2019年湖北省黄冈中学自主招生(理科)(实验班)数学模拟试卷两套合集

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2019年黄冈中学自主招生预录考试数学模拟试题及答案解析(五)

2019年黄冈中学自主招生预录考试数学模拟试题（五）一．填空题（每题3分，共24分）1．（3分）+=．2．（3分）（x2﹣x﹣2）6=a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，则a12+a10+a8+a6+a4+a2=．3．（3分）如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是．4．（3分）已知x为实数，则的最大值是．5．（3分）关于x的方程有实根，则a的取值范围是．6．（3分）已知f（x）=﹣，则f（x）的最大值是．7．（3分）如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=，连接OC，CD⊥OC交⊙O于点D．则CD 的最大值为．(第7题图) (第8题图)8．（3分）如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC的最大值是．二．选择题（每小题3分，共24分）9．（3分）记A=，再记[A]表示不超过A的最大整数，则[A]（）A．2010 B．2011 C．2012 D．201310．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：且方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），下面说法错误的是（）A．x=﹣2，y=5 B．1＜x2＜2C．当x1＜x＜x2时，y＞0 D．当x=时，y有最小值11．（3分）如图，从1×2的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在（）A．AD的中点B．AE：ED=（﹣1）：2C．AE：ED=：1 D．AE：ED=（﹣1）：212．（3分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，向直角扇形OAB内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．C．D．13．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π14．（3分）如图，以半圆的一条弦AN为对称轴将弧AN折叠过来和直径MN交于B点，如果MB：BN=2：3，且MN=10，则弦AN的长为（）A．B．C．D．15．（3分）两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31，…7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第1个相同的数是7，第10个相同的数是（）A．115 B．127 C．139 D．15116．（3分）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均=（）在双曲线（x＞0）上，则图中S△OBPA．B．C．D．4三.解答题17．（12分）如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接正方形，DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．18．（14分）在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=﹣0.125（x﹣8）2+12.1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？19．（14分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．20．（16分）如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．求证：．21．（16分）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG 上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．2019年黄冈中学自主招生预录考试数学模拟试题（五）参考答案与试题解析一．填空题（每题3分，共24分）1．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）+=2﹣．【分析】先根据二次根式的性质开方，再分母有理化，即可得出答案．【解答】解：原式=+=+=+=﹣+2﹣=2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查了分母有理化和二次根式的性质的应用，注意：n+m的有理化因式是n﹣m．2．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）（x2﹣x﹣2）6=a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，则a12+a10+a8+a6+a4+a2=﹣32．【分析】先把x=0代入等式可计算出a0=64，再分别把x=1和﹣1代入等式可得到a12+a11+a10+…+a2+a1+a0=64，a12﹣a11+a10+…+a2﹣a1+a0=0，然后把两式相加即可得到2a12+2a10+2a8+2a6+2a4+2a2+2a0=64，再把a0=64代入计算即可．【解答】解：把x=0代入得a0=（﹣2）6=64，把x=1代入得a12+a11+a10+…+a2+a1+a0=（1﹣1﹣2）2=64，把x=﹣1代入得a12﹣a11+a10+…+a2﹣a1+a0=（1+1﹣2）2=0，所以2a12+2a10+2a8+2a6+2a4+2a2+2a0=64，所以a12+a10+a8+a6+a4+a2=（64﹣2×64）=﹣32．故答案为﹣32．【点评】本题考查了代数式求值：先把代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体思想进行计算．3．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是﹣6、﹣．【分析】按x≥1和x＜1分别去绝对值，得到分段函数，确定两函数图象的交点坐标，顶点坐标，结合分段函数的自变量取值范围求出符合条件的b的值．【解答】解：当x≥1时，函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3=x2﹣7x，图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），当x＜1时，函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3=x2﹣x﹣6，顶点坐标为（，﹣），∴当b=﹣6或b=﹣时，两图象恰有三个交点．故本题答案为：﹣6，﹣．【点评】本题考查了分段的两个二次函数的性质，根据绝对值里式子的符号分类，得到两个二次函数是解题的关键．4．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知x为实数，则的最大值是2．【分析】设y=+，然后把等式两边平方，再根据二次函数的最值问题求出y2的最大值，开方即可得解．【解答】解：设y=+，则y2=8﹣x+2+x﹣2=2+6，∴当x=5时，y2有最大值，为12，∴y的最大值是=2，即+的最大值是2．故答案为：2．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，利用二次函数的最值问题求出所求代数式的平方的最大值是解题的关键．5．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）关于x的方程有实根，则a的取值范围是﹣3＜a≤2．【分析】设y=，方程变形后，根据方程有实根，得到根的判别式大于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．【解答】解：设y=，方程变形为y2﹣6y+2﹣a=0，抛物线对称轴为y=3，开口向上．∵方程有实根，∴△=b2﹣4ac=36﹣4（2﹣a）=28+4a≥0，解得：a≥﹣7，又y=的取值范围为0≤y＜1即方程在0≤y＜1．所以有f（0）=2﹣a≥0，f（1）=﹣3﹣a＜0，解得﹣3＜a≤2故答案为：﹣3＜a≤2【点评】此题考查了分式方程的解，以及根与系数的关系，利用了整体代换的思想，是一道基本题型．6．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知f（x）=﹣，则f（x）的最大值是．【分析】f（x）的最大值可以看作x轴上的点到点（3，3），（1，2）的最大距离，即两点之间的距离．【解答】解：如图：f（x）=﹣，可以看作x轴上的点到点（3，3），（1，2）的最大距离，最大距离为两点之间的距离，即：=．故答案为：．【点评】本题主要考查了无理函数的最值，解题的关键是运用数形结合的思想．7．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=，连接OC，CD ⊥OC交⊙O于点D．则CD的最大值为．【分析】作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=，CD=CE，再利用相交弦定理得CD•CE=BC•AC，易得CD=，当CH最小时，CD最大，C点运动到H点时，CH最小，所以CD的最大值为．【解答】解：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，∴AH=BH=AB=，∵CD⊥OC，∴CD=CE，∵CD•CE=BC•AC，∴CD2=（BH﹣CH）（AH+CH）=（﹣CH）（+CH）=3﹣CH2，∴CD=，∴当CH最小时，CD最大，而C点运动到H点时，CH最小，此时CD=，即CD的最大值为．故答案为．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．8．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC 的最大值是3+4．【分析】过点B作BE⊥BP使点E在正方形ABCD的外部，且BE=PB，连接AE、PE、PC，然后求出PE= PB，再求出∠ABE=∠CBP，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=PC，再根据两点之间线段最短可知点A、P、E三点共线时AE最大，也就是PC最大．【解答】解：如图，过点B作BE⊥BP，且BE=PB，连接AE、PE、PC，则PE=PB=4，∵∠ABE=∠ABP+90°，∠CBP=∠ABP+90°，∴∠ABE=∠CBP，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴AE=PC，由两点之间线段最短可知，点A、P、E三点共线时AE最大，此时AE=AP+PE=3+4，所以，PC的最大值是3+4．故答案为：3+4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是能巧妙利用三角形全等的知识，构造全等三角形，把求PC的长转化成求AE的长．二．选择题（每小题3分，共24分）9．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）记A=，再记[A]表示不超过A的最大整数，则[A]（）A．2010 B．2011 C．2012 D．2013【分析】先通分得到1++=，再把分子变形得到完全平方公式，所以=，变形得：1+﹣，则A=1+﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣，计算得到2013，然后根据[x]表示不超过x 的最大整数求解．【解答】解：∵1++====，∴==1+﹣，∴A=1+﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣=2013，∴[A]=[2013]=2013．故选：D．【点评】此题主要考查了取整计算，利用完全平方公式以及分式的加减运算法则将原式变形得出=1+﹣是解题关键．10．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：且方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），下面说法错误的是（）A．x=﹣2，y=5 B．1＜x2＜2C．当x1＜x＜x2时，y＞0 D．当x=时，y有最小值【分析】分别结合图表中数据得出二次函数对称轴以及图象与x轴的交点范围和自变量x与y的对应情况，进而得出答案．【解答】解：A、利用图表中x=0，1时对应y的值相等，x=﹣1，2时对应y的值相等，∴x=﹣2，5时对应y的值相等，∴x=﹣2，y=5，故此选项正确，不合题意；B、∵方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），且x=1时y=﹣1，x=2时，y=1，∴1＜x2＜2，故此选项正确，不合题意；C、由题意，结合点的坐标，如图所示，可得出二次函数图象向上，∴当x1＜x＜x2时，y＜0，故此选项错误，符合题意；D、∵利用图表中x=0，1时对应y的值相等，∴当x=时，y有最小值，故此选项正确，不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及利用图象上点的坐标得出函数的性质，利用数形结合得出是解题关键．11．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，从1×2的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在（）A．AD的中点B．AE：ED=（﹣1）：2 C．AE：ED=：1 D．AE：ED=（﹣1）：2【分析】设AE=x．则DE=1﹣x．剪下的两个正方形的面积之和为y，所以由正方形的面积公式得到y=AE2+DE2=2（x﹣）2+．当x=时，y取最小值．即点E是AD的中点．、【解答】解：设AE=x．则DE=1﹣x．剪下的两个正方形的面积之和为y，则y=AE2+DE2=x2+（1﹣x）2=2（x﹣）2+．当x=时，y取最小值．即点E是AD的中点．故选A．【点评】本题考查了二次函数的最值．此题是利用配方法求得二次函数的最值的．12．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，向直角扇形OAB内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．C．D．【分析】设OA的中点是D，则∠CDO=90°，这样就可以求出弧OC与弦OC围成的弓形的面积，从而可求出两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积，用扇形OAB的面积减去两个半圆的面积，加上两个弧OC 围成的面积的2倍就是阴影部分的面积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．【解答】解：设OA的中点是D，则∠CDO=90°，半径为rS扇形OAB=πr2S半圆OAC=π（）2=πr2S△ODC=××=r2S弧OC=S半圆OAC﹣S△ODC=πr2﹣r2两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积为πr2﹣r2图中阴影部分的面积为πr2﹣2×πr2+2（πr2﹣r2）=πr2﹣r2∴该点刚好来自阴影部分的概率是：1﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了几何概型，解题的关键是求阴影部分的面积，不规则图形的面积可以转化为几个不规则的图形的面积的和或差的计算，属于中档题．13．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：×π×12×6=3π．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．14．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，以半圆的一条弦AN为对称轴将弧AN折叠过来和直径MN 交于B点，如果MB：BN=2：3，且MN=10，则弦AN的长为（）A．B．C．D．【分析】作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，可得M、A、M′三点共线，MA=M′A，MB=M′B′=4，M′N=MN=10．而M′A•M′M=M′B′•M′N，即M′A•2M′A=4×10=40．则M′A2=20，又∵M′A2=M′N2﹣AN2，∴20=100﹣AN2，∴AN=4．故选B．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．15．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31，…7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第1个相同的数是7，第10个相同的数是（）A．115 B．127 C．139 D．151【分析】根据两组数的变化规律写出两组数的通式，从而得到它们的相同数列中两个相邻的数的差值，再结合第一个相同的数写出通式，然后把序数10代入进行计算即可得解．【解答】解：第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…第m个数为：3m+4，第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第n个数为：4n+3，∵3与4的最小公倍数为12，∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12，∵第一个相同的数为7，∴相同的数的组成的数列的通式为12a﹣5，第10个相同的数是：12×10﹣5=120﹣5=115．故选：A．【点评】此题主要考查了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解题的关键．16．（3分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，则图中S=（）△OBPA．B．C．D．4【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知∠AOB=∠CAD=60°，故可得出AD∥OB，所以S△ABP=S△AOP ，故S△OBP=S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．【解答】解：∵△AOB和△ACD均为正三角形，∴∠AOB=∠CAD=60°，∴AD∥OB，∴S△ABP=S△AOP，∴S△OBP=S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE=S△ABE=S△AOB，∵点B在反比例函数y=的图象上，∴S△OBE=×4=2，∴S△OBP=S△AOB=2S△OBE=4．故选D．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，难度适中．三.解答题17．（12分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，已知锐角△ABC的面积为1，正方形DEFG是△ABC的一个内接正方形，DG∥BC，求正方形DEFG面积的最大值．【分析】过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，根据DG∥BC，再由△ADG∽△ABC即可求出x的表达式，再代入求出三角形的面积即可．【解答】解：∵过点A作AN⊥BC交DG于点M，交BC于点N，设AN=h，DE=x=MN=DG，∴BC•h=1，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，故=，即=，∴x=，设正方形的面积为S，则S=x2=（）2=（）2=[]2≤（）2=．∴正方形DEFG最大面积=．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．18．（14分）（2005•黄冈）在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=﹣0.125（x﹣8）2+12.1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？【分析】由于y与x之间的函数关系式为分段函数，则W与x之间的函数关系式亦为分段函数．分情况解答．【解答】解：（1）依题意得，可建立的函数关系式为：∴y=；即y=.4分（2）设利润为W，则W=售价﹣进价故W=，化简得W=①当W=时，∵当x≥0，函数W随着x增大而增大，∵1≤x＜6∴当x=5时，W有最大值，最大值=17.125②当W=时，∵W=，当x≥8时，函数W随x增大而增大，∴在x=11时，函数有最大值为19③当W=时，∵W=，∵12≤x≤16，当x≤16时，函数W随x增大而减小，∴在x=12时，函数有最大值为18综上所述，当x=11时，函数有最大值为19．【点评】本题考查的是二次函数的运用，由于计算量大，考生在做这些题的时候要耐心细心．难度中上．此题是分段函数，题目所涉及的内容在求解过程中，要注意分段函数问题先分段解决，最后再整理、归纳得出最终结论，另外还要考虑结果是否满足各段的要求，这是解此类综合应用题目的特点．19．（14分）（2015•黄冈校级自主招生）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．【分析】由于x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，利用根与系数的关系可以得到x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，然后把（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）乘开，接着整体代入前面等式的值即可得到关于a的方程，解方程即可求解．【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，a=1，b=（3a ﹣1），c=2a2﹣1，∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，∴3x12﹣10x1x2+3x22=﹣80，3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，∴5a2+18a﹣99=0，∴a=3或﹣，当a=3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a=﹣．【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．（16分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．求证：．【分析】根据C、E、O、D四点共圆，根据切割线定理可得：PC•PE=PD•PO，并且可以证得Rt△SPD∽Rt△OPS，即可证得PS2=PD•PO，再根据切割线定理即可求解．【解答】证明：连PO交ST于点D，则PO⊥ST；连SO，作OE⊥PB于E，则E为AB中点，于是因为C、E、O、D四点共圆，所以PC•PE=PD•PO又因为Rt△SPD∽Rt△OPS所以即PS2=PD•PO而由切割线定理知PS2=PA•PB所以即【点评】本题主要考查了切割线定理以及三角形相似的证明，注意对比例式的变形是解题关键．21．（16分）（2010•仙桃）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P 为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（1）在Rt△ODC中，根据射影定理即可求出OB的长，由此可得到B点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）易知△AOD是等腰Rt△，若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，那么△PQM也必须是等腰Rt△；由于∠QPM≠90°，因此本题分两种情况：①PQ为斜边，M为直角顶点；②PM为斜边，Q为直角顶点；首先求出直线AD的解析式，进而可得到M点的坐标；设出P点横坐标，然后根据抛物线和直线AD的解析式表示出P、Q的纵坐标，即可得到PQ的长；在①中，PQ的长为M、P横坐标差的绝对值的2倍；在②中，PQ的长正好等于M、P横坐标差的绝对值，由此可求出符合条件的P点坐标；（3）①若四边形PQNM是菱形，首先必须满足四边形PMNQ是平行四边形，此时MN与PQ相等，由此可得到P点坐标，然后再判断PQ是否与PM相等即可；②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，因此本题只需考虑MN∥PQ这一种情况；若四边形PMNQ是等腰梯形且MN、PQ为上下底，那么根据等腰梯形的对称性可知：Q、P的纵坐标的和应该等于N、M的纵坐标的和，据此可求出P、Q的坐标，然后再判断QN与PM是否平行即可．【解答】解：（1）在Rt△BDC中，OD⊥BC，由射影定理，得：OD2=OB•OC；则OB==1；∴B（﹣1，0）；∴B（﹣1，0），C（4，0），E（0，4）；设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣4）（a≠0），则有：a（0+1）（0﹣4）=4，a=﹣1；∴y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+3x+4；（2）因为A（﹣2，0），D（0，2）；所以直线AD：y=x+2；联立，解得或，则F（1﹣，3﹣），G（1+，3+）；设P点坐标为（x，x+2）（1﹣＜x＜1+），则Q（x，﹣x2+3x+4）；∴PQ=﹣x2+3x+4﹣x﹣2=﹣x2+2x+2；易知M（，），若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形；①以M为直角顶点，PQ为斜边；PQ=2|x M﹣x P|，即：﹣x2+2x+2=2（﹣x），解得x=2﹣，x=2+（不合题意舍去）∴P（2﹣，4﹣）；②以Q为直角顶点，PM为斜边；PQ=|x M﹣x Q|，即：﹣x2+2x+2=﹣x，解得x=，x=（不合题意舍去）∴P（，）故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2﹣，4﹣）或（，）；（3）易知N（，），M（，）；设P点坐标为（m，m+2），则Q（m，﹣m2+3m+4）；（1﹣＜m＜1+）∴PQ=﹣m2+2m+2，NM=；①若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有：MN=PQ，即：﹣m2+2m+2=，解得m=，m=（舍去）；当m=时，P（，），Q（，）此时PM=≠MN，故四边形PMNQ不可能是菱形；②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，所以若四边形PMNQ是等腰梯形，只有一种情况：PQ∥MN；依题意，则有：（y N﹣y Q）=（y P﹣y M），即（y N+y M）=（y P+y Q），即+=﹣m2+3m+4+m+2，解得m=，m=（舍去）；当m=时，P（，），Q（，），此时NQ与MP不相等，∴四边形PMNQ可以是等腰梯形，且P点坐标为（，）．【点评】此题是二次函数的综合题，考查的知识点有：直角三角形的性质，二次函数的确定，等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性质等，同时还考查了分类讨论的数学思想；要特别注意的是在判定梯形的过程中，不要遗漏证明另一组对边不平行的条件．。

