用直接法求解半圆形输液曲管的极限流速
2021年压力、流速、流量与管径的一般关系
流量与管径、压力、流速的一般关系欧阳光明（2021.03.07）一般工程上计算时，水管路，压力常见为0.1--0.6MPa，水在水管中流速在1--3米/秒，常取1.5米/秒。
流量=管截面积X流速=0.002827X管内径的平方X流速 (立方米/小时)。
其中，管内径单位：mm ，流速单位：米/秒，饱和蒸汽的公式与水相同，只是流速一般取20--40米/秒。
水头损失计算Chezy 公式Chezy这里：Q ——断面水流量（m3/s）C ——Chezy糙率系数（m1/2/s）A ——断面面积（m2）R ——水力半径（m）S ——水力坡度（m/m）根据需要也可以变换为其它表示方法:Darcy-Weisbach公式由于这里：h f——沿程水头损失（mm3/s）f ——Darcy-Weisbach水头损失系数（无量纲）l ——管道长度（m）d ——管道内径（mm）v ——管道流速（m/s）g ——重力加速度（m/s2）水力计算是输配水管道设计的核心，其实质就是在保证用户水量、水压安全的条件下，通过水力计算优化设计方案，选择合适的管材和确经济管径。
输配水管道水力计算包含沿程水头损失和局部水头损失，而局部水头损失一般仅为沿程水头损失的5~10%，因此本文主要研究、探讨管道沿程水头损失的计算方法。
1.1 管道常用沿程水头损失计算公式及适用条件管道沿程水头损失是水流摩阻做功消耗的能量，不同的水流流态，遵循不同的规律，计算方法也不一样。
输配水管道水流流态都处在紊流区，紊流区水流的阻力是水的粘滞力及水流速度与压强脉动的结果。
紊流又根据阻力特征划分为水力光滑区、过渡区、粗糙区。
管道沿程水头损失计算公式都有适用范围和条件，一般都以水流阻力特征区划分。
水流阻力特征区的判别方法，工程设计宜采用数值做为判别式，目前国内管道经常采用的沿程水头损失水力计算公式及相应的摩阻力系数，按照水流阻力特征区划分如表1。
沿程水头损失水力计算公式和摩阻系数表1达西公式是管道沿程水力计算基本公式，是一个半理论半经验的计算通式，它适用于流态的不同区间，其中摩阻系数λ可采用柯列布鲁克公式计算，克列布鲁克公式考虑的因素多，适用范围广泛，被认为紊流区λ的综合计算公式。
【国家自然科学基金】_hamilton变分原理_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803
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2011年 科研热词 推荐指数 非保守系统 2 拟变分原理 2 多柔体簇系统 2 复合材料 2 变分原理 2 动力学 2 高斯积分 1 风力机叶片 1 颤振 1 预扭转角 1 预应力梁 1 非线性稳定性 1 非线性弹性地基 1 转动附件 1 薄壁梁 1 自由振动 1 线性互补 1 粘性流体 1 离散 1 电磁弹性动力学 1 点阵夹芯结构 1 深部巷道 1 流固耦合 1 气动弹性 1 正交关系 1 梁-柱结构 1 有限元 1 时程响应 1 无网格法 1 控制输入受限 1 打靶法和newton法 1 扇形域 1 悬臂板 1 径向基点插值函数(rpim) 1 广义变分原理 1 广义hamilton原理 1 平面弹性 1 差分 1 多重尺度法 1 哈密顿体系 1 后屈曲分析 1 可伸展平动附件 1 变分 1 双正交关系 1 参数二次规划 1 参变量变分原理 1 包络孤立子 1 动力特性 1 动力模型 1 初边值问题 1 分区破裂 1 伽辽金法 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
