八年级数学下：21.1算术平均数与加权平均数(5课时)教案华东师大版

第21章数据的整理与初步处理内容简介本章从实际问题出发，认识用平均数、加权平均数、中位数、众数描述数据中的集中趋势；用极差、方差和标准差刻画一组数据相对于平均数的离散程度；用一个数刻画一组数据某一方面的特征，以反映一组数据的整体概貌，这是进一步进行数据分析、统计推断的基础.教学目标1、知识与技能使学生在具体情境中理解数据的权和加权平均数的概念，掌握加权平均数的计算方法，理解平均数在数据统计中的意义和作用.理解平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的概念和意义，会根据所给信息求出一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差和标准差，会用计算器计算一组数据的平均数、方差和标准差.在具体情境中，能用方差、标准差刻画一组数据的波动大小，并能解决相应的实际问题.2、过程与方法经历数据的收集、整理和分析的过程，发展学生初步的统计意识和数据处理能力.在统计活动中，进一步发展学生合作交流的意识与能力，能根据统计结果作出合理的判断和预测，能比较清晰地表达自己的观点，体会统计对决策的作用.3、情感、态度与价值观会根据各种统计数据解释现实生活中一些简单的现象，增强数学应用意识.重点与难点1、重点：会求加权平均数；能理解与应用标准差.2、难点：对“权”的理解；理解标准差的意义.教学方法1、应根据各地学生的实际情况和经验，灵活选用教科书所提供的实例和情境，从贴近学生的生活实际出发，可适当补充一些趣味性、现实性和具有一定挑战性的问题.2、让学生经历收集数据、整理数据、表示数据、分析数据和作出判断的全过程.在活动前，要注意引导学生独立思考，提出解决问题的多种设想、策略，使活动的目的更明确；活动后，要注意引导学生通过数据作出的不同分析、不同解释的交流和比较，得出恰当的结论.其间，教师可将学生易犯的错误认识提出来，有意识地让学生辨析，把问题的解决方法搞得更清楚.另外，不可以引导学生回顾和反思解决问题的过程，深化自己的认识和体会.3、统计活动往往非一人力量所能完成，需要同学之间的合作；对统计结果的评价也是因人而异的.通过充分的研讨和广泛的交流，必能扩大学生的思维视角，深化对知识的理解.因此，教学时，要加强活动的教学，特别是小组合作活动的教学.在合作交流中，通过相互帮助，让所有学生都得到发展.4、对统计数据的评判，既与统计数据本身有关，也与评判主体（作出评判的人）有关.对于同一组数据，不同的人从不同的角度可以得到不同的评判结果.因此，在教学中，应鼓励学生思维的多样性，避免评价的单一性，只要学生的回答有一定的道理，就应给予肯定和鼓励.5、真实的数据统计往往比较复杂，因而计算量较大.在教学中，应关注学生对知识的理解，避免将学生的主要精力投入于繁杂的计算中，因此，应鼓励学生使用计算器，有条件的地区或学校可尝试用计算机等现代化手段进行数据的处理和教学.课时安排§21.1 算术平均数与加权平均数 5课时§21.2平均数、中位数和众数的选用 2课时§21.3极差、方差和标准差 3课时小结 2课时合计 12课时21.1 算术平均数与加权平均数教学目标1、知识与技能（1）在实际情境中理解平均数的概念和意义，会计算一组数据的算术平均数.（2）能利用计算器计算一组数据的平均数和加权平均数.（3）在具体情境中理解加权平均数的概念，体会“权”的意义，知道算术平均数与加权平均数的联系与区别.2、过程与方法初步经历数据的收集、加工整理的过程，能利用平均数、加权平均数解决一些实际问题，发展学生的数学应用能力.3、情感、态度与价值观培养学生互相合作与交流的能力，增强学生的数学应用意识.重点与难点1、重点：加权平均数的计算方法.2、难点：加权平均的原理.教学方法本节课通过计算每月平均使用的电话费引入平均数的概念，并介绍用计算器计算一组数据的平均数的方法.1、由于学生在小学已经学过算术平均数的概念，所以关于“算术平均数的意义”一小节的教学，主要是要引导学生观察各种统计图.