2009~2010学年中南大学一学期数理统计Ⅱ考试试卷与答案
中南大学：统计学原理
中南大学《统计学原理》课程试题（2）及参考答案一、名词解释1、 统计量2、 同度量因素3、 时间数列4、 众数二、选择填空1、统计研究包括（ ）等几个阶段A 、统计设计B 、统计调查C 、统计整理D 、统计分析2、下列标志中属于品质标志的有（ ）A 、身高B 民族、C 、年龄D 、性别3、统计测量尺度通常包括（ ）A 、定类尺度B 、定序尺度C 、定距尺度D 、定比尺度4、某公司2002年底职工人数为1000人，此指标属于（ ）A 、时点指标B 、时期指标C 、实物指标D 、劳动指标5、对于右偏态有下列结论（ ）A 、X M M e <<0B 、o e M X M <<C 、e o M M X <<D 、o e M M X <<6、当44=β时，次数分布曲线为（ ）A 、正态峰度B 、平顶峰度C 、尖顶峰度D 、无法判断7、估计量优劣标准是（ ）A 、无偏性B 、一致性C 、有效性D 、同质性8、一元线性相关的相关系数取值范围（ ）A 、[-1，1]B 、（-1，1）C 、（0，1）D 、[0，1]9、在品质相关中一般有（ ）A 、yx xy ττ=B 、yx xy ττ≠C 、yx xy ττ>D 、yx xy ττ<10、算术平均数 X ，几何平均数G X 与调和平均数H X 的大小关系是（ ）A 、H G X X X ≥≥B 、G H X X X ≥≥C 、X X X H G ≥≥D 、G H X X X ≥≥三、填空题1、统计指标由指标名称与（ ）构成。
2、标志分为（ ）和数量标志。
3、根据指标数值的表现形式分为（ ）、相对指标和平均指标。
4、质检部门检查我国国产空调的质量，调查单位是（ ）。
5、调查误差按产生原因分为登记误差和（ ）。
6、某地区经济发展速度为108%，则其增长速度为（ ）。
7、数列6、8、9、1、7、6、5的中位数是（ ）。
全国自学考试概率论与数理统计二历年真题及答案
全国2010年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计（二）试题课程代码：02197一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A 、B 为两事件，已知P (B )=21，P (A ⋃B )=32，若事件A ，B 相互独立，则P (A )=( ) A ．91B ．61C ．31D ．21 2．对于事件A ，B ，下列命题正确的是( ) A ．如果A ，B 互不相容，则A ，B 也互不相容 B ．如果A ⊂B ，则B A ⊂ C ．如果A ⊃B ，则B A ⊃D ．如果A ，B 对立，则A ，B 也对立3．每次试验成功率为p (0<p <1)，则在3次重复试验中至少失败一次的概率为( ) A ．(1-p )3 B ．1-p 3C ．3(1-p )D ．(1-p )3+p (1-p )2+p 2(1-p )4．已知离散型随机变量X则下列概率计算结果正确的是( ) A ．P (X =3)=0 B ．P (X =0)=0 C ．P (X >-1)=1D ．P (X <4)=1 5．已知连续型随机变量X 服从区间[a ，b ]上的均匀分布，则概率P =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<32b a X ( )A ．0B ．31C ．32 D ．1A ．(51，151)B ．(151，51)C ．(101，152) D ．(152，101) 7．设(X ,Y )的联合概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧≤≤≤≤+,,0,10,20),(其他y x y x k 则k =( )A ．31B ．21 C ．1D ．38．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X +10的方差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．149．设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P (|X -2|≥3)≤( )A ．91B ．92C ．31D ．94 10．由来自正态总体X ～N (μ，22)、容量为400的简单随机样本，样本均值为45，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是(u 0.025=1.96，u 0.05=1.645)( ) A ．(44，46)B ．(44.804，45.196)C ．(44.8355，45.1645)D ．(44.9，45.1)二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
《数理统计》考试题及参考答案
《数理统计》考试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y的样本，则U =服从的分布是_______ .解：(9)t ．2，设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计，且1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______ .解：1212ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验．4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是ˆβ=_______ .解：1ˆ-''X Y β=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则____D___ .