求极值与最值的方法
微积分中的极值与最值问题
微积分中的极值与最值问题微积分是数学中的一个重要分支，研究了函数的极限、导数和积分等概念及其相互关系。
在微积分中，极值问题是一个非常重要的概念，它可以帮助我们寻找函数的极大值和极小值。
本文将介绍微积分中的极值与最值问题，并讨论在实际应用中的一些具体例子。
一、极值问题的定义与求解方法在微积分中，极值问题指的是在一个函数的定义域中找到函数的极大值和极小值。
极大值是函数取得的最大值，极小值是函数取得的最小值。
极值的求解可以通过求函数的导数来实现。
具体来说，首先求函数的导数，然后找到导数为零或不存在的点，再通过二阶导数的符号确定这些点是否是函数的极值点。
如果二阶导数为正，那么该点是函数的极小值点；如果二阶导数为负，那么该点是函数的极大值点。
如果二阶导数等于零或不存在，就需要使用其他方法进行判断。
二、最值问题的定义与求解方法在微积分中，与极值问题相似的还有最值问题，它指的是在一个函数的定义域中找到函数的最大值和最小值。
最值的求解也可以通过求函数的导数来实现。
与极值问题不同的是，对于最值问题，我们还需要考虑在函数的定义域的边界点上是否存在最值。
因此，在求函数的导数后，需要将函数的定义域的边界点和导数为零或不存在的点进行比较，来确定函数的最值。
三、实际应用中的极值与最值问题极值与最值问题在实际应用中具有广泛的应用，例如经济学、工程学和自然科学等领域。
在经济学中，极值与最值问题可以帮助我们最大化利润或者最小化成本。
假设一个公司的市场需求曲线和成本曲线已知，我们可以通过极值与最值问题来确定最优产量和价格，从而达到最大利润。
在工程学中，极值与最值问题可以帮助我们优化设计。
例如，在桥梁的设计中，我们可以通过极值与最值问题来确定最小的材料使用量，从而降低成本。
又如，在交通规划中，我们可以通过极值与最值问题来确定最短的路线，从而减少时间和能源消耗。
在自然科学中，极值与最值问题可以帮助我们理解自然界中的最优现象。
例如，在物理学中，我们可以通过极值与最值问题来解释一些基本原理和定律。
求极值与最值的方式
求极值与最值的方法1 引言在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。
下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。
2 求函数极值的方法极值定义：设函数在的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点()f x 0x x，均有，则称是函数的一个极大值；同样如果0()x x ≠0()()f x f x <0()f x ()f x 对此邻域内任一点，均有，则称是函数的一个x 0()x x ≠0()()f x f x >0()f x ()f x 极小值。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值。
使函数取得极值的点，0x 称为极值点。
2.1 求导法判别方法一：设在点连续，在点的某一空心邻域内可导。
当 x 由小增大经过()f x 0x 0x 时，如果：0x (1)由正变负，那么是极大值点；'()f x 0x (2)由负变正，那么是极小值点；'()f x 0x (3)不变号，那么不是极值点。
'()f x 0x 判别方法二：设在点处具有二阶导数,且,。
()f x 0x '()0f x =''()0f x =(1)如果，则在点取得极大值；''()0f x <()f x 0x(2)如果，则在点取得极小值。
''()0f x >()f x 0x 判别方法三：设在点有n 阶导数，且()f x 0x 0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n ，则：0)(0)(≠x f n （1）当为偶数时，在取极值，有时，在取)(x f 0x 0)(0)(<x f n )(x f 0x 极大值，若时，在取极小值。
0)(0)(>x f n )(x f 0x （2）当为奇数时，在不取极值。
函数的极值与最值问题
函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是数学分析中的重要内容。
在实际问题中，我们常常需要求解函数的极值或最值，来确定某一变量的最佳取值或最大最小值。
本文将介绍函数的极值与最值问题的定义、求解方法以及实际应用。
一、函数的极值与最值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，若存在一个区间I，使得对于该区间内的任意x值，f(x)的值都比f(x)在I的其它点处的值小（大），则称f(x)在I内存在极大（小）值，同时称该点为函数的极值点。
而函数在区间I内最大（小）的极值点则称为函数的最大（小）值。
二、求解函数的极值与最值的方法1. 寻找驻点首先，我们需要寻找函数的驻点。
驻点即为函数在该点的导数为零的点，也就是函数的极值点可能位于驻点处。
2. 列出极值点及临界点的值将驻点的值以及函数的定义域内的临界点的值列出，并计算出相应的函数值。
3. 比较并确定极值点及最值比较驻点和临界点的函数值，找出函数的极大值和极小值，即为函数的极值点。
同样地，比较所有极值点的函数值，找出函数的最大值和最小值。
4. 确定函数的定义域在比较极值点和临界点的函数值时，需要注意函数定义域的边界条件。