湖北省黄冈中学2019年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(2套试题)合集

黄冈中学2019年自主招生（理科实验班）预录数学模拟试题（时间120分钟满分100分）一．填空题1. 已知实数a 、b 、c 满足 2|210|)6)(2005(2=-+-++++b b a c b a ，则代数式ab+bc 的值为__________.2. 设AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交直线AB 于点D ，设⊙O 的半径是2，当△ACD 是等腰三角形时，它的面积是__________.3、如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC (BC>AD)，︒=∠90D ，BC=CD=12, ︒=∠45ABE ，若AE=10，则CE 的长为 .4.已知31=+x x ，则10551011xx x x +++= . 5、已知，关于x 的一元二次方程260x kx --=与260x x k --=只有一个公共的根，那么方程052||2=++-k x k x 所有的根的和是 .6、函数22212131y x x x =-+-+-取最小值1时，则x 的取值范围是。

二．选择题7.已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）。

A、2a B 、1 C、2D 、a 8.观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则x ＋y 的值为（）． A ．45 B ．46 C ．48 D ．49表一表二表三9、已知实数x 、y 、z 满足x2+y2+z2=4，则(2 x －y)2+(2y －z)2+(2z －x)2的最大值是（） A ．12 B ．20 C ．28 D ．3610、在同一条街AB 上，甲由A 向B 步行，乙骑车由B 向A 行驶，乙的速度是甲的速度的3倍，此时公共汽车由始发站A 开出向B 行进，且每隔x 分钟发一辆车，过一段时间，甲发现每隔10分钟有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分钟就碰到一辆公共汽车，那么在始发站公共汽车发车的间隔时间x 为（）（A ）9分钟（B ）8分钟（C ）6分钟（D ）5分钟 11、如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（）．（A ）（B ）4 （C ）（D ）4.512.在△ABC 中，∠B=90°,AB>BC,有△A i BC （i=1,2,3……n ）与△ABC 相似，则n 的最大值等于( )A 3B 7C 11D 13 三．解答题13．已知：a<0,b>0,且2a 2+a=112=+bb ,求代数式b b b b a 13+的值14.已知点P （2,3）是反比例函数x k y =图象上的点，求经过点P 且与双曲线xky =只有一个公共点的直线的解析式15.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a,b,c 均为实数且a ≠0)满足条件：对任意实数x 都有y ≥2x,且当0<x<2时,总有y 2)1(21+≤x 成立.⑴求a+b+c 的值；⑵求a-b+c 的取值范围 16、已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为8.1元/千克，每次购买配料除需支付运输费236元外，还需支付保管费用，其标准如下: 7天以内（含7天），无论重量多少，均按．．10．．元．/．天支付．．．；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天．．．0.03．．．．元．/．千克支付．．．．. (1)当9天购买一次配料时，求该厂的配料保管费用P 是多少元？ (2)当x 天购买一次配料时，求该厂在这x 天中用于配料的总支出．．．y （元）关于x 的函数关系式；(3)求多少天购买一次配料时，才能使该厂平均每天的总支出．．．．．．．．最少? （总支出=购买配料费+运输费+保管费）17、如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中,AC,BD 是它的对角线,AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）AB +AD = 2BD .18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线212y x bx c =-++（,b c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的定点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限. （1）如图，若该抛物线过 A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q . i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M P Q 、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标； ii ）取BC 的中点N ，连接,NP BQ .试探究PQNP BQ+是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.黄冈中学2019年自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题（总分：120分时间：120分钟）一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分．)1．下列说法:(1)相反数等于本身的数只有0；(2)绝对值等于本身的数是正数；(3)立方等于本身的数是1和1-；(4)平方等于本身的相反数的数只有0．其中正确的说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．设a 、b 、c 均为正数，若()()()c b a b a c a c b +<+<+，则a 、b 、c 三个数的大小关系是（）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<3．若不等式组3220,0.x m x -≥⎧⎨-≥⎩有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．223m ≤B ．223m < C ．223m > D ．223m ≥ 4．如图，一次函数11y x =-与反比例函数22y x=的图像交于点A 、B ，则使12y y >的x 的取值范围是( )A. 2x >B. 12x -<<C. 2x >或10x -<<D. 2x >或1x <-5．当1x =-，1y =2222()(1)2y x x y xy x y xy xy+-÷+--的值是( ) A ．1 B ．1- C．3D6．在直角坐标系中，O是坐标原点，已知点P ，点Q 在x 轴上，若POQ ∆是等腰三角形，则满足条件的所有Q 点的横坐标的和是( )A ．2 B．．8 D．2+7．如图，已知是AB 是⊙O 直径，点P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，PM 平分CPA ∠，交AC 于点M ，则CMP ∠的度数是（）A ．30° B．45° C．60° D ．不能确定 8．已知实数,a b满足a b =+则2200820093323a ab a b -+-+的值是( )A ．1B ．3C ．21D ．2009二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．）9..利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是。

2019年湖北省黄冈中学高考预录模拟考试数学试卷及答案

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2019年黄冈中学预录模拟考试
数学试卷
（分值：120分时间：120分钟）
一、选择题(每小题3分，共42分)
1.设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz=( ). A.43 B.65 C.127 D.18
13 2.设二次函数f(x)=ax 2+ax+1的图像开口向下，且满足f(f(1))=f(3).则2a 的值为( ).
A.-3
B.-5
C.-7
D.-9
3.方程|xy|+|x+y|=1的整数解的组数为( ). A.2 B.4 C.6 D.8
4.a 、b 是方程x 2+(m-5)x+7=0的两个根.则(a 2+ma+7)(b 2+mb+7)=( ).
A.365
B.245
C.210
D.175[]
5.如图，Rt△ABC 的斜边BC=4，∠ABC=30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( ) A.
2332+π B.33265-π C.365-π D.33
2-π 6.从1，2，…，13中取出k 个不同的数，使这k 个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8.则k 的最大值为( ).
A.5
B.6
C.7
D.8
7. 在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图1所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为( ) A.121 B.6
1
[。

2019年湖北省黄冈中学自主招生(理科)(实验班)数学模拟试卷及答案解析

黄冈市黄冈中学2019年自主招生数学模拟试题(一) (含答案)