（A ）(0,1)nXN ； （B ）22()nS n χ；（C ）(1)()n Xt n S-； （D ）2122(1)(1,1)nii n X F n X=--∑.2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ .（A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+； （B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.5，在一元回归分析中，判定系数定义为2TS R S =回，则___B____ . （A ）2R 接近0时回归效果显著； （B ）2R 接近1时回归效果显著； （C ）2R 接近∞时回归效果显著； （D ）前述都不对. 三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12)(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）已知总体X 的概率密度函数为1,0(),0, xe xf x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它其中未知参数0θ>,12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．解：（1）()101()xv E X xf x dx xe dx θθθ-∞∞-∞====⎰⎰，用111ni i v X X n ===∑代替，所以∑===ni iX Xn11ˆθ．（2）11ˆ()()()()ni i E E X E X E X n θθ=====∑，所以该估计量是无偏估计．五、（本题10分）设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θθθ=+<<，其中未知参数1θ>-，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．解：1 (1)() , 01() 0 , nn i i i x x L θθθ=⎧+∏<<⎪=⎨⎪⎩其它当01i x <<时，1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++∑，令1ln ()ln 01ni i d L nx d θθθ==+=+∑，得 1ˆ1ln nii nxθ==--∑．六、（本题10分）设总体X 的密度函数为e ,>0;(;)0,0,x x f x x λλλ-⎧=⎨≤⎩ 未知参数0λ>，12(,,)n X X X 为总体的一个样本，证明X 是1λ的一个UMVUE ． 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得222211()ln (;)I E f x E λλλλλ⎡⎤∂-⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦，1λ的的无偏估计方差的C-R 下界为2221221[()]11()nI n n λλλλλ-⎡⎤⎢⎥'⎣⎦==． 另一方面()1E X λ=， 21V a r ()X n λ=，即X 得方差达到C-R 下界，故X 是1λ的UMVUE ．七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为007.0=S 公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025α=，结果会怎样？参考数据: 023.19)9(2025.0=χ, 919.16)9(205.0=χ, 535.17)8(2025.0=χ, 507.15)8(205.0=χ．解：（1）()()2222021:0.005,~8n S H σχχσ-≤=，则应有：()()2220.050.0580.005,(8)15.507P χχχ>=⇒=，具体计算得：22280.00715.6815.507,0.005χ⨯==>所以拒绝假设0H ，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．（2）新设 20:0.005,H σ≤ 由2220.025280.00717.535,15.6817.535,0.005χχ⨯=⇒==< 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设22, X Y S S 分别表示总体X Y ，的样本方差，由抽样分布定理可知221121(1)(1)Xn S n χσ--，222222(1)(1)Yn S n χσ--，由F 分布的定义可得211222121222221222(1)(1)(1,1)(1)(1)XX YY n S n S F F n n n SS n σσσσ--==----．对于置信度1α-，查F 分布表找/212(1,1)F n n α--和1/212(1,1)F n n α---使得 []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 即22222121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X Y S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 22221/212/212//, (1,1)(1,1)X Y X Y S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．。
数理统计参考答案