建议首先让学生独立思考，再分组交流，然后共同归纳出怎样通过统计图计算出平均值.2、让学生验证一组数据中每个数与这组数据的平均数的差的和为0，认识到平均数是将各数据之间的差异互相抵消（抹平）的结果，由此进一步理解平均数的意义.3、计算器的统计功能键的使用应在教师指导下进行，应使学生熟练掌握计算过程，并将计算结果互相交流.教具准备教学用三角板、圆规、画好图的小黑板.第1课时算术平均数的意义教学过程一、复习引入教师讲解：在解决一些与不确定现象有关的问题时，常常离不开收集和分析数据，数据是我们思考问题的基础.那么，有了一组数据以后，怎样表达的概括这一组数据呢？能否找到某些指标作为这组数据的代表呢？本章我们就是要解决这些问题.这节课，我们要学习一些与平均数有关的问题.我们在小学已经学过了算术平均数，它就经常被用来作为一组数据的代表.教师提出问题：我们先来考虑一个用小学知识就能解决的平均数问题.下表给出了某户居民2005年下半年的电话费用，请你帮这户居民算一算，平均每月花费了多少元电话费？某户居民2005年7—12月电话费用统计表月份7 8 9 10 11 12电话费（元）75.80 45.00 76.30 65.90 55.90 45.90教师要求学生计算出平均值，学生计算完后，教师给出答案.教师强调：在这一道题目中使用了统计表，统计表可以清楚地表示一组数据，同学们在日常生活中如有必要，要学会使用统计表.二、探究新知（一）课本例1讲解教师提出问题：植树节到了，某单位组织职工开展植树竞赛，课本图21.1.1—1反映的是植树量与人数之间的关系，请根据图中信息计算：（1）总共植树多少棵？（2）平均每人植树多少棵？教师讲解观察图表的方法：第1，要看清坐标表示的意义：这里横坐标表示每人种了几棵树，纵坐标表示人数.第2，要理解每个矩形的意义：左起第1个矩形表示有8个人，每人种了3棵树；最后一个矩形表示有1个人种了8棵树.教师提问，有几个人种的树最多，每个人种了多少棵树？教师要求学生自己计算本题的问题.学生计算完后教师给出计算方法：（1）3841510687381155⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以，总共植树155棵.（2）1555 8110831=+++++，所以，平均每人植树5棵.教师要求学生思考：植树总量、植树量的平均数和人数这三者之间的数量关系.学生回答后，教师提问：这里求平均数为什么不能这样计算：每个人的种树数量3、4、5、6、7、8棵的都有，所以平均的种树量为：(345678)6 5.5+++++=÷（棵）学生回答后教师提醒：因为种3棵树与种6棵树的人数不一样，所以不能这么算.（二）课本例2讲解1、教师提出问题：丁丁所在的初二（1）班共有学生40人.如图21.1.1—2是该校初二年级各班学生人数分布情况：（1）请计算该校初二年级每班平均人数；（2）请计算各班人数，并绘制条形统计图.教师先教学生看懂分布图，然后分析解题思路：先通过已知的（1）班人数（40人）及图中所反映出的百分比算出全年级的人数.然后再按每班人数在年级中所占的位次比算出每班的人数.2、教师给出计算过程并板书：（见课本第131页）可以绘制如图21.1.1—3所示的条形统计图来表示该校初二年级各个班级的人数情况：解完上题后教师提出以下问题让学生思考：如图21.1.1—4，在你所绘制的条形统计图中画出一条代表平均人数40的水平线，图中代表各班人数的五个条形，有的位于这条线的上方，有的位于它的下方.想一想，水平线上方超出部分之和与下方不足部分之和在数量上有什么关系？学生回答后教师总结：因为平均数是40，如果把超出的部分记为正数，不足的部分记为负数，那么它们之和应该为零.三、随堂练习课本第130页练习第1、2题. 四、课时总结图21.1.1—4403634444640人数班级5班4班3班2班1班本节课学生要掌握：1、怎样看各种图与表；2、初步理解“权”在平均数中的意义.