ch6 真空中的静电场 习题及答案讲解
最新《大学物理AⅠ》真空中的静电场习题、答案及解法
《大学物理A Ⅰ》真空中的静电场习题、答案及解法一、选择题1、一“无限大”均匀带电平面A 的附近放一与它平行的“无限大”均匀带电平面B ，如图1所示。
已知A 上的电荷面密度为σ，B 上的电荷面密度为2σ，如果设向右为正方向，则两平面之间和平面B 外的电场强度分别为 （A ）002εσεσ， （B ）00εσεσ，（C ）00232εσεσ，-（D ）002εσεσ，- [ C ]参考答案： ()0002222εσεσεσ-=-=AB E ()00023222εσεσεσ=+=BE2、在边长为b 的正方形中心处放置一电荷为Q 的点电荷，则正方形顶角处的电场强度大小为 （A ）204bQ πε （B ）202bQ πε （C ）203bQ πε （D ）20bQπε [ C ]参考答案：()202220312241b Q b b QE πεπε=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=3、下面为真空中静电场的场强公式，正确的是［ D ］ （Ａ）点电荷q 的电场0204r r q Ε πε=（r 为点电荷到场点的距离，0r为电荷到场点的单位矢量）（Ｂ）“无限长”均匀带电直线（电荷线密度为λ）的电场302r Επελ=（r为带电直线到场点的垂直于直线的矢量）（Ｃ）一“无限大”均匀带电平面（电荷面密度σ）的电场0εσ=Ε （Ｄ）半径为Ｒ的均匀带电球面（电荷面密度σ）外的电场0202r r R Ε εσ=（0r为球心到场点的单位矢量）解：由电场强度的定义计算知：A 错，应为0204r r q Επε=，B 不对应为002r rEπελ=,C 应为σ σ2A B图12εσ=E D 对，完整表达应为⎪⎩⎪⎨⎧〉≤=R r r r R Rr E 02020εσ 0202022002044141r rR r r R r r q E εσσππεπε===4、如图2所示，曲线表示球对称或轴对称静电场的场强大小随径向距离r 变化的关系，请指出该曲线可描述下列哪种关系（E 为电场强度的大小）（A ）半径为R 的无限长均匀带电圆柱体电场的r E ~关系 （B ）半径为R 的无限长均匀带电圆柱面电场的r E ~关系 （C ）半径为R 的均匀带电球面电场的r E ~关系 （D ）半径为R 的均匀带正电球体电场的r E ~关系 [ C ] 参考答案：柱形带电体 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥〈〈=Rr r rR Rr r r E 02000202ερερ柱形带电面 ⎪⎩⎪⎨⎧≥〈=R r r r R R r E 000εσ球形带电面 ⎪⎩⎪⎨⎧≥〈=Rr r r Q R r E 020410πε球形带电体 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥〈〈=Rr r r Q Rr r R r Q E 02003041041πεπε5、如图3所示，曲线表示球对称或轴对称静电场的某一物理量随径向距离r 变化的关系，请指出该曲线可描述下列哪方面内容（E 为电场强度的大小，U 为电势）。
真空中的静电场习题详解
习题一一、选择题1．如图所示，半径为R 的圆环开有一小空隙而形成一圆弧，弧长为L ，电荷Q -均匀分布其上。
空隙长为()L L R ∆∆<<，则圆弧中心O 点的电场强度和电势分别为 [ ] （Ａ）200,44Q L Qi R L R πεπε-∆-； （Ｂ）2200,84Q L Qi R L R πεπε-∆-； （Ｃ）200,44Q L Qi R L Rπεπε∆； （Ｄ）200,44Q L Q Li R L RLπεπε-∆-∆。
答案：A解：闭合圆环中心场强为0，则圆弧产生的场强与空隙在圆心处产生的场强之和为0。
由于空隙 ∆l 非常小，可视为点电荷，设它与圆弧电荷密度相同，则所带电荷为/Q L L -∆，产生的场强为204Q L i R L πε∆，所以圆弧产生的场强为204OQ LE i R Lπε-∆=；又根据电势叠加原理可得04O Q U Rπε-= .2．有两个电荷都是＋q 的点电荷，相距为2a 。
今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。
在球面上取两块相等的小面积S 1和S 2，其位置如图所示。
设通过S 1和S 2的电场强度通量分别为1Φ和2Φ，通过整个球面的电场强度通量为S Φ，则［ ］ （A ）120, /S q εΦ>ΦΦ=； （B ）120, 2/S q εΦ<ΦΦ=；（C ）120, /S q εΦ=ΦΦ=； （D ）120, /S q εΦ<ΦΦ=。
答案：D解：由高斯定理知0Φ=S q ε。
由于面积S 1和S 2相等且很小，场强可视为均匀。
根据场强叠加原理，120,0E E =<，所以12Φ0,Φ0=>。
3．半径为R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距球心的距离r 的关系曲线为 [ ]答案：B2∝2∝rRrR解：由高斯定理知均匀带电球体的场强分布为()302041 ()4qrr R R E q r R r πεπε⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，所以选（B ）。
真空中的静电场(1、3)习题难点讲解
若球内无空腔，P点的电场为
E1
3 0
r
若空腔内填满体电荷密度为 的电荷，当
其单独存在时，P点的电场为
由电场叠加原理，得
E2
3 0
r
E
E1
E2
3 0
r
r
3 0
a
6.
