【高考】2018-2019学年最新人教版数学高考(文)一轮复习训练：第七章规范练35直接证明与间接证明
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第7章不等式、推理与证明 第4节 直接证明与间接证明 (2)
即12 q2k+2a1qk=a1qk-1·
a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,
∵a1≠0,
∴2qk=qk-1+qk+1.∵q≠0,∴q2-2q+1=0,∴q=1,这与已知矛盾.
∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
突破技巧反证法证明问题的一般步骤
(2)a2b+b2a≤2.
证明:(1)(a+b)(a3+b3)=a4+ab3+ba3+b4≥a4+2 3 ·3 +b4
=a4+2a2b2+b4=(a2+b2)2=4,当且仅当a=b=1时取等号.
(2)由题意可知,2=a2+b2≥2ab>0,
∴0<ab≤1(当且仅当a=b=1时取等号).①
个方程有实根.
本 课 结 束
由基本不等式易得
+ 2
2
≤
2 + 2
,∴(a+b)2≤2(a2+b2)=4,
2
∴0<a+b≤2(当且仅当a=b=1时取等号).②
①×②可得a2b+b2a≤2.
解题心得1.综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题
设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命
2.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个结
论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习真题演练集训：第七章 不等式7-1含解析
真题演练集训1．[2016·北京卷］已知x，y∈R,且x＞y＞0，则( )A。
错误!－错误!＞0B．sin x－sin y＞0C.错误!x－错误!y＜0D．ln x＋ln y＞0答案:C解析：解法一:因为x〉y〉0,选项A,取x＝1，y＝错误!，则错误!－错误!＝1－2＝－1〈0，排除A；选项B，取x＝π,y＝错误!，则sin x－sin y ＝sin π－sin 错误!＝－1<0，排除B；选项D，取x＝2，y＝错误!，则ln x＋ln y＝ln(xy)＝ln 1＝0，排除D。
故选C.解法二：因为函数y＝错误!x在R上单调递减，且x>y〉0，所以错误! x<错误!y,即错误!x－错误!y〈0，故选C。
2．［2016·新课标全国卷Ⅰ]若a>b>1,0<c〈1,则( ）A．a c〈b c B．ab c<ba cC．a log b c〈b log a c D．log a c〈log b c答案：C解析：对于选项A,考虑幂函数y＝x c，因为c〉0，所以y＝x c为增函数，又a〉b〉1，所以a c〉b c，故A错;对于选项B,ab c〈ba c⇔错误!c〈错误!，又y＝错误!x是减函数，故B错；对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C.3．［2014·辽宁卷］当x∈［－2，1］时，不等式ax3－x2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( ）A．[－5，－3］B。
错误!C．［－6，－2］D．[－4，－3］答案：C解析：当x＝0时,ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R,当x∈（0,1]时,ax3≥x2－4x－3,a≥错误!,∴a≥错误!max。
设φ（x）＝错误!，φ′(x)＝错误!＝－错误!＝－错误!＞0，∴φ(x)在（0,1]上递增,φ(x）max＝φ（1)＝－6.∴a≥－6。
当x∈［－2,0)时，a≤错误!，∴a≤错误!min.仍设φ（x)＝错误!，φ′（x)＝－x－9x＋1x4，当x∈［－2，－1）时，φ′(x）＜0；当x∈(－1,0）时，φ′（x)＞0。
2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第7章 §7
所以∠C1A1D＝60°，又 A1M＝2，所以在△A1MN 中，由余弦定理可得 MN2＝A1N2＋A1M2－2A1N·A1Mcos∠MA1N＝592， 所以 MN＝2 313，即点 Q 的轨迹长度为2 313.