确保所比较的点处于函数的定义域内。
三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题在实践中具有广泛的应用。
以经济学为例，函数的极值与最值问题常用于优化问题的求解。
例如，确定成本最低的生产方案或利润最大化的销售策略等。
在工程学中，函数的极值与最值问题可应用于优化设计。
比如求解最节能的物流路径、最优化的结构参数以及最大功率输出的电子电路布局等。
此外，函数的极值与最值问题还可用于求解几何问题中的最优解。
在数学建模、各类优化理论以及应用数学的研究中都有广泛的应用。
结论函数的极值与最值问题是数学分析中一个重要且常见的问题。
通过寻找函数的极值点和最值点，可以确定变量的最佳取值或者确定函数在某个区间内的最大最小值。
本文介绍了函数极值与最值问题的定义、求解方法以及应用，并指出了其在实际问题中的重要性。
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。
本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。
一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值分为两种情况：局部极值和全局极值。
1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。
设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。
其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。
2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。
设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。
其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。
二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。
首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。
这些点就是可能的极值点。
接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。
当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。
2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。
首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。
然后，通过比较函数值得出极值。
例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。
三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。
例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。
2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。
高中数学如何求解三角函数的极值和最值
高中数学如何求解三角函数的极值和最值一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，求解三角函数的极值和最值是数学分析的基本技能之一。
本文将介绍如何通过分析和计算来求解三角函数的极值和最值，以及一些常见的解题技巧。
二、求解三角函数的极值1. 极值的定义在数学中，极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
对于三角函数而言，极值点就是函数图像上的顶点或谷底。
2. 求解极值的方法（1）利用导数法求解对于一元函数，可以通过求导数来确定其极值点。
对于三角函数而言，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点。
例如，考虑函数f(x) = sin(x)，其导数f'(x) = cos(x)。
令f'(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。
因此，函数sin(x)在x = π/2 + kπ处取得极值。
（2）利用周期性求解由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解极值。
例如，考虑函数f(x)= sin(2x)，它的周期为π。
因此，只需求解f(x)在一个周期内的极值即可。
在区间[0, π]上，函数f(x)在x = π/4处取得最大值1，而在x = 3π/4处取得最小值-1。
三、求解三角函数的最值1. 最值的定义在数学中，最值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
对于三角函数而言，最值点就是函数图像上的最高点或最低点。
2. 求解最值的方法（1）利用周期性求解与求解极值类似，由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解最值。