五、布置作业1、课本第138页习题21.1第3、4题.2、选用课时作业优化设计.六、板书设计黑板分为左、中、右三部分，中间与右边用于教师板书课本例题等，写满后擦去更新，左边用于板书以下内容：算术平均数从某一个方面用来作为一组数据的代表.要学会从条形统计图与扇形统计图中求出平均数.第1课时作业优化设计1、已知下面的一组数据：1，7，10，8，x，6，0，3，它们的平均数是5，那么x等于（）A、6B、5C、4D、32、如果一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是x，则x1，x2＋1，x3＋2，x4＋3，x5＋4的平均数是（）A、xB、x＋2C、x＋52D、x＋103、已知a1、a2、a3、a4、1、2、3、4八个数的平均数是4，则a1、a2、a3、a4的平均数是_______________.4、小亮家上个月支出伙食费用800元，教育费用200元，其他费用500元，本月小亮家这三项费用分别增长了10%，30%和20%，小亮家本月的总费用比上个月增长的百分比是多少？5、某校举行黑板报评比，由参加评比的10个班各派一名同学担任评委，每个班的黑板报得分取各个评委所给分值的平均数，下面是各评委给八年级（6）班黑板报的分数：（1）该班的黑板报的得分是多少？此得分能否反映其设计水平？（2）在这10个评委中，你认为哪几号评委给出了异常分？第2课时用计算器求算术平均数教学过程一、复习引入教师讲解：当数据个数很多时，用计算器计算算术平均数显得非常简便.我们只要按照指定的顺序按键，便可得到计算结果.二、探究新知（一）用计算器计算平均数的方法以课本第130页中某户居民2005年7—12月电话费这组数据为例，用计算器计算平均数的按键顺序：你还可以根据计算器使用说明书动手试一试，怎样修改已经输入的数据，怎样简便地输入多个相同数据.（二）计算器使用提示应向学生提示，不同型号的计算器按钮的标识不一样，使用方法应以说明书为准.教师要以当地学生使用的计算器为准进行教学.三、随堂练习课本第131页练习第1、2题.四、课时总结要求学生熟练掌握用计算器计算平均数的方法.五、布置作业1、用计算器计算课本第138页习题21.1第1题.2、选用课时作业优化设计.六、板书设计黑板分为左、中、右三部分，中间与右边用于教师板书课本例题等，写满后擦去更新，左边用于板书以下内容：如果各个指标在总结果中占有不同的重要性，就不能采用平均数，而应采用加权平均数.要通过实例正确理解权重这个概念.第2课时作业优化设计1、5个数据都减200后，所得的差分别是18，16，－12，13，0，用计算器求得其平均数为______________ .2、某中学举行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下表（分数为整数，满分为100分）根据上表信息请用自己学过的知识进行分析.3、（2006·江苏苏州）今年，苏州市政府的一项实事工程就是由政府投入1000万元资金，对城区4万户家庭的老式水龙头和13升抽水马桶进行免费改造.某社区为配合政府完成该项工作，对社区内1200户家庭中的120户进行了随机抽样调查，并汇总成下表：（1）试估计该社区需要对水龙头、马桶进行改造的家庭共有_______________户；（2）改造后，一只水龙头一年大约可省5吨水，一只马桶一年大约可节省15吨水.试估计该社区一年共可节约多少吨自来水？（3）在抽样的120户家庭中，既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有多少户？第3课时加权平均数教学过程一、复习引入教师讲解：在日常生活中，我们经常会与平均数打交道，但有时发现以前计算平均数的方法并不适用，例如老师在计算学生每学期的总评成绩时，不是简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以2作为该学生的总评成绩，而是按照“平时成绩占40%，考试成绩占60%”的比例计算（如图21.1.3—1）.