题型三 最值、范围问题
例3 (1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是线段B1D1上一动
第七章
题型一 空间位置关系的判定 例1 (1)如图，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝x，BD和AC交于点O，将 △BAD沿直线BD翻折，则下列说法中错误的是
A.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥OC B.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥BD C.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥平面ACD
√D.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥平面ABD
当AB＝x＝1时，此时矩形ABCD为正方形，则AC⊥BD， 将△BAD沿直线BD翻折，若使得平面ABD⊥平面BCD时， 由OC⊥BD，OC⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， 所以OC⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，所以AB⊥OC，故A正确； 又OC⊥BD，OA⊥BD，且OA∩OC＝O，OA，OC⊂平面OAC， 所以BD⊥平面OAC，又AC⊂平面OAC，所以AC⊥BD，故B正确； 在矩形 ABCD 中，AB⊥AD，AC＝ 1＋x2， 所以将△BAD沿直线BD翻折时， 总有AB⊥AD，
故 FE＝FG＝52，GE＝3， ∴△FEG的周长为8.
思维升华
解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法 (1)几何法：根据平面的性质进行判定. (2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定， 或用代替法进行计算. (3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置 进行排除.
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其
a＋b
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为 2
，几何平均数为 ab ，基
本不等式可叙述为 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 .
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有最 小 值
2 p .(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，xy有最 大 值 p2 4 .(简记：和定积最大)
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)已知 x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝(12)y，若1x＋my (m>0)的最小值为 3，则 m＝ ________.
解析答案
(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
解析答案
题型二 基本不等式与学科知识的综合 命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题
12345
解析答案
x2＋y2 2.若实数 x，y 满足 x>y>0，且 log2x＋log2y＝1，则 x－y 的最小值为 ___4_____.
解析 由log2x＋log2y＝1得xy＝2，又x>y>0，
x2＋y2 x－y2＋2xy 所以 x－y>0， x－y ＝ x－y
＝x－y＋x－4 y≥2 x－y·x－4 y＝4， x2＋y2
当且仅当 x－y＝2，即 x＝1＋ 3，y＝ 3－1 时取等号，所以 x－y 的
最小值为 4.
12345
解析答案
3.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝___3_____.
精编2018版高考数学人教A版理一轮复习真题集训第七章不等式72和答案
真题演练集训1．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12答案：C解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2＋y 2表示|OP |2.显然，当点P 与点A 重合时，x 2＋y 2取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －3y ＝9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故A (3，－1)．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C.2．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5答案：C解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故当目标函数z ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C.3．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元 D ．18万元答案：D解析：设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图中阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18(万元)．4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3答案：C解析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)． 目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝－x 2＋u 2，u 2表示纵截距.结合题意知p 1，p 2正确．5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案：32解析：约束条件对应的平面区域是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y ＝－x ＋z 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z 取得最大值32.课外拓展阅读 非线性目标函数最值的求解类型1 斜率型非线性规划问题的最值(值域)目标函数形式一般为z ＝ay ＋bcx d(ac ≠0)，求解步骤为(1)需先弄清其几何意义，z ＝a c ·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 表示的是可行域内的点(x ，y )与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－dc，－b a 所连直线的斜率的a c 倍．(2)数形结合，确定定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－dc，－b a ，观察可行域的范围．(3)确定可行域内的点(x ，y )，看(x ，y )取何值时，斜率最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x ，y )取何值时，斜率最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形或四边形的边界交点处取得最值．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≥0，x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，则f (x ，y )＝x ＋2y2x ＋y的取值范围是________．作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，f(x，y)＝x＋2y2x＋y＝1＋2·yx 2＋yx.令yx＝k，则g(k)＝1＋2k2＋k＝2－32＋k.而k＝yx表示可行域内的点P(x，y)与坐标原点O的连线的斜率，观察图形可知，kOA≤k≤k OB，而k OA＝1－03－0＝13，k OB＝3－01－0＝3，所以13≤k≤3，即57≤f(x，y)≤75. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤57，75类型2 距离型非线性规划问题的最值(值域)1．目标函数形式为z＝(x－a)2＋(y－b)2时，求解步骤为：(1)其表示的是可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方．(2)数形结合，确定定点(a，b)，观察可行域的范围．