数学一第 1 页共 10 页黄冈市黄冈中学2019年自主招生数学模拟试题（一）时间：120分钟满分：120分一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分）1．如图，MN 是⊙O 的直径，若∠E =25°，∠PMQ =35°，则∠MQP =（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．50° 2．设二次函数y 1=a (x −x 1)(x −x 2)(a ≠0，x 1≠x 2)的图象与一次函数y 2=dx +e (d ≠0)的图象交于点(x 1，0)，若函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有一个交点，则( )A ．a (x 1−x 2)=dB ．a (x 2−x 1)=dC ．a (x 1−x 2)2=dD ．a (x 1+x 2)2=d3．如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且∠COA =60°；设扇形AOC 、△COB 、弓形B m C 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则它们之间的大小关系是（）A ．1S ＜2S ＜3SB ．2S ＜1S ＜3SC ．1S ＜3S ＜2SD ．3S ＜2S ＜1S4．设m ，n 是正整数，满足m ＋n ＞mn ，给出以下四个结论：① m ，n 都不等于1； ② m ，n 都不等于2；③ m ，n 都大于1；④ m ，n 至少有一个等于1．其中正确的结论是（）A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）5．如图，在四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，若∠BAC =25°，∠CAD = 75°，则∠BDC = ，∠DBC = ．6．某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得–2分．若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对题．7．在中国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫作“十二地支”．两者按固定的顺序相互配合成六十甲子，组成了干支纪年法．已知甲午战争发生于公元1894年，苏轼（1037~1101）有首诗写于壬戌年，这首诗是公元年写的．8．已知x ，y ，z 为实数，若x 2 + y 2 = 1，y 2 + z 2= 2，z 2 + x 2 = 2，则xy + yz + zx 的最小值为．9．如图，用红，蓝，黄三色将图中区域A 、B 、C 、D 着色，要求有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色，满足恰好A 涂蓝色的概率为．10．如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1．点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0），数学一第 2 页共 10 页设点M 转过的路程为m （0<m < 1）．随着点M 的转动，当m 从变化到时，点N 相应移动的路径长为．11．如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE 平分∠ADO 交AC于点E ，把△ADE 沿AD 翻折，得到/ADE ∆，点F 是DE 的中点，连接AF ，BF ，F E /..若2=AE ，则四边形/ABFE 的面积是______________.12．如图，抛物线y =-x 2+2x +m +1交x 轴于点A （a ，0）和B （b ，0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D .下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2），若x 1<1< x 2，且x 1+x 2>2，则y 1> y 2；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当m=2时，四边形EDFG 周长的最小值为错误！未找到引用源。

全国重点高中黄冈中学2019年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(B卷)(附答案)

理科实验班预录数学模拟试题(B 卷)一、选择题（每小题 5 分，共 30 分） 1．已知a+b=3，a 3+b 3=9，则a 7+b 7=（） A ．129 B ．225 C ．125 D ．6752．如图，⊙O 内的点P 在弦AB 上，点C 在⊙O 上，PC ⊥OP ，若BP=2，AB=6，则CP 的长等于（） A ．32B ．4C ．22D ．233．已知215-=m ，则1122223+++-+m m m m m =( )A ．253-B ．453-C ．235-D ．435-4．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE=AD ，则∠ECA=（） A ．30° B ．35° C ．40° D ．45°5．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关 A ．B ．C ．D ．6．如图，点O 在△ABC 内，点P 、Q 、R 分别在边AB 、BC 、CA 上，且OP ∥BC ，OQ ∥CA ，OR ∥AB ，OP=OQ=OR=x ，BC=a ，CA=b ，AB=c ，则x =( )A ．cb a 1111++B ．3cb a ++ C ．331222c b a ++D ．331cabc ab ++二、填空题（每小题 5分，共30 分）7．实数a 、b 、x 、y 满足ax+by=3，ax 2+by 2=7，ax 3+by 3=16, ax 4+by 4=42, 那么ax 5+by 5= . 8．如图，在边长为26的正方形ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是 AD 延长线上一点，BE =DG ，连接EG ，CF ⊥EG 交EG 于点H ，交 AD 于点F ，连接CE ，BH ．若BH =8，则FG = ．9．已知函数|x |x y 22--=的图象与x 轴相交于A 、B 两点，另一条抛物线422+-=x ax y 也过A 、B 两点，则a= .10.如图，在梯形ADEB 中，∠D=∠E=90°，△ABC 是等边三角形，且点C 在DE 上，如果AD=7，BE=11，则S △ABC = .11.设f(a)是关于a 的多项式，f(a)除以2(a+1)，余式是3；2f(a)除以3(a -2)，余式是-4. 那么3f(a)除以4(a 2-a -3)，余式是 .12.如图，已知圆的内接△ABC ，AB=AC ，D 是弦AC 上的一点，连接AD 并延长，与BC 的延长线交于点E ，且AE=5，则AB 2+EB ·EC= . 三、解答题（共60分）13.(10分)解方程：.)x (x 082244=--+14.（12分）如图，已知等边△ABC ，AB =12，以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，连结GD ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）求FG 的长；（3）求tan ∠FGD 的值．15.(12分)经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v （千米／小时）是车流密度x （辆／千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆／千米时，造成堵塞，此时车流速度为O 千米/小时；当车流密度不超过20辆／千米时，车流速度为80千米／小时．研究表明：当20≤x ≤220时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)求大桥上车流密度为100辆／千米时的车流速度．(2)在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米／小时且小于60千米／小时时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？(3)车流量（辆／小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y 的最大值．16.(13分)设).x (x x x x x )x (f 094932424>+--+-=(1)将f(x)化成b)x (g a )x (g +++221(a 、b 是不同的整数)的形式；(2)求f(x)的最大值及相应的x 值.17.(13分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．(1)求AD的长；(2)点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；(3)设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．参考答案：1.A 2.A 3.B 4.C 5.D 6.A7.20 8．25 9. -2 10. 33 11.-5a+4 12.2514.（1）证明：连结OD ，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴∠C =∠A =∠B =60°，而OD =OB ，∴△ODB 是等边三角形，∠ODB =60°，∴∠ODB =∠C ，∴OD ∥AC ， ∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线；（2）解：∵OD ∥AC ，点O 为AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴BD =CD =6．在Rt △CDF 中，∠C =60°，∴∠CDF =30°，∴CF =CD =3，∴AF =AC ﹣CF =12﹣3=9，在Rt △AFG 中，∵∠A =60°，∴FG =AF ×sinA =9×=；（3）解：过D 作DH ⊥AB 于H ．∵FG ⊥AB ，DH ⊥AB ， ∴FG ∥DH ，∴∠FGD =∠GDH ．在Rt △BDH 中，∠B =60°，∴∠BDH =30°， ∴BH =BD =3，DH =BH =3．在Rt △AFG 中，∵∠AFG =30°，∴AG =AF =，∵GH =AB ﹣AG ﹣BH =12﹣﹣3=，∴tan ∠GDH ===，∴tan ∠FGD =tan ∠GDH =．15.(1)由题意得：当20≤x ≤220时，v 是x 的一次函数，则可设v =kx +b （k ≠O ），由题意得：当x =20时，v =80,当x =220时，v =0所以⎩⎨⎧=+=+02208020b k b k 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=8852b k ,所以当20≤x ≤220时，v =－52x +88 ，则当x =100时,y =一52×100+88=48.即当大桥上车流密度为100辆／千米时，车流速度为48千米／小时． (2)当20≤v ≤220时，v =一52x +88(0≤v ≤80), 由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-608852408852x x ．解得70＜x ＜120, 所以应控制车流密度的范围是大于70辆／千米且小于120辆／千米. (3)①当0≤x ≤20时，车流量y 1=vx =80x , 因为k =80>0，，所以y 1随x 的增大面增大，故当x =20时，车流量y 1的最大值为1600． ②当20≤x ≤220时，车流量y 2=vx =(一52x +88)x =一(x －110)2+4840, 当x =110时，车流量y 2取得最大值4840，因为4840>1600，所以当车流密度是110辆／千米，车流量y 取得最大值.17.解：（1）过点C 作CE ⊥AB 于E ，在Rt △BCE 中，∵∠B =60°，BC =4，∴CE =BC •sin ∠B =4×=2，∴AD =CE =2．（2）存在．若以A 、P 、D 为顶点的三角形与以P 、C 、B 为顶点的三角形相似，则△PCB 必有一个角是直角．①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，∴AP=AB﹣PB=2．又由（1）知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DP A===，∴∠DP A=60°，∴∠DP A=∠CPB，∴△ADP∽△CPB，∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2．②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，∴PB=2，PC=2，∴AP=3．则≠且≠，此时△PCB与△ADP不相似．（3）如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，则S1=x•（）2=x•，①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM．则BM为△PCB外接圆的半径．在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°，∴BG=4，∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣x，∴GN=BG﹣BN=x﹣1．在Rt△GMN中，∴MN=GN•tan∠MGN=（x﹣1）．在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣x+，∴S1=x•BM2=x（x2﹣x+）．②∵当0＜x≤2时，S2=x（x2﹣x+）也成立，∴S=S1+S2=x•+x（x2﹣x+）=x（x﹣）2+x．∴当x=时，S=S1+S2取得最小值x．。

2019年黄冈中学高考数学模拟试题六份(含答案)

