华东师大版八年级上册数学知识总结
华东师大版数学八年级上册14.1《直角三角形的判定》知识点解读
《直角三角形的判定》知识点解读 知识点1直角三角形的判别条件（重点）如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.【例1】三角形三边之长分别为①3,4,5；②9,40,41；③7,24,25；④13,84,85.其中能构成直角三角形的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个分析：若已知三角形三边长，要判断这个三角形是否为直角三角形，可利用直角三角形的判别条件，即是否有两个较小数的平方和等于大数的平方.①222345+=②22294041+=③22272425+=④222138485+=所以以上4组都能构成直角三角形，故选D.解：D【例2】在△ABC 中，22-,a m n =2,b mn =22+,c m n =其中m ，n 是正整数，且m>n ，试判断△ABC 是不是直角三角形.分析：本题已给出三角形的三边长，只需运用直角三角形的判别条件进行判断就可以，但关键是确定最大边.解：因为m ，n 是正整数，且m>n ，222(-)20,m n m n mn =+->所以22+2,m n mn >所以c>b.又222222222(+)()20,m n m n m n m n n --=+-+=>所以c>a.所以c 为最长边.因为2222224224222222()(2)24(),a b m n mn m m n n m n m n c +=-+=-++=+=所以△ABC 是直角三角形.知识点2 勾股数（了解）能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。
（1）3，4，7；（2）5，12，13；（3）111345，，（4）3，-4，5. 分析：判断的时候，要紧扣两个条件：（1）是否符合222a b c +=，即两个较小数的平方和是否等于最大数的平方；（2）它们是不是正整数。
华东师大版八年级上册数学知识点集及思维导图
初中数学知识点华东师大版初中数学八年级上册 第11章 数的开方 知识点 典型例题、平方根 .平方根 1）定 已知正数m 有两个平方义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根.（2）表示方法：)0(,≥±a a . （3）性质：正数有两个互为相反数的平方根；零的平方根是零；负数没有平方根.2.算术平方根 （1）定义：正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.（2）表示方法：)0(,≥a a .（3）重要性质：双重非负性：)0(,0≥≥a a其他具有非负性的式子：a n a n ,(2为正整数）.运算性质：如果几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0. （4）运算性质：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，)0(,)(2≥=a a a . 一个实数的平方的算术平方根等于它的绝对值，a a =2. 3.开平方定义：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. 二、立方根 1.立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根.（2）表示方法：3a . （3）性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.（4）运算性质：a a a ==3333)(. 三、实数 1.无理数定义：无限不循环小数叫做无理数. 2.实数有理数和无理数统称实数. 3.实数的分类 按定义分：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理数分数整数有理数实数按性质分：根，分别是a+3与2a -15，求a 的值，并求这个正数m.已知a a -=-22，求a 的取值范围.若0a 2=++c b ，求a 、b 、c 的值.已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：222)(c a c b a a ---++一个数的立方根是它本身，则这个数是 .计算：=-33)2( .有下列各数：2π，0，9，32.0 ，2-1，722，⋅⋅⋅3030030003.0，其中无理数有 . 求一个无理数的整数部分和小数部分：已知a 是11的整数部分，b 是11的小数部分，求a 和b 的值.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数零正无理数正有理数正实数实数 4.实数与数轴上点的关系 实数与数轴上的点一一对应. 5.实数大小比较常有方法平方法；做差法；倒数法；做商法比较大小：23____32 32____3-5+华东师大版初中数学八年级上册 第12章 整式的乘除 知识点典型例题一、幂的运算 1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.已知32=x ，求32+x 的值.华东师大版初中数学八年级上册第13章全等三角形知识点典型例题一、命题、定理与证明1.命题（1）定义：表示判断的语句叫做命题.（2）组成：命题是由条件和结论两部分组成。
华东师大初中数学八年级上册尺规作图知识讲解
尺规作图知识讲解【学习目标】1．知道基本作图的常用工具，能正确、熟练的运用尺规作图的叙述语言，并会用尺规作常见的几种基本图形；2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；【要点梳理】要点一、基本作图1.尺规作图的定义利用没有刻度直尺和圆规作图，简称为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.常见基本作图本套教科书设计的基本尺规作图包括： 1.作一条线段等于已知线段； 2.作一个角等于已知角；3.作一个角的平分线； 4.作一条线段的垂直平分线； 5.过一点作已知直线的垂线.要点诠释：1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.本节中继续学习用直尺、圆规做一条线段等于已知线段、一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线等.要点二、根据三角形全等用尺规作三角形根据三角形全等判定定理，应用基本尺规作图作三角形以及作一个三角形与已知三角形全等.