科研热词 推荐指数 动力响应 4 非传统hamilton型变分原理 3 辛算法 3 相空间 3 初值-边值问题 3 灵敏度分析 2 变分原理 2 非线性最优控制 1 连续刚构桥 1 输液曲管 1 转动timoshenko梁 1 计算模型 1 船桥碰撞 1 科氏力 1 磁致伸缩材料 1 磁电复合材料 1 独立模态控制 1 混沌 1 混合有限元法 1 流固耦合 1 极限流速 1 杂交应力元 1 有限差分法 1 有限元模型 1 有限元 1 新元素 1 支承弹簧 1 径向基点插值函数(rpim) 1 弹簧层模型 1 弱粘接 1 引入系统 1 开口圆柱层合壳 1 对偶变量 1 对偶 1 大肠杆菌 1 多层次迭代 1 圆柱壳 1 固有频率 1 哈密顿系统 1 变结构控制 1 参数激励 1 压电材料 1 单元刚度矩阵 1 保辛方法 1 保辛 1 临界流速 1 临界压力 1 中心刚体-柔性梁系统 1 hamilton变分原理 1 hamilton原理 1 hamilton体系 1 h-r变分原理 1
2024届广东省高三下学期新高考选择性考试物理核心考点试题(二)(基础必刷)
2024届广东省高三下学期新高考选择性考试物理核心考点试题（二）（基础必刷）一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题在验证机械能守恒定律的实验中,由于打点计时器两限位孔不在同一竖直线上,使纸带通过时受到较大阻力,则结果（）A ．mgh> mv 2B．mgh <mv 2C ．mgh=mv 2D．以上都有可能第(2)题如图所示，一定质量的理想气体用质量可忽略的活塞封闭在导热性能良好的质量的气缸中，活塞的密封性良好，用劲度系数为轻弹簧将活塞与天花板连接。
气缸置于水平桌面上，开始时弹簧刚好处于原长。
已知活塞与气缸底部的间距为，活塞的横截面积为，外界环境的压强为，温度为，忽略一切摩擦，重力加速度。
缓慢降低环境温度，则当气缸刚好要离开水平桌面时环境温度为（ ）A．B．C．D．第(3)题如图所示是医院给病人输液的部分装置示意图，在输液过程中，下列说法正确的是（）A．B瓶中的药液先用完B．A、B瓶中的药液同时用完C．随着液面下降，A瓶内C处气体压强不变D．A、B瓶中的药液用完前，D泡内的气体压强大于大气压强且不随药液下降而改变第(4)题两端封闭、粗细均匀的玻璃管内一段水银柱将内部的理想气体分隔成A、B两段，当玻璃管竖直静止时，A、B两段的长度相等，如图甲所示；仅将玻璃管旋转180°，再次平衡时，A、B两段的长度之比为，如图乙所示。
下列说法正确的是（ ）A．图甲中A、B两段气体的压强的比值为B．图甲中A、B两段气体的压强的比值为C．图乙中A、B两段气体的压强的比值为D．图乙中A、B两段气体的压强的比值为第(5)题关于曲线运动的描述，下列说法正确的是A．曲线运动一定是变速运动B．曲线运动不可能是匀变速运动C．物体只有在恒力作用下才做曲线运动D．物体只有在变力作用下才做曲线运动第(6)题歼-20是我国自主研制的新一代隐身战斗机，具有隐身好、机动性强、战斗力强等特点。
