空间向量的数乘运算-课件已修改 新人教A版选修2-1_.ppt
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高中数学人教A版选修2-1课件3.1.2 空间向量的数乘运算ppt版本
又������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������
=−
1 2
������������
+
������������
−
������������
−
1 2
������������ ,
∴2������������
=
1 2
分析:画出图形,根据向量的加减和数乘运算解题.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)如图所示, ������������ = ������������ + ������������,
由向量加法的平行四边形法则可得������������
=
1 2
(������������
+
������������ ),
,
������
=
−
12.
(2)∵ ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + 2������������
= ������������ + 2(������������ − ������������) = ������������ + 2������������ − 2������������.
2 ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + 3 ������������
1 = ������������ + 3 (������������ + ������������)
高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.2 空间向量的数乘运算 课件
B1C 所成角的大小为( C ).
A.π
B.π
C.π
D.π
6
4
3
2
【解析】因为
A1B·B1C=(A1A+AB)·(B1C1+C1C)=A1A·B1C1+A1A·C1C+AB·C1C
+AB·B1C1=A1A2.设异面直线 A1B 与 B1C 所成角为 θ ,则 cos
θ
= A1B·B1C =
|A1B||B1C| (
用向量法计算二面角
如图所示,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为 2,D为CC1的中点,求二面角A—A1D—B的余弦值.
【解析】如图所示,取 BC 的中点 O,连接 AO.因为△ABC 是 正三角形,所以 AO⊥BC,因为在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,平 面 ABC⊥平面 BCC1B1,所以 AO⊥平面 BCC1B1.
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
所以AB1·BD=-2+2=0,AB1·BA1=-1+4-3=0,
所以AB1⊥BD,AB1⊥BA1,又 BD∩BA1=B,所以 AB1⊥平面 A1BD,
所以AB1是平面 A1BD 的一个法向量,
所以
cos<n,AB1
>= n·AB1
|n |·|A B 1
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算(共25张ppt)
A.O→M＝3O→A－2O→B－O→C
B．O→M＋O→A＋O→B＋O→C＝ 0 C． M→A＋M→B＋M→C＝0
D．O→M＝14O→B－O→A＋12O→C
3.下列说法正确的是（ D ）
A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.
b b
a a
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其 运算律是否也与平面向量完全相同呢?
1.空间向量的数乘运算.(重点) 2.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点) 3.向量的共面、共线与直线的位置关系．
整过程
方向
资料
筛选Βιβλιοθήκη 认知高效学习模型-学习的完
整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的 广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的 记忆 广度为7±2项内容。
B．O→M＋O→A＋O→B＋O→C＝ 0 C． M→A＋M→B＋M→C＝0
D．O→M＝14O→B－O→A＋12O→C
3.下列说法正确的是（ D ）
A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.
b b
a a
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其 运算律是否也与平面向量完全相同呢?
1.空间向量的数乘运算.(重点) 2.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点) 3.向量的共面、共线与直线的位置关系．
整过程
方向
资料
筛选Βιβλιοθήκη 认知高效学习模型-学习的完
整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的 广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的 记忆 广度为7±2项内容。
【选修2-1课件】3[1].2空间向量的数乘运算
![【选修2-1课件】3[1].2空间向量的数乘运算](https://img.taocdn.com/s3/m/41d49442a31614791711cc7931b765ce04087a6b.png)
段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫
做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理：,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b .
12
推论:如果 l为经过已知点A且平行已知非零
向量 a的直线,那么对任一点O,点P在直线 上l 的
2
一、数乘空间向量的运算法则
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
2a
a
3a 3
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
a // b R , a b .
8
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
则点 P 在直线 l 上的充要条件是?
•l
A•
•
aB
P
O
注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 AP t a ①
点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ②
求证:点 M 在直线 OE 上. G
E
分析:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
F
证三点共线可 尝试用向量来分析.
B M
D
O
N
A
10
例4、已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是
边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，
且 CF 2 CB,CG 2 CD.
3
3
求证：四边形EFGH是梯形。
做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理：,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b .
12
推论:如果 l为经过已知点A且平行已知非零
向量 a的直线,那么对任一点O,点P在直线 上l 的
2
一、数乘空间向量的运算法则
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
2a
a
3a 3
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
a // b R , a b .
8
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
则点 P 在直线 l 上的充要条件是?
•l
A•
•
aB
P
O
注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 AP t a ①
点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ②
求证:点 M 在直线 OE 上. G
E
分析:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
F
证三点共线可 尝试用向量来分析.
B M
D
O
N
A
10
例4、已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是
边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，
且 CF 2 CB,CG 2 CD.
3
3
求证：四边形EFGH是梯形。
人教A版高中数学选修2-1课件空间向量的数乘运算
例2(课本例)已知ABCD，从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG.
证明：∵四边形ABCD为
O
① ∴AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC kOA
k(OC OA) kAC
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式, 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
试证明:对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的
一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性
量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线 (C)在平面内共线的向量在空间一定不共线 (D)在空间共线的向量在平面内一定共线
2.下列说法正确的是：C(A)平面内的任意
两个向量都共线
(B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面
例3:如图,已知空间四边形ABCD中，向量 AB a, AC b, AD c, 若M为BC的中点，
(4) | a | | | | a |
2、空间向量的数乘的运算律
（1）数乘分配律1：(a b) a b
（2）数乘分配律2： ( )a a a
（3）数乘结合律： (a) ()a
二、空间中的共线向量
1、定义：
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平 行或重合，则这些向量叫做 共线向量
∵ OP xOA yOB zOC 可变形为OP (1 y z)OA yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.2 空间向量的数乘运算 课件1
p 与两不共线向量
a，b 共
面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则
有 px yb
反过来，对空间任意两个不共线的向量 a，b ，如 果 px y，b那么向量 p 与向量 a, b 有什么位
置关系？
C
p
P
b
A aB
xa, yb分别与 a， b共线，
xa, yb都在a，b确定的平面内
a//b(b0 存)在实数λ,使
ab(b0).