en E2
h
E1
en
S E dS E1S E2S
(E1 E2 )S
dE 4 0a2 4 0a
dq dl rd sin
dE
1
40r 2
rd sin
d 40r sin
d
4 0a
指向 dq
指向 dq
这一对线元在O点的元 场强等值反向，相互抵 消。故所有电荷在O点 产生的场强为零。
4. 电荷密度为 Ar 的球体的电场
r
dl
R cos 2 R2 sind
40 R3
sin cosd
2 0
dS x d
O
R
E dE
2 sin cosd
2 0 0
1
sin2
2
20 2
0 4 0
3. 两根平行长直线间距为2a一端用半圆形线连起来。全线上均匀 带电。证明在圆心O处的电场强度为零。
0 20a
E2 y
4 0a
(sin 2
sin1 )
1
2
, 2
E2 y 4 0a E2 2 0a
大作业参考答案-真空中的静电场
第九章 真空中的静电场一、选择题⒈ C ； ⒉B ；⒊ C ； ⒋ B ； ⒌ B ； 6.C ； 7.E ； 8.A,D ； 9.B ；10. B,D 二、填空题 ⒈2308qb Rπε，缺口。
⒉ 0qε，< ;⒊ 半径为R 的均匀带电球面（或带电导体球）; ⒋ 1221E E h h ε--； 2.21⨯10-12C/m 3; ⒌ 100N/C ；-8.85×10-9C/m 2 ; ⒍ -135V ； 45V ; ⒎006q Q R πε；0；006q Q Rπε- ；006q QR πε ； ⒏ 122204()q x R πε+；322204()qx x R πε+；2R ；432.5 V/m ; 9.有源场；无旋场 (注意不能答作“保守场”，保守场是针对保守力做功讲的)。
三、 问答题1. 答： 电场强度0E F q =是从力的角度对电场分布进行的描述，它给出了一个矢量场分布的图像；而电势V =W /q 是从能量和功的角度对电场分布进行的描述，它给出了一个标量场分布的图像。
空间任意一点的电场强度和该点的电势之间并没有一对一的关系。
二者的关系是："0"p d grad ,d d PVE V V E l n =-=-=⋅⎰ 。
即空间任一点的场强和该点附近电势的空间变化率相联系；空间任一点的电势和该点到电势零点的整个空间的场强分布相联系。
由于电场强度是矢量，利用场叠加原理计算时，应先将各电荷元产生的电场按方向进行分解，最后再合成，即：d d d d ;x y z E E i E j E k =++， d ,d ,d x x y y z zE E E E E E ===⎰⎰⎰ 而电势是标量可以直接叠加，即：V dV =⎰。
但用这种方法求电势时，应注意电势零点的选择。
四、计算与证明题1. 证：①根据对称性分析，两段带电直线各自在O 点的电场强度大小相等，方向相反，相互抵消，所以只计算带电细线半圆形部分的电场。
习题讲解1：真空中的静电场习题讲解
解： (1)取圆环ds 2rdr, dq ds, 则 dE dqx 4 r x
2
3 2 2
E
0
R
2rdrx
4 r 2 x
3 2 2
x (1 ) 2 2 2 R x
E
0
R
2rdrx
4 r 2 x
3 2 2
x (1 ) 2 R2 x2
1 求均匀带电细棒中垂线上距O为y点的场强。 设棒长为 l , 电荷线密度为 解：由对称性可知，选用如图所示的坐标系，中垂面上 一点的场强沿y 方向，在x方向抵消。 y dx
4 0 r l 2 cos dx E y ( p) dE y 2 l 2 4 0 r
解：dq dl q q ad d a 0 0
0
a
dE
1 dq 1 q dE d 2 2 4 0 a 4 0 a 0
根据对称性， O处的电场强度方向向下
0
2
O
d E
d E d E
dE y dE cos E y dE y 1 q
S 上
计算无限大均匀带电平板（厚度为d、密度为 ）的电场。
4
其中
下
E cos dS E cos dS E cos dS
前 后
上
左
E cos dS E cos dS
右
前 E cos dS 后 E cos dS 0 2
解
V0 0 q q VD 4 0 (3l ) 4 0l
C +q A
题解1-真空中的静电场(已修改)