例如，考虑函数f(x) = sin(x)，它的周期为2π。
因此，只需求解f(x)在一个周期内的最值即可。
在区间[0, 2π]上，函数f(x)在x = π/2处取得最大值1，而在x = 3π/2处取得最小值-1。
（2）利用函数图像求解通过观察函数的图像，可以直观地确定函数的最值点。
例如，考虑函数f(x) = cos(x)，它的图像是一条波浪线。
从图像上可以看出，函数f(x)在x = 0处取得最大值1，而在x = π处取得最小值-1。
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。
极值是指函数在某一区间内达到的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
正确地求解函数的极值与最值对于解决实际问题和优化算法具有重要意义。
本文将介绍一些常见的函数极值与最值的求解方法。
一、导数法求函数极值导数法是求解函数极值的常用方法之一。
对于一元函数，我们可以通过求取其导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求取函数的导数。
根据函数的表达式，求取其一阶导数。
对于高阶导数存在的情况，可以继续求取导数直到找到导数不存在的点。
2. 解方程求取导数为零的点。
导数为零的点对应着函数的极值点。
将导数等于零的方程进行求解，找到函数的极值点。
3. 判断极值类型。
在找到导数为零的点后，可以通过二阶导数或借助函数图像来判断该点处的极值类型。
若二阶导数大于零，则为极小值；若二阶导数小于零，则为极大值。
二、边界法求函数最值边界法是求解函数最值的一种有效方法。
当函数在闭区间上连续且有界时，最值一定是在该闭区间的端点处取得的。
具体步骤如下：1. 确定函数定义域的闭区间。
根据函数表达式或实际问题，找到函数定义域所对应的闭区间。
2. 计算函数在端点处的取值。
将函数在闭区间的端点处依次带入函数表达式，计算函数的取值。
3. 比较函数取值找到最值。
对于最大值，选取函数取值最大的端点；对于最小值，选取函数取值最小的端点。
三、拉格朗日乘数法求函数约束条件下的极值当函数需要满足一定的约束条件时，可以使用拉格朗日乘数法来求解函数的极值。
该方法适用于带有约束条件的最优化问题，具体步骤如下：1. 设置拉格朗日函数。
将原函数与约束条件构建为一个拉格朗日函数，其中拉格朗日乘子为未知数。
2. 求取拉格朗日函数的偏导数。
对拉格朗日函数进行偏导数运算，得到一组方程。
3. 解方程求取极值点。
将得到的偏导数方程组求解，找到满足约束条件的极值点。
4. 判断极值类型。
函数的极值和最值
函数的极值和最值在微积分中，函数的极值和最值是常见的概念。
极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值，而最值则是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
一、极值的定义对于一个函数f(x)，如果存在某个数a使得在a的邻域内的任意x，都有f(x)≤f(a)或者f(x)≥f(a)，那么称函数f(x)在点a处有极大值或极小值。
极大值和极小值统称为极值。
二、求解极值的方法为了求解函数的极值，我们需要采用求导的方法。
具体步骤如下：1. 对函数f(x)求导，得到f'(x)。
2. 找出f'(x)的零点，即解方程f'(x)=0。
3. 将零点代入f''(x)，判断它们的正负性。
- 如果f''(x)>0，则在该点处取得极小值。
- 如果f''(x)<0，则在该点处取得极大值。
- 如果f''(x)=0，则无法判断，需要进行其他方法的检验。
三、最值的定义函数的最大值和最小值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值用符号"max"表示，最小值用符号"min"表示。
四、求解最值的方法求解函数的最值需要考虑函数的定义域，并结合求导和极值的方法。
1. 函数定义域的判断- 如果函数是一个有限闭区间上的连续函数，则最值必然存在。
- 如果函数的定义域是整个实数集，则最值可能不存在。
2. 求解最值的步骤- 首先，对函数f(x)求导，得到f'(x)。
- 然后，找出f'(x)的零点。
- 接着，将零点和函数的端点代入f(x)，求出这些点对应的函数值。
- 最后，比较这些函数值，找出最大值和最小值。
需要注意的是，在求解最值时，还需要考虑函数的边界特性和特殊点，如间断点、开区间端点以及无界区间的端点等。
总结：函数的极值和最值是微积分中的重要概念，通过对函数的导数、零点和二阶导数的分析，可以求解函数的极值和最值。
函数的极值与最值的求解(导数法)
函数的极值与最值的求解（导数法）函数的极值与最值是数学中重要的概念，它们在数学建模、优化问题等方面具有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍如何使用导数法求解函数的极值与最值问题。
一、函数的极值与最值在介绍如何求解函数的极值与最值之前，我们首先需要明确这两个概念的定义。
对于函数f(x)，如果存在一个区间I，对于区间内的任意x，都有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），那么f(x0)就是函数在区间I内的极小值（或极大值）。