习题一1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X .解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ，其中：5115i i x x ==∑2）对总体~()X P λ其中：5115i i x x ==∑3）对总体~(,)X U a b 4）对总体~(,1) X N μ2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解 设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表：()()()(1)10,(),,=1,2,,1,1,n k k k x x kF x x x x k n n x x +<⎧⎪⎪≤<-⎨⎪≥⎪⎩L ，据此得出样本分布函数：图经验分布函数3解图 数据直方图它近似服从均值为172，方差为的正态分布，即(172,5.64)N .4 设总体X 的方差为4，均值为μ，现抽取容量为100的样本，试确定常数k ，使得满足9.0)(=<-k X P μ.解()- 5P X k P k μ⎫⎪<=<⎪⎭因k 较大，由中心极限定理(0,1)X N ： 所以：()50.95k Φ=查表得：5 1.65k =，0.33k ∴=.5 从总体2~(52,6.3)X N 中抽取容量为36的样本，求样本均值落在到之间的概率.解 ()50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ⎛⎫<<=-<< ⎪⎝⎭6 从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于的概率.解 设两个独立的样本分别为：110,,X X K 与115,,Y Y K ，其对应的样本均值为：X 和Y . 由题意知：X 和Y 相互独立，且：3~(20,)10X N ，3~(20,)15Y N7 设110,,X X K 是总体~(0,4)X N 的样本，试确定C ，使得1021()0.05i i P X C =>=∑.解 因~(0,4)i X N ，则~(0,1)2iX N ，且各样本相互独立，则有： 所以：10102211()()144iii i CP X C P X ==>=>∑∑查卡方分位数表：c/4=，则c=.8 设总体X 具有连续的分布函数()X F x ，1,,n X X K 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，定义随机变量：试确定统计量∑=ni i Y 1的分布.解 由已知条件得：~(1,)i Y B p ，其中1()X p F μ=-.因为i X 互相独立，所以i Y 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有1~(,)nii YB n p =∑，1()X p F μ=-.9 设1,,n X X K 是来自总体X 的样本，试求2,,EX DX ES 。
数理统计考试题及答案
1、 离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni i p2、 设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y相互独立的条件是)()(),(y F x F y x F Y X ∙=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、 设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=n i iXY 122)(1μσ，则EY=n解：∑=-=n i iXY 122)(1μσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n二、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=6122)(51i iX X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。
解：因为),(~2σμN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i iX X，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi i i i X X P X X P sP s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752三．设总体X 的概率密度为f(x)=(1),(01)0a x x α⎧+<<⎨⎩，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极大似然估计量。
2009年4月全国自考概率论与数理统计(二)真题参考答案
2009年4月全国自考概率论与数理统计（二）真题参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A，B为两个互不相容事件，则下列各式中错误的是()A.P（AB）=0B.P（A∪B）=P（A）+P（B）C.P（AB）=P（A）P（B）D.P（B-A）=P（B）答案：C2.A. AB. BC. CD. D答案：D3.A. AB. BC. CD. D答案：A4.A. AB. BC. CD. D 答案：C5.A. AB. BC. CD. D 答案：C6.A. AB. BC. CD. D 答案：B7.A. AB. BC. CD. D 答案：A8.A. AB. BC. CD. D 答案：D9.A. AB. BC. CD. D 答案：B10.A. AB. BC. CD. D二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格上填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.___答案：0.32.盒中有4个棋子，其中白子2个，黑子2个，今有1人随机地从盒中取出2子，则这2个子颜色相同的概率为___.