仿真模拟训练(一)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若纯虚数z 满足(1＋i )z ＝1－a i ，则实数a 等于( )A ．0B ．－1或1C ．1D ．－12．[2018·重庆西南附属中学月考]设曲线y ＝x 2及直线y ＝1所围成的封闭图形为区域D ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，0≤y ≤1所确定的区域为E ，在区域E 内随机取一点，则该点恰好在区域D 内的概率为( )A .14B .13C .23D .343．[2018·华中师范大学附属中学模拟]在高校自主招生中，某中学获得6个推荐名额，其中中南大学2名，湖南大学2名，湖南师范大学2名，并且湖南大学和中南大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男3女共6个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A ．54B ．45C ．24D ．724．[2018·安徽省皖江八校联考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，四点P 1(4,2)，P 2(2,0)，P 3(－4,3)，P 4(4,3)中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )A .52B .52C .72D .725．[2018·陕西吴起高级中学期中考试]某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .73B .83C .8－π3D .7－π36．[2018·保定联考]设有下面四个命题：P 1：若x>1，则0.3x >0.3;P 2：若x ＝log 23，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝16； P 3：若sin x>33，则cos 2x<13；P 4：若f(x)＝tan πx 3，则f(x)＝f(x ＋3)．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(0<ω<10)的图象与g(x)＝cos (x ＋φ)(0<φ<3)的图象都关于直线x ＝－π12对称，则ω与φ的值分别为( )A ．8，7π12B ．2，7π12C ．8，π12D ．2，π128．[2018·天津一中、益中学校月考]已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(x －1)．则关于m 的不等式f(1－m)＋f(1－m 2)<0的解集为( )A ．[0,1)B ．(－2,1)C ．(－2，2)D ．[0，2)9．[2018·重庆西南大学附中月考]某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是4 0352 018，则( )A ．a ＝2 016B ．a ＝2 017C ．a ＝2 018D ．a ＝2 01910．[2018·山东烟台月考]某传媒大学的甲乙丙丁四位学生分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且选修课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；②乙不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息推断丙同学选修的课程是( )A ．影视配音B ．广播电视C ．公共演讲D ．播音主持11．[2018·安徽宿州模拟]在等差数列{a n }中，a 7a 6<－1，若它的前n 项和S n 有最大值，则当S n >0时，n 的最大值为( )A ．11B ．12C ．13D ．1412．设函数f(x)＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g(x)＝x －1a e 2x ，若∀x 1∈R ，∃x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)<g (x 2)，则正数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B ．(e ，＋∞)C ．(0，e －3)D ．(e －3，＋∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[2018·云南昆明第八次月考]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±33x ，若抛物线y 2＝8x 的焦点与双曲线C 的焦点重合，则双曲线C 的方程为________．14．[2018·河北武邑中学第六次模拟]设平面向量m 与向量n 互相垂直，且m －2n ＝(11，－2)，若|m |＝5，则|n |＝________.15．[2018·湖南益阳月考]分别在曲线y ＝ln x 与直线y ＝2x ＋6上各取一点M 与N ，则MN 的最小值为________．16．[2018·河南南阳一中月考]在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________________________________________________________________________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本题满分12分)[2018·湖南郴州第六次月考]已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14，a 3＋a 5＝564.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1(2n ＋1－1)·S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .18.(本题满分12分)[2018·贵州凯里一中月考]第三届移动互联创新大赛，于2017年3月～10月期间举行，为了选出优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一种子选手甲．再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛，根据以往经验，甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为34，35，23，且各场输赢互不影响．(1)求甲恰好获胜两场的概率；(2)求甲获胜场数的分布列与数学期望．19．(本题满分12分)[2018·河北武邑中学模拟]如图，已知平面ADC ∥平面A 1B 1C 1，B 为线段AD 的中点，△ABC ≌△A 1B 1C 1，四边形ABB 1A 1为边长为1的正方形，平面AA 1C 1C ⊥平面ADB 1A 1，A 1C 1＝A 1A ，∠C 1A 1A ＝π3，M 为棱A 1C 1的中点．(1)若N 为线DC 1上的点，且直线MN ∥平面ADB 1A 1，试确定点N 的位置；(2)求平面MAD 与平面CC 1D 所成的锐二面角的余弦值．20．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点围成的菱形的面积为43，点M 与点F 分别为椭圆C 的上顶点与左焦点，且△MOF 的面积为32(点O 为坐标原点)．(1)求C 的方程； (2)直线l 过F 且与椭圆C 交于P ，Q 两点，且△POQ 的面积为335，求l 的斜率．21．(本题满分12分)[2018·益阳调研]已知函数f (x )＝(2e ＋1)ln x －3a 2x ＋1，a ∈R ，(e 为自然对数的底数)．(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝23时，x e x ＋m ≥f (x )恒成立，求实数m 的最小值．请考生在22,23两题中任选一题作答．22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)[2018·六安一中月考]在平面直角坐标系xOy 中，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t y ＝k (t －1)(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．23．【选修4－5 不等式选讲】(本题满分10分)已知函数f (x )＝|3x －2|.(1)若不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23≥|t －1|的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，求实数t 的值； (2)若不等式f (x )≤|3x ＋1|＋3y ＋m ·3－y 对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范围．仿真模拟训练(二)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·四川双流中学模拟]若a ∈R ，则“复数z ＝5－a i i 在复平面内对应的点在第三象限”是“a >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知R 为实数集，A ＝{x |y ＝lg(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则∁R (A ∪B )＝( )A ．{x |x >－3}B ．{x |x <－3}C ．{x |2≤x <3}D ．{x |x ≤－3}3．[2018·武威六中诊断考试]设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．34．[2018·安徽六安月考]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 11＝a 9＋7，则S 25＝( )A.1452 B ．145 C.1752 D ．1755．[2018·厦门外国语学校适应考试]我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分析(100，σ2)，(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则他速度超过120的概率为( )A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.26．[2018·哈尔滨市第六中学模拟]已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3y ≥x x ≥1，那么x ＋3y 的最大值是( ) A ．4 B ．6 C ．7 D ．87．[2018·黄冈中学模拟考试]公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为( )(参考数据：sin20°≈0.342 0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫203°≈0.116 1)A ．S ＝12×n ×sin 180°n ，24B ．S ＝12×n ×sin 180°n ，18C ．S ＝12×n ×sin 360°n ，54D ．S ＝12×n ×sin 360°n ，188．[2018·江西省重点中学协作体联考]函数f (x )＝ln|x －1|－ln|x ＋1|的大致图象为( )9．已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233B. 3C.255D. 510．[2018·福建南平月考]已知顶点在同一球面O 上的某三棱锥三视图中的正视图，俯视图如图所示．若球O 的体积为43π，则图中的a 的值是( )A.352 B ．2 2 C.354 D ．2 3 11．[2018·泉州质量检查]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，F 2也是抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线AF 1的倾斜角为45°，则C 的离心率为( ) A.5－12 B.2－1 C ．3－ 5 D.2＋112．已知定义域为正整数集的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，f (1)＝1，则数列{(－1)n f (n )f (n ＋1)}(n ∈N *)的前99项和为( )A ．－19 799B ．－19 797C ．－19 795D ．－19 793二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．若(1＋2x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x n 的展开式中所有项的系数和为96，则展开式中含1x 2项的系数是________．14．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝1，则|a－2b |＝________.15．[2018·南山中学月考]已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围为________．16．[2018·天津一中月考]已知点P (x ，y )在椭圆x 23＋2y 23＝1上运动，则1x 2＋21＋y 2最小值是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本题满分12分)[2018·广西南宁第二中学6月月考]如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3b sin A ＝c ，D 为AC 边上一点．(1)若D 是AC 的中点，且A ＝π4，BD ＝26，求△ABC 的最短边的边长；(2)若c ＝2b ＝4，S △BCD ＝53，求DC 的长．18．(本题满分12分)[2018·东北三省四市模拟]直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝AA 1＝4，AC ⊥BC .(1)证明：AC 1⊥A 1B ；(2)当BC 的长为多少时，直线A 1B 与平面ABC 1所成角的正弦值为13.19．(本题满分12分)某菜园要将一批蔬菜用汽车从所在城市甲运至哈尔滨，已知从城市甲到哈尔滨只有两条公路，且运费由菜园承担．若菜园恰能在约定日期(×月×日)将蔬菜送到，则哈尔滨销售商一次性支付给菜园20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给菜园1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给菜园1万元．为保证蔬菜新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送蔬菜，已知下表内的信息：(1)记汽车走公路1时菜园获得的毛利润为ξ(单位：万元)，求ξ的分布列和数学期望Eξ；(2)假设你是菜园的决策者，你选择哪条公路运送蔬菜有可能让菜园获得的毛利润更多？20．(本题满分12分)设离心率为22的椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P是E上一点，PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为2－1.(1)求E的方程；(2)矩形ABCD的两顶点C、D在直线y＝x＋2上，A，B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为1123，求直线AB的方程．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－ax (a 为常数)有两个极值点．(1)求实数a 的取值范围；(2)设f (x )的两个极值点分别为x 1，x 2，若不等式f (x 1)＋f (x 2)<λ(x 1＋x 2)恒成立，求λ的最小值．请考生在22,23两题中任选一题作答． 22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)[2018·四川广元适应性考试]已知平面直角坐标系中，曲线C ：x 2＋y 2－6x －8y ＝0，直线l 1：x －3y ＝0，直线l 2：3x －y ＝0，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立坐标系．(1)写出曲线C 的参数方程以及直线l 1，l 2的极坐标方程； (2)若直线l 1与曲线C 分别交于O ，A 两点，直线l 2与曲线C 分别交于O ，B 两点，求△AOB 的面积．23．【选修4－5 不等式选讲】(本题满分10分)[2018·安徽合肥一中最后Ⅰ卷]已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋2|.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)∃x 0∈R ，f (x 0)≤|2a ＋1|，求a 的取值范围．仿真模拟训练(三)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |2x ≥4}，集合B ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则A ∩B ＝( )A ．[1,2)B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)内单调递减的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝cos xC ．y ＝2xD ．y ＝|ln x |3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＋a 11＝18，S 3＝－3，那么a 5等于( )A ．4B ．5C ．9D ．184．已知OA →＝(cos15°，sin15°)，OB →＝(cos75°，sin75°)，则|AB →|＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．15．过原点且倾斜角为π3的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 36．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出l ∥m 的是( )A ．l ∥α，m ⊥β，α⊥βB ．l ⊥α，m ⊥β，α∥βC ．l ∥α，m ∥β，α∥βD ．l ∥α，m ∥β，α⊥β7．函数y ＝log a (x －3)＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，其中m >0，n >0，则mn 的最大值为( )A.116B.18C.14D.12 8．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n －3，则S n ＝( )A ．2n ＋1B ．2n ＋1－1 C ．3·2n －3 D ．3·2n －19．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为 ( )A ．4B ．2 C.43 D.2310．千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为( )A ．111B ．117C ．118D ．12311．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率为( )A.103B.43C.53 D ．2 12．设函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，若x ＝1是函数f (x )的极大值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．已知正方形ABCD 边长为2，M 是CD 的中点，则AM →·BD →＝________.14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥1，y ≥x －1，则2x ＋y 的最大值为________．15．直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同两点A ，B ，若M (x 0,4)是AB 中点，则直线l 的斜率k ＝________.16．钝角△ABC 中，若A ＝3π4，|BC |＝1，则22|AB |＋3|AC |的最大值为________________________________________________________________________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本大题满分12分)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x .(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，求f (x )的值域； (2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝32，a ＝4，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积．18．(本大题满分12分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如下表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)外体育达标”．(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表：(2)的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考格式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d19．(本大题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝AA 1＝2，E 是棱CC 1上的动点，F 是AB 的中点．(1)当E 是CC 1中点时，求证：CF ∥平面AEB 1； (2)在棱CC 1上是否存在点E ，使得平面AEB 1与平面ABC 所成锐二面角为π6，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由．20．(本大题满分12分)已知F 是椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点，过F 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．(1)若x 1＋x 2＝3，求AB 弦长；(2)O 为坐标原点，∠AOB ＝θ，满足3OA →·OB →tan θ＝46，求直线l 的方程．21．(本大题满分12分)已知函数f (x )＝ln(ax ＋2)＋21＋x.(x ≥0)．(1)当a ＝2时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )≥2ln2＋1恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22,23两题中任选一题作答． 22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)在极坐标系中，曲线C 1的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 2的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋32t y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 1的参数方程和曲线C 2的普通方程； (2)求曲线C 1上的点到曲线C 2的距离的最大值． 23．【选修4－5 不等式选讲】(本题满分10分)已知函数f (x )＝2|x －a |－|x ＋2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)当a ＝2时，函数f (x )的最小值为t ，1m ＋14n ＝－t (m >0，n >0)，求m ＋n 的最小值．仿真模拟训练(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(i ＋1)z ＝－2，则在复平面内，z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合A ＝{x |x 2－16≤0}，B ＝{x |lg|x －2|>0}，则A ∩B ＝( )A ．[－4,1)∪(3,4]B ．[－4，－3)∪(－1,4]C ．(－4,1)∪(3,4)D ．(－4，－3)∪(－1,4)3．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝2x D ．y ＝log 2|x |4．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)．现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )附：若X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈0.954 5.A ．3 413件B ．4 772件C ．6 826件D ．8 186件 5．已知△ABC 与△BCD 均为正三角形，且AB ＝4.若平面ABC ⊥平面BCD ，且异面直线AB 和CD 所成的角为θ，则cos θ＝( )A ．－154 B.154 C ．－14 D.146．如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 在线段BN 上且AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋211AB →＋211BC →，则实数m 的值为( )A ．1 B.13 C.911 D.5117．已知不等式ax －2by ≤2在平面区域{(x ，y )||x |≤1且|y |≤1}上恒成立，若a ＋b 的最大值和最小值分别为M 和m ，则Mm 的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－28．