而函数f(x)在整个定义域内的最小值和最大值则被称为函数的最小值和最大值。
二、导数法求解极值与最值导数法是求解函数极值与最值常用的方法之一。
通过求解函数的导数和判断导数的正负，可以找到函数的极值点及其对应的极值。
1. 求解函数的极值点首先，我们需要求解函数f(x)的导数，并令导数等于零，即f'(x)=0。
解这个方程可以得到函数的临界点（即导函数为零的点），也就是可能的极值点。
2. 判断极值类型在求得了函数的临界点之后，我们需要判断每个临界点对应的极值类型，即是极小值还是极大值。
我们可以通过求解导数的二阶导数来判断，即求解f''(x)，其中f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。
若f''(x) > 0，则说明该临界点对应的极小值；若f''(x) < 0，则说明该临界点对应的极大值；若f''(x) = 0，则需要进行其他方法进一步判断。
3. 比较端点值除了求解临界点之外，我们还需要比较函数在区间的端点值，并找出其中的最大值和最小值。
三、实例分析为了更好地理解导数法求解极值与最值的过程，我们举一个实例来进行说明。
假设我们要求解函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1, 3]的极值和最值。
1. 求解导数和临界点首先，求解函数f(x)的导数，得到f'(x)=3x^2-6x+2。
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极值定义：设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点
x ( x x0 ) ，均有 f ( x) f ( x0 ) ，则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极大值；同样如果
对此邻域内任一点 x ( x x0 ) ，均有 f ( x) f ( x0 ) ，则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个 极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点 x0 ，称 为极值点。
例 3 求函数 f ( x) 5 x 4 的极值。 解 令 f ( x) 0 ， 得 驻 点 x 0 ， 且 f (0) f (0) f (0) 0 ， 但
f 4 (0) 120 >0 所以有极小值 0.
2.2 利用拉格朗日乘数法求条件极值
“乘数法”所得到的点只是可能是极值点，到底是否是极值点要依据拉格朗 日函数 F 的二阶微分符号来判断。 例4 求函数 u x m y n z p 在条件 x y z a (m 0, n 0, a 0) 下的极值。
m m m d 2 F ( x, y , z ) p = 2 ( d x ) 2 2 ( d y ) 2 2 ( d z ) y z x
P
故 p 为 v 即 u 的极大值点，此时 up
m m n n p p a m n p (m n p) m n p
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求极值方法： （1）求一阶导数，找出导数值为 0 的点（驻点） ，导数值不存在的点，及端 点； （2）判断上述各点是否极值点 例 1 求函数 f ( x) x 3 6 x 2 9 x 的极值。
解法一 ： 因为 f ( x) x 3 6 x 2 9 x 的定义域为 (, ) , 且 f ' ( x ) 3x 2 12 x 9 3( x 1)( x 3) , 令 f ' ( x ) 0 ，得驻点 x1 1 , x2 3 ； 在 (,1) 内， f ' ( x ) 0 ， 在 (1,3) 内， f ' ( x ) 0 , f (1) 4 为函数 f ( x) 的极大值。 解法二： 因为 f ( x) x 3 6 x 2 9 x 的定义域为 (, ) ，
2
或
aibi
i 1
n
2
ai2
i 1
n
b
i 1
n
2 i
，
其中等号当且仅当 例9 解
3
a a1 a2 n 时成立。 b1 b2 bn
已知 a, b 为正常数，且 0 x 利用柯西不等式，得
a 2 3 b2
a b ,求 y 的极小值。 2 sin x cos x
例 2 求函数 f ( x) 2 ( x 1) 的极值． 解 所以
1 2 f ' ( x ) ( x 1) 3 3
2 3
因为 f ( x) 2 ( x 1) 的定义域为 (, ) ,且 f ( x) 在 (, ) 上连续，
2 3
2 3( x 1)
2.5 利用标准量代换法求函数极值
求某些有多个变量的条件极值时， 我们可以选取某个与这些变量有关的量做 标准量， 称其余为比较量， 然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来， 这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了。 如果给定条件是几个变量之和 的形式，一般设这几个量的算术平均数为标准量。 例7 解 则z 设 x y z a ，求 u x 2 y 2 z 2 的极小值。 取
2.3 不等式求极值