答案：3.若随机变量X在区间［-1,+∞)内取值的概率等于随机变量Y=X-3在区间［a,+∞)内取值的概率，则a=___.答案：-44.___答案：0.25.___6.___答案：0.5 7.___答案：1 8.___答案：答案：710.___答案：11.___答案：012.一个系统由100个互相独立起作用的部件组成，各个部件损坏的概率均为0.2，已知必须有80个以上的部件正常工作才能使整个系统工作，则由中心极限定理可得，整个系统正常工作的概率为___.答案：0.513.___答案：014.___15.___答案：2三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1.答案：2.一批产品共10件，其中8件正品，2件次品，每次从这批产品中任取1件，设X为直至取得正品为止所需抽取次数.(1)若每次取出的产品仍放回去，求X的分布律；（2）若每次取出的产品不放回去，求P{X=3}.答案：四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）1.答案：2.答案：五、应用题（10分）第 11 页。
历年自学考试01297概率论与数理统计(二)试题和答案
全国2012年4月自学考试概率论与数理统计（二）试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 设A ，B 为随机事件，且A ⊂B ，则AB 等于（ ）A. A BB. BC. AD. A2. 设A ，B 为随机事件，则P （A-B ）=（ ） A. P （A ）-P （B ）B. P （A ）-P （AB ）C. P （A ）-P （B ）+ P （AB ）D. P （A ）+P （B ）- P （AB ） 3. 设随机变量X 的概率密度为f （x ）= ⎪⎩⎪⎨⎧<<其他，，，0,6331x 则P ｛3<X ≤4｝=（ ）A. P ｛1<X ≤2｝B. P ｛4<X ≤5｝C. P ｛3<X ≤5｝D. P ｛2<X ≤7｝4. 已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布， 则X 的分布函数为 （ ）A. F （x ）=⎩⎨⎧≤>-.0,00,e x x λx ，λB. F （x ）=⎩⎨⎧≤>--.0,00,e 1x x λx ，λC. F （x ）=⎩⎨⎧≤>--.0,00,e 1x x λx ，D. F （x ）=⎩⎨⎧≤>+-.0,00,e 1x x λx ，5. 已知随机变量X~N （2，2σ）， P ｛X ≤4｝=0.84， 则P ｛X ≤0｝= （ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 6. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则2X -Y +1~ （ ）A. N （0，1）B. N （1，1）C. N （0，5）D. N （1，5）7. 设随机变量X 与Y 相互独立，它们的概率密度分别为f X （x ）， f Y （y ）， 则（X ，Y ） 的概率密度为（ ）A. 21[ f X （x ）+f Y （y ）] B. f X （x ）+f Y （y ） C.21f X （x ） f Y （y ） D. f X （x ） f Y （y ）8. 设随机变量X ~B （n ，p ）， 且E （X ）=2.4， D （X ）=1.44， 则参数n ，p 的值分别为（ ） A. 4和0.6 B. 6和0.4 C. 8和0.3D.3和0.89. 设随机变量X 的方差D （X ）存在，且D （X ）>0，令Y =-X ，则ρXY =（ ） A. -1 B.0 C. 1D.210. 设总体X ~N （2，32），x 1，x 2，…，x n 为来自总体X 的样本，x 为样本均值，则下列统计量中服从标准正态分布的是（ ） A.32-x B.92-x C. nx /32-D.nx /92-二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格上填上正确答案。
概率论与数理统计(二)试题及答案.
全国2009年7月自学考试概率论与数理统计(二)试题课程代码：02197一、单项选择题(本大题共10小题小题，，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，，请将其代码填写在题后的括号内请将其代码填写在题后的括号内。
错选错选、、多选或未选均无分选均无分。
1.设A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则有( )A.P(A)=1-P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A B )=1D.P(AUB)=P(A)+P(B)2.设A 、B 相互独立，且P(A)>0，P(B)>0，则下列等式成立的是( )A.P(AB)=0B.P(A-B)=P(A)P(B )C.P(A)+P(B)=1D.P(A | B)=03.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为( )A.0.125B.0.25C.0.375D.0.504.设函数f (x)在[a ，b]上等于sin x ，在此区间外等于零，若f (x)可以作为某连续型随机变量的概率密度，则区间[a ，b]应为( ) A.[2π−，0] B.[0，2π] C.[0，π] D.[0，2π3] 5.设随机变量X 的概率密度为≤<−≤<=其它021210)(x x x x x f ，则P(0.2<X<1.2)= ( ) A.0.5B.0.6C.0.66D.0.76.设在三次独立重复试验中，事件A 出现的概率都相等，若已知A 至少出现一次的概率为19／27，则事件A 在一次试验中出现的概率为( ) A.61 B.41 C.31 D.21 7.221 α β 则有( )A.