(3)确定可行域内的点(x，y)，看(x，y)取何值时，距离最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x，y)取何值时，距离最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形、四边形的边界交点处或定点(a，b)到可行域边界直线的垂足处取得．2．目标函数形如z ＝|Ax ＋By ＋C |时，一般步骤为：(1)将z ＝|Ax ＋By ＋C |＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2，问题转化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．(2)确定可行域，通过数形结合的方法求出所求的最值．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为( )A ．80B ．4 5C ．25 D.172作出可行域→结合目标函数的几何意义：两点间距离的平方→数形结合，求得z 的最大值作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1,0)的距离的平方，由图可知，可行域内的点A 到点P (－1,0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得点A 的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80. A实数x ，y满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何意义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 的坐标为(7,9)， 显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大， 此时z max ＝21.解法二：由图可知，阴影区域内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为简单的线性规划问题，显然当直线经过点B 时，目标函数取得最大值，z max ＝21.21 技巧点拨解决这类问题时，需充分把握好目标函数的几何意义，在几何意义的基础上加以处理．。
高考一轮复习数学第七章 第六节 我来演练
`一、选择题1．空间四点A (2,3,6)、B (4,3,2)、C (0,0,1)、D (2,0,2)的位置关系为 ( )A ．共线B ．共面C ．不共面D ．无法确定解析：可在空间直角坐标系中作图分析，知A 、B 、C 、D 不共面． 答案：C2.如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD 的交点，若1A A ＝a ，11A D ＝b ，1A A＝c 则下列向量中与B 1M ―→相等的向量是 ( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c解析：1B M ＝1B A ＋AM ＝1B B ＋BA ＋AM＝－12a ＋12b ＋c .答案：A3．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP ＝AC＋t AB ，其中0<t <1，则有 ( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上解析：∵0<t <1，∴P 点在线段AB 上． 答案：A4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于 ( )A.627 B.637 C.607D.657解析：∵a 、b 、c 三向量共面，所以存在实数m 、n ，使得c ＝ma ＋nb .即⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n ，5＝－m ＋4n ，λ＝3m －2n .∴λ＝657. 答案：D5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM ＝12 1MC，N 为B 1B的中点，则| MN|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a 解析：如图设AB＝a ， AD＝b ， 1AA＝c ， 则|MN |＝|MA ＋AB ＋BN |＝|－13 1AC＋AB ＋121BB |＝|－13(a ＋b ＋c )＋a ＋12c |＝|23a －13b ＋16c | ∴|MN |I 2＝(23a －13b ＋16c )I 2可求|MN |＝216a . 答案：A 二、填空题6．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________.解析：由cos 〈a ，b 〉＝89⇒λ＝－2或255.答案：－2或255 7．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )I 2＝311A BI 2；②1A C ·(11A B －1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为| AB ·1AA ·AD |.其中正确命题的序号是________．解析：由1AA ⊥11A D ，1AA ⊥11A B ，11A D ⊥1AB 得(1A A ＋11A D ＋11A B )I 2＝3(11A B )I 2，故①正确；②中11A B －1A A ＝1AB，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B与AD 1两异面直线所成角为60°，但AD 1―→与A 1B ―→的夹角为120°，故③不正确；④中|AB ·1AA ·AD|＝0.故④也不正确．答案：①② 三、解答题8．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB ＝e 1＋e 2，AC ＝2e 1＋8e 2，AD＝3e 1－3e 2，求证：A 、B 、C 、D 共面．证明：令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋v (3e 1－3e 2)＝0. 则(λ＋2μ＋3v )e 1＋(λ＋8μ－3v )e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3v ＝0，λ＋8μ－3v ＝0.易知⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－5，μ＝1，v ＝1是其中一组解，则－5AB ＋AC ＋AD＝0.∴A 、B 、C 、D 共面．9．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算2a ＋3b,3a －2b ，a ·b 以及a 与b 所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa ＋μb 与z 轴垂直．解：2a ＋3b ＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8) ＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)． 3a －2b ＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8) ＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)． a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21. ∵|a |＝3I 2＋5I 2＋－4 I 2＝50， |b |＝2I 2＋1I 2＋8I 2＝69， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝－2150·69＝－7138230.∵λa ＋μb 与z 轴垂直，∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ.∴当λ，μ满足λ＝2μ时，可使λa ＋μb 与z 轴垂直． 10.直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．解：(1)证明：设CA ＝a ，CB ＝b ，CC＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.∴CE ＝b ＋12c ，A D ' ＝－c ＋12b －12a .∴CE ·A D ' ＝－12cI 2＋12bI 2＝0.∴CE ⊥A D '，即CE ⊥A ′D .(2) AC ' ＝－a ＋c ，∴| AC ' |＝2|a |，|CE |＝52|a |.AC ' ·CE ＝(－a ＋c )·(b ＋12c )＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ' ，CE 〉＝12|a |22·52|a |2＝1010.即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。
2019届高考数学(文科)一轮复习课件(人教A版)第七章 不等式、推理与证明 7.2
������+������ 2 ,要弄清它们的作用、使用 2
条件及内在联系,两个公式也体现了 ab 和 a+b 的转化关系.