【典型例题】类型一、基本作图1、（2014秋?太谷县校级期末）如图，已知线段a、b，求作一条线段使它等于2a+b．【思路点拨】首先画一条射线，再在射线上分别截取a，b即可得出等于2a+b的线段．【答案与解析】解：如图所示：AB即为所求．【总结升华】此题主要考查了简单作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的作法．举一反三：【变式】已知线段a、b、c，用直尺和圆规作出一条线段，使它等于a+c-b．【答案】解：先在射线上作线段AB=a，画出线段BC=c，再在AC上截取AC=b，所以线段CD=a+c-b．如图所示：2、作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β．【思路点拨】先作∠BOC=∠β，再以OC为一边，在∠BOC的外侧作∠COD=∠β，再以OB 为一边，在∠BOD的外侧作∠AOB=∠α，∠AOD即是所求．【答案与解析】解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．【总结升华】此题主要考查作一个角等于已知角的综合应用．举一反三：【变式】请把下面的直角进行三等分．（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）【答案】解：（1）以点B为一顶点作等边三角形；（2）作等边三角形点B处的角平分线．3、作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．已知：如图，求作点P，使点P到A、B两点的距离相等，且P到∠MON两边的距离也相等．【思路点拨】作∠MON角平分线和线段AB的垂直平分线，交点P即是所求．【解析】解：如图，【总结升华】此题主要考查角平分线和线段的垂直平分线的作法；注意角平分线到角两边的距离相等；线段垂直平分线上到线段两个端点的距离相等．举一反三：【变式】（2014?上城区校级模拟）数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）【答案】解：如图，点P就是要找的点.类型二、作三角形4、已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹）已知：求作：【思路点拨】先作∠ACB=∠α，然后以点C为圆心，以a长为半径画弧，与边BC相交于点B，再以点C为圆心，以b的长为半径画弧与CA相交于点A，连接AB即可得解．【解析】解：已知：∠α，线段a，b，求作：△ABC，是∠C=∠α，BC=a，AC=b，如图所示，△ABC即为所求作的三角形．【总结升华】本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，都是基本作图，需熟练掌握．举一反三：【变式】已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和，且两角的夹边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【答案】解：已知：∠α，线段b；求作：△ABC，使得∠B=α，∠C=α，BC=b．结论：如图，△ABC为所求．5、（2016?门头沟区一模）阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小明解答如图所示：老师说：“小明作法正确．”请回答：（1）小明的作图依据是；（2）他所画的痕迹弧MN是以点为圆心，为半径的弧．【思路点拨】根据作一个角等于已知角的作法解答即可．【答案与解析】解：（1）小明的作图依据是SSS定理．故答案为：SSS；（2）他所画的痕迹弧MN是以点E为圆心，CD为半径的弧．故答案为：E，CD．【总结升华】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知作一个角等于已知角的作法及依据是解答此题的关键．。
八年级数学19. 3 尺规作图 19. 4逆命题与逆定理华东师大版知识精讲
初二数学19. 3 尺规作图19. 4逆命题与逆定理华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：19. 3 尺规作图19. 4 逆命题与逆定理二. 重点、难点：1. 重点：⑴认识尺规作图，掌握五种基本作图，并运用基本方法作三角形；⑵了解尺规作图的步骤，对一些简单的尺规作图，会写主要的作图过程；⑶理解逆命题与逆定理的概念，并能识别互逆命题；⑷学习几个重要的定理及逆定理，并灵活运用．2. 难点：⑴掌握五种基本图形的作图方法，能灵活地用来解决一些较简单的实际问题，培养动手能力；⑵能灵活运用几个重要的定理及逆定理，提高数学能力．三.知识梳理：1. 尺规作图：⑴定义：我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图．⑵作图与画图的区别：凡写“求作”的题目，都只能使用无刻度的直尺和圆规作图；凡写“画”的题目，可使用多种工具作图，如三角板，量角器，有刻度的直尺，也可用圆规等其他作图工具．2. 基本作图内容：⑴画一条线段等于已知线段；⑵画一个角等于已知角；⑶经过一点画已知直线的垂线；⑷画已知线段的垂直平分线；⑸平分已知角．3. 常用的尺规作图的基本术语：⑴过点×、点×作直线××，或作直线（线段、射线）××；⑵连接两点×、×，或连接××；⑶在线段××上截取××＝××；⑷延长××至点×，使××＝××；⑸以点×为圆心，××长为半径作圆（或弧），交××于点×；⑹分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径画圆弧，两弧相交于点×、×．4. 尺规作图的步骤：已知、求作、分析、作法、证明（一般不用证明）．5. 逆命题与逆定理：⑴逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．⑵逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．⑶互逆定理：如果命题和它的逆命题都是定理，那么它们就是互逆定理．6. 本节中的定理：⑴等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称“等角对等边”．⑵勾股定理及逆定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．⑶角平分线有关定理角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；角平分线的性质定理的逆命题：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；内心：三角形三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．