湖北省黄冈中学2011届高三五月模拟考试数学理

黄冈中学2011届高三五月模拟考试数学（理）试题考试时间：2011年5月13 日下午15∶00 ～ 17∶00一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1． 已知全集R = ，集合1{|0}2x A x x +=≤-，则集合U C A 等于（ ）A ．{|12}x x x <->或B ．{|12}x x x ≤->或C ．{|12}x x x <-≥或D ．{|1}x x ≤-≥或x 22． 已知集合{|}n M m m i n ==∈N ，，其中21i =-，则下面属于M 的元素是（ ）A ．(1)(1)i i ++-B ．(1)(1)i i +--C ．(1)(1)i i +-D ．11i i+-3． 如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3.273=，[]0.60=，[]1.62-=-,那么“[][]x y =”是“1x y -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足π2515=S ，则tan a 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．3-5． 已知//,,a B αβαβ⊂∈，则在β内过点B 的所有直线中（ ） A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一一条与a 平行的直线6． 抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则得6分的概率为（ ） A ．116B ．14C ．38D ．127． 某出租车公司计划用450万元购买A 型和B 型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A 型汽车需13万元／辆，购买B 型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A 型汽车的纯利润为2万元／辆，B 型汽车的纯利润为1.5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买（ ） A ．10辆A 型出租车，40辆B 型出租车B ．9辆A 型出租车，41辆B 型出租车C ．11辆A 型出租车，39辆B 型出租车D ．8辆A 型出租车，42辆B 型出租车8．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若对任意[,]x a b ∈，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“亲密函数”，区间[,]a b 称为“亲密区间”．若2()2f x x x =++与()21g x x =+在[,]a b 上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是（ ） A ．[0,2] B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[1,0]-9． 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,,9 的9个小正方形 （如右图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ） A ．108种B ．60种C ．48种D ．36种10．已知定义在]8,1[上的函数348||,122()1(),2822x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩则下列结论中,错误．．的是( ) A ．1)6(=fB ．函数)(x f 的值域为]4,0[C ．将函数)(x f 的极值由大到小排列得到数列*},{N n a n ∈，则}{n a 为等比数列D ．对任意的]8,1[∈x ，不等式6)(≤x xf 恒成立二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上．) 11．已知二项式2(2nx +展开式中第9项为常数项,则=n ．12．设a 是实数．若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则函数()f x 的递增区间为 ． 13．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列．若13E ξ=，则Dξ的值是________．14．如图2，长方体1111ABCD A B C D -中，其中,A B a =，图11,AD b AA c ==外接球球心为点O ，外接球体积为323π，若2214ab+的最小值为94,则,A C两点的球面距离为 ．15．设11(,)M x y ，22(,)N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by c ax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为 ． )1(不论δ为何值，点N 都不在直线l 上；)2(若1δ=，则过M ，N 的直线与直线l 平行； )3(若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；)4(若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （本小题满分12分）已知向量1(sin ,1cos 2),(sin cos ,cos 2)2x x x x x =+=-+a b ，定义函数()(f x =⋅-a a b)（Ⅰ）求函数)(x f 最小正周期； （Ⅱ）在△ABC 中,角A 为锐角，且7,()1,212A B f A BC π+===，求边AC 的长．17．（本小题满分12分）如图3，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面正三角形的边长是2，D 是1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角是45 ． （Ⅰ）求二面角A BD C --的大小； （Ⅱ）求点C 到平面ABD 的距离．18.（本小题满分12分）某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相B 1C 图3邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为2(51220)8100x x k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元.（Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）当100k =米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？19．（本题满分12分）已知二次函数2()f x ax bx =+的图像过点(4,0)n -，且'(0)2f n =，n N *∈． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若数列{}n a 满足'111()n n f a a +='(0f n ='111()n nf a a +=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）记n b =，n T 为数列{}n b 的前n 项和．求证:423n T ≤<．20．（本小题满分13分）给定椭圆2222:1(0)y x C a b ab+=>>，称圆心在坐标原点O ，C 的“伴随圆”． 若椭圆C 的一个焦点为20)F ，其短轴上的一个端点到2F 距（Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）若过点(0,)(0)P m m <的直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为m 的值；（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由.21．（本题满分14分）已知函数()()()f x x x a x b =--，点(,()),(,())A s f s B t f t ． （Ⅰ）若0,3a b ==，函数()f x 在(,3)t t +上既能取到极大值，又能取到极小值，求t 的取值范围； （Ⅱ） 当0a =时，()ln 10f x x x++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，求b 的取值范围；（Ⅲ）若0a b <<，函数()f x 在x s =和x t =处取得极值，且a b +<，O 是坐标原点，证明：直线O A 与直线O B 不可能垂直.参考答案一、1．C 2．D 3．A4．B 5．D6．C7．A 8．B 9．A 10．C 二、11． 1012．[1,1]-13．5914．23π15．(1)(2)(3)(4)三、16．