直径为d的半满管流水力半径
直径为d的半满管流水力半径
流体力学的一个基本概念是半径。
半径定义为流体从发射点到其离开发射点的距离。
因此，以管道（比如圆柱管）为例，半径就是指管壁到流体中心线的距离。
半满管流体力学半径也称为湍流半径，是在管道内流动的流体的半径。
一般情况下，它的值为管道的直径的三分之二，即d/3。
因此，d/3就是半满管流体力学半径。
为了测量半径，应先用实验计算得到液体的turbulentvelocity和pressuregradient。
然后，从管道中测出瞬态和渐变部分的流速，再使用流速表达式和压力梯度表达式来求出半径。
由于半径是流体流动在管道内必要参数，因此，在实验中计算出半径非常重要。
具体计算过程因液体本身不同而有所不同，但是，所有的计算必须以d/3作为参考值进行计算。
在实际的流体力学应用中，我们需要知道半径的值，以便对流体进行准确的分析和控制。
了解半满管流体力学半径的正确值能够有效地帮助我们实现这一目标，从而更好地理解和应用流体力学学科中的知识。
管道液体流速公式
管道液体流速公式
一、基本公式。
1. 流量公式。
- 对于管道中液体的流量Q（体积流量，单位为m^3/s），如果液体是稳定流动的，流量等于流速v与管道横截面积A的乘积，即Q = vA。
- 其中管道横截面积A=π r^2（对于圆形管道，r为管道半径）或者A = ab（对于矩形管道，a、b分别为矩形的长和宽）。
2. 流速公式推导。
- 在实际应用中，如果已知质量流量Q_m（单位为kg/s），还需要结合液体的密度ρ（单位为kg/m^3）来计算体积流量Q，因为Q=(Q_m)/(ρ)，那么流速v = (Q_m)/(ρ A)。
二、应用示例。
1. 圆形管道流速计算。
- 例如，有一圆形管道，半径r = 0.1m，液体的体积流量Q=0.05m^3/s。
- 首先计算管道横截面积A=π r^2=π×(0.1)^2= 0.01π m^2。
- 然后根据流速公式v=(Q)/(A)，可得v=(0.05)/(0.01π)=(5)/(π)m/s≈1.59m/s。
2. 矩形管道流速计算（质量流量情况）
- 假设有一矩形管道，长a = 0.2m，宽b=0.1m，液体的质量流量Q_m =
2kg/s，液体密度ρ = 1000kg/m^3。
- 先计算管道横截面积A = ab=0.2×0.1 = 0.02m^2。
- 体积流量Q=(Q_m)/(ρ)=(2)/(1000)=0.002m^3/s。
- 最后根据流速公式v=(Q)/(A)，可得v=(0.002)/(0.02)=0.1m/s。
半满管流速计算
半满管流速计算嘿，朋友们，今儿咱来聊个有趣的话题——半满管流速计算。
这流速计算啊，可不是啥简单的事儿，得讲究科学，还得紧扣主题，咱就一起来瞅瞅这其中的奥妙吧！首先啊，咱们得明白啥是半满管。
半满管，顾名思义，就是管子里的水没装满，只装了一半儿。
那流速计算呢，就是算出这管子里的水流动得有多快。
这事儿看似简单，其实里头学问大着呢！咱们先来说说这流速计算的基本原理。
流速啊，它跟管子的直径、水的流量，还有水的粘度都有关系。
