14.1.4整式的除法---单项式除以单项式
整式的除法单项式除以单项式
负指数幂表示的是该数的倒数的正指数幂。因此，如果被除数或除数中的某个字母的指数 为负数，可以将其转化为倒数的正指数幂形式，再进行相除。
无法整除的情况
如果被除数无法被除数整除（即存在某个字母的指数在被除数中比在除数中小），则结果 将是一个带分数或无理数。此时，可以尝试将被除数和除数同时乘以某个适当的单项式， 使得被除数可以被除数整除。
法结果相乘。
02
理解不深入
对于某些复杂的问题，我的理解还不够深入，无法准确地把握问题的本
质和解题的关键。例如，在处理含有多个字母的单项式除法时，我有时
会感到困惑。
03
缺乏练习
我发现自己在单项式除以单项式的运算方面缺乏足够的练习，导致在考
试时无法迅速准确地完成题目。为了解决这个问题，我需要加强相关练
习，提高运算速度和准确性。
单项式与多项式区分
单项式
只包含一个项的整式，如$3x^2$， $5xy$等。
多项式
包含两个或两个以上项的整式，如 $x^2 + 2x + 1$，$3xy - 2y^2 + 5$ 等。
整式除法运算规则
01 除法运算定义
02 除法运算规则
03 按位相除
04 余数处理
05 结果表示
设$a(x)$和$b(x)$是两个多 项式，且$b(x) neq 0$，如 果存在一个多项式$q(x)$， 使得$a(x) = b(x) times q(x)$，则称$q(x)$为$a(x)$ 除以$b(x)$的商。
解析
本题涉及多个单项式的除法运算，需按照运算法则逐步进行。
解答
原式 = [(3a^2b^3c) / (2ab^2)] * [(4b) / (5abc)] = [(3/2) * (a^2/a) * (b^3/b^2) * c] * [(4/5) * b / (abc)] = [(3/2) * a * b * c] * [(4/5) * 1/(ac)] * 1/(ac) = (6/5) * b
整式的除法--单项式除以单项式
(3) (6xy2)2÷3xy =36x2y4 ÷3xy =12xy3
例2 计算: (1) 12(a-b)5÷3(a-b)2 , (2) (3y-x)3 ÷(x-3y)2 , (3) (2a2)4 ÷(a3)2
解: (1) 12(a-b)5÷3(a-b)2 =(12÷3)(a-b)5-2 =4(a-b)3
12.4整式的乘除
单项式除以单项式
回顾复习
1. 单项式与单项式相乘,只要将它们的系__数__、 _相__同__字__母__的__幂 分别相乘，对于只在一个 单项式中出现的字母，则连_同__它__的__指__数__一_ 起 _ _作为积的一个因式。 2、计算：
（1）（-4xy3) (-2x) =__8_x_2y_3__
例1 计算: (1) 24a3b2÷3ab2 , (2) -21a2b3c÷3ab , (3) (6xy2)2÷3xy .
解:(1) 24a3b2÷3ab2 =(24÷3)(a3÷a)(b2÷ b2) =8a3-1×1 ＝8a2
(2) -21a2b3c÷3ab =(-21÷3)a2-1b3-1c =-7ab2c
(2) amb• (-a3b2n) =__-a_m_+_3_b_2_n+1
3.同底数幂相除,底数_不__变___,指数_相__减__,
即 am an _a__m-_n__(a 0)
4. 103 102 ___,25 22 ___, a7 a3 ___(a 0)
试一试:
用你熟悉的方法计算:
(1.9×1027)÷( 5.98×1024),我们可以先将 1.9除以5.98,再将1027除以1024,最后将商相乘.