α=91，β=92 B. α=92，β=91 C. α=31，β=32 D. α=32，β=31 8.已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为( )A.-2B.0C.21D.2 9.设μn 是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的ε>0，均有}|{|lim n εµ>−∞→p n P n ( )A.=0B.=1C.>0D.不存在 10.对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受H 0：μ=μ0，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是( )A.必接受H 0B.可能接受H 0，也可能拒绝H 0C.必拒绝H 0D.不接受，也不拒绝H 0二、填空题(本大题共15小题小题，，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案请在每小题的空格中填上正确答案。
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---○---○------○---○---………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 中南大学考试试卷2009 ~2010 学年 一 学期 数理统计Ⅱ 课程（08级） （时间：10年1月20日，星期三，15:20—17:00，共计100分钟） 24学时， 1.5 学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 70 %一、填空题(本题10分，每小题2分) 1、总体()3,20~N X 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~Y X - ;2、设1621,,,X X X 为取自总体()25.0,0~N X的一个样本，若已知()0.3216201.0=χ则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=16128i iXP ；3、设总体()2,~σμN X，若μ和2σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为()λλ+X X ,~,则λ的值为 ；4、设n X X X ,,,21 为取自总体()2,~σμN X的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2σ的检验拒绝域为()1212-≤-n a χχ，则相应的备择假设1H 为 ； 5、设总体()2,~σμN X ，2σ已知，在显著水平0.05下，检验假设:μμ≥H,01:μμ<H ,拒绝域是 。
二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1、设321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，a 是未知参数，以下函数是统计量的为（ ）。
（A ）()321XXX ++α （B ）321X XX ++ （C ）3211X X X α（D ）()∑=-31231i iX α2、设n X X X ,,,21 为取自总体()2,~σμN X 的样本，X 为样本均值，()∑=-=ni in XX nS 1221，则服从自由度为n-1的t 分布的统计量为（ ）。
（A ）()σμ-X n （B ）()nS X n μ- （C ）()σμ--X n 1 （D ）()nS X n μ--13、设n X X X ,,,21 是来自总体的样本，()2σ=X D 存在，()∑=--=ni iXX n S 12211，则（ ）（A ）2S 是2σ的矩估计 （B ）2S 是2σ的极大似然估计（C ）2S 是2σ的无偏估计和相合估计 （D ）2S 作为2σ的估计其优良与分布有关 4、设总体(),,~211σμN X ()222,~σμN X 相互独立，样本容量分别为21,n n，样本方差分别为21S ，22S ，在显著性水平α下，检验2221122210:,:σσσσ<≥H H 的拒绝域为（ ） （A ）()1,1122122--≥n n F s s a （B ）()1,112212122--≥-n n Fs s a（C ）()1,1212122--≤n n F s s a （D ）()1,121212122--≤-n n Fs s a5、设总体()2,~σμN X ，2σ已知，μ未知，n x x x ,,,21 是来自总体的样本观察值，已知μ的置信水平为0.95的置信区间为（4.71,5.69），则取显著性水平05.0=α时，检验假设0.5:,0.5:10≠=μμH H 的结果是（ ）。
（A ）不能确定 （B ）接受0H （C ）0H （D ）条件不足无法检验三、（本题14分）设随机变量X 的概率密度为：()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,00,2θθx x x f ，其中未知参数0>θ，n X X ,,1 是来自X 的样本，求（1）θ的矩估计；（2）θ的极大似然估计。
四、（本题14分）设总体()2,0~σN X ，且1021,,,x x x是样本观察值，样本方差22=s（1）求2σ的置信水平wie0.95的置信区间； （2）已知222~χσXY =(1),求⎪⎪⎭⎫⎝⎛32σXD 的置信水平为0.95的置信区间；（()，70.292975.0=χ()023.1992025.0=χ）五、（本题10分）设总体X 服从参数为θ的指数分布，其中0>θ未知，n X X ,,1 为取自总体X 的样本，若已知()∑==ni in XU 122~2χθ，求：（1）θ的置信水平为α-1的单侧置信下限；（2）某种原件的寿命（单位：h ）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h ）,试求原件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。