这管子直径大，流速就慢；流量大，流速就快；水的粘度大了，流速也就慢了。
这就像咱们四川人说的“水大船高”，流量大了，流速自然就高了。
那半满管的流速计算有啥特别的呢？其实啊，半满管的流速计算得考虑更多的因素。
因为管子没装满，所以水的流动会受到管子壁的影响，流速就会有所变化。
这就像咱陕西方言里说的“半瓶子咣当”，半满的瓶子摇起来声音都不一样，更何况是半满的管子呢？要想准确计算半满管的流速，咱们得用科学的方法。
首先得知道管子的直径、长度，还有水的流量和粘度。
然后还得考虑管子壁的摩擦、水的重力等因素。
把这些因素都考虑进去，才能算出准确的流速。
当然啦，咱们也不是非得用复杂的公式去算。
在日常生活中，咱们可以通过观察和实践来大致判断流速。
比如，看水流的速度、听水流的声音，都能对流速有个大致的了解。
这就像咱们四川人说的“眼见为实，耳听为虚”，观察和实践才是最好的老师。
总的来说呢，半满管流速计算虽然有些复杂，但只要咱们掌握了科学的方法，就能轻松应对。
而且啊，通过学习和实践，咱们还能发现更多的奥秘和乐趣呢！就像咱陕西方言里说的“学无止境”，咱们要不断学习、不断探索，才能发现更多有趣的东西！。
流量与管径、压力、流速之间关系计算公式
流量与管径、压力、流速的一般关系之老阳三干创作创作时间：二零二一年六月三十日一般工程上计算时,水管路,压力罕见为0.1--0.6MPa,水在水管中流速在1--3米/秒,常取1.5米/秒.流量=管截面积X流速=0.002827X管内径的平方X 流速(立方米/小时).其中,管内径单元：mm ,流速单元：米/秒 ,饱和蒸汽的公式与水相同,只是流速一般取20--40米/秒.水头损失计算Chezy 公式这里：Q ——断面水流量（m3/s）C ——Chezy糙率系数（m1/2/s）A ——断面面积（m2）R ——水力半径（m）S ——水力坡度（m/m）根据需要也可以变换为其它暗示方法:Darcy-Weisbach公式由于这里：h f——沿程水头损失（mm3/s）f ——Darcy-Weisbach水头损失系数（无量纲）l ——管道长度（m）d ——管道内径（mm）v ——管道流速（m/s）g ——重力加速度（m/s2）水力计算是输配水管道设计的核心,其实质就是在保证用户水量、水压平安的条件下,通过水力计算优化设计方案,选择合适的管材和确经济管径.输配水管道水力计算包括沿程水头损失和局部水头损失,而局部水头损失一般仅为沿程水头损失的5~10%,因此本文主要研究、探讨管道沿程水头损失的计算方法.1.1 管道经常使用沿程水头损失计算公式及适用条件管道沿程水头损失是水流摩阻做功消耗的能量,分歧的水流流态,遵循分歧的规律,计算方法也纷歧样.输配水管道水流流态都处在紊流区,紊流区水流的阻力是水的粘滞力及水流速度与压强脉动的结果.紊流又根据阻力特征划分为水力光滑区、过渡区、粗拙区.管道沿程水头损失计算公式都有适用范围和条件,一般都以水流阻力特征区划分.水流阻力特征区的判别方法,工程设计宜采纳数值做为判别式,目前国内管道经常采纳的沿程水头损失水力计算公式及相应的摩阻力系数,依照水流阻力特征区划分如表1.沿程水头损失水力计算公式和摩阻系数表1达西公式是管道沿程水力计算基本公式,是一个半理论半经验的计算通式,它适用于流态的分歧区间,其中摩阻系数λ可采纳柯列布鲁克公式计算,克列布鲁克公式考虑的因素多,适用范围广泛,被认为紊流区λ的综合计算公式.