解: (1.9×1027)÷( 5.98×1024) =(1.9 ÷5.98) ×1027-24 ≈0.318×103
八年级数学上册14.1整式的乘法14.1.4整式的乘法第1课时单项式乘以单项式说课稿(新版)新人教版
八年级数学上册 14.1 整式的乘法 14.1.4 整式的乘法第1课时单项式乘以单项式说课稿（新版）新人教版一. 教材分析新人教版八年级数学上册第14.1节整式的乘法，主要介绍了单项式乘以单项式的运算方法。
这是初中数学中基础而重要的一部分，对于学生来说，这部分内容既是复习和巩固之前学过的知识，又是学习更复杂数学运算的基础。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了有理数的乘法、乘方以及单项式的概念。
他们对这些基础知识有一定的理解和掌握，但可能对于如何将乘法应用到单项式上，以及如何处理符号等问题会感到困惑。
因此，在教学过程中，我需要针对学生的这些特点进行引导和解释。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握单项式乘以单项式的运算方法，能够正确地进行计算。
2.过程与方法目标：通过实例演示和练习，培养学生独立解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：单项式乘以单项式的运算方法。
2.教学难点：如何处理符号问题，以及如何将乘法应用到单项式上。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、引导法、实践法等多种教学方法。
通过实例讲解，引导学生自己探索和发现规律，再通过练习巩固所学知识。
同时，我会利用黑板、粉笔等教学手段，清晰地展示运算过程，帮助学生理解和记忆。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何进行单项式的乘法运算。
2.讲解：讲解单项式乘以单项式的运算规则，并通过示例进行演示。
3.练习：学生进行练习，教师引导学生思考和解决问题。
4.总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
5.作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出重点。
我会用不同的颜色标注出运算规则和注意事项，帮助学生理解和记忆。
八. 说教学评价教学评价主要通过学生的练习情况和课堂表现来进行。
整式的除法(基础)知识讲解
整式的除法（基础）【要点梳理】要点一、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点二、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.【典型例题】类型一、单项式除以单项式1、计算：（1）342222(4)(2)x y x y ÷；（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭； （3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-；（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++．【思路点拨】（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、（4）中多项式因式当做一个整体参与计算．【答案与解析】解：（1）342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=．（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭ 21373211()()()3m m m n n x x x y y y z z +⎡⎤⎛⎫=÷÷-÷÷÷÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 21432n xy z -=-． （3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷- 222()()()()x y x y x y x y =+-÷+÷-2()()x y x y x y =-÷-=-．（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++ 2(124)[()()][()()]a b a b b c b c =÷+÷++÷+3()33a b a b =+=+．【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数．举一反三：【变式】计算：（1）3153a b ab ÷； （2）532253x y z x y -÷； （3）2221126a b c ab ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）63(1010)(210)⨯÷⨯． 【答案】 解：（1）33202153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==．（2）532252323553(53)()()3x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-． （3）22222201111()()332626a b c ab a a b b c ab c ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-÷÷== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． （4）63633(1010)(210)(102)(1010)510⨯÷⨯=÷÷=⨯．2、金星是太阳系九大行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看到的天空中最漂亮的一颗星．金星离地球的距离为4.2×107千米，从金星射出的光到达地球需要多少时间？（光速为3.0×105千米/秒）【答案与解析】解：t=秒，答：从金星射出的光到达地球需要1.4×102秒．【总结升华】本题考查了同底数幂的除法法则，关键是利用时间=路程÷速度这一公式，此题比较简单，易于掌握．类型二、多项式除以单项式 3、计算（1）254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ； （2）()()32271833x x x x -+÷-.