六、（本题14分）某工厂正常生产时，排除的污水中动植物油的浓度()1,10~N X ,今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L ）,标准差为1.2（mg/L ）,问该工厂生产是否正常？（()()()700.29,023.199,2622.2905.02975.02025.0025.0====χχαt ，）七、（本题10分）设4321,,,X X X X 为取自总体()24~，μN X 的样本，对假设检验问题5:5:10μμ：，H H =,(1)在显著水平0.05下求拒绝域；（2）若6=μ，求上述检验所犯的第二类错误的概率β。
八、（本题8分）设随机变量X 服从自由度为()n m ,的F 分布，（1）证明：随机变量X1服从自由度为()m n ,的F 分布；（2）若m=n ，且{}05.0=>αX P ，求⎭⎬⎫⎩⎨⎧>α1X P 的值。
中南大学考试试卷答案2009——2010学年第一学期（2010.1） 时间：110分钟 《数理统计》课程 24 学时 1.5 学分 考试形式： 闭卷专业年级：2008级（第三学期） 总分：100分一、填空题（本题15分，每题3分） 1、⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0，N ; 2、0.01； 3、()nS n t 12-α； 4、202σσ<； 5、05.0z z -≤二、选择题（本题15分，每题3分）1、B ；2、D ；3、C ；4、A ；5、B 三、（本题14分）解：（1）()()⎰⎰===θθθ22322dx xdx x xf X E ，令()θ32ˆ==X XE ,得X 23ˆ=θ为参数θ的矩估计量。
（2）似然函数为：()()n i x x x x L ni ni i i nn ii ,,2,1,0,22,1122=<<==∏∏==θθθθ而()θL 是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计量为{}n X X X ,,,max ˆ21 =θ。
四、（本题14分）解：（1）2σ的置信水平为0.95的置信区间为()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛918,9182975.02025.0χχ，即为()6667.6,9462.0；（2）()[]222222322111σχσσσσ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛D X D XD ；由于2322σσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛XD 是2σ的单调减少函数，置信区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,2σσ 即为()1137.2,3000.0。
五、（本题10分）解：（1）()()a n X n P a n X n P a a -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∴-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<122,12222χθχθ 即θ的单侧置信下限为()n Xn a 222χθ=；（2）706.3764585.425010162=⨯⨯=θ。
六、（本题14分）解： （1）检验假设1:,1:2120≠=σσH H ；取统计量：()20221σχs n -=拒绝域为：()()70.2912975.022-12==-≤χχχαn 或()023.1912025.0222==-≥χχχαn经计算：()96.1212.19122022=⨯=-=σχs n ，由于()22023.19,700.296.12∈=χ故接受0H ，即可以认为排除的污水中动植物油浓度的方差为12=σ（2）检验假设10:,10:10≠'='μμH H ； 取统计量：()9~10102αt SX t -=；拒绝域为()2622.21028.2102.1108.102622.29025.0<=-==≥t t t ；，所以接受'H即可以认为排除的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ） 综上，认为工厂生产正常。
七、（本题10分）解：（1）拒绝域为96.125445025.0=≥-=-=z x x z ；（2）由（1）解得接受域为()92.8,08.1，当6=μ时，接受0H 的概率为 {}921.02608.12692.892.808.1=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=<<=X P β。
八、（本题8分）证明：因为()n m F X ,~，由F 分布的定义可令nV m U X =,其中()()n Vm U 22~,~χχ，U 与V 相互独立，所以()m n F mU n V X,~1=。
当m=n 时，X 与X1服从自由度为（n,n ）的F 分布，故有{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>ααX P X P 1， 从而{}95.005.0111111=-=>-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>a X P a X P a X P a X P。