利用达西公式和柯列布鲁克公式组合进行管道沿程水头损失计算精度高,但计算方法麻烦,习惯上多用在紊流的阻力过渡区.海曾—威廉公式适用紊流过渡区,其中水头损失与流速的 1.852次方成比例（过渡区水头损失h∝V1.75~2.0）.该式计算方法简捷,在美国做为给水系统配水管道水力计算的标准式,在欧洲与日本广泛应用,近几年我国也普遍用做配水管网的水力计算.谢才公式也应是管道沿程水头损失通式,且在我国应用时间久、范围广,积累了较多的工程资料.但由于谢才系数C采纳巴甫洛夫公式或曼宁公式计算确定,而这两个公式只适用于紊流的阻力粗拙区,因此谢才公式也仅用在阻力粗拙区.另外舍维列夫公式,前一段时期也广泛的用做给水管道水力计算,但该公式是由旧钢管和旧铸铁管管材试验资料确定的.而现在国内采纳的金属管道已普遍采纳水泥砂浆和涂料做内衬,条件已发生变动,因此舍维列夫公式也基本不再采纳.1.2 输配水管道沿程水头损计算的实用公式输配水管道沿程水头计算时,先采纳判别水流的阻力特征用,再选择相应的公式计算,科学合理,但把持麻烦,特别在流速是待求的未知数时,需要采纳试算的方法确定雷诺数（Re）很不方便.为了使输配水管道水力计算能满足工程设计的需要,又可以方便的选择计算公式和进行简捷的计算,根据多年来管道水力计算的经验,《室外给水设计规范》GBJ13-86修编报批稿,依据管材的分歧和流速的经常使用范围,确定输配水管道沿程水头损失计算公式如下：（1）塑料管（2）混凝土管（渠）及采纳水泥砂浆内衬的金属管道（3）输配水管道、配水管网水力平差计算2.1 管道摩阻系数的属性及应用条件每个管道沿程水力计算公式都有相应的摩阻系数和确定方法,表达形式也纷歧样.摩阻系数是一个未知数,应由试验确定.但实际应用时,一般都依据分歧的管材和其分歧的内壁光滑水平,参考已有的资料,由设计人员计算时选择采纳.该数值非常重要,但随意性很年夜,而且取值的结果直接影响水力计算功效的精度.因此了解和熟悉摩阻系数的属性,掌握取值的方法和技巧,也同样是做好管道沿程水力计算的关键.（1）当量粗拙度Δ当量粗拙度是自然（也有称工业）管道,根据水力试验的功效,运用达西公式和尼古拉兹公式计算出的理论值.每种管材都有一个确定确当量粗拙度,且不因流态分歧而改变,在判别水流流态和选择其他计算公式参数时,经经常使用到当量粗拙度.（2）摩阻系数λ摩阻系数λ可应用在分歧的阻力特征区,分歧区间λ的数值纷歧样.在紊流的光滑区,λ数值仅与雷诺数（Re）有关,且随雷诺数（Re）的增年夜而减小；在紊流过渡区,λ与雷诺数（Re）和相对粗拙度（Δ/d）两个因素有关；在紊流粗拙区仅和相对粗拙度（Δ/d）有关,只要管材与管径确定（即相对粗拙度Δ/d确定）,在该区λ数值应为定值.（3）粗拙系数n 粗拙系数n是采纳巴甫洛夫公式和曼宁公式计算谢才公式C时的参数,它适用于紊流的粗拙区,在该区可根据管材内壁光滑水平,选择相应的n值,但一般情况n的取值范围宜年夜于0.010,否则计算功效误差较年夜.（4）海曾—威廉系数Ch 海曾—威廉系数适用紊流过渡区,Ch取值范围宜年夜于120,否则计算功效误差较年夜.2.2 相应的紊流阻力特征区内分歧摩阻系数间的对应关系（1）（2）紊流粗拙区（其中y采纳巴甫洛夫公式计算,若y=1/6即为曼宁公式,这时）3.1 《室外给水设计规范》GBJ13-86修编建议沿程水头损失摩阻系数（△、n、Ch）取值见表2.管道沿程水头损失（n C h△）值表2结论：沿程水头损失计算是输配水管道设计的基础,正确的选用计算公式和采纳适宜的摩阻系数,计算功效才华真实的反映管道的水力特性.为保证输配水管道工程设计质量,提高工程的经济效益和规范水力计算方法。