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为( )A.3πB.32π C ．3π D ．4π 9．已知函数f (x )＝sin ωx的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω＝( )A.32 B ．3 C.92 D ．610．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过F 的直线交C 于A ，B 两点，交l 于点E ，直线AO 交l 于点D .若|BE |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|BD |＝( )A ．1B ．3C ．3或9D ．1或912．若关于x 的方程(ln x －ax )ln x ＝x 2存在三个不等实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e －e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2－1e ，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e 2－1e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －e ，0 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －45的展开式中，x 3的系数是________．14．更相减损术是出自《九章算术》的一种算法．如图所示的程序框图是依据更相减损术写出的，若输入a ＝91，b ＝39，则输出的a 值为________．15．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥，已知同底的两个正四棱锥内接于同一个球，它们的底面边长为a ，球的半径为R ，设两个正四棱锥的侧面与底面所成的角分别为α，β，则tan(α＋β)＝________.16．在数列{a n }中，a 1＝0，且对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k＋1成等差数列，其公差为2k ，则a n ＝________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本大题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos C sin B ＝b sin B ＋ccos C .(1)求sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )的最大值；(2)若b ＝2，当△ABC 的面积最大时，求△ABC 的周长．18．(本大题满分12分)某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试(1)有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？(2)能力测试，记抽到水平一的男生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＋d.19．(本大题满分12分)如图，在正棱锥P－ABC中，平面P AB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝23，AC＝26，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)若直线P A与平面ABC所成的角为π4，求平面P AC与平面PDE所成的锐二面角．20．(本大题满分12分)已知直线l过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P (2,2)，过点(－2,4)的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，设直线P A 与PB 的斜率分别为k 1和k 2，求证：k 1k 2为定值，并求出此定值．21．(本大题满分12分)已知函数f (x )＝ln(ax )＋bx 在点(1，f (1))处的切线是y ＝0.(1)求函数f (x )的极值；(2)若mx 2e x ≥f (x )＋1－e e x (m <0)恒成立，求实数m 的取值范围(e 为自然对数的底数)．请考生在22,23两题中任选一题作答． 22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝2t －23(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于A，B两点．(1)求|AB|的值；→的值．(2)若F为曲线C的左焦点，求F A→·FB23．【选修4－5不等式选讲】(本题满分10分)已知函数f(x)＝x2＋2，g(x)＝|x－a|－|x－1|，a∈R.(1)若a＝4，求不等式f(x)＞g(x)的解集；(2)若对任意x1，x2∈R，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．仿真模拟训练(五)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|y＝log2(2－x)}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，则∁AB＝()A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)2．在复平面内，复数2－3i3＋2i＋z对应的点的坐标为(2，－2)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知△ABC中，sin A＋2sin B cos C＝0，则tan A的最大值是()A.33 B.233 C. 3 D.4334．设A＝{(x，y)|0<x<m,0<y<1}，S为(e＋1)n的展开式的第一项(e为自然对数的底数)，m＝nS，若任取(a，b)∈A，则满足ab>1的概率是()A.2e B.2e C.e－2e D.e－1e5．函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是()ABCD6．已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π＋48，则该几何体的表面积为( )A ．24π＋48B ．24π＋90＋641C ．48π＋48D ．24π＋66＋6417．已知a ＝17117，b ＝log 1617，c ＝log 1716，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a8．执行如下程序框图，则输出结果为( )A ．20200B ．－5268.5C ．5050D ．－51519．设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是( )A.12B.23C.13D.1410．设函数f (x )为定义域为R 的奇函数，且f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝sin x ，则函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，92上的所有零点的和为( ) A ．6 B ．7 C. 3 D ．1411．已知函数f (x )＝22019x＋1＋sin x ，其中f ′(x )为函数f (x )的导数，求f (2018)＋f (－2018)＋f ′(2019)＋f ′(－2019)＝( )A ．2B ．2019C ．2018D ．012．已知直线l ：y ＝ax ＋1－a (a ∈R )，若存在实数a 使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a |，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”．下面给出的四条曲线方程：①y ＝－2|x －1|；②(x －1)2＋(y －1)2＝1；③x 2＋3y 2＝4；④y 2＝4x .其中直线l 的“绝对曲线”的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，y ≤x ＋1，且m ＝x ＋3y ＋4x ＋1，则实数m 的取值范围为________．14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左右焦点分别为F 1、F 2, P 是双曲线右支上一点，I 为△PF 1F 2的内心，PI 交x 轴于Q 点，若|F 1Q |＝|PF 2|，且|PI |:|IQ |＝2:1，则双曲线的离心率e 的值为________．15．若平面向量e 1，e 2满足|e 1|＝|3e 1＋e 2|＝2，则e 1在e 2方向上投影的最大值是________．16．观察下列各式： 13＝1； 23＝3＋5； 33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19； ……若m 3(m ∈N *)按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m 的值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本大题满分12分)已知等差数列{a n }中，公差d ≠0，S 7＝35，且a 2，a 5，a 11成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和，且存在n ∈N *，使得T n－λa n ＋1≥0成立，求λ的取值范围．18．(本大题满分12分)为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数．(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列．(3)试比较男生学习时间的方差s 21与女生学习时间方差s 22的大小．(只需写出结论)19．(本大题满分12分)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，已知P A ＝PB ＝PC ＝PD ＝BC ＝1，AB ＝2，过底面对角线AC 作与PB 平行的平面交PD 于E .(1)试判定点E 的位置，并加以证明； (2)求二面角E －AC －D 的余弦值．20．(本大题满分12分)在平面直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为B (0，－1)，C (0,1)，平面内两点P 、Q 同时满足：①P A →＋PB→＋PC →＝0；②|QA →|＝|QB →|＝|QC →|；③PQ →∥BC →. (1)求顶点A 的轨迹E 的方程；(2)过点F (2，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1，l 2与点A 的轨迹E 相交弦分别为A 1B 1，A 2B 2，设弦A 1B 1，A 2B 2的中点分别为M ，N .①求四边形A 1A 2B 1B 2的面积S 的最小值；②试问：直线MN 是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．21．(本大题满分12分)已知函数f (x )＝ln (x ＋1)ax ＋1.(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)若函数f (x )在(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围； (3)已知x ，y ，z 均为正实数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：(3x －1)ln (x ＋1)x －1＋(3y －1)ln (y ＋1)y －1＋(3z －1)ln (z ＋1)z －1≤0.请考生在22,23两题中任选一题作答． 22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ＝244cos θ＋3sin θ，以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝22xy ′＝2y后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN |的最小值．23．【选修4－5 不等式选讲】(本题满分10分)已知f (x )＝|2x －a |－|x ＋1|(a ∈R )．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>2.(2)若不等式f (x )＋|x ＋1|＋x >a 2－12对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．仿真模拟训练(一)1．C z ＝1－a i 1＋i＝1－a 2－1＋a2i ，z 为纯虚数， ∴1－a2＝0，∴a ＝1.故选C. 2．C D ＝⎠⎛1－1(1－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪⎪1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝43，∴P ＝432＝23，故选C .3．A 第一类：将3个男生每个大学各推荐1人，有A 33A 33＝36种方法，第二类：将3个男生推荐给湖南大学和中南大学有C 23A 22C 23＝18种方法，故共有36＋18＝54种推荐方法，故选A . 4．C 由题可知，P 2，P 3，P 4在双曲线上，∴⎩⎨⎧4a 2－0b 2＝1，16a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3∴c 2＝a 2＋b 2＝7，∴e ＝c a ＝72，故选C . 5．C 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥挖去半个圆锥，∴V ＝13×2×2×2－13π×12×2×12＝83－π3，故选C . 6．C y ＝0.3x 为减函数，∴0.3x <0.3，P 1错；由x ＝log 23，得2x＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝12x ·12＝16，P 2正确； cos 2x ＝1－2sin 2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13，P 3正确；f(x ＋3)＝tan π(x ＋3)3＝tan πx3＝f(x)，P 4正确，故选C . 7．D 由题可得，⎩⎨⎧－πω12－π3＝π2＋k π，k ∈Z－π12＋φ＝k π，∵0<ω<10,0<φ<3，∴ω＝2，φ＝π12，故选D.8．A 由题可知f (x )在[－1,1]上为减函数，由f (1－m )＋f (1－m 2)<0得f (1－m )<f (m 2－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－m ≤1，－1≤1－m 2≤1，1－m >m 2－1，∴0≤x <1，故选A. 9．B 由程序框图可得s ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1i (i ＋1)＝1＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋1i －1i ＋1＝2－1i ＋1＝4 0352 018∴i ＝2 017，∴i ≤2 017，∴a ＝2 017，故选B.10．A 由题可知，甲、丙选择影视配音和公共演讲，乙选择影视播音或播音主持；若甲选影视配音，丙选公共演讲，乙选播音主持，则丁选广播电视，与③矛盾；若甲选公共演讲，丙选影视配音，乙选播音主持，则丁选广播电视，符合条件，故选A.11．A 由a 7a 6<－1，得a 7a 6＋1<0，得a 7＋a 6a 6<0，若S n 有最大值，则d <0，∴a 6>0，a 7＋a 6<0，∴S 11＝11a 6>0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 7＋a 6)<0，∴使S n >0时，n 的最大值为11，故选A.12．C f (x )＝12sin x (sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12sin x (2sin 2x －1)令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，∴h (t )＝12t (2t 2－1)＝12()2t 3－t ，t ∈[－1,1]，h ′(t )＝12(6t 2－1)，令h ′(t )＝0，∴t ＝±66，∴当－1<t ＜－66，66<t <1时，h ′(t )>0，h (t )为增函数，当－66<t <66时，h ′(t )<0，h (t )为减函数， h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－66＝618，h (1)＝12，∴h ⎝⎛⎭⎪⎫－66<h (1)，∴h (t )在[－1,1]上的最大值为h (1)＝12，g ′(x )＝3－2xa e 2x ，令g ′(x )＝0，得x ＝32，则当a >0时，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞为减函数，∴g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝12a e 3. 由题可知f (x )max <g (x )max ， ∴12<12a e 3，∴a <1e 3，又a >0，∴0<a <e －3，故选C. 13.x 23－y 2＝1解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝33，c ＝2∴a 2＝3，b 2＝1，∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. 14．5解析：由m －2n ＝(11，－2)，得|m －2n |2＝125， ∴m 2－4m ·n ＋4n 2＝125， ∴25＋4n 2＝125， n 2＝25，∴|n |＝5. 15.(7＋ln2)55解析：由y ＝ln x (x >0)，得y ′＝1x ，令1x ＝2，∴x ＝12，y ＝ln 12＝－ln2，∴曲线y ＝ln x 上与直线y ＝2x ＋6平行的切线的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln2，则 |MN |＝|2×12＋ln2＋6|5＝(7＋ln2)55. 16．2 3解析：由12b cos A ＝sin B ，得12cos A ＝sin B b ＝sin A a ， ∴12cos A ＝sin A a ，∴tan A ＝a2＝3，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，由a 2＝b 2＋c 2－2b cos A ，得12＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·12，bc ＝8，∴S ＝12bc sin A ＝12×8×32＝2 3.17．解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝14，a 3＋a 5＝564， ∴14q 2＋14q 4＝564，∴q 2＝14，∴q ＝±12，∵a n >0，∴q ＝12，∴a n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.(2)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，∵a 1＝14， ∴S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＝2n －12n ＋1， b n ＝1(2n ＋1－1)S n ＝2n ＋1(2n ＋1－1)(2n－1) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1－1. ∴T n ＝2⎝⎛1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－⎭⎪⎪⎫12n ＋1－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1－1. 18．解析：(1)设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A ，B ，C∴P (A )＝34，P (B )＝35，P (C )＝23. ∴甲恰好获胜两场的概率 P ＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －) ＝14×35×23＋34×25×23＋34×35×13 ＝920.(2)设甲获胜场次为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3P (X ＝0)＝P (A －B －C －)＝14×25×13＝130；P (X ＝1)＝14×25×23＋14×35×13＋34×25×13＝1360；P (X ＝2)＝920；P (X ＝3)＝34×35×23＝310； ∴X 的分布列为∴EX ＝0×130＋1×1360＋2×920＋3×310＝12160. 19．解析：(1)连接A 1D ，∵MN ∥平面ADB 1A 1， MN ⊂平面A 1C 1D ，平面C 1DA 1∩平面ADB 1A 1＝A 1D ，∴MN ∥A 1D ，又M 为C 1A 1的中点，∴MN 为△C 1A 1D 的中位线， ∴N 为DC 1的中点．(2)A 1B 1＝1，∴AA 1＝1，CC 1＝1， ∵B 为AD 的中点， ∴AD ＝2，∵△ABC ≌△A 1B 1C 1，平面A 1B 1C 1∩平面A 1ACC 1＝A 1C 1， ∴A 1C 1∥AC ，∴四边形A 1ACC 1为平行四边形，又A 1C 1＝A 1A ，∴四边形A 1ACC 1为菱形，∠C 1A 1A ＝π3，A 1M ＝12，∴AM ＝32，∴AM ⊥AC ，∵AD ⊥AA 1，平面ADB 1A 1⊥平面ACC 1A 1， ∴AD ⊥平面A 1ACC 1， ∴AD ⊥AM ，AD ⊥AC ， ∴AM ，AD ，AC 两两互相垂直，以A 为坐标原点，AD ，AC ，AM 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，∴A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，C 1⎝⎛⎭⎪⎫0，12，32， ∴DC →＝(－2,1,0)，DC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，12，32，设平面CC 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，－2x ＋12y ＋3z 2＝0∴令z ＝23，∴x ＝3，y ＝6， ∴n ＝(3,6,23)，又AC ⊥平面MAD ， ∴AC→＝(0,1,0)， ∴cos 〈n ，AC →〉＝657＝25719.20．解析：(1)∵S △MOF ＝32， ∴12bc ＝32，∴bc ＝3，又S 菱形＝43，∴12×2a ×2b ＝43，∴ab ＝23，∴c ＝3b ，a ＝23b ，由a 2－c 2＝b 2，12b 2－3b 2＝b 2， ∴b 2＝3，a 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝my －1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，∴y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6m 3m 2＋42＋363m 2＋4＝12m 2＋13m 2＋4， ∴S △POQ ＝12|OF ||y 1－y 2|＝6m 2＋13m 2＋4＝335，解得m 2＝2，∴k l ＝1m ＝±22.21．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝2e ＋1x －3a2，当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，0<x <2(2e ＋1)3a ，f ′(x )>0， x >2(2e ＋1)3a ，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，2(2e ＋1)3a ，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2(2e ＋1)3a ，＋∞. (2)当a ＝23时，f (x )＝(2e ＋1)ln x －x ＋1，由x e x ＋m ≥f (x )，得x e x ＋m －(2e ＋1)ln x ＋x －1≥0恒成立．令g (x )＝x e x ＋m －(2e ＋1)ln x ＋x －1. g ′(x )＝(x ＋1)e x－2e ＋1x ＋1.g ″(x )＝(x ＋2)e x＋2e ＋1x 2>0，∴g ′(x )为增函数，又g ′(1)＝2e －2e －1＋1＝0， ∴当0<x <1时，g ′(x )<0，当x >1时，g ′(x )>0， ∴g (x )≥g (1)＝e ＋m . ∴e ＋m ≥0，∴m ≥－e. ∴实数m 的最小值为－e.22．解析：(1)C 1的普通方程为y ＝k (x －1)， C 2的直角坐标方程：x 2＋y 2＋10x －6y ＋33＝0. (2)C 2表示圆心(－5,3)，半径为1的圆，圆心(－5,3)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|6k ＋3|1＋k2，故|PQ |的最小值为|6k ＋3|1＋k2－1＝2，解得k ＝0或k ＝－43.23．解析：(1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23＝|3x |，∴|3x |≥|t －1|，∴x ≥|t －1|3或x ≤－|t －1|3， ∴|t －1|3＝13，∴t ＝0或t ＝2. (2)原不等式等价于|3x －2|－|3x ＋1|≤3y ＋m ·3－y 恒成立． |3x －2|－|3x ＋1|≤3. ∴3y ＋m ·3－y ≥3.∴m ≥3y (3－3y )恒成立，∵[3y (3－3y )]max ＝94，∴m ≥94.当且仅当y ＝log 232时成立．。