考试成绩更为重要.这样如果一个学生的平时成绩为70分，考试成绩为90分，那么他的学期总评成绩应该为70×40%＋90×60%＝82（分）二、探究新知（一）加权概念的引入教师讲解；一般来说，由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重，上例中的40%与60%就是平时成绩与考试成绩在学期总评成绩中的权重，最后计算得到的学期总评成绩82分就是上述两个成绩的加权平均数.教师要求学生模仿上题计算下面问题：小青在初一年级第二学期的数学成绩分别为：第1次测验得89分，第二次测验得78分，第3次测验得85分，期中考试得90分，期末考试得87分.如果按照图21.1.3—2所显示的平时、期中、期末成绩的权重，那么小青该学期的总评成绩应该为多少分？学生计算后教师给出答案.设置此题的目的主要是让学生熟悉按权重计算平均值的方法.（二）例题讲解教师提出问题：某公司对应聘者A、B、C、D进行面试，图21.1.3—1并按三个方面给应聘者打分，最后打分结果如下表所示，如果你是人事主管，会录用哪一个应聘者？教师提出各种不同意见让学生分析：甲同学说：看谁的总分高就录用谁，通过计算可以发现D的总分最高，应被录用.这时乙同学说：我有不同意见，三个方面满分都是20分，但按理这三个方面的重要性应该有所不同，比如专业知识就应该比仪表形象更重要.所以不能像甲同学所说的那样平均.教师指出，显然乙同学的意见更为合理.教师再提出：假设上述三个方面的重要性之比为6∶3∶1（如图21.1.3—3），那么应该录用谁呢？教师给出A应聘者得分的计算方法：（见课本第135页）教师要求学生模仿上述计算方法算出另三位应聘者的最后得分.然后从计算结果来确定谁应被录用.学生计算完后教师给出答案.教师提出以下问题让学生计算：如果这三个方面的重要性之比为10∶7∶3，此时哪个方面的权重最大？哪一位应被录用呢？学生计算后会发现，4个人的分数全改变了，得分最高的人也改变了.通过这一题要让学生领会，权重的选择既要符合客观实际，又要带有人为的因素.三、随堂练习课本第133页练习四、课时总结本节课要让学生通过实际问题理解权重的概念（不要求学生掌握它的定义，能理解会用就行）并能计算加权平均数.布置作业1、课本第138页习题21.1第6题.2、选用课时作业优化设计.六、板书设计黑板分为左、中、右三部分，中间与右边用于教师板书课本例题等，写满后擦去更新.左边用于板书以下内容：扇形统计图能形象地表达各分量在总量中所占份额大小.扇形图的作法：1、计算百分比；2、计算圆心角；3、画扇形图.第3课时作业优化设计1、有m 个数的平均值是x ，n 个数的平均值是y ，则这m ＋n 个数的平均值是（ ） A 、2x y + B 、x y m n ++ C 、mx nym n++ D 、x y + 2、某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为（ ）A 、35B 、3C 、0.5D 、－33、某校举行运动会，按年级设奖，第一名得5分，第二名得3分，第三名得2分，第四名得1分，某班派8名同学参加比赛，共得2个第一，1个第三，4个第四，则该班8名同学的平均得分为______________.4、某班有40名学生，其中14岁的有10人，15岁的有20人，16岁的有10人，这个班学生的平均年龄为_____________岁.5、小颖家去年的饮食支出为3600元，教育支出为1200元，其他支出为7200元，小颖家今年的这三项支出依次比去年增长了9%，30%，6%，小颖家今年的总支出与去相比增长的百分数是多少？