3 2 3 大小： 区：E i i i 2 0 2 0 2 0 2 0 2 区：E i i i 大小： 2 0 2 0 2 0 2 0 2、 E dS Q E 0 S a 0
大小： 2 0
i (i )
杆 0
EP dE
2
i
P
以无穷远处电势为零， P点电势为：
Ld x
U P dU
杆
L
0
(q / L)dx (q / L) L d ln 4 0 ( L d x) 4 0 d 1
2、一电荷面密度为σ 的“无限大”平面，在距离平面 a米远处一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径 为R的圆面积范围内的电荷产生的。试求该圆半径的大 小。 解：圆盘在其轴线上P点场强：
根据电势叠加原理，P点处的电势也与电荷在环L上的 分布状况无关，为： dq
UP
4 0 r Nq 4 0 r
L
dq
4 r
0
1
L
R dq
L
r
P
dE
Z
9、C 空间各点处的总场强为：（方法与选择题第5小题 的方法相同）
0 (r R1 ) 2 E Eer er Q1 /(4 0 r ) ( R1 r R2 ) e (Q Q ) /(4 r 2 ) (r R2 ) 2 0 r 1
'
R
dl
R
Rd
d
y
dE
θ位置处的一窄条在轴线上的一点产生的场强为：
' ' dE i sin j cos 2 0 R 2 0 R d d i sin j cos 2 2 2 0 R 2 0 R
7.真空中的静电场 大学物理习题答案
l
xd x
2
k l a ( ln ) 4 0 a la
方向沿 x 轴正向。
7-4 一半径为 R 的绝缘半圆形细棒，其上半段均匀带电量+q，下半段均匀带电量-q，如图 7-4 所示，求半 圆中心处电场强度。 解：建立如图所示的坐标系，由对称性可知，+q 和-q 在 O 点电场强度沿 x 轴的分量之和为零。取长为 dl 的线元，其上所带电量为
大学物理练习册—真空中的静电场
库仑定律 7-1 把总电荷电量为 Q 的同一种电荷分成两部分， 一部分均匀分布在地球上， 另一部分均匀分布在月球上， 24 使它们之间的库仑力正好抵消万有引力， 已知地球的质量 M＝5.98l0 kg， 月球的质量 m=7.34l022kg。 （1）求 Q 的最小值； （2）如果电荷分配与质量成正比，求 Q 的值。 解： （1）设 Q 分成 q1、q2 两部分，根据题意有 k
x
d 时 2
1 E d S 2 E1S 2 xS ， E1 x 1 S 0 0
28
大学物理练习册—真空中的静电场
x
d 时 2
1 d d E d S S 2 2 E 2 S 0 2 2 S ， E 2 0
r R sin ， x R cos
x
d E
sin cos d 2 0
因为球面上所有环带在 O 处产生的电场强度方向相同， E 2 0
2 0
sin cos d i i 4 0
7-6 一无限大均匀带电薄平板，面电荷密度为 ，平板中部有一半径为 R 的圆孔, 如图 7-6 所示。求圆孔 中心轴线上的场强分布。 （提示：利用无穷大板和圆盘的电场及场强叠加原理） 解：利用补偿法，将圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，即等效为一个 完整的带电无穷大平板和一个电荷面密度相反的圆盘叠加而成。 R 无穷大平板的电场为
《真空中的静电场》选择题解答与分析
选择(A)，进入下面的思考： 1.1 如果通过闭合面 S 的电通量 Φe 为零，是否能肯定面 S 上每一点的场强都等于 零？ 参考解答： 不能肯定。若闭合曲面 S 上的 Φe S E d S 为零，并不能说明被积函数在 S 上处处为零。举两个小例子，如图（a）所示，点电 荷 q 在高斯面 S（S 不一定是球面，这里只是为画 图简单而画成了球面）之外，S 上的电通量为零， 但 S 上各处场强均不为零。另如图（b）所示，高斯 面 S 内有两个等量异号的点电荷， 同样是 S 上的电 通量为零，但 S 上各处场强均不为零。 “高斯面上的电通量为零，高斯面上的场强就为零”，这是在学习高斯定理时常有 的错误观念，一定要注意。 如果把本题的命题倒过来，即高斯面 S 上每一点的场强都等于零，那么肯定 有 S 上的电通量 Φe 为零。在导体问题的讨论中，我们正是“故意地”把高斯面 S 取在导体上，利用静电平衡时导体内场强处处为零的条件和高斯定理来分析某些 导体问题的。