重点高中黄冈中学2019年理科实验班自主招生(预录)数学训练试题六(无答案)

重点高中黄冈中学2019年理科实验班自主招生（预录）数学训练试题六（时间120分钟满分120分）一、填空题(每小题3分，满分24分) 1.函数213--+=x x y 中，自变量x 的取值范围是。

2.2012年春节，从除夕到大年初七，八天时间，全国手机短信发送量为126亿条，用科学记数法表示126亿条为________________条。

3.观察图中数字的规律，在“？”处的数字是。

4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，若腰长为a ，则其底边上的高为。

5.某商店对标价为1元的铅笔有两种优惠：甲种优惠每买5支送1支(不足5支不送)；乙种优惠买4支或4支以上打8.5折，小明买13支这样的铅笔，至少要付元。

6.若关于x 的分式方程122-=-+x ax 的解是正数，则a 的取值范围是。

7.如图，半径为2的⊙O 中，弦AB 与弦CD 垂直相交于点P ，连结OP ，若 OP ＝1，则AB ²＋CD ²的值为。

8.甲去上海进货，乙去广州进货，结果购进同样的衬衫共100件，都以每件a 元的价格卖出，甲赚800元，乙赚1800元。

若甲按乙的价格进原数量衬衫，乙按甲的价格进原数量衬衫，也以每件a 元的价格卖出，两个人赚钱一样多，则甲进件衬衫。

二、单项选择题(每小题3分，满分24分)9.已知a －b ＝3，b ＋c ＝－5，则代数式a c －bc ＋a ²－a b 的值是( ) A 、－15 B 、－2 C 、－6 D 、610.在起始站(第一站)以后每站都有一半人下车，又有下车人数的一半人上车，如果到第五站(终点站)还有27人，那么起始站上车的人数是( )A 、128B 、64C 、32D 、16 11.下列命题中，假命题有( )①等腰梯形的底角相等；②四个角都相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 12.若直角三角形的三边长分别为2、4、x ，则x 的可能值有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个13.植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由男同学完成，每人应植树( )A 、9棵B 、10棵C 、11棵D 、12棵 14.如图，EF 过矩形的对角线交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，如果阴影部分的面积为12，那么矩形的面积为( ) A 、60 B 、48 C 、40 D 、3615.三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有( ) A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个16.如图，四边形ABCD 中，AB=BC=CD ,∠BAC=90°，∠BCD=150°，则∠BAD=（） A.30° B,45° C.60° D.75°重点高中黄冈中学2019年理科实验班自主招生（预录）数学训练试题六姓名：_______ 分数：_______一、填空题(每小题3分，满分24分) 1． 2． 3． 4． 5．6．7．8．二、单项选择题(每小题3分，满分24分)三、解答题(满分60分)17.(本题5分)某同学在计算“44)4422(2222-÷--++-x x x x x x x ，其中2006-=x ”时，把“2006-=x ”错抄成“2006=x ”，但他的计算结果仍是正确的，请你说明这是为什么？18.(本题6分)某种产品按质量分为10个档次。

黄冈中学2019高三数学五月模拟试卷及答案(理科)

湖北省黄冈中学2019年高三五月模拟考试数学（理工类）本试卷共4页，共22题，其中15,16题为选考题。

满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的区域内。

答在试卷纸、草稿纸上无效.一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是A ．1B ．0C ．－1D ．1或－1 2．若(2)a i i b i -=-，其中,a b R ∈，i 是虚数单位，复数a bi +=A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -3.阅读右面的程序框图，则输出的S =A ．14B ．20C ．30D ．554.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的 A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件.5．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是 A ．x y cos = B ．1--=x y C ．xx y +-=22lnD ．xx e e y -+= 6．已知二项式()2*12nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为（第3题图）A ．45256 B ．47256 C ．49256D ．512567．已知两点(1,0),(1,3),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且120=∠AOC ，设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R 则等于A ．1-B ．２C ．1D ．2-8．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点,它们到直线2-=x 的距离之和等于5,则这样的直线A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在9．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n 年企业付给工人的工资总额y (万元)表示成n 的函数，则其表达式为A ．y ＝(3n ＋5)1.2n ＋2.4B ．y ＝8×1.2n ＋2.4nC ．y ＝(3n ＋8)1.2n ＋2.4D ．y ＝(3n ＋5)1.2n －1＋2.410.如图，平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，CD BD BD ⊥=,2，将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥BD A '平面BCD ，若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球的体积为 A.π23B. π3C. π32 D. π2二、填空题：本小题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.(一)必考题（11—14题）11．函数1)(23++-=x x x x f 在点)2,1(处的切线与函数2)(x x g =围成的图形的面积等于.12．平面直角坐标系中，圆O 方程为122=+y x ，直线x y 2=与圆O 交于B A ,两点，又知角α、β的始边是x 轴，终边分别为OA 和OB ，则()cos αβ+= .DCBA 'D CBA第10题13．已知点P 的坐标4(,)1x y x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩满足，过点P 的直线l 与圆22:14C x y +=相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为． 14. 若实数a,b,c 满足222,2222aba ba b c a b c ++++=++=，则c 的最大值是 .（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答）15.如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA =2，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，则CD= .16．已知直线()142x tt R y t=+⎧∈⎨=-⎩与圆()2cos 2[0,2]2sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=⎩相交于AB,则以AB为直径的圆的面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2019年湖北省黄冈中学高考数学模拟试卷(理科)(6月份)(有答案解析)

