间性质 注. 极值 局部性质
注意 f ( x1 ) f ( x4 ) .
f ( x ) 3 x 2 6 x 24 3( x 4)( x 2)
x2 2.
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 4,
f ( x ) 6 x 6, f ( 4) 18 0, f ( 2) 18 0,
故极大值 f (4) 60, 故极小值 f ( 2) 48.
x
极小值 f ( a ) 2a a 2b 0 (| b | a a )
在 a , a 内有一个根 , 在 a ,内有一个根 . ( lim f ( x ) .)
x
二、最大值与最小值问题
则其最值只能
在极值点或端点处达到 .
求函数最值的方法: (1) 求 (2) 最大值 在 内的极值可疑点 ----驻点和不可 导点
例3. 求函数 解: 1) 求导数 ( x ) 6 x ( x 2 1)2 , f
的极值 .
( x ) 6 ( x 2 1)(5 x 2 1) f
2) 求驻点 令 f ( x ) 0 , 得驻点 x1 1 , x2 0 , x3 1
3) 判别 因 f (0) 6 0 , 故 为极小值 ;
f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 图形如下
M
m
注：运用第二充分条件求极值也有它的局限性. 若ƒ(x)在驻点 ƒ(x) 在 处的二阶导数
处可能有极大值, 也可能有极小值,
也可能没有极值.
例如: 这三个函数在 x = 0 处就分别属于这三种情况. 从而当 (只需点连续即可) 只能用第一充分条件来判定
x
, a
a
0
a, a
f ( x )
f ( x)
a 0
极 小 值
a ,
极 大 值
极大值 f ( a ) 2a a 2b 0 (| b | a 3 a a )
f ( x ) 在 , a 内有一个根 , ( lim f ( x ) .)
2 令 f ( x) 0 , 得 x1 5 ;
2 x 5 5 3 3 x
f (0) , 得 x2 0
2 5 2 ( 5 , )
3) 列表判别
x ( , 0) f (x) f (x)
0 0
2 (0 , 5 )
0 0.33
其极大值为 是极大点，
f ( x ) 单增,
f ( x ) f ( 0) 0
即 f ( x ) sin x tan x 2 x 0
y
又 f ( 1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.
1
1
x
例 4 . 试问 a 为何值时 ,
f ( x ) a sin x 1 sin 3 x 在 x 处取得极值 ? 3 3
它是极大值还是极小值 ? 并求此极值 . 解 . f ( x ) a cos x cos 3 x , f ( x ) 在 ( , ) 可导 .
(1) f (x) “左正右 则 f ( x ) 在 x0 取极大值. f (x) 负” , 则 f ( x ) 在 x0 取极小值; (2) “左负右 正” , ( 3) f ( x )的符号不变, 则不是极值;
y y
o
x0
x
x0
(是极值点情形)
o
x
y
y
(不是极值点情形)
B
).
( A) f ( x) 的导数存在 , 且 f (a ) 0； ( B) f ( x) 取得极大值 ; (C ) f ( x ) 取得极小值; ( D) f ( x) 的导数不存在.
提示: 利用极限的保号性 . f ( x ) f (a ) o 在某U (a )内, 必有 0, 2 ( x a)
函数极值的求法 费马(fermat)引理 ----必要条件
定理 1 . x0 是 f ( x ) 的极值点 , f ( x ) 在 x0 点可导 ,
可导极值点 必为驻点 （反之不一定） 不可导点 可能为极值点 因此寻求极值点的方法:
y
o
x0
x
y
o
x0
x
在驻点或者是连续不可导点中去寻找.
定理 1 (极值第一判别法) 设函数 f ( x ) 在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当 x由小到大通过 x0 时 ,
M max
f (a ) , f (b)
最小值
特别:
•当 •当 在 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 内只有一个极值点,则它必是最值点.
若为极小值，则它是最小值， 若为极大值，则它是最大值。
例 6 . y x 1 x , x [ 5, 1 ]
解 . y 在 [ 5 , 1 ] 上连续 ,
为极大值 为极小值
(3) 第二充分条件
为极大值
为极小值
2. 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 ; f (x)在某开区间或闭区间内连续可导，若有唯一 的极值点，则必最值点。 在实际问题中，如果 f (x)有唯一的驻点，则一般 为最值点。
思考与练习
f ( x ) f (a ) 1. 设 lim 1 , 则在点 a 处( 2 x a ( x a)
例7. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 Km , AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 公路, 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货
物从B 运到工厂C 的运费最省, 问 D 点应如何选取?
A x
20
100
B
C 解: 设 AD x (km) , 则 CD 202 x 2 , 总运费
例5 . 设 f ( x ) x 3 3ax 2b , 其中a 0, b2 a 3 .
试证 方程 f ( x ) 0 有三个实根 . (复习指导P43, 八.) 证 . f ( x ) 在全实轴连续可导 , f ( x ) 3 x 2 3a , 由 f ( x ) 0 得驻点 : x1 a , x2 a .