6、某班为了从甲、乙两位同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评，A 、B 、C 、D 、E 五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评，结果如下表所示：表1 演讲答辩得分表（单位：分）主测评分＝“好”票数×2分＋“较好”票数×1分＋“一般”票数×0分；综合得分＝演讲答辩分×（1－a ）＋民主测评分×a （0.5≤a ≤0.8）.（1）当a ＝0.6时，甲的综合得分是多少？（2）在什么范围内，甲的综合得分高；在什么范围内，乙的综合得分高？第4课时加权平均数的应用教学过程一、复习引入教师讲解：上节课我们介绍了加权平均的概念，初步会计算一个量在不同取值时的加权平均.这节课我们将应用加权平均概念解决实际问题.首先我们来思考下列问题来加深我们对权重的认识：商店里有两种苹果，一种单价是3.50元/千克，另一种单价为4元/千克.如妈妈各买了2千克，那么妈妈所买苹果的平均价格为3.543.752+=（元/千克），这种算法对吗？为什么？如果妈妈买了单价为3.50元/千克的苹果1千克，单价为4元/千克的苹果3千克，那么这种算法对吗？为什么？学生回答后教师提出：如果不同价格的苹果买的数量一样，也就是权重一样，那么采用上述方法取平均数是合理的.如果按加权计算，每种苹果价格的权重都为50%，其价格的平均数为3.50×50%＋4×50%＝(3.50＋4)÷2＝3.75元/千克上面的计算结果与问题中所采用的计算结果是一样的.如果不同价格的苹果买的斤数不一样，就不能用上述计算方法.因为这时单价为3.50元/千克的苹果的权重为25%，单价为4元/千克的苹果的权重为75%，加权平均的计算方法是3.50×25%＋4×75%＝3.85元/千克通过本题复习旧课，加深学生对加权平均的认识.二、探究新知（一）课本例4讲解教师提出问题：一架电梯的最大载重是1000千克，现有13位“重量级”的乘客要搭乘电梯，已知其中11位先生的平均体重是80千克，2位女士的平均体重是70千克，请问他们能否一起安全地搭乘这架电梯？他们的平均体重是多少千克？教师要求学生自己解答上述问题.学生做完后教师给出正确解答：（见课本第134页）教师强调：这是一个已知两个平均数再求总平均数的问题，解这类问题一般不能采取“相加除以2”的平均化策略.因为两个方面的权重不相等.（二）例题讲解教师提出问题：为推选一名同学参加学校演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别从演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分，评委打分的结果如下表：1、如果按三项得分的算术平均数确定优胜者，谁是优胜者？2、如果三项得分分别按25%，35%，40%的比例计算总成绩，谁是优胜者？3、哪一种计算方法比较合理，你认为要选哪一个学生去参加比赛？学生解答后，教师给出解题步骤：（1）甲、乙、丙按三项得分的算术平均数分别是x≈甲8.53（分），x≈乙8.47（分），x≈丙8.57（分）.比较算术平均数，丙是优胜者.（2）甲、乙、丙按三项得分的加权平均数分别是x=甲8.46（分），x=乙8.5（分），x=丙8.43（分）.比较加权平均数，乙是优胜者.（3）第（2）种算法比较合理，应选乙参加比赛.三、随堂练习课本第134页练习.四、课时总结要求学生在实际应用中懂得加权平均的应用场合.五、布置作业1、课本第138页习题21.1第5、7题.2、选用课时作业优化设计.第4课时作业优化设计1、下表中，若平均数为2，则x等于（）A、0B、1C、2D、32、某校把学生的笔试、实践能力、成长记录三项成绩分别按50%、20%、30%的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀，甲、乙、丙三人的各项成绩如下表（单位：分），学A、甲B、乙、丙C、甲、乙D、甲、丙3、一段山路400m ，一人上山每分钟走50m ，下山时每分钟走80m ，则他在这段时间内平均速度为每分钟走______________m.4、某小组5名同学一次测验的平均成绩是80分，已知其中4名同学的成绩分别是82分，78分，90分，75分，则另一名同学的成绩是___________分.