⑷线段垂直平分线有关定理：定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．定理的逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等．【典型例题】例1. 已知线段a、b画一条线段，使其等于a+2b．分析：所画的线段等于a+2b，实质上是等于a+b+ b．作图由左向右逐个画出所加的线段，结果仍是线段．图形反映的是“形的关系”，与计算反映的“数量的关系”是统一的．解：⑴画射线AP；⑵在射线AP截取AB＝a；⑶在射线BP上依次截取BC＝CD＝b；⑷线段AD就是所求作的线段．例2. 已知∠1和∠2，求作一个角，使它等于∠1－∠2.分析：画角的和与差，注意角的位置关系．角的和，角度变大，外部相邻；角的差，角度变小，内部相邻．解：⑴用直尺和圆规画出∠AOB＝∠1；⑵以O为顶点，射线OA为一边，在∠AOB的内部，画∠AOC＝∠2，则∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝∠1－∠2；∠BOC就是所求的角．例3. 如图内宜高速公路OA 和自雅路OB 在我市相交于点O ，在∠AOB 的内部有五宝C 、正紫D 两个镇，若要修一个大型农贸市场P ，使P 到OA 、OB 的距离相等，且使PC ＝PD ，用尺规作出市场P 的位置（不写作法，保留作图痕迹）．分析：由题意知：点P 既要在∠AOB 的平分线上，又要在线段CD 的垂直平分线上，即点P 应为∠AOB 的角平分线与线段CD 的垂直平分线的交点．解：如图所示．例4. 已知三角形的一边及这条边上的中线和高线求作三角形．已知：线段m ，h ，a （h m >）求作ABC ∆，使AD 为BC 边上的中线且m AD =， AH 为BC 边上的高，使a BC h AH ==,．分析：作三角形，关键是要定下三角形的三个顶点．这里可根据中线、高线定下A 点的位置；再根据中线过底边中点，定下底边上的B 、C 两点．解：作法：⑴画ADH Rt ∆，使h AH m AD ==,，︒=∠90AHD⑵以D 为圆心，以a 21为半径画弧，分别交HD 的延长线于B 、C 两点 ⑶连结AB 、AC为所求作的三角形ABC例5. 如图△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC交AB于点D，交AC于E，若AB＝10，AC＝12，则△ADE的周长是．分析：角平分线遇到平行，一般存在等腰三角形．因为∠ABC和∠ACB的平分线在DE上，DE∥BC，所以一定存在等腰△DBF和等腰△EFC. 所以AB+AC等于△ADE的周长．解答：22例6. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD．求：△ABC各角的度数分析：如此多的线段相等，蕴含很多的等腰三角形．但是没有已知角，只有设未知数，寻找等量关系．解：设∠A＝x，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C∴∠A＝∠ABD＝x，∠BDC＝∠C＝2x∵AB＝AC ∴∠ABC＝∠C＝2x∵∠A+∠ABC+∠C＝180°∴x+2x+2x＝180°∴x＝36°∴∠A＝36°，∠ABC＝72°，∠C＝72°．例7. 如图，已知：△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F．求证：EB＝FC．分析：说明线段相等，常用方法是“在一个三角形中，等角对等边”，或找以它们为对应边的三角形全等，显然后者比较方便．证明：∵AD是△ABC的平分线．（已知）DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点（已知）∴DE＝DF（角平分线性质定理）∠DEB ＝∠DFC （垂直定义） 在Rt △DEB 和Rt △DFC 中 ∵DE ＝DF （已证）BD ＝CD （已知）∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ）∴BE ＝CF （全等三角形的对应边相等）例8. 如图所示，∠BAC ＝30°，D 为角平分线上一点，DE ⊥AC 于E ，DF ∥AC ，且交AB 于点F ．⑴求证：△AFD 为等腰三角形； ⑵若DF ＝10cm ，求DE 的长．CFAEDB32CF1G AEDB分析：角平分线遇到平行，一般存在等腰三角形，△AFD 为等腰三角形易证；要求DE 的长度，而已知是线段DF 的长度，这里要找到他们之间的关系．没有直接关系，可找第三媒介DG 联系起来．解：⑴证明：如答图所示， ∵DF ∥AC ，∴∠3＝∠2. ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.∴FD ＝FA. ∴△AFD 为等腰三角形． ⑵解：过D 作DG ⊥AB ，垂足为G ，∵∠1＝∠2＝12∠BAC ，∠BAC ＝30°，∴∠1＝15°． 又∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝15°． ∴∠GFD ＝∠1+∠3＝15°+15°＝30°．在Rt △FDG 中，DF ＝10cm ，∠GFD ＝30°，∴DG ＝5.∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AC ，DG ⊥AB ， ∴DE ＝DG ＝5cm ．例9. P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF ． 求证：OP 垂直平分EF ．分析：两点确定一条直线．只要分别说明O 、P 是垂直平分线上的点，就能说明OP 垂直平分EF ．证明：∵PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ∴∠PEO ＝90°＝∠PFO ∴在△PEO 和△PFO 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OP OP FOP EOP PFO PEO ∴△PEO ≌△PFO ，∴PE ＝PF ，EO ＝FO ∴O 、P 在EF 的中垂线上， ∴OP 垂直平分EF ．例10. 如图，一机器人在y 轴上的点A 处发现一个小球自x 轴上的点B 处，沿x 轴向原点方向匀速滚来，机器人立即从A 处匀速直线前进，去截小球．若机器人的速度与小球的速度相等．