中国地质大学电法复习答案
中国地质⼤学电法复习答案⼀、名词解释：1、视电阻率：在地下岩⽯电性分布不均匀或地表起伏不平的情况下，若仍按测定均匀⽔平⼤地电阻率的⽅法计算的结果称之为视电阻率，以符号S ρ表⽰,MN S U k Iρ?=。
2、各向异性系数：由不同电阻率薄层岩⽯交替形成的层状岩⽯，其电阻率具有⾮各向同性，并且总是沿层理⽅向的电阻率ρt ⼩于垂直于层理⽅向的电阻率ρn ，则定义ρn/ρt 的平⽅根为其各向异性系数。
3、偶极剖⾯的正交特性：对板状体情况⽽⾔，电阻率不同和产状呈正交，⽽异常形态、特点和分布规律相同的现象被称为偶极剖⾯法异常的“正交特性”。
4、电阻率的饱和效应：即使导电性差异再增⼤，电阻率异常也不会再有明显的增加，⼈们将这种现象称为视电阻率异常的饱和效应。
5、S 等值性：三层电测深H 、A 型曲线中，当1ρ、1h 和3ρ相同时，在⼀定范围内按⽐例改变2h 和2ρ，保持2S 值不变，导致不同的地电断⾯对应形状⼏乎相同的S ρ电测深曲线。
6、T 等值性：三层电测深的K 、Q 型曲线中，当1ρ、1h 和3ρ相同时，只要保持2T 值不变，虽然层参数 2h 和2ρ不同，但对应的三层曲线⼏乎⼀样。
7、波阻抗：介质对电磁波传播的⼀种物理特性，据此特性可确定介质的电阻率和磁导率。
8、平⾯电磁波：在每个固定的时刻波的相位波前是个⽔平⾯的电磁波，就是电场E 和磁场H 在波的传播中位于同－个平⾯上，并且E 和H 都与传播⽅向相垂直。
9、穿透深度：在均匀介质中，平⾯波沿 Z 轴⽅向前进振幅衰减为地表（z ＝0）值的1/e 倍时的距离，称为趋肤深度，⼜称为穿透深度。
10、波数：亥姆霍兹齐次⽅程中的系数，即ωσµεµωi k+=22，在导电介质中忽略位移电流。
11、远区、近区：频率测深法中当观测点到发射源的距离r 远远⼤于电磁波在岩⽯中波长λ 1 的1/2π倍时，|k 1r|>>1，那⾥的地层波⼏乎全部衰减殆尽，只有⽔平极化平⾯波垂直⼊射，这个区域称为波区，⼜称远区；当|k 1r|<<1时，地层波占主导，电磁波近似为球⾯波传播，该区域称为S 区，⼜称近区。
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密顿原理推导了规则曲管的运动方程。 参考文献【 ］ １ １ 式中 ｙ 垂向 — 位移 用迁移矩阵法计算了两端固定的半圆形输液曲管的 Ｉ 扭转角 Ｐ — 临界流速， 计算结果与 ＳＳＣ ｅ 的结果相比偏小。 ． ｈｎ ． ａ 切向 扭转引起） — 倾斜角（
（东 山 大学土建与 利学院 济 ２ ０１ 水 南 ５６ ０ ）
摘要： 根据 ＤＡｅ ｂｒ原理导出了半圆形输液曲管弯曲一 ．ｌ ｅ ｍ ｔ 扭转一 流体藕合问题的自由振动方程。 对这类方程解祸而 单独求出弯曲、扭转的解析解非常困难，于是介绍了一种近似计算方法— 直接法。采用直接法，首先选取满足 自 然边界条件但不一定满足方程的试函数作为方程的近似解，并使误差在整个空间上加权累积为零，这可解释为