b
对于所有选择，给出下面的相关资料： 2. 静电场的环路定理，静电力作功的特点。 参考解答： 静电场的环路定理： 静电场中场强 E 沿任意闭合路径的线积分等于零．其数学表达式为： E d l 0 .
L
它表示在静电场中把单位正电荷从某点出发经任意闭合路径回到原来位置， 静电场力作功等于零. 这表明静电场是保守力场． 静电力作功的特点： 电荷在静电场中移动过程，静电场力作的功只与电荷大小及路径的起点与终 点位置有关，与路径无关。 已知电势分布时，利用电势差的定义式，可求得电场力所作的功，将电荷 q0 从 a 点移至 b 点，电场力所作的功为： Aab Wab q 0 (U a U b ) .
124对称性静电场的电势分布图中所示曲线表示球对称或轴对称静电场的某一物理量随径向距离r变化的关系该曲线所描述的是e为电场强度的大小u为电势半径为r的无限长均匀带电圆柱体电场的er关系
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第 6章真空中的静电场习题及答案1. 电荷为 q +和 q 2-的两个点电荷分别置于 1=x m 和 1-=x m 处。
一试验电荷置于 x 轴上何处,它受到的合力等于零?解:根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定, 只有试验电荷0q 位于点电荷 q +的右侧,它受到的合力才可能为 0,所以2002001(π4 1(π42-=+x qq x qq εε 故 23+=x2. 电量都是 q 的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点。
试问:(1在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡 (即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零 ?(2这种平衡与三角形的边长有无关系 ?解:(1 以 A 处点电荷为研究对象,由力平衡知, q '为负电荷,所以20220 3(π4130cos π412a q q a q '=︒εε故 q q 33-=' (2与三角形边长无关。
3. 如图所示,半径为 R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环,在其轴线上放一长为 l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段, 该线段的一端处于圆环中心处。
求该直线段受到的电场力。
解:先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。
在带电圆环上取dl dq 1λ=, dq 在带电圆环轴线上 x 处产生的场强大小为(4220R x dqdE +=πε根据电荷分布的对称性知, 0==z y E E22(41cos R x xdqdE dE x +==πεθ式中:θ为 dq 到场点的连线与 x 轴负向的夹角。
+=22(4dq R x xE x πε2210 (24R x Rx+⋅=πλπε2201 (2R x xR +=ελ 下面求直线段受到的电场力。
在直线段上取dx dq 2λ=, dq 受到的电场力大小为dq E dF x =dx R x xR 22021 (2+=ελλ方向沿 x 轴正方向。
直线段受到的电场力大小为⎰=dF F R x xR l ⎰+=022021 (ελλ2 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=2/12202111R l R R ελλ2 方向沿 x 轴正方向。
4. 一个半径为 R 的均匀带电半圆环,电荷线密度为λ。
求: (1圆心处 O 点的场强;(2将此带电半圆环弯成一个整圆后,圆心处 O 点场强。