应用 n 个正数的算术平均数大于等于 n 个正数的几何平均数这个基本不等式 来处理，
a 2 b2 基本不等式是 a b 2ab ， ab 。 2
2 2
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例5
当 x 为何值，函数 y 9 x 2 6
4 取得极值。 x2
分析：函数解析式中被开方数含自变量的两项与倒数相联系，尝试用算术平 均数和几何平均数的关系来处理。
所以 u 的极小值为
2.6 配方法
对于解析式中主体部分为二次三项式的函数，一般都可以用此方法，中学大 部分求极值的问题都是采用这用方法。 例8 求函数 y
1 的极值。 cos x cos x 3
2
分析：不难看出函数 y 的解析式中分母是以 cos x 为主元的二次三项式，则 可以用配方法来解决这道题。
2
2
等号成立也是当且仅当 x arctg 3
a 时。 b
3
2 2 2 a b 从而 y a3 b3 ， sin x cos x 2 2 2 a b 3 于是 y 的极小值是 a b 3 。 sin x cos x 3
2.1 求导法
判别方法一： 设 f ( x) 在点 x0 连续，在点 x0 的某一空心邻域内可导。当 x 由小增大经过 x0 时，如果： (1) f ' ( x ) 由正变负，那么 x0 是极大值点； (2) f ' ( x ) 由负变正，那么 x0 是极小值点； (3) f ' ( x ) 不变号，那么 x0 不是极值点。 判别方法二： 设 f ( x) 在点 x0 处具有二阶导数,且 f '( x ) 0 , f ''( x) 0 。 (1)如果 f ''( x) 0 ，则 f ( x) 在点 x0 取得极大值； (2)如果 f ''( x) 0 ，则 f ( x) 在点 x0 取得极小值。 判别方法三： 设 f ( x) 在点 x0 有 n 阶导数，且 f ( x 0 ) f ( x 0 ) f
即 5 x 2 (4 z 2u ) 2 x (8 z 2 u 2 4 zu 4) 0 这个关于 x 的二次方程要有实根，则要
(4 z 2u ) 2 20(8 z 2 u 2 4 zu 4) 0
即 u 2 4 zu 9 z 2 5 0 解关于 u 的二次不等式得：
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解 令 u cos 2 x cos x 3 ，则
1 1 1 11 u cos 2 x cos x 3 cos 2 x cos x 3 (cos x ) 2 ， 4 4 2 4 1 y 取极大值的条件是 u 取最小值， u 1 y 取极小值的条件是 u 取最大值； u 1 1 umax (cos x ) 2 取最大值 cos x 1 则 y 的极小值为 ； 2 5 1 2 1 4 umin (cos x ) 0 cos x 则 y 的极大值为 。 2 2 11
b a a 2 3 b2 sin x cos x
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3
b a a sin x 3 b cos x sin x cos x
2 6 2 a b 6 3 3 a sin x b cos x a b sin x cos x
解 先求 v ln u m ln x n ln y p ln z ( x y z a )
' m Fx 0 x n ma na pa 令 Fy' 0 得驻点为 p ( , , ) y m n p m n p m n p ' n Fy 0 y 又由 FXX m m m '' '' '' 2 ， Fxy 2 ， FZZ Fxz Fyz 0， ， Fyy 2 x z y 0
1 4 4 解 (9 x 2 2 ) 9 x 2 2 6 2 x x 9x2 4 12 x2 4 9 x 2 6 2 18 x
式子两边都是非负数，分别去算术平均根，得
y 9x 2 6 4 18 3 2 x2 6 3
y min 3 2 此时 x
x yz a a a 为标准量，令 x ， y ， 3 3 3 3
a （ 、 为任意实数） ，从而有 3
a a a a2 u ( )2 ( )2 ( )2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 1 a2 a2 。 ( ) 2 2 2 （等号当且仅当 = = 0 即 x y z 时成立） 3 3 3 a2 。 3
2 z 5(1 z 2 ) u 2 z 5(1 z 2 ), 1 z 1
（2）
显然，求函数 u 的极值，相当于求
u 2 z 5(1 z 2 ), 1 z 1
或 u 2 z 5(1 z 2 ), 1 z 1
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2 3
3
a 2 3 b2
sin x cos x
2
a sin x 3 b cos x
2
等号成立的当且仅当
sin x
3
a
cos x
3
b a b
时；
即
3
x arctg 3
时，于是
a 2 3 b 2 3 a sin x 3 b cos x
再由柯西不等式，
3
2.7 柯西不等式求初等函数的极值
柯西不等式的一般形式为： 对任意的实数 a1 , a2 , , an 及 b1 , b2 , , bn 有
n n 2 n 2 a b i i ai bi i 1 i 1 i 1