0第七讲 环形跑道问题fid

第七讲环形跑道问题
【本讲内容重点需要同学们动手画图，分析找关系，总结里把图省略了】
一、行程问题三要素
环形跑道问题属于行程问题的一类。

行程问题中的三要素是:
路程（S）、速度(V)、时间(t)
三者关系是:S=V·t V=S÷t t=S÷V即，在行程问题中，只有知道S、V、t中的其中两个要素，一定能求出第三个！
二、相遇问题
公式：S和=V和·t遇
注意：相遇时间是同时走的时间
三、追及问题
公式：S差=V差·t追
注意：（1）同时不同地——路程差
（2）同地不同时——路程差
四、环形跑道问题
环形跑道问题不过是把“行程”的过程搬到了环形跑道上进行，但仍然符合行程问题的公式。

1、确定方向：
（1）反（向相向，背向）即为相遇问题，就有S和=V和·t遇（2）同向即为追及问题，就有S差=V差·t追
2、确定起始点
（1）同地：周期现象
反向（相遇），第1次相遇，共合跑1圈
第n次相遇，共合跑n圈
同向（追及），第1次追上，共多跑1圈
第n次追上，共多跑n圈
（2）异地：第1次特殊，从第2次开始即为周期现象。

【例1】在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？
【解析】同时同地同向——追及问题，同时同地反向——相遇问题。

注意单位要统一，时间单位我们统一为秒。

速度差：300÷150=2（米/秒）
速度和：300÷30=10（米/秒）
快的速度：（10+2）÷2=6（米/秒）
慢的速度：（10-2）÷2=4（米/秒）或6-2=4（米/秒）
【例2】巍巍、铮铮两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。

这条公路长2400米，巍巍骑一圈需要10分钟，如果第一次相遇时巍巍骑了1440米。

请问：（1）巍巍的速度是多少米/分？
（2）从出发到第一次相遇用时多少分钟？
（3）铮铮骑一圈需要多少分钟？
（4）再过多久他们第二次相遇？
】（1）由“公路长2400米，巍巍骑一圈需要10分钟”，可知【解析】
【解析
巍巍的速度2400÷10=240（米/分）
（2）“第一次相遇时巍巍骑了1440米”，那么可知巍巍用时1440÷240=6（分），这个也是他们第一次相遇时共同的用时。

（3）求出了巍巍走的时间，由于铮铮和巍巍走的时间相同，所以也是6分钟，而巍巍走了1440米，那么铮铮则走2400-1440=960米
速度是960÷6=160（米/分），铮铮骑一圈用时2400÷160=15（分）（4）第一次相遇即合骑一圈，用了6分钟，第二次相遇即再合骑一圈，还是要用6分钟。

或是用2400÷（240+160）=6分钟。

【例3】昊昊和涛涛在操场上比赛跑步，昊昊每分钟跑250米，涛涛每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么昊昊第一次超过涛涛需要多少分钟？昊昊第二次超过涛涛需要多少分钟？昊昊第三次超过涛涛需要多少分钟？有什么规律呢？
【解析】同时、同地、同向——追及问题
第一次超过800米，追及时间：800÷（250-210）=20（分）
第二次超过2×800米，追及时间：2×800÷（250-210）=40（分）或是从第一次到第二次追上，路程差又是800米，所以还要追20分钟，一共20+20=40分钟。

第三次超过3×800米，追及时间：3×800÷（250-210）=60（分）或是从第二次到第三次追上，路程差又是800米，所以还要追20分钟，一共40+20=60分钟。

规律：每超过一次就是多跑一圈，每次的单次追及时间都是一样的，，规律：每超过一次就是多跑一圈，每次的单次追及时间都是一样的都是20分钟。

【例4】甲乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后6分钟甲第一次超过乙，22分钟后甲第二次超过乙，假设两人速度保持不变，出发时，甲在乙后面多少米？【解析】同时同向——追及问题
第一次超过，甲比乙多走的是两人出发是的路程差，用时6分钟。

从第一次追上开始到第二次超过，甲比乙多走1圈400米，用了22-6=16分钟（此处是易错点），
由此可以求出速度差是400÷16=25（米/分）
所以可知原来甲与乙相差路程：25×6=150（米）
【例6】如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米．求这个圆的周长．】第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个【解析
【解析】
人合起来又走了一圈．从出发开始算，两个人合起来走了一周半．因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是803240
×=(米)．
−=(米)，180 2 360
×=(米)，24060180
【提高班学案】小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步，小王的速度是200米/分，（1）小张和小王同时从同一地点出发反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑
多少圈后才能第一次追上小王？
【解析】（1）同时同地反向，是相遇问题。

第一次相遇，即合跑一圈500米，速度和，得500÷1=500（米/分）小张的速度：500-200=300（米/分）
（2）同时同地同向，是追及问题。

第一次追上，即小张比小王多跑一圈，即S差是500米，
追及时间：500÷（300-200）=5（分）
小张共跑了多少米：300×5=1500（米）
小张跑了多少圈：1500÷500=3（圈）
【尖子学案2】黑白两只小猫在周长为300米的湖边赛跑，黑猫速度为每秒5米，白猫的速度为每秒7米，若两只小猫同时从同一地点出发，背向而行
（1）多少秒后两只小猫第一次相遇？
（2）如果它们继续不停跑下去，2分钟内一共相遇多少次？
【解析】同时同地背向——相遇问题
（1）相遇时间：300÷（5+7）=25（秒）
（2）同地出发，每次相遇就是一种周期现象。

所以总时间是：2×60=120（秒）
120÷25=4（次）……20（秒）
说明2分钟内共相遇4次。

注意：还多跑了20秒，但这20秒还没有相遇。

【提高班学案】如图，A、B是圆的直径的两端，两只小蚂蚁分别从A，B两点同时出发反向行走，它们在C点第一次相遇，C离A点8米；在D点第二次相遇，D点离B点6米．求这个圆的周长．】第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个【解析
【解析】
人合起来又走了一圈．从出发开始算，两个人合起来走了一周半．因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是8×3=24(米)，24-6=18(米)，182=36(米)．
【尖子班学案3】周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A B
、两点．涛涛、昊昊两人分别从A B
、两点同时相背而跑，两人相遇后，昊昊即转身与涛涛同向而跑，当涛涛跑到A时，昊昊恰好跑到B．如果以后涛涛、昊昊的速度和方向都不变，那么涛涛追上昊昊时，涛涛一共跑了多少米？
【解析】昊昊从B到相遇点再返回，路程相同，所以涛涛从A到相遇点、再从相遇点回到A的距离也相同，都是4002200
÷=（米），第一次相遇涛涛跑200米，昊昊跑100米．这时2人从相遇点开始同向跑，涛涛多跑一圈追上昊昊，所以涛涛一共跑了2002004001001000
（）
+×÷=（米）．图如下：。