⑴请你用尺规在图中找出机器人最快能截住小球的位置点C （不写作法，保留作图痕迹）．⑵若点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（8，0），求在⑴中机器人最快能截住小球的位置点C 的坐标．分析：小球在x 轴上运动，截住时的点C 定在x 轴上；同时，机器人、小球速度相同，由此，点C 与A 、B 的距离相同，定在线段AB 的垂直平分线上；所以，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点，即为C 点．点C 在x 轴上，所以只要求横坐标即可，即只要求线段OC 的长．可运用直角三角形的勾股定理，构造方程求解．解：⑴如图所示．⑵连接AC ，AC ＝BC设BC 长为x ，则AC ＝BC ＝x ，OC ＝8－x在Rt △AOC 中，AO 2+OC 2＝AC 2即42+（8－x ）2＝x 2x ＝5，OC ＝3点C坐标为（3，0）．【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题：1. 下列作图语句正确的是（）AB=A. 延长线段aB. 以点O为圆心作弧∆中，连结AD，使AD＝DCC. ABC∆中，取BC中点D，连结ADD. ABC2. 用尺规作图，不能作出惟一三角形的是（）A. 已知两角和夹边；B. 已知两边和其中一边的对角C. 已知两边和夹角；D. 已知两角和其中一角的对边3. 下列画图语言表述正确的是（）A. 延长线段AB至点C，使AB＝BC；B. 以点O为圆心作弧；C. 以点O为圆心，以AC长为半径画弧；D. 在射线OA上截取OB＝a，BC＝b，则有OC＝a+b4. 下列真命题中，其逆命题也真的是（）A. 全等三角形的对应角相等B. 两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形C. 等边三角形是锐角三角形D. 直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．5. 如图，等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，在底边BC上截取BD＝AB，过D作DE⊥BC 交AC于E，连结AD，则图中等腰三角形的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 如图所示，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE ∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE＝9，则线段DE的长为（）A. 9B. 8C. 7D. 67. 如图，在△ABC中，DE、GF分别是AB、AC边上的垂直平分线，若AB＝10，BC ＝22，AC＝18，则△AEG的周长等于（）A. 22B. 24C. 25D. 30二、填空题：1. 如图是画∠AOB 的平分线的方法，射线OC 平分∠AOB 的理由是．2. 把∠O 四等分的步骤是：第一步：先把∠O_______等分；第二步：把得到的两个角分别再_______等分．3. 命题：全等三角形的对应角相等．题设：，结论：；它的逆命题是，这个逆命题是命题（填真、假）．4. 若有两条线段，长度是1cm 和2cm ，第三条线段为______时， 才能组成一个直角三角形．5. 在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝5cm ，作AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D ，连结BD ，如果△BCD 的周长是17cm ，则△ABC 的腰长为． 三、解答题：1. 按要求作图：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连结BE 、CE ．ABC D2. 如图所示，已知∠AOB 和两点M 、N 画一点P ，使得点P 到∠AOB 的两边距离相等，且PM ＝PN ，简述步骤．NM BAO3. 已知：如图，P 、Q 是△ABC 边BC 上两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，求∠BAC 的度数．4. 在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD+∠C ＝180°，求证：AD ＝CD.5. 如图，△ABC的周长为19cm，且AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于E，D为垂足，BC＝5cm，求△BCE的周长．【试题答案】一、选择题。
华东师大初中数学八年级上册《数的开方》全章复习与巩固--知识讲解(提高)
《数的开方》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数， 如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点的对应关系数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点一一对应.3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0； （30≥ (0a ≥). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、平方根和立方根1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ）A.2个B.3 个C.4 个D.5个 【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：【变式】下列说法其中错误的是（ ）A ．5是25的算术平方根B ．()24-的平方根是－4 C ．()34-的立方根是－4 D ．0的平方根与立方根都是0【答案】B ；2、已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数a 的和，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数．求M ＋N 的平方根． 【答案与解析】解：∵a <<的所有整数有－1，0，1，2所有整数的和M ＝－1＋1＋0＋2＝2 ∵2237-≤x ≈2，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数． ∴N ＝2∴M ＋N ＝4，M ＋N 的平方根是±2.