【思路点拨】直接利用多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加计算．【答案与解析】 解：（1）254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 54325242323211224111124424482x x x x x x x x x x x x x⎛⎫=++÷ ⎪⎝⎭=÷+÷+÷=++ （2）()()32271833x x x x -+÷- ()()()32227318333961x x x x x x x x =÷--÷-+÷-=-+-【总结升华】本题考查多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，要注意符号的处理．4、计算：（1）324(67)x y x y xy -÷；（2）42(342)(2)x x x x -+-÷-；（3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-；（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭． 【答案与解析】解：（1）32432423(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-．（2）42(342)(2)x x x x -+-÷- 42[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]x x x x x x =-÷-+÷-+-÷-33212x x =-+． （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-222222212(4)(8)(4)4(4)x y y xy y y y =÷-+-÷-+÷-2321x x =-+-（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭ 22322432110.3(0.5)(0.5)(0.5)36a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=÷-+-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22321533ab a b =-++． 【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化．举一反三：【变式1】计算：（1）23233421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡⎤--÷⎢⎥⎣⎦； （2）2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷．【答案】解： （1）原式223239421922792x y x x x y y x y ⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭ 52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-．（2）原式2222[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷ 2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷2(58)6x xy x =-÷5463x y =-． 【变式2】计算：[（3a+b ）2﹣b 2]÷3a ． 解：[（3a+b ）2﹣b 2]÷3a ，=（9a 2+6ab+b 2﹣b 2）÷3a ，=（9a 2+6ab ）÷3a ，=3a+2b。
北师大版七下数学知识点总结
北师大版七下数学知识点总结北师大版七年级下册数学知识点总结。
一、整式的乘除。
1. 同底数幂的乘法。
- 法则：a^m· a^n=a^m + n（m、n为正整数）。
例如2^3×2^4=2^3 + 4=2^7。
- 推广：a^m· a^n· a^p=a^m + n+p（m、n、p为正整数）。
2. 幂的乘方。
- 法则：(a^m)^n=a^mn（m、n为正整数）。
例如(3^2)^3=3^2×3=3^6。
3. 积的乘方。
- 法则：(ab)^n=a^nb^n（n为正整数）。
例如(2×3)^2=2^2×3^2=4×9 = 36。
4. 同底数幂的除法。
- 法则：a^m÷ a^n=a^m - n（a≠0，m、n为正整数且m>n）。
例如5^6÷5^3=5^6 - 3=5^3。
- 零指数幂：a^0=1(a≠0)。
- 负整数指数幂：a^-p=(1)/(a^p)(a≠0,p为正整数)。
5. 整式的乘法。
- 单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘。
例如3x^2·2x^3=(3×2)x^2 + 3=6x^5。
- 单项式乘多项式：m(a + b)=ma+mb。
例如2x(x + 3)=2x^2+6x。
- 多项式乘多项式：(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd。
例如(x + 2)(x+3)=x^2+3x+2x + 6=x^2+5x + 6。
6. 整式的除法。
- 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除。
例如6x^5÷2x^3=(6÷2)x^5 - 3=3x^2。
- 多项式除以单项式：(a + b)÷ m=(a)/(m)+(b)/(m)。
例如(4x^2+2x)÷2x =4x^2÷2x+2x÷2x = 2x + 1。
二、相交线与平行线。
1. 相交线。
人教版八年级数学上册集体备课(教案)14.1.4.3整式的除法
例6：计算．
（1）（2a2b2c）4z÷（－2ab2c2）2；（2）(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷( x2y6z)．
解析：掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，有乘方的先算乘方，再算乘除，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减．
探究点四：多项式除以单项式
【类型一】直接利用多项式除以单项式进行计算
（二）当堂测评：