2019年湖北省黄冈中学高考数学模拟试卷（理科）（6月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x2-x-2＞0}，N={-1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A. {0，1}B. {3}C. {-1，0，1，2，3}D. {0，1，2，3}2.若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，1)B. (－∞，－1)C. (1，＋∞)D. (－1，＋∞)3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为m1，m2，标准差分别为n1，n2，则（）A. ,B. ,C. ,D. ,4.若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A. B. C. 1 D.5.运行如图程序框图，则输出框输出的是（）A.B.C. 2D. 06.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为（）A. B. C. D.7.设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A. [-1，2]B. [0，2]C. [1，+∞）D. [0，+∞）8.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A. 点P到平面QEF的距离B. 直线PQ与平面PEF所成的角C. 三棱锥P-QEF的体积D. △QEF的面积9.广东省2018年新高考方案公布，实行“3+1+2”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为（）A. B. C. D.10.设P,Q分别为圆和椭圆上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )A. B. C. D.11.已知函数f（x）=sin（x-φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A. x=B. x=C. x=D. x=12.定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），且对任意的不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f（2mx-ln x-3）≥2f（3）-f（-2mx+ln x+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则z=2x-y的最小值等于______．14.已知非零向量，满足4||=3||，若⊥（-4+）则，夹角的余弦值为______15.我国古代数学家祖暅提出的祖暅原理：“幂势既同,则积不容异”“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两个同高的几何体,若在等高处截面的面积恒相等,则它们的体积相等已知某几何体与三视图如图所示所表示的几何体满足“幂势既同”,则该几何体的体积为______．16.已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且满足2a2+bc=6，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，2a2+a5=a8，S5=25（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，其前项和为T n，求证：．18.如图，多面体ABCDB1C1为正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得，M为CB1的中点，且BC=BB1=2．（1）若D为AA1中点，求证AM∥平面DB1C1；（2）若二面角D-B1C1-B大小为，求直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值．19.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（x试销单价x（元）456789产品销量y（件）q8483807568已知=80．（Ⅰ）求出q的值；（Ⅱ）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程；（Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与x i对应的产品销量的估计值．当销售数据（x i，y i）对应的残差的绝对值时，则将销售数据（x i，y i）称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为，）20.直线l：y=x+m与曲线C：x2=2py交于A，B两点，A与B的中点N横坐标为2．（1）求曲线C的方程；（2）过A，B两点作曲线C的切线，两切线交于点E，直线VE交曲线C于点M，求证：M是线段NE的中点．21.已知f（x）=e x-ax2（a∈R）．（Ⅰ）求函数f'（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=xe x-f（x），若g（x）有两个零点，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点M，N，求|MN|的最大值．23.已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|．（Ⅰ）当a=-3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|x-4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：M={x|x＜-1，或x＞2}；∴M∩N={3}．故选：B．可求出集合M，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：B解析：【分析】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．复数（1-i）（a+i）=a+1+（1-a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a范围．【解答】解：复数（1-i）（a+i）=a+1+（1-a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜-1．则实数a的取值范围是（-∞，-1）．故选B．3.答案：C解析：【分析】本题考查两组数据的平均数、标准差的大小的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：由甲、乙两名同学6次考试的成绩统计图，知：甲的平均成绩高于乙的平均成绩，甲的成绩的波动小于乙的成绩的波动，甲乙两组数据的平均数分别为m1，m2，标准差分别为n1，n2，则m1＞m2，n1＜n2．故选C．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”化“切”是关键，属于基础题．将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选A．5.答案：A解析：解：模拟程序的运行，可得n=1，x=满足条件n≤2019，执行循环体，x=-1，n=2满足条件n≤2019，执行循环体，x=2，n=3满足条件n≤2019，执行循环体，x=，n=4…观察规律可得x的取值周期为3，由于2019=673×3，可得n=2019时，满足条件n≤2019，执行循环体，x=，n=2020此时，不满足条件n≤2019，退出循环，输出x的值为．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：C解析：【分析】此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．由题意圆C：x2+y2-6x+5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为（3，0），利用双曲线的右焦点为圆C 的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，建立另一个a，b的方程．求出a，b，然后求解离心率．【解答】解：因为圆C：x2+y2-6x+5=0⇔（x-3）2+y2=4，由此知道圆心C（3，0），圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线C：=1（a＞0，b＞0），∴a2+b2=9①又双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，而双曲线的渐近线方程为：y=±x⇔bx±ay=0，∴=2②连接①②得，可得c=3，所以双曲线的离心率为：=．故选：C．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．考查学生推理能力与计算能力，属于中档题.分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【解答】解：当x≤1时，21-x≤2,可变形为1-x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1-log2x≤2,可变形为log2x≥-1,x≥，∴x>1，则满足f（x）≤2的x的取值范围是[0，+∞）．故选D．8.答案：B解析：解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P-QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．A．由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．由于点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P-QEF的体积为定值；B．用排除法即可得出．本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．9.答案：C解析：解：广东省2018年新高考方案公布，实行“3+1+2”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，基本事件总数n==12，在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数m=，∴在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为p=．故选：C．基本事件总数n==12，在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数m=，由此能求出在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：D解析：【分析】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属基础题.求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：圆x2+（y-6）2=2的圆心为（0，6），半径为，椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选D.11.答案：A解析：【分析】本题主要考查定积分，函数y=A sin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x-）．令x-=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x-φ），f（x）dx=-cos（x-φ）=-cos（-φ）-[-cos（-φ）]=cosφ-sinφ=cos（φ+）=0，∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x-）．令x-=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，故选：A．12.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于较难题．由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤2mx-ln x≤6对x∈[1，3]恒成立，2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围．【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）为偶函数，∵函数数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，若不等式f（2mx-ln x-3）≥2f（3）-f（-2mx+ln x+3）对x∈[1，3]恒成立，即f（2mx-ln x-3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立．∴-3≤2mx-ln x-3≤3对x∈[1，3]恒成立，即0≤2mx-ln x≤6对x∈[1，3]恒成立，即2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）max=．令h（x）=，h′（x）=＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）min=．综上所述，m∈[，]．故选D．13.答案：-解析：【分析】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（-1，）．∴z=2x-y的最小值为2×（-1）-=-．故答案为．14.答案：解析：【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，求得，夹角的余弦值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，属于基础题．【解答】∵非零向量，满足4||=3||，若⊥（-4+），∴||=||，且•（-4+）=-4=0，即=．设，夹角为θ，则cosθ===，故答案为：．15.答案：解析：【分析】本题考查三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及计算能力．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】由题意可知几何体是圆柱挖去一个圆锥的几何体，几何体的体积为：=．故答案为：．16.答案：1解析：解：∵2a2+bc=6，a2=b2+c2-2bc cos A，∴6=2（b2+c2-2bc cos A）+bc≥5bc-4bc cos A，即：bc≤，当且仅当b=c时等号成立，那么=1．其中：3sin A+4cos A=5sin（A+φ）．故答案为：1．根据：2a2+bc=6，由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A，可得6=2（b2+c2-2bc cos A）+bc≥5bc-4bc cos A，在利用基本不等式求解即可；本题考查了基本不等式和余弦定理的综合应用，属于难题．17.答案：解：（1）设公差为d，则由2a2+a5=a8，S5=25得，，解得，所以a n=2n-1．（2），，易知T n随着n的增大而增大，所以．解析：（1）利用已知条件，结合等差数列的通项公式以及数列的和，列出方程求出数列的首项与公差，即可得到数列的通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力以及转化思想的应用．18.答案：解：（1）取B1C1中点N，连接MN，则MN为△B1C1C的中位线，∴∴MN，∵D为AA1中点∴AD，∴MN AD………………………………………………2′∴四边形ADMN为平行四边形………………………………………………4′∴AM∥DN，∴AM∥平面DB1C1………………………………………………6′（2）由B1C1⊥DN，B1C1⊥MN可得∠DNM二面角D-B1C1-B平面角，二面角D-B1C1-B大小为可得………………………………………………8′如图建立空间直角坐标系，C（-1，0，0），B1（1，2，0），，∴设平面ACB1的法向量为，…………………………………………10′………………………………………………11′所以直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值为．………………………………………………12′解析：（1）取B1C1中点N，连接MN，则MN为△B1C1C的中位线，证明四边形ADMN为平行四边形，然后证明AM∥平面DB1C1．（2）说明∠DNM二面角D-B1C1-B平面角，如图建立空间直角坐标系，求出平面ACB1的法向量，利用空间向量的数量积求解直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值．本题考查空间向量的数量积求解直线与平面所成角，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.答案：解：（Ⅰ），可求得q=90．（Ⅱ），，所以所求的线性回归方程为．（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的线性回归方程可得，当x1=4时，；当x2=5时，；当x3=6时，；当x4=7时，；当x5=8时，；当x6=9时，．与销售数据对比可知满足（i=1，2，…，6）的共有3个“好数据”：（4，90）、（6，83）、（8，75）．于是ξ的所有可能取值为0，1，2，3.；；；，ξ0123P于是．解析：（Ⅰ）利用，可求得q．（Ⅱ）利用公式求解回归直线方程中的几何量，即可得到回归直线方程．（Ⅲ）求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3．求出概率，得到ξ的分布列然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，回归直线方程的应用，考查计算能力．20.答案：解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，于是直线AB的斜率所以曲线C的方程为x2=4y．（2）抛物线在A（x1，y1）点处的切线方程为：，整理得：，同理：抛物线在点B（x2，y2）处的切线方程为：联立方程组解得：，解得：，即E（2，-m）．而N（2，2+m），所以直线NE的方程为：x=2；与抛物线方程联立可得M（2，1）由N（2，2+m），M（2，1），E（2，-m），可得M是线段NE的中点．解析：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法求解直线的斜率，推出p，然后求解曲线C的方程．（2）求出抛物线在A（x1，y1）点处的切线方程，抛物线在点B（x2，y2）处的切线方程，联立求出E（2，m）．然后转化证明即可．21.答案：解：（Ⅰ）f’（x）=e x-2ax，f’’（x）=e x-2a（1）若a≤0，显然f’’（x）＞0，所以f’（x）在（-∞，+∞）上是增函数所以，函数f（x）没有极值，（2）若a＞0，则由f’’（x）＜0可得x＜ln2a，f''（x）＞0可得x＞ln2a，所以f’（x）在（-∞，ln2a）上是减函数，在（ln2a，+∞）上是增函数．所以f’（x）在x=ln2a处取极小值，极小值为f’（ln2a）=2a（1-ln2a）．（Ⅱ）g（x）=xe x-f（x）=（x-1）e x+ax2，函数g（x）的定义域为R，且g'（x）=xe x+2ax=x（e x+2a），（1）若a＞0，则由g’（x）＜0可得x＜0，由g（x）＞0可得x＞0．所以g（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．所以g（x）的最小值为g（0）=-1．令h（x）=（x-1）e x，则h’（x）=xe x．显然由h’（x）＜0可得x＜0，所以h（x）=（x-1）e x在（-∞，0）上是减函数，又函数y=ax2在（-∞，0）上是减函数，取实数，则，又g（0）=-1＜0，g（1）=a＞0，g（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．由零点存在性定理，g（x）在上各有一个唯一的零点．所以a＞0符合题意．（2）若a=0，则g（x）=（x-1）e x．显然g（x）仅有一个零点1，所以a=0不符合题意，（3）若a＜0，则g′（x）=x[e x-e ln（-2a）]，①若ln（-2a）=0，则．而由g'（x）＞0可得x＜0，或x＞0，所以g（x）在R上是增函数．所以g（x）最多有一个零点．所以不符合题意．②若ln（-2a）＜0，则，由g'（x）＞0可得x＜ln（-2a），或x＞0，由g’（x）＜0可得ln（-2a）＜x＜0．所以g（x）在（-∞，ln（-2a））上是增函数，在（ln（-2a），0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．所以g（x）在x=ln（-2a）处取极大值，且极大值为：g（ln（-2a））=a[ln2（-2a）-2ln（-2a）+2]=a{[ln（-2a）-1]2+1}＜0，所以g（x）最多有一个零点，所以不符合题意．③若ln（-2a）＞0，则，由g'（x）＞0可得x＜0，或x＞ln（-2a），由g’（x）＜0可得0＜x＜ln（-2a），所以g（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，ln（-2a）上是减函数，在（ln（-2a），+∞）上是增函数．所以g（x）在x=0处取极大值，且极大值为g（0）=-1＜0，所以g（x）最多有一个零点，所以不符合题意，综上，a的取值范围是（0，+∞）．解析：（Ⅰ）首先求解导函数，然后求解二阶导函数，由二阶导函数的性质确定导函数的极值即可；（Ⅱ）首先求得函数的导函数，然后分类讨论确定实数a的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的极值，导函数研究函数的零点个数，分类讨论的熟悉熟悉等知识，属于中等题．22.答案：解：（Ⅰ）极坐标方程可化为等价于，将x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2代入，所以曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅱ）不妨设0≤α＜π，点M，N的极坐标分别为（ρ1，α），（ρ2，α）所以|MN|=|ρ1-ρ2|===所以当时，|MN|取得最大值．解析：（Ⅰ）利用差角的余弦公式展开，再两边同时乘以ρ，利用互化公式可得C2的直角坐标方程；（Ⅱ）利用直线l的极坐标方程与C1与C2联立得到M，N的极径，可得|MN|．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）当a=-3时，f（x）≥3，即|x-3|+|x-2|≥3，即①，或②，或③；解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x-4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2-x≤4-x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于-2≤x+a≤2，-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，-2-x的最大值为-2-1=-3，2-x的最小值为0，故a的取值范围为[-3，0]．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．．。