【总结升华】先由已知条件确定M 、N 的值，再根据平方根的定义求出M ＋N 的平方根． 类型二、实数的概念与运算3、（2014秋•章丘市校级期末）设x 是的整数部分，y 是的小数部分，化简|x ﹣y ﹣3|． 【思路点拨】求出的范围，得出x=5，y=﹣5，代入求出即可．【答案与解析】解：∵＜＜，∴5＜＜6，∴x=5，y=﹣5，∴|x﹣y ﹣3|=|5﹣（﹣5）﹣3| =|7﹣| =7﹣． 【总结升华】本题考查了估算无理数的大小和绝对值，解此题的关键是求出x 、y 的大小． 举一反三：【变式】 已知5＋11的小数部分为a ，5－11的小数部分为b ，则a ＋b 的值是 ；a －b 的值是_______.【答案】1;7a b a b +=-=；提示：由题意可知3a =，4b =4 3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．π的值．（结果精确到百分位）【思路点拨】π的值的区间，再求出近似数． 【答案与解析】3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．∴3.1622－3.1416π＜3.1623－3.1415，0.0206π＜0.0208，π≈0.02．【总结升华】中间过程应多保留一位小数. 举一反三：【变式】（2015春•北京校级期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法：∵＜＜，设=3+k （0＜k ＜1），∴（）2=（3+k ）2，∴13=9+6k+k 2，∴13≈9+6k，解得k≈， ∴≈3+≈3.67．（上述方法中使用了完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，下面可参考使用）问题：（1）请你依照小明的方法，估算≈ （结果保留两位小数）；（2）请结合上述具体实例，已知非负整数a 、b 、m ，若aa+1，且m=a 2+b ≈ （用含a 、b 的代数式表示）． 【答案】（1）6.08；（2）． 解：（1）∵＜＜，设=6+k （0＜k ＜1），∴（）2=（6+k ）2，∴37=36+12k+k 2， ∴37≈36+12k， 解得k≈，∴≈6+≈6.08．故答案为：6.08；（2）若a＜a+1，且m=a2+b，．故答案为：．类型三、实数综合应用5、（2016春•南昌期末）已知实数x、y 满足，求2x ﹣的立方根．【答案与解析】解：由非负数的性质可知：2x﹣16=0，x﹣2y+4=0，解得：x=8，y=6．∴2x ﹣y=2×8﹣×6=8．∴2x ﹣的立方根是2．【总结升华】本题主要考查的是非负数的性质、立方根的定义，求得x、y的值是解题的关键．举一反三：【变式】设a、b、c都是实数，且满足08)2(22=+++++-ccbaa，求23a b c--的值.【答案】解：∵08)2(22=+++++-ccbaa∴22080aa b cc-=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得248abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴2341280a b c--=-+=.6、如图，数轴上A、B两点，表示的数分别为－1，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．【思路点拨】首先结合数轴和利用已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数．【答案与解析】解：∵数轴上A、B两点，表示的数分别为－1∴点B到点A的距离为1则点C到点A的距离也为1设点C的坐标为x，则点A到点C的距离为－1－x=1，∴x=－2【总结升华】此题主要考查了实数与数轴之间的定义关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点，则点C到点A的距离等于点B到点A的距离．两点之间的距离为两数差的绝对值．。
华东师大版八年级数学上册
华东师大版八年级数学上册一、全等三角形。
1. 概念。
- 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
- 对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2. 全等三角形的性质。
- 全等三角形的对应边相等。
- 全等三角形的对应角相等。
3. 全等三角形的判定。
- SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
- SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
- HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
二、轴对称。
1. 轴对称图形。
- 如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
- 对称轴是一条直线，它把一个图形分成两个完全相同的部分。
2. 轴对称变换。
- 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。
- 性质：- 关于某条直线对称的两个图形是全等形。
- 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
- 两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
3. 线段的垂直平分线。
- 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。
- 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
- 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三、实数。
1. 平方根。
- 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
- 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
- 表示方法：正数a的平方根记为±√(a)。
2. 算术平方根。
- 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作√(a)。
2019华东师大初中数学八年级上册尺规作图 知识讲解