解：（Ⅰ） cos 21()(cos sin 2x f x x x +=⋅-=+a a b)11(sin 2cos 21))2242x x x π=++=++∴ππ==22T …………6分 （Ⅱ）由()1f A =1)1242A π++=，∴sin(2)42A π+=且)45,4(42πππ∈+A∴3244A ππ+=，4A π= 又∵712A B π+=，∴3B π=…………10分在△ABC 中，由正弦定理得：sin sin BC AC AB=，∴sin sin BC B AC A==…………12分17．解：解法一（Ⅰ）设侧棱长为x ，取BC 中点E ，则AE ⊥面11BB C C ，∴45AD E ∠=︒ ∴tan 45A E E D︒=x = …………3分过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，AA 1B 1G则AF BD ⊥，AFE ∠为二面角A BD C --的平面角∵sin 3EF BE EBF =∠=，AE =∴tan 3AE AFE EF∠==故二面角A BD C --的大小为arctan 3 ………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD ⊥面AEF ，∴面AEF ⊥面ABD过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥面ABD∴10AE EF EG AF==∴C 到面ABD的距离为25EG = ………… 12分解法二：(Ⅰ)求侧棱长x = ……………3分 取BC 中点E , 如图建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,A ，(1,0,0)B -，(1,0,0)C，(1,0)D设(,,)n x y z =是平面ABD 的一个法向量，则由00n A B n A D ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1)n =-而(0,0,EA =是面BC D的一个法向量∴cos 10EA n EA n EA n<>==-．而所求二面角为锐角， 即二面角A BD C --的大小为arccos10………… 6分（Ⅱ）∵(1,C A =-∴点C 到面ABD 的距离为5CA n d n==………… 12分18．解：（Ⅰ）设摩天轮上总共有n 个座位，则k x n=即k n x=，222(51220)2051220128()100100xx kk x y k k k x x x ⎡⎤++=++=+⎢⎥⎣⎦，定义域|0,Z 4k kx x x ⎧⎫<≤∈⎨⎬⎩⎭； …………5分（Ⅱ）当100k =时，250≤<x 令22000100(51220)y x x=++22000()512f x xx =+，则322200020001024()10240xf x x xx-+'=-+==∴31000512x =，∴54x = …………10分当5(0,)4x ∈时，()0f x '<，即()f x 在5(0,)4x ∈上单调减，xyzA B CDA 1B 1C 1E当5(,25)4x ∈时，()0f x '>，即()f x 在5(,25)4x ∈上单调增，min y 在54x =时取到，此时座位个数为1008054=个． …………12分19．解：（Ⅰ）()2f x ax b '=+，有题意知2b n =，21640n a nb -=∴1,22a b n==，则21()2,N *2f x x nx n =+∈……………3分（Ⅱ）数列{}n a 满足111()n nf a a +'=又()2f x x n '=+，∵1112n nn a a +=+，∴1112n nna a +-=，2112462(1)4nn n n a -=++++-=- 2221114()(N *)12(21)()2n nn a n a n n ⇒=-⇒==∈--当1=n 时,41=a 也符合 ……………7分 （Ⅲ）4112()(21)(21)2121n n n b n n ==--+-+=12n n T b b b =+++=+++[]111112(1)()()3352121n n =-+-+++--+12(1)21n =-+ ……………10分∵213n +≥，142(1)213n -≥+，又12(1)221n -<+∴423n T ≤< ……………12分20． 解：（Ⅰ）由题意得：a =c =则1b =椭圆C 方程为2213xy +=“伴随圆”方程为224x y += ……………3分 （Ⅱ）则设过点P 且与椭圆有一个交点的直线l 为：y kx m =+，则2213y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()222136(33)0k x kmx m +++-= 所以()()()2226413330km k m ∆=-+-=，解2231k m +=① ……………5分又因为直线l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为22，则有=()2221m k=+ ②……………7分 联立①②解得，221,4k m ==，所以1k =±，2(0)m m =-< ，则(0,2)P - ……………8分（Ⅲ）当12,l l 都有斜率时，设点00(,),Q x y 其中22004x y +=，设经过点00(,),Q x y 与椭圆只有一个公共点的直线为00()y k x x y =-+，由0022()13y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到[]22003()30x kx y kx ++--= ……………9分 即2220000(13)6()3()30k x k y kx x y kx ++-+--=，[]22200006()4(13)3()30k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⋅+--=⎣⎦，经过化简得到：2220000(3)210x k x y k y -++-=， ……………11分 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x k x y k x -++-=， 设12,l l 的斜率分别为12,k k ，因为12,l l 与椭圆都只有一个公共点， 所以12,k k 满足方程2220000(3)2(3)0x k x y k x -++-=，因而121k k ⋅=-，即直线12,l l 的斜率之积是为定值1- ……………13分21． 解：（Ⅰ）当0,3a b ==时，322()3,'()36f x x x f x x x =-=-，令'()0f x =得0,2x =，根据导数的符号可以得出函数()f x 在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值．函数()f x 在(,3)t t +上既能取到极大值，又能取到极小值， 则只要0t <且32t +>即可，即只要10t -<<即可．所以t 的取值范围是(1,0)-． ………… 4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 10f x x x++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，即2ln 10x bx x -++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立， 也即ln 1x b x x x≤++在对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立．令ln 1()x g x x x x=++，则22221ln 1ln '()1x x x g x xxx--=+-=． ………… 6分记2()ln m x x x =-，则2121'()2x m x x xx-=-=，则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点2x =，故也是最小值点，所以1()ln0222m x m ≥=->，从而'()0g x >，所以函数()g x 在1[,)2+∞单调递增．函数m in 15()2ln 222g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．故只要52ln 22b ≤-即可．所以b 的取值范围是5(,2ln 2]2-∞- ………… 9分（Ⅲ）假设OA OB ⊥ ，即0OA OB =， 即(,())(,())()()0s f s t f t st f s f t =+= ，故()()()()1s a s b t a t b ----=-，即22()()1st s t a a st s t b b ⎡⎤⎡⎤-++-++=-⎣⎦⎣⎦．由于,s t 是方程'()0f x =的两个根，故2(),,033ab s t a b st a b +=+=<<．代入上式得2()9ab a b -=． ………… 12分229()()4412a b a b ab ab ab+=-+=+≥=，即a b +≥，与a b +<矛盾，所以直线O A 与直线O B 不可能垂直． ………… 14分。