解:(1在半圆环上取ϕλλRd l dq ==d ,它在 O 点产生场强大小为20π4R dq dE ε=ϕελd R0π4= ,方向沿半径向外根据电荷分布的对称性知, 0=y Eϕϕελϕd RdE dE x sin π4sin 0= =Rd R E x 000π2sin π4ελϕϕελπ==⎰故 RE E x 0π2ελ==,方向沿 x 轴正向。
(2当将此带电半圆环弯成一个整圆后,由电荷分布的对称性可知,圆心处电场强度为零。
5.如图所示,真空中一长为 L 的均匀带电细直杆,总电量为 q,试求在直杆延长线上距杆的一端距离为 d 的 P 点的电场强度。
解:建立图示坐标系。
在均匀带电细直杆上取 dx Lqdx dq ==λ, dq 在 P 点产生的场强大小为202044xdxx dq dE πελπε==,方向沿 x 轴负方向。
故 P 点场强大小为⎰⎰+==L d dP x dxdE E 204πελL d d q+π=04ε方向沿 x 轴负方向。
6. 一半径为 R 的均匀带电半球面,其电荷面密度为σ,求球心处电场强度的大小。
解:建立图示坐标系。
将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环,应用场强叠加原理求解。
在半球面上取宽度为 dl 的细圆环, 其带电量rdl dS dq πσσ2⋅=⋅=θθπσd R sin 22⋅=, dq 在 O 点产生场强大小为 (参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式220(4r x xdq dE +=πε ,方向沿 x 轴负方向利用几何关系, θcos R x =, θsin R r =统一积分变量, 得22(4r x xdq dE +=πεθθπσθπεd R R R sin 2cos 41230⋅= θθθεσd cos sin 20=因为所有的细圆环在在 O 点产生的场强方向均沿为 x 轴负方向,所以球心处电场强度的大小为⎰=dE E θθθεσπd cos sin 22/0⎰=4εσ=方向沿 x 轴负方向。
7. 一“ 无限大” 平面, 中部有一半径为 R 的圆孔, 设平面上均匀带电, 电荷面密度为σ, 如图所示。
试求通过小孔中心 O 并与平面垂直的直线上各点的场强。
解:应用补偿法和场强叠加原理求解。
若把半径为 R 的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成,挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“ 无限大” 带电平面和一个电荷面密度为σσ-='的半径为 R 的带电圆盘, 由场强叠加原理知, P 点的场强等效于“ 无限大” 带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。
“ 无限大” 带电平面在 P 点产生的场强大小为12εσ=E ,方向沿 x 轴正方向半径为 R 、电荷面密度σσ-='的圆盘在 P 点产生的场强大小为 (参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式022εσ=E 1(22xR x +-,方向沿 x 轴负方向故 P 点的场强大小为220212xR xE E E +=-=εσ方向沿 x 轴正方向。
8. (1点电荷 q 位于一边长为 a 的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量; (2如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少 ?解:(1由高斯定理 0d εqS E s=⋅求解。
立方体六个面,当 q 在立方体中心时,每个面上电通量相等,所以通过各面电通量为6εqe =Φ (2电荷在顶点时,将立方体延伸为边长 a 2的立方体,使 q 处于边长 a 2的立方体中心,则通过边长 a 2的正方形各面的电通量 06εq e =Φ对于边长 a 的正方形,如果它不包含 q 所在的顶点,则 024εqe =Φ,如果它包含 q 所在顶点,则0=Φe 。
9. 两个无限大的平行平面都均匀带电, 电荷的面密度分别为1σ和2σ, 试求空间各处场强。