尺规作图知识讲解【学习目标】1．知道基本作图的常用工具，能正确、熟练的运用尺规作图的叙述语言，并会用尺规作常见的几种基本图形；2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；【要点梳理】要点一、基本作图1.尺规作图的定义利用没有刻度直尺和圆规作图，简称为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.常见基本作图本套教科书设计的基本尺规作图包括：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作一个角的平分线；4.作一条线段的垂直平分线；5.过一点作已知直线的垂线.要点诠释：1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.本节中继续学习用直尺、圆规做一条线段等于已知线段、一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线等.要点二、根据三角形全等用尺规作三角形根据三角形全等判定定理，应用基本尺规作图作三角形以及作一个三角形与已知三角形全等.【典型例题】类型一、基本作图1、（2014秋•太谷县校级期末）如图，已知线段a、b，求作一条线段使它等于2a+b．【思路点拨】首先画一条射线，再在射线上分别截取a，b即可得出等于2a+b的线段．【答案与解析】解：如图所示：AB即为所求．【总结升华】此题主要考查了简单作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的作法．举一反三：【变式】已知线段a、b、c，用直尺和圆规作出一条线段，使它等于a+c-b．【答案】解：先在射线上作线段AB=a，画出线段BC=c，再在AC上截取AC=b，所以线段CD=a+c-b．如图所示：2、作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β．【思路点拨】先作∠BOC=∠β，再以OC为一边，在∠BOC的外侧作∠COD=∠β，再以OB为一边，在∠BOD的外侧作∠AOB=∠α，∠AOD即是所求．【答案与解析】解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．【总结升华】此题主要考查作一个角等于已知角的综合应用．举一反三：【变式】请把下面的直角进行三等分．（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）【答案】解：（1）以点B为一顶点作等边三角形；（2）作等边三角形点B处的角平分线．3、作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．已知：如图，求作点P，使点P到A、B两点的距离相等，且P到∠MON两边的距离也相等．【思路点拨】作∠MON角平分线和线段AB的垂直平分线，交点P即是所求．【解析】解：如图，【总结升华】此题主要考查角平分线和线段的垂直平分线的作法；注意角平分线到角两边的距离相等；线段垂直平分线上到线段两个端点的距离相等．举一反三：【变式】（2014•上城区校级模拟）数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）【答案】解：如图，点P就是要找的点.类型二、作三角形4、已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹）已知：求作：【思路点拨】先作∠ACB=∠α，然后以点C为圆心，以a长为半径画弧，与边BC相交于点B，再以点C为圆心，以b的长为半径画弧与CA相交于点A，连接AB即可得解．【解析】解：已知：∠α，线段a，b，求作：△ABC，是∠C=∠α，BC=a，AC=b，如图所示，△ABC即为所求作的三角形．【总结升华】本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，都是基本作图，需熟练掌握．举一反三：【变式】已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和，且两角的夹边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【答案】解：已知：∠α，线段b；求作：△ABC，使得∠B=α，∠C=α，BC=b．结论：如图，△ABC为所求．5、（2016•门头沟区一模）阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小明解答如图所示：老师说：“小明作法正确．”请回答：（1）小明的作图依据是；（2）他所画的痕迹弧MN是以点为圆心，为半径的弧．【思路点拨】根据作一个角等于已知角的作法解答即可．【答案与解析】解：（1）小明的作图依据是SSS定理．故答案为：SSS；（2）他所画的痕迹弧MN是以点E为圆心，CD为半径的弧．故答案为：E，CD．【总结升华】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知作一个角等于已知角的作法及依据是解答此题的关键．。
[精品]华东师大初中数学八年级上册幂的运算(提高)知识讲解
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幂的运算（提高）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】【高清课堂396573 幂的运算 知识要点】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n aa a +=⋅（,m n 都是正整数）. 要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质【高清课堂396573 幂的运算 例1】1、计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+；(2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【答案与解析】解：（1）353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+． （2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--．【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n nn a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()n n n b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数． 