１０ ．
取前两项时的结果与仅取一项时的结果比较，
０ ５ ．
第一阶固有角频率相对误差仅为０ ％０ ． １ 当助 等于零或为复数时，系统处于不稳定状
态，由此可得极限流速为
ｖ ａ ＝１ ７ ｏ ｘ ． ２２ ｍ ５
０ ０ ４ ０ ８ １ ２ １ ６ ． ． ． ．
广义力在虚位移上所做的虚功之和为零（ 平衡方程的弱积分） 。而后求出了系统固有频率的 近似解析公式，同 时也
得到了极限流速的近似解析公式。通过算例，分析了曲管中流体流速对系统固有频率的影响，得出了更为精确的
结果。
关键词：半圆形输液曲管 弯曲一 扭转一 流体祸合 直接法 极限流速 自 然边界条件 中图分类号：０ ５ ３３
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采用直接法求出了两端固定的半圆形输液 曲 管法可解释为广义力在虚位移上所做的虚功之和为 零，它具有计算量小、简便、精度高的优点，尤其 是对复杂祸合系统更能显示出它的优越性。
２００１ 收到初稿，２０１１ 收到修改稿 ０４９１ ０４２０
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Ｚ ＋ ＋， ”ｋ＂２． ＋０ ＋ ＝ （ １ｋＶ一ｌ＋ ｋｖ ＇ｖ ＂ｚ ０ ） ＂（ ） ｚ ＂ ． ２ ２ ｚ ９
（ 凡ｚ Ｙ一 （ ） １ ） ＝ ＇ ＋ ｎ凡 Ｍ（ １ ０
ｆ Ｆ ＂（ ｋ 。一， ＋一，。 ｚｚ Ｏ ０ ＇ ２ Ｉ ， ，ｋ ”，：一 ２ ｄ ＝ Ａ ｚ ＋ 、 ， ｆ ＋ ： ］ ，
帆
＋ ） ０ ＰＹ ＝
‘ Ｊ
． 户 、
Ｅ ＋ Ｊ 一 ｅ－Ｉ 衍 Ｉ Ｇ — ＂ ｓ 下， ｙ． Ｅ —
Ｒ｀ Ｒ Ｒ｀
Ｖ’， Ｒ十一 Ｚ 。 ＩＪ Ｐｏ
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６
、 ． 声
引入参考量 Ｒ Ｔ． 、并记 ， Ｕ ｏ ．
Ｙ Ｒ
ｔ
公＝—
材
Ｕ－ ＝ —
Ｔ ．
导出了 相同的 运动微分方程。 参考文献［ ］ ［ 等分 ４ －８
别用有限元法、摄动法对不曲管弯曲振动，同时 还有扭转振动，构成弯曲一 扭转一 流体三相祸合的动 力学问题，解祸而单独求出弯曲 和扭转的解析解非
图 １ 半圆形输液曲管
在微小变形假设下，由图２ 的几何关系， 据物理关系，得到
ｆ （、 ” Ｚ１＂ ：。。 ｏｎ １ ）一 ＇ａ Ｚ ｄ ＂ ＋ ，、 ＋ ＺＣＪ 一 Ｃ＋ Ｚ ｎ ／ －２ Ｄ
（４） 方法相比，直接法只需简单的初等运算而不需编写 １ａ
度， 说明了 该方法计算结果的 可信性［１ 与其他 ［４ １］ ３。 ，
在振动过程中，输液管道中的压力受有扰动， 扰动量与流场及流体的粘性都有关，比较复杂，没
Ｅ Ｒ“ Ｉ ） 除 · ＧｌｄＴ Ｊ一ｌ Ｃ＿· ＿Ｒ １ ｙ ）
ｃ
‘
Ｌａ） ｂ）
有考虑。考虑的是定常层流，流体速度分布状态沿 输送管道的轴线方向不变，因此，虽然流体具有粘
Ｔ — 转矩 Ｍ— 弯矩