解:如图所示,电荷面密度为1σ的平面产生的场强大小为12εσ=E ,方向垂直于该平面指向外侧电荷面密度为2σ的平面产生的场强大小为22εσ=E ,方向垂直于该平面指向外侧由场强叠加原理得两面之间, (2121021σσε-=-=E E E ,方向垂直于平面向右1σ面左侧, (2121021σσε+=+=E E E ,方向垂直于平面向左2σ面右侧, (2121021σσε+=+=E E E ,方向垂直于平面向右 10. 如图所示,一球壳体的内外半径分别为 1R 和2R ,电荷均匀地分布在壳体内,电荷体密度为ρ(0>ρ 。
试求各区域的电场强度分布。
解 :电场具有球对称分布 , 以 r 为半径作同心球面为高斯面。
由高斯定理∑=⋅iSqS d E 01ε 得i q r E ∑=⋅0214επ当 1R r <时, 0=∑i q ,所以 0=E当 21R r R <<时, 3434(313R r q i ππρ-=∑,所以203133(r R r E ερ-=2σ1σ当 2R r >时, 3434(3132R R q i ππρ-=∑,所以2031323(rR R E ερ-= 11. 有两个均匀带电的同心带电球面,半径分别为 1R 和 2R (12R R > ,若大球面的面电荷密度为σ,且大球面外的电场强度为零。
求:(1小球面上的面电荷密度; (2 大球面内各点的电场强度。
解 :(1电场具有球对称分布,以 r 为半径作同心球面为高斯面。
由高斯定理∑=⋅iSqS d E 01ε 得i q r E ∑=⋅0214επ当 2R r >时, 0=E , 0442122=⋅'+⋅=∑R R q i πσπσ,所以σσ212 R R (-=' (2当 1R r <时, 0=∑i q ,所以 0=E当 21R r R <<时, 222144R R q i πσπσ-=⋅'=∑,所以22εσr R E (-= 负号表示场强方向沿径向指向球心。
12. 一厚度为 d 的无限大的带电平板, 平板内均匀带电, 其体电荷密度为ρ, 求板内外的场强。
解:电场分布具有面对称性,取同轴闭合圆柱面为高斯面,圆柱面与平板垂直,设两底面圆到平板中心的距离均为 x , 底面圆的面积为S ∆。
由高斯定理∑=⋅iSqS d E 01ε 得=⋅SS d E i q S E S E ∑=+∆⋅+∆⋅010ε 当 2dx <时(平板内部, S x q i ∆⋅⋅=∑2ρ,所以 0ερx E =当 2dx >(平板外部, S d q i ∆⋅⋅=∑ρ,所以 02ερd E =13. 半径为 R 的无限长直圆柱体均匀带电,体电荷密度为ρ,求其场强分布。
解:电场分布具有轴对称性,取同轴闭合圆柱面为高斯面,圆柱面高为 l ,底面圆半径为 r ,应用高斯定理求解。
i Sq rl E S E ∑=⋅=⋅01π2dε(1 当 R r <时,l r qi2πρ⋅=∑,所以2ερr E =(2 当 R r >时, l R q i 2πρ⋅=∑,所以rR E 022ερ=14. 一半径为 R 的均匀带电圆盘,电荷面密度为σ,设无穷远处为电势零点,求圆盘中心 O 点的电势。
解:取半径为 r 、 dr 的细圆环rdr dS dq πσσ2⋅==,则 dq 在 O 点产生的电势为024εσπεdrrdq dV ==圆盘中心 O 点的电势为dV V R ⎰⎰==002εσ02εσR=15. 真空中两个半径都为 R 的共轴圆环,相距为 l 。
两圆环均匀带电,电荷线密度分别是λ+和λ-。
取两环的轴线为 x 轴, 坐标原点 O 离两环中心的距离均为 2l, 如图所示。
求 x 轴上任一点的电势。
设无穷远处为电势零点。
解:在右边带电圆环上取 dq ,它在 x 轴上任一点 P 产生的的电势为220 2/(4Rl x dqdV +-=πε右边带电圆环在 P 产生的的电势为⎰⎰+-==+dq Rl x dV V 220 2/(41πε220 2/(2Rl x R+-=ελ同理,左边带电圆环在 P 产生的电势为220 2/(2Rl x RV ++-=-ελ由电势叠加原理知, P 的电势为02ελR V V V =+=-+-+-22 2/(1(R l x 2/(122Rl x ++16. 真空中一半径为 R 的球形区域内均匀分布着体电荷密度为ρ的正电荷, 该区域内a 点离球心的距离为 R 31,b 点离球心的距离为 R 32。