类型二、幂的乘方法则【高清课堂396573 幂的运算 例2】2、计算：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-；（3）22412()()m m x x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【答案与解析】解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--．（2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=．（3）22412()()m m x x -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．（4）3234()()x x ⋅61218x x x =⋅=．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．3、（2015春•南长区期中）已知2x =8y+2，9y =3x ﹣9，求x+2y 的值．【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x 、y 的值，然后代入求解．【答案与解析】解：根据2x =23（y+2），32y =3x ﹣9， 列方程得：， 解得：，则x+2y=11．【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则． 举一反三：【变式】已知322,3m m a b ==，则()()()36322m m m m a b a b b +-⋅＝ ． 【答案】－5； 提示：原式()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅ ∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.类型三、积的乘方法则4、计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅- 【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.【答案与解析】解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-．（2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a b a b =-⋅-=-⋅-⋅=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式1】下列等式正确的个数是( )．①()3236926x y x y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a = ④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A ； 提示：只有⑤正确；()3236928x y x y -=-；()326m m a a -=-；()3618327a a =；()()571213⨯⨯⨯=⨯=⨯5107103510 3.510【变式2】（2015春•泗阳县校级月考）计算：（1）a4•（3a3）2＋（﹣4a5）2（2）（2）20•（）21．【答案】（1）a4•（3a3）2＋（﹣4a5）2=a4•9a6＋16a10=9a10＋16a10=25a10；（2）（2）20•（）21．=（×）20•=1×=．5、（2016秋•济源校级期中）已知x2m=2，求（2x3m）2﹣（3x m）2的值．【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．【答案与解析】解：原式=4x6m﹣9x2m=4（x2m）3﹣9x2m=4×23﹣9×2=14．【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．。
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八年级上
第11章数的开方
1 •平方根
（1）如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。
即：如果x2 a，那么x叫做a的平方根
（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
其中：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作..a，读作“根号a”，
另一个平方根是它的相反数，即a。
因此，正数a的平方根可以记作-..a。
a称为被开方数。
0的平方根只有一个，就是0，记作-.0 0。
负数没有平方根。
v'a 0 （a 0）
（3）求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
2 •立方根
（1）如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。
即:如果x3 a，那么x叫做a的立方根
数a的立方根，记作幼孑，读作“三次根号a”，其中a称为被开方数，3称为根指数。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
（3）任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个。
正数有一个正的立方根。
负数有一个负的立方根。
0的立方根是0。
3•无理数无限不循环小数叫做无理数。
实数有理数和无理数统称为实数。
实数与数轴上的点对应。
第12章整式的乘除
1 •幕的运算
（1）同底数幕相乘，底数不变，指数相加。
a m a n a m n（m、n为正整数）
（2）幕的乘方
幕的乘方，底数不变，指数相乘。
a" a"" （m、n为正整数）
（3）积的乘方
积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
ab n a n b n（n 为正整数）
（4）同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减。
（m、n 为正整数，m>n，a 0）
2. 整式的乘法
（1）单项式与单项式相乘将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