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2019年湖北省黄冈中学自主招生（理科）（实验班）数学模拟试卷一、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）化简，结果是（）A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．42．（5分）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）由4个等边三角形拼成的四面体，四个面上分别由“弘”、“德”、“尚”、“学”四个字，把该四面体的包装纸展开如图，则阴影部分的字为（）A．弘B．德C．尚D．学二、填空题（每题5分，满分40分，将答案填在答题纸上）4．（5分）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=，q=．5．（5分）在2016的中间嵌入一个数字得到五位数20□16，若此五位数能被7整除，则嵌入的数字□为．6．（5分）直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，则m的值为．7．（5分）有一个五边形ABCDE，若把顶点A，B，C，D，E涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有种不同的涂色方法．8．（5分）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是．9．（5分）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是．10．（5分）如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB 的度数是．11．（5分）如图，在一次自行车越野赛中，甲，乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是．三、解答题（本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）12．（12分）完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和，这就是分类计数原理，也叫做加法原理．完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积，这就是分步计数原理，也叫做乘法原理．（Ⅰ）300人参加校内竞赛，每个人都可以享受加分政策，且有10，20，30，60四个档次．小王想获得至少30分的加分，那么概率为多少？（Ⅱ）某大学的录取分数线为660分，小王估得高考分数可能在630～639，640～649，650～659三个分段．（1）若小王的高考分数在630～639分段，则小王被该大学录取的概率为多少？（2）若小王的高考分数在三个分段的概率都是，则小王被该大学录取的概率为多少？13．（16分）如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得△AOC为等腰三角形，求点C的坐标．14．（14分）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN=CN．15．（18分）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．2019年湖北省黄冈中学自主招生（理科）（实验班）数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）化简，结果是（）A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．4【分析】先求出x的取值范围，再化简，由此能求出结果．【解答】解：∵，∴，∴x≥，∴=﹣（）2=3x﹣1﹣（3x﹣5）=4．故选：D．【点评】本题考查根式与分数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意根式与分数指数幂的性质及运算法则的合理运用．2．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】要求方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数，进行简单的化简得3（x﹣）2+（y+1）2=，然后进行讨论，可以得到结论．【解答】解：3x2+y2=3x﹣2y，3x2+y2﹣3x+2y=0，3（x﹣）2+（y+1）2=，当x=0时，y=0，即（0，0），当x=1时，y=0，即（1，0），当x=2时，y无解．当x≥2时，y均无解，综上所述方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为2．故选C．【点评】本题考查了二次二次方程的整数根的问题，属于中档题．3．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）由4个等边三角形拼成的四面体，四个面上分别由“弘”、“德”、“尚”、“学”四个字，把该四面体的包装纸展开如图，则阴影部分的字为（）A．弘B．德C．尚D．学【分析】由题意画出图形，得到剪展后的图形，可得阴影部分的字为“尚”．【解答】解：如图，不妨设面PAB上的字为“弘”，PBC上的字为“德”，PAC上的字为“学”，ABC上的字为“尚”，图形展开如图，则阴影部分的字为“尚”．故选：C．【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．二、填空题（每题5分，满分40分，将答案填在答题纸上）4．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=17，q=2．【分析】先根据5p+3q=91可知p、q为一奇一偶，再由p和q为质数可知p、q中必有一数为2，再把p=2或q=2代入5p+3q=91求出另一未知数的对应值，找出符合条件的未知数的值即可．【解答】解：∵5p+3q=91，∴p、q为一奇一偶，∵p和q为质数，∴p、q中必有一数为2，当p=2时，q==27，27为合数，故舍去，当q=2时，p==17．故p=17，q=2．故答案为：17，2．【点评】本题考查了方程的解得问题，以及分类讨论的思想，属于基础题．5．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）在2016的中间嵌入一个数字得到五位数20□16，若此五位数能被7整除，则嵌入的数字□为2或9．【分析】能被7整除的数的特点，能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述的过程，直到能清楚判断为止．例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13﹣3×2=7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613﹣9×2=595，59﹣5×2=49，所以6139是7的倍数．【解答】解：设插入的数为x，则五位数为20x16，当x=0时，2001﹣6×2=1989，198﹣9×2=180，不能被7整除；当x=1时，2011﹣2×6=1999，199﹣9×2=181，不能被7整除；当x=2时，2021﹣2×6=2009，200﹣9×2=182，能被7整除；当x≥3时，20x0﹣2×6=20（x﹣2）8，20（x﹣2）﹣8×2=7k（k=26，27，…），只有当x=9时满足题意，综上可得，满足题意2或9．故答案为：2或9．【点评】本题考查数的整除性问题，难度较大，关键是掌握判断能被7整除的数的特点．6．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，则m的值为﹣5或﹣6．【分析】作出函数的图象，利用直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，即可求出m 的值．【解答】解：函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1=，函数图象如图所示，x＜2时，y=（x﹣1）2﹣6，x2﹣8x+7=x2﹣2x﹣5，∴x=2，y=﹣5．∵直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，∴m=﹣5或﹣6．故答案为：﹣5或﹣6．【点评】本题考查函数的图象，考查学生分析解决问题，正确作出函数的图象是关键．7．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）有一个五边形ABCDE，若把顶点A，B，C，D，E涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有30种不同的涂色方法．【分析】本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况．如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况，这时最后两个边也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况，最后两个边有3种情况．根据计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况．如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况；这时最后两个边也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况；这时最后两个边有3种情况．∴方法共有3（2×2+2×3）=30种．故答案为：30．【点评】对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类．8．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是18．【分析】先因式分解得到（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，即可得到只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，分别计算判断即可．【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143=0⇒25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，而只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，①当5x﹣26=1、5x﹣5a+26=39联立解得a=2.8不符合，②当5x﹣26=39、5x﹣5a+26=1联立解得a=18，③当5x﹣26=3、5x﹣5a+26=13联立解得a=8.4不符合，④当5x﹣26=13、5x﹣5a+26=3联立解得a=12.4不符合，∴当a=18时，方程为5x2﹣90x+325=0两根为13、﹣5．故答案为：18．【点评】本题考查了方程根的问题，关键是分类讨论，属于基础题．9．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是．【分析】根据题意在AD上截取AH=AD，得到AG与OC的关系，然后由相似三角形得到OC与AO的关系，代入求出比值．【解答】解：如图，在AD上取点H，使AH=AD，连接BH交AC于O，则=，即AG=AO，又△AOH∽△COB，所以=，CO=AO，所以==．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，正确运用三角形相似的判定与性质是关键．10．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是112°．【分析】根据轴对称和平行线的性质，可得∠A'DE=∠B，又根据∠C=120°，∠A=26°可求出∠B的值，继而求出答案．【解答】解：由轴对称的性质知∠A′DE=∠B=180°﹣120°﹣26°=34°，∠BDE=180°﹣∠B=146°，故∠A'DB=∠BDE﹣∠A'DE=146°﹣34°=112°．故答案为：112°．【点评】本题考查了轴对称的性质及三角形中位线定理，根据题意得出各角之间的关系是关键．11．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）如图，在一次自行车越野赛中，甲，乙两名选手所走的路程y （千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是0＜x＜38．【分析】求BC与线段OD的交点的横坐标即可．【解答】解：由图可知，直到最后，甲发力，追上乙，且领先到达终点；直线OD的方程为：y=x；直线BC的方程为：y=x﹣；交点的横坐标为38；∴0＜x＜38．【点评】考查了一次函数图象的性质和对实际问题的理解．属于基础题型，应熟练掌握．三、解答题（本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）12．（12分）（2016•黄州区校级自主招生）完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和，这就是分类计数原理，也叫做加法原理．完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积，这就是分步计数原理，也叫做乘法原理．（Ⅰ）300人参加校内竞赛，每个人都可以享受加分政策，且有10，20，30，60四个档次．小王想获得至少30分的加分，那么概率为多少？（Ⅱ）某大学的录取分数线为660分，小王估得高考分数可能在630～639，640～649，650～659三个分段．（1）若小王的高考分数在630～639分段，则小王被该大学录取的概率为多少？（2）若小王的高考分数在三个分段的概率都是，则小王被该大学录取的概率为多少？【分析】（Ⅰ）300人参加校内竞赛，获得至少30分的加分的人数有180人，由此能求出小王获得至少30分的加分的概率．（Ⅱ）（1）小王被该大学录取，需要获得至少30分的加分，由此能求出小王被该大学录取的概率．（2）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出小王被该大学录取的概率．【解答】（本小题12分）解：（Ⅰ）∵300人参加校内竞赛，每个人都可以享受加分政策，且有10，20，30，60四个档次，获得至少30分的加分的人数有：150+30=180，∴小王获得至少30分的加分的概率为：p1==．（Ⅱ）（1）∵某大学的录取分数线为660分，小王的高考分数在630～639分段，∴小王被该大学录取，需要获得至少30分的加分，∴小王被该大学录取的概率为p2==．（2）∵某大学的录取分数线为660分，小王估得高考分数可能在630～639，640～649，650～659三个分段，小王的高考分数在三个分段的概率都是，∴小王被该大学录取的概率为p3=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理运用．13．（16分）（2016•黄州区校级自主招生）如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得△AOC为等腰三角形，求点C的坐标．【分析】分当∠AOC=∠ACO、∠OAC=∠OCA、∠AOC=∠CAO三种情况，分别利用等腰三角形的性质，求得a的值，可得结论．【解答】解：由于△AOC为等腰三角形，点A（0，2），设点C（a，2a），当∠AOC=∠ACO时，由AO=AC=2，可得4=a2+（2a﹣2）2，求得a=，此时，C（，）．当∠OAC=∠OCA时，则由OA=OC，可得2=，求得a=±，此时，C（，）或C（﹣，﹣）．当∠AOC=∠CAO时，则由CA=CO，可得=，求得a=，此时，C（，1）．故满足条件的点共有四个：（，）、（，）、（﹣，﹣）、（，1）．【点评】本题主要考查一次函数和等腰三角形的知识，属于基础题．14．（14分）（2016•黄州区校级自主招生）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN=CN．【分析】连接AC 和BD ．证明△BCD ∽△OCA ，△CDN ∽△CAM ，利用相似三角形的性质，即可证明结论．【解答】证明：连接AC 和BD ．∵弦CD 垂直于直径AB ，∴BC=BD ，∴∠BCD=∠BDC ．∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC ．∵∠BDC=∠OAC ，∴∠BCD=∠OCA ，∴△BCD ∽△OCA ，∴=．∵∠DCN=∠ACM ，∠CDN=∠CAM ，∴△CDN ∽△CAM ．∵===，∴CN=CB ，即BN=CN ．【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析及问题的能力，属于中档题．15．（18分）（2016•黄州区校级自主招生）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往 A ，B 两地区收割水稻，其中30台派往 A 地区，20台派往 B 地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：（1）设派往 A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y关于x 的函数关系式；（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．【分析】（1）根据未知量，找出相关量，列出函数关系式；（2）利用不等式的性质进行求解，对x 进行分类即可；（3）根据一次函数的单调性可直接判断，得出结论．【解答】解：（1）由于派往A 地的乙型收割机x 台，则派往B 地的乙型收割机为（30﹣x ）台，派往A ，B 地区的甲型收割机分别为（30﹣x ）台和（x ﹣10）台．∴y=1600x+1200（30﹣x）+1800（30﹣x）+1600（x﹣10）=200x+74000（10≤x≤30）．（2）由题意，得200x+74000≥79600，解得x≥28，∵10≤x≤30，x是正整数，∴x=28、29、30∴有3种不同分派方案：①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；③当x=30时，派往A地区的甲型收割机0台，乙型收割机30台，余者全部派往B地区；（3）∵y=200x+74000中，∴y随x的增大而增大，∴当x=30时，y取得最大值，此时，y=200×30+74000=80000，建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元．【点评】考查了利用一次函数模型解决实际问题，根据函数的性质，找出解决问题的方法．2019年湖北省黄冈中学自主招生（理科）（实验班）数学模拟试卷二一、填空题（每小题5分，共40分）1．（5分）方程组的解是．2．（5分）若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为．3．（5分）设﹣1≤x≤2，则|x﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为．4．（5分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、…、P2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2007′，y2007′），则|P2007Q2007|=．5．（5分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是．6．（5分）有一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是．7．（5分）已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则这五个数据的标准差是．8．（5分）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为．二、选择题（每小题5分，共40分）9．（5分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：1010．（5分）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A．B．C．D．11．（5分）抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）A．≤a≤1 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤212．（5分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元13．（5分）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A． B．C．D．14．（5分）如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣15．（5分）已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．16．（5分）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%三、解答题（共40分）17．（7分）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．18．（7分）如图，开口向下的抛物线y=ax2﹣8ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，（1）求OC的长及的值；（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式．19．（7分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）20．（9分）一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率．21．（10分）如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．（1）求证：PA•PE=PC•PF；（2）求证：；（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．2019年湖北省黄冈中学自主招生（理科）（实验班）数学模拟试卷二参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共40分）1．（5分）方程组的解是和．【分析】根据式子特点，设x+1=a，y﹣1=b，然后利用换元法将原方程组转化为关于a、b的方程组，再换元为关于x、y的方程组解答．【解答】解：设x+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，由②式又可变化为=26，把①式代入得=13，这又可以变形为（+）2﹣3=13，再代入又得﹣3=9，解得ab=﹣27，又因为a+b=26，所以解这个方程组得或，于是（1），解得；（2），解得．故答案为和．【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握．2．（5分）若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为a=0，b＜0．【分析】分a=0，a≠0两种情况分析．【解答】解：∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的，∴a=0，则左边式子ax=0，∴b＜0一定成立，∴a，b的取值范围为a=0，b＜0．【点评】本题是利用了反证法的思想．【分析】先根据﹣1≤x≤2，确定x﹣2与x+2的符号，在对x的符号进行讨论即可．【解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，∴当2≥x≥0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x﹣x+x+2=4﹣x；当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x+x+x+2=4+x，当x=0时，取得最大值为4，x=2时取得最小值，最小值为3，则最大值与最小值之差为1．故答案为：1【点评】本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简，即可求解．4．（5分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、…、P2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2007′，y2007′），则|P2007Q2007|=．【分析】要求出|P2007Q2007|的值，就要先求|Qy2007﹣Py2007|的值，因为纵坐标分别是1，3，5 …，共2007个连续奇数，其中第2007个奇数是2×2007﹣1=4013，所以P2007的坐标是（Px2007，4013），那么可根据P点都在反比例函数y=上，可求出此时Px2007的值，那么就能得出P2007的坐标，然后将P2007的横坐标代入y=中即可求出Qy2007的值．那么|P2007Q2007|=|Qy2007﹣Py2007|，由此可得出结果．【解答】解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013），又∵P2007在y=上，而Qx2007（即Px2007）在y=上，所以Qy2007===，∴|P2007Q2007|=|Py2007﹣Qy2007|=|4013﹣|=．故答案为：．【点评】本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求出P2007的横坐标，进而求出Q2007的值，从而可得出所求的结果．5．（5分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是3．【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦的长的问题．【解答】解：∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=∴n=120°即扇形的圆心角是120°∴弧所对的弦长是2×3sin60°=3【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．6．（5分）有一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是．【分析】首先由勾股定理求出AC的长，设AC的中点为E，折线与AB交于F．然后求证△AEF∽△ABC 求出EF的长．【解答】解：如图，由勾股定理易得AC=15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，（折线垂直平分对角线AC），AE=7.5．∵∠AEF=∠B=90°，∠EAF是公共角，∴△AEF∽△ABC，∴==．∴折线长=2EF=．故答案为．【点评】本题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似，全等等知识点．7．（5分）已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则这五个数据的标准差是．【分析】先解方程得到a，b的值，计算出平均数和方差后，再计算方差的算术平方根，即为标准差．【解答】解：由方程x2﹣3x+2=0解方程的两个根是1，2，即a=1，b=2故这组数据是3，1，4，2，5其平均数（3+1+4+2+5）=3方差S2=[（3﹣3）2+（1﹣3）2+（4﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]=2故五个数据的标准差是S==故本题答案为：．【点评】计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：（1）计算数据的平均数；（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；（3）计算偏差的平方和；（4）偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．8．（5分）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）．【分析】把含p的项合并，只有当p的系数为0时，不管p取何值抛物线都通过定点，可求x、y的对应值，确定定点坐标．【解答】解：y=2x2﹣px+4p+1可化为y=2x2﹣p（x﹣4）+1，分析可得：当x=4时，y=33；且与p的取值无关；二、选择题（每小题5分，共40分）9．（5分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10【分析】连接EM，根据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根据相似比从而不难得到答案．【解答】解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选：D．【点评】此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用．10．（5分）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A．B．C．D．【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S=，又∵r=，∴a+b=2r+c，将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选：B．【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．11．（5分）抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）A．≤a≤1 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤2【分析】此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决了．【解答】解：由右图知：A（1，2），B（2，1），再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，把A点代入y=ax2得a=2，把B点代入y=ax2得a=，则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2．故选：D．【点评】此题考查学生的观察能力，把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合．A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元【分析】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，建立三元一次方程组，两个方程相减，即可求得x+y+z的值．【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，根据题意得，②﹣①得x+y+z=1.05（元）．故选：B．【点评】解答此题的关键是根据题意列出方程组，同时还要有整体思想．13．（5分）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A． B．C．D．【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y=ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x=1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且△＞0，由（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2=﹣，x1x2=9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．。