a//b(b0)
a b (b 0 )
a b (b 0 )
a//b(b0)
作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
注意： 向量共线定理是证明两直线平行的常用 方法，但是要注意向量平行与直线平行 是有区别的，直线平行不包括共线的情 况，而向量平行包括共线的情况，（平 行向量与共线向量是一样的）如果要用 此定理判断 a , b 所在直线平行，还需要 说明 a(或 b) 上有一点不在 b(或 a ) 上。
22
对空间任一点O,有OP OA xAByAC ③
C
p
P
b
A aB
O 填空：O P (1_ -x-_ y O _ _ A (x__ )O _ B (__y)_O _C _)
③ 式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由 空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.
作用：由此可判断空间任意四点共面
P与A,B,C共面
APxAByAC
OP OA xAByAC
OPxOAyOBzOC (xyz 1)
小结
共线向量
共面向量
定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,叫
行或重合
做共面向量.
人教A版高中数学选修2-1课件3.1.2空间向量的数乘运算(1)
又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、OB 、OC 不共面,
∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
得证.
为什么?
26
例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的 任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C 三点共面：
(1)OM 1 OA 1 OB 1 OC; 333
一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性
∵ OP xOA yOB zOC 可变形为OP (1 y z)OA yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
3.1.2空间向量的 数乘运算
上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运 算扩展到了空间.
加法 减法 运算
运 算 律
平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律
ab ba 加法结合律:
(a b) c a (b c)
试证明:对于不共线的三点 A、B、C 和平面 ABC 外的 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
即，P、A、B、C四点共面。
25
试证明:对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的
3a
a
3a
8
显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结 合律
即：(a b) a b
∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
得证.
为什么?
26
例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的 任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C 三点共面：
(1)OM 1 OA 1 OB 1 OC; 333
一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性
∵ OP xOA yOB zOC 可变形为OP (1 y z)OA yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
3.1.2空间向量的 数乘运算
上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运 算扩展到了空间.
加法 减法 运算
运 算 律
平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律
ab ba 加法结合律:
(a b) c a (b c)
试证明:对于不共线的三点 A、B、C 和平面 ABC 外的 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
即，P、A、B、C四点共面。
25
试证明:对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的
3a
a
3a
8
显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结 合律
即：(a b) a b
人教版高中数学选修2-1 3.1.2空间向量的数乘运算教学课件 (共29张PPT)
什么是共面向量？
平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。
2）空涉 间中及任空意间两任个意向两量总个是向共量面问的题．，那平 三个 向量呢面？向如何量判中断有三关个结向论量仍是否适共用面它呢们？。
探究： 空间任意不共线的两个向量a,b,
如果p xa yb， 那么向量p与向量a，b有什么位置关系？ 反过来，向量p与a，b有什么位置关系时， 有p xa yb？
方向关系
模的关系
λ>0
方向_相__同___
λ＝0
λa＝_0__，其方向是任意的
λa的模是a的模的 _|λ_|_倍
λ<0
方向_相__反___
自学
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
❖ 即：
(((a例1】 已知在空间四边形 OABC 中，M， N 分别是对边 OA，BC 的中点，点 G 在
【例2】
题型二 向量共线问题 设两非零向量 e1、e2 不共线，A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋
8e2，C→D＝3(e1－e2)．试问：A、B、D 是否共线，请说明理由．
解 ∵B→D＝B→C＋C→D＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)， ∴B→D＝5A→B，又∵B 为两向量的公共点，
问题1
不一定
c
a
b
问题2
共面
a
p
b
O1
a
O2
p b
问题3
共面
a
O2
p b
问题4
存在
必修四学过的 平面向量基本定理
空间向量共面定理
如果两个向量 a,b 不共线，那么p 与a,b 共面的充要条
件是存在惟一的有序实数对（x，y），使p xa yb
平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。
2）空涉 间中及任空意间两任个意向两量总个是向共量面问的题．，那平 三个 向量呢面？向如何量判中断有三关个结向论量仍是否适共用面它呢们？。
探究： 空间任意不共线的两个向量a,b,
如果p xa yb， 那么向量p与向量a，b有什么位置关系？ 反过来，向量p与a，b有什么位置关系时， 有p xa yb？
方向关系
模的关系
λ>0
方向_相__同___
λ＝0
λa＝_0__，其方向是任意的
λa的模是a的模的 _|λ_|_倍
λ<0
方向_相__反___
自学
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
❖ 即：
(((a例1】 已知在空间四边形 OABC 中，M， N 分别是对边 OA，BC 的中点，点 G 在
【例2】
题型二 向量共线问题 设两非零向量 e1、e2 不共线，A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋
8e2，C→D＝3(e1－e2)．试问：A、B、D 是否共线，请说明理由．
解 ∵B→D＝B→C＋C→D＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)， ∴B→D＝5A→B，又∵B 为两向量的公共点，
问题1
不一定
c
a
b
问题2
共面
a
p
b
O1
a
O2
p b
问题3
共面
a
O2
p b
问题4
存在
必修四学过的 平面向量基本定理
空间向量共面定理
如果两个向量 a,b 不共线，那么p 与a,b 共面的充要条
件是存在惟一的有序实数对（x，y），使p xa yb