ｆ （、 ” ｚＶ一Ｚ，一 ， ‘ ）一 ＋ｚｃＩ ” ７＂ ＋ ，、 ． ｚ Ｎ ｔ＋ １ ｚ ２ ｏ Ｏ ’ ２ ｄ （ 凡ｚ Ｐ＋ ＋ 必 ０ １ ）ｎ 凡 ｎ Ｉ 棍 ＝ ＋ 一 Ｐ （ ８ ）
（１ １）
（ 当 １ 取前一项时， ＝ 凡＝ ９ ） 取声 ０， ０６２ ， ． ３ ． ３ ７
直接法列式为
Ｊ Ｌ ０
ｒ Ｍ（ ｋ 。 ：＋；一。 Ｚ二 Ｂ ０ ｎ ＋Ｉ ， 一ｋ ·二 ： ２ ｄ ＝ Ｆ Ｚ ＋、 ＂ ｌ
、 ，” Ｊ
有频率、极限流速的近似解析表达式。这是其他数 值算法无法做到的，而且这种方法具有相当高的精
复杂的计算程序，计算量小、简便、快速有效，说 （ｂ １ ） 明了该方法在处理复杂祸合系统的动力学问题方面 ４ 计算得 比其他数值计算方法具有很大的优越性。 ６ １４ ８ ５ ｗ ＝ ９ ０ 一 诸一．８ ｑ １ ） ， ６．４ ２ ２ ３ ５ ２ ８ （ ａ （ ＾５ 看出， ２ ）由图３－可以 系统的固有角频率随 而且当流速接近极限流速时， ０ ＝５ ９ ０ 一 诸＋．８ ５ ６ １４ ８ ｑ １ ） 着流速的提高而降低。 ） ６．４ ２ ２ ３ ２ ２ ８ （ｂ 系统的第一阶固有角频率呈急剧下降的趋势。 式中
第 ４ 卷第 ５ １ 期 ２０ ０ ５年 ５月
机 械 工 程 学 报
ＣＨＩ Ｓ Ｊ ＮＥ Ｅ ＯＵＲ ＮＡＬ Ｆ Ｅ Ｏ Ｍ ＣＨＡＮＩ ＡＬ Ｃ Ｅ ＮＧＩ Ｅ ＮＧ ＮＥ ＲＩ
Ｖｏ１４１ ．
Ｎ ｏ． ５
２００５
Ｍａ ｙ
用直接法求解半圆形输液曲管的极限流速
张敦福 王锡平 张洪伟
量纲一的流速 ｖ ｏ
图 ３ 取前一项时系统的第一阶固有 角频率随流速的变化规律
１， 哥 照 权 神 呵 合 ｜ 铁 名 ｜ 耳 训
Ａ纲一的流速ｖ ａ
１
取前两项时的结果与仅取前一项时的结果比 较，误差仅为 ０ ％． ． ４ 可见，用直接法求复杂祸合方程的近似解仅取 前面很少的几项计算，就有足够高的精度。当然， 试函数中保留的项数越多，计算结果的精度越高。
Ｐ＋Ｐ Ｏ
“ 矶
Ｊ ｏ 儿， ＝ — （ Ｐ ）＇ Ｐ＋ ｏＲ
Ｕ ＝｛ 二 ｏ ‘ ； 一－
｛Ｅ Ｉ
＝ ｛Ｐ Ｏ
Ｔ＝ ｅ
（＋ Ｒ Ｐ 几）ａ
Ｅ Ｉ
Ｖ ｎ－ Ｐ ｏ
由于运动是周期性的 故取时间区间为一个周
对式（， ） 量纲一处理， ５ （作 ）６ 得
Ｒ — 中心线圆弧半径 对垂向Ｙ 轴得到
了十ｏ ｆ －宁Ｏ ｒ： ‘ ＿ ‘Ｐ －Ｒ －Ｒ － ｆｙ ＿ 夕 ． 一 、十 ｌＲ ＿ ：。ｏ 一 ｔ ） ｐ ｕ
式中
Ｐ Ｆ
铲 尹
（） ２
剪力 曲管线密度
机 械 工 程 学 报
Ｐ ｏ—
Ｖ
第 ４ 卷第 ５ １ 期
流体的线密度
根据前面定义的参数关系，可得系统的第一阶 固有角频率为
码 ＝１ ２ ２ ． ０ ８
Ｅ Ｉ
（＋ Ｒ Ｐ 几）４
（６ １）
系统的极限流速为
ｖ． ＝１ ７ ２ ． ． ２ ５
４
取前两项时系统的第一阶固有 角频率随流速的变化规律
ｐＲ ｏ２
（７ １）
曰汾 哥
１
３ 算例
冤 硬 神
０
目 台 ｝ ｉ
Ｉ 运动方程
图１ 为半圆形输液曲管图。
由于输液管道被广泛应用于石油、 热工、 化工、 能源、 机械和宇航等领域， 内流能引起管道的振动，
其中很重要的一种是输液管道的弯曲振动。因此一
直受到学术界的重视，国内外不少学者对输液管道 进行了大量的分析研究。