3.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式. 若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.
-11考点1 考点2 考点3
考点 1
利用基本不等式证明不等式
-13考点1 考点2 考点3
(2)∵a+b=1,
1 1 1 1 1 ∴������ + ������ + ������������=2 ������ + ������
.
∵a+b=1,a>0,b>0,
������+������ ������+������ ������ ������ + =2+ + ������ ������ ������ ������ 1 ≥2+2=4 当且仅当������ = ������ = 2 时,等号成立 1 1 1 ∴������ + ������ + ������������≥8 1 当且仅当������ = ������ = 2 时,等号成立 .
关闭
30
������
≥4×2 900 =240,当且仅当 x=
900 ������
,即 x=30 时等号成立 .
解析
答案
-10知识梳理 双基自测 自测点评
1.应用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”,可能 忽略某个条件,就会出错.
2.对于公式 a+b≥2 ������������,ab≤
思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些?
-12考点1 考点2 考点3
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习真题演练集训第七章不等式7-1Word版含解析
真题演练集训1．[2016·北京卷]已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( ) A.1x －1y ＞0B ．sin x －sin y ＞0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0答案：C解析：解法一：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sinπ－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(xy )＝ln 1＝0，排除D.故选C.解法二：因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0，故选C. 2．[2016·新课标全国卷Ⅰ]若a >b >1,0<c <1，则( )A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c 答案：C解析：对于选项A ，考虑幂函数y ＝x c ，因为c >0，所以y ＝x c 为增函数，又a >b >1，所以a c >b c ，故A 错；对于选项B ，ab c <ba c⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫b a c <b a ，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 是减函数，故B 错；对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C.3．[2014·辽宁卷]当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案：C解析：当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R ，当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max .设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4＞0，∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6.∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4，当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0；当x ∈(－1,0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值．而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2， ∴a ≤－2.综上可知a 的取值范围为[－6，－2]．4．[2015·辽宁卷]不等式2x 2－x ＜4的解集为________． 答案：{x |－1＜x ＜2}(或(－1,2))解析：∵＜4，∴＜22，∴ x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴ －1＜x ＜2.5．[2014·江苏卷]已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析：由题可得，f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m 2－1＜0，f (m ＋1)＝2m 2＋3m ＜0， 解得－22＜m ＜0.。
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考点规范练35 直接证明与间接证明
基础巩固
1.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()
A.2ab-1-a2b2≤0
B.a2+b2-1-≤0
C.-1-a2b2≤0
D.(a2-1)(b2-1)≥0
2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:a”索的因应是()
A.a-b>0
B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0
D.(a-b)(a-c)<0
3.(2017河南郑州模拟)设x>0,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,则()
A.P>Q
B.P<Q
C.P≤Q
D.P≥Q
4.已知不相等的三个正数a,b,c成等差数列,且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则
x2,b2,y2()
A.成等比数列而非等差数列
B.成等差数列而非等比数列
C.既成等差数列又成等比数列
D.既非等差数列又非等比数列
5.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+()
A.都大于2
B.都小于2
C.至少有一个不大于2
D.至少有一个不小于2
6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()
A.恒为负值
B.恒等于零
C.恒为正值
D.无法确定正负
7.(2017山东烟台模拟)设a>b>0,m=,n=,则m,n的大小关系是.
8.与2的大小关系为.
9.若a,b,c是不全相等的正数,求证:
lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.
1。