（2）单项式与多项式相乘将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
（3）多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
（a+b）（m+n）=am+bm+an+bn
3. 乘法公式
（1）平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。
a b a b a 2 b2
（2）完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）这两数积的 2 倍。
a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2
4．整式的除法
（1）单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
（2）多项式除以单项式先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
5．因式分解
（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。
（2）公因式：
多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m,我们称之为公因式。
（3）提取公因式法：
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘积，这种因式分解的方法,叫做提取公因式法。
（4）公式法：将乘法公式反过来用,对多项式进行因式分解的,这种因式分解的方法成为公式法。
（5）十字相乘法：x2（a b）x ab = （x a）（x b）（a、b 是常数）
公式特点：
1）右边相乘的两个因式都只含有一个相同的字母,都是一次二项式,并且一次项的系数为一。
2）左边是二次三项式,二次项的系数是1,一次项系数是两常数项之和,积的常数项等于两个因式中常数项之积。
第13章全等三角形
1 .命题
判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。
正确的命题叫做真命题，错误的命题叫假命题。
命题可以写成“如果……，那么……”的形式。
2. 定理
数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进 步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定公理。
3. 全等三角形的判定
一般三角形
SSS SAS ASA AAS 直角三角形 SSS SAS ASA AAS HL
4. 尺规作图 只有使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图。
(1) 作一条线段等于已知线段
(2) 作一个角等于已知角
(3) 作已知角的平分线
(4) 经过一已知点(直线上、直线外)作已知直线的垂线
(5) 作已经线段的垂直的平分线
6. 逆命题
(1) 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫 做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。
(2) 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理 逆定理。
(3)
原命题为真，它的逆命题不一定为真真命题；逆定理、互逆定理, 7.
等腰三角形的性质定理 1 : 等腰三角形的两个底角相等， (简称：“等边对等角”)。
等腰三角形的性质定理 2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合， &等
腰三角形的判定
(1) 利用定义：两条边相等的三角形叫等腰三角形。
(2) 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
(3) 有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形。
9. 角平分线性质定理：
到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
角平分线性质定理的逆定理：
(角的内部)到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
10. 线段垂直平分线性质定理：
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线性质定理的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
第14章勾股定理
2 2 2
1.
对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a 、
b ,斜边为
c ,那么一定有a b c
2 •勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
定是真命题
(简称：“三线合一”) (等角对等边)。
勾股定理的逆定理
如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的和，那么这个三角形是直角三角形。
2 2 2
3.直角三角形的判定：如果三角形的三边长a,b,c有关系，a b c，那么这个三角形是直角三角形。
第15章数据的收集与表示
1. 数据的收集
明确调查对象—►确定调查对象—►选择调查方法—►展开调查—记录结果—得出结论
2. 频数：表示每个对象出现的次数
3. 频率：表示每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比) 。
山* 频数
频率 _
数据总数
所有小组的频率之和等于1
4. 频数和频率都能够反映每个对象的频繁程度。
5. 数据的表示
(1)扇形统计图：是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形的面积与圆面积的比来表示各组成部
分在总体中所占的百分比的统计图。
它可以直观的反映出各部分数量在总量中所占的份额。
(2)条形统计图：是用宽度相同的条形的高低或长短来表示数据特征的统计图。
它们可以直观的反映出数据的数量特征。
如果有两个研究对象，常常把两个对象的相应数据并列表示在同一张条形统计图中。
(3)折线统计图：是用折线表示数量变化规律的统计图。
它能反映出各部分数据的变化趋势。
★统计图表：可以准确的反映出数据的不同特征。