５（2006·山东德州）某单位欲从内部招聘管理人员，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图所示，每得一票记作1人.（1）请算出三人的民主评议得分；（2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？（精确到0.01）（3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？第5课时 扇形统计图的制作教学过程一、复习引入在日常生活中我们会见到和用到各种各样的统计图，扇形统计图就是其中的一种.本节的例题2、例题3都用到了扇形统计图.这节课我们将讲怎样制作扇形统计图.扇形统计图是学生早已熟悉的一种表示数据的方式，但在小学和前几册的学习中均未涉及制作扇形统计图的一般方法，所以，本节的教学重点有两个：读图和绘图.二、探究新知（一）探究扇形图的特点教师提出问题：在某所医院的健康宣传栏里有一幅海报，如图21.1.5—1，显然，这样的统计图比文字更具有表现力！现在要请同学们回答，图中各个扇形分别代表了什么？人们失去牙齿最主要的原因是什么？对于不同年龄的人群，情况有没有不同？本题是针对读图的，希望学生从中体会扇形统计图在形象地表达各分量在总量中所占份额大小这方面所具有的优势，并能够从图中尽可能多地“读出”有用的信息.学生回答后教师给出答案.上面的扇形图表示，1985年我国的牙病人群中，有38%患的是龋齿病；44%患的是牙周病；18%患的是其他牙病.左边扇形图表示，在所有患牙病的人中10~24岁人群患牙病的情况；右边的图表示40岁以上的人群患牙病的情况.图21.1.5-1为了学会制作扇形图，要求学生先观察课本图21.1.1中的每个圆中所有扇形表示的百分比之和为多少？再要求学生量一量，每个扇形的圆心角度数是多少？再要求学生用360度去除测量出来的角度，计算出百分比.计算出来的结果将会与标出的百分比是相等的，这就给学生提供了制作扇形图的方法.最后告诉学生：因为扇形统计图可以清楚地告诉我们各部分数量占总数量的百分比，所以针式打印机在表示数据时常常会用到它.（二）画扇形图教师提出问题：2002年12月3日22点16分，从摩纳哥蒙特卡洛举行的国际展览局大会上传来了振奋人心的消息——中国当选为2010年世博会的东道主！选举的方式是由国际展览局89个成员国的代表以无记名方式进行投票.在首轮投票中，中国以36票居第一，韩国28票，俄罗斯12票，墨西哥6票，波兰被淘汰；在第二轮投票中，中国获38票，韩国34票，俄罗斯10票，墨西哥遭淘汰；在第三轮投票中，中国获44票，韩国32票，俄罗斯被淘汰；在最后一轮投票中，中国以54票胜出.怎样用扇形统计图表示各国得票数占总票数的百分比？本题让学生自己动手绘制扇形统计图，并归纳出绘图的一般步骤.通过牙齿的保护、中国申博得票率的统计这两个问题，让学生在了解社会、开阔视野的同时，感受到统计应用就在身边.教师讲解扇形图的作法：第1步，先计算百分比，以首轮投票的结果为例：中国得票数占总票数的百分比为： 368940.45%≈÷，第2步，计算圆心角.如课本图21.1.2，反映在扇形统计图上，扇形圆心角的度数应为：36040.45%145.6≈⨯o o .在扇形统计图的学习中，有些学生会将角度与百分比混淆，如误以为中心角为45°的扇形在扇形统计图中表示占45%的份额，在教学中应注意帮助学生区分.第3步，画扇形图，本例要画的图见课本图21.1.5—2.教师要求学生将韩国、俄罗斯、墨西哥的得票率补充在上面的扇形统计图中.学生做好后教师给出答案：韩国得票率为31.46%，俄罗斯得票率为13.4%墨西哥得票率为6.74%，其他国家得票率为7.87%.如果条件允许，学生可以借助计算机绘制这幅扇形统计图，这样操作会又快又好. 三、随堂练习图21.1.2。