《长江全能学案》
重难点
学法指导
启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作
学习过程
学习内容
二次备课
一、激趣导入，呈现目标
情境导入
1.教师提问:同底数幂的乘法法则是什么?
2.多媒体展示问题，让学生尝试完成．
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌．要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴?
学生认真分析后完成计算:需要滴数:1012÷109.
3.教师讲解:以前我们只学过同底数幂的乘法的计算方法，那么像这种同底数幂的除法该怎样计算呢?
2、自主探究，交流展示
探究点一：同底数幂的除法
【类型一】直接同底数幂的除法进行运算
例1：计算:(1)(－xy)13÷(－xy)8;(2) (x－2y)3÷(2y－x)2;(3)(a2+1)6÷(a2+1)4÷(a2+1)2.
【类型三】化简求值
例9：先化简，后求值．[2x（x2y－xy2）+xy（xy－x2）]÷x2y，其中x=2015，y=2014．
解析：熟练掌握去括号，合并同类项，整式的除法的法则是解本题的关键．
四、反思小结当堂测评
14.1.4整式的除法(第2课时)课件教案
14.1.4 整式的除法（二）教学目标：1、知识点：①多项多除以多项式的运算法则及其应用；②多项式除以单项式的算理。
2、能力：理解多项式除以单项式的除法算理，发展有条理地思考及其表达能力。
3、情感与价值观：经历探索多项式除以单项式的过程，培养教学学习能力，获得成功的体验。
教学重点：多项式除以单项式的运算法则及其应用，探求多项式的算法，培养创新能力。
教学难点：对多项式除以单项式的算法的理解及其应用。
教学过程：一、创设情景，引入新课。
（电脑幻灯）任意给一个数，按下列程序计算下去，写出输出结果：输入x是多项式除以单项式。
二、计算下列各题，说说你的理由（课题：多项式除以单项式）1、（ad+bd ）÷d2、(2a b+3ab) ÷a3、(x 3y -2xy) ÷(xy)解法1：多项式除以一个单项式，可以看成多项式乘以这个单项式的倒数，再用这个倒数去乘以多项式的各项，所得结果相加（1）（ad+bd ）÷d=(ad+bd)×d 1=ad ·d 1+bd ·d 1=d bd dad +=a+b （2）(2a b+3ab)÷a=(2a b+3ab)×a 1=2ab ·a 1+3ab ·a 1=a ab a b a 32+=ab+3b （3）（x 3y -2xy ）÷(xy)=(x 3y -2xy)×xy 1=(x 3y )·xy 1-(2xy)·xy1=2y -2 解法2：利用乘法和除法互为逆运算（1）中（ad+bd ）÷d 是多少？试着想一下：（ ）×d=ad+bd ，反用乘法分配律可得出（a+b ）×d=ad+bd ，所以（ad+bd ）÷d=a+b ，同理（2）困（ab+3b ）×a=2a b+3ab ，所以（2a b+3ab ）＋a=ab+3b ，（3）因（2y -2）·（xy ）=x 3y -2xy ，所以（x 3y -2xy ）÷(xy)= 2y -2 共同分析得出：（1）（ad+bd ）÷d=a+b=(ab)÷d+(bd)÷d（2）（2a b+3ab ）÷a=ab+3b=(2a b)÷a+(3ab)÷a（3）（x 3y -2xy ）÷(xy)= 2y -2=(x 3y )÷(xy)-(2xy)÷(xy)2、法则：多项式除以多项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
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梳理与理解：
商式＝系数 • 同底数幂 • 被除式里单独有的幂 底数不变 指数相减
被除式的系数 除式的系数
保留在商式里 作为一个因式
1.把图中左边括号里的每一个式子分别除 以2x2y,然后把商式写在右边括号里.
4x3y
−12x4y3 −16x2yz 1 2 xy 2
2x
÷2x2y
−6x2y2 −8z
B
)
A: m 6, n 1
B: m 5, n 1
C: m 6, n 0
D: m 5, n 0
1 2 3. 已知 a b mab 2a，则m等于 ( D ) 2
A:
2
B:
2
1 C: 2
1 D: 4
作业
14.1.4整式的除法
---单项式除以单项式
回顾 & 思考 ☞
1、用字母表示幂的运算性质： (1)
a a
m
n
=a m n ; (2) (a m )n= ; . (5)
n
a
mn
(3) (ab)n= a n b n ; ;
(4) a m
a n= a m n
2n n
a 0=
1 ; （a ≠ 0）
1 4
2.例题讲解 例1 计算： a 3b 2 (3ab2 ) 24 解：24 a b (3ab )
3 2 2
[24 (3)]( a a)(b b )
3 2 2
8a
31
8a .
2
1
请想一想： b
2
b 1 是如何来的？
2
3、计算：
1 2 3 2 2 4 (1)- x y ÷ (- x y ) 3 2 2 (2)－ax4y3÷( ax) 3
(3) (6x2y3)2÷(-3xy2)2
先确定商的符号.
注意运算顺序先乘方再除法.
4、计算：
(1) 45(x y ) 5x y 1 3 1 4 5 3 3 (2)16x y ( xy) x y 2 2
3 2 2 5 4
5、先化简，再求值：
24 x y 3x y 21x y 7 x 36 x y 6 x y
法则： 单项式相除，把系数、同底数幂
分别相除作为商的因式，对于只在被除 式中出现的字母，则连同它的指数一起 作为商的一个因式。
单项式与单项式 相乘 系数 相同字母 系数×系数=积的 系数 按同底数幂相乘 单项式与单项式 相除 系数÷系数=商的系 数 按同底数幂相除
单独存在的 字母及指数不变留 字母及指数不变留 商中 字母及指数 积中
3 2 2 2 5 3
4 2
1 其中 x 2, y . 2
1 1 2 (1) 2ab c ab c 2 4
2
(× )
1 2 3 2 1 2 (2) a b c (5abc) b (√ ) 5 125
1 3 2 2. 已知 x y x y 4 x ，则( 4
m n
2、快速抢答：
(1)a a a (2) 2x² ∙3xy² 6x³ z² yz² = y³ (3) a² 3ab )=3a³ b∙( b²
回顾 & 思考 ☞
2×3=6
2a×3a=（ 6a ）
2
单项式与单项式相乘法则: ①系数×系数=积的系数 ②相同字母：按同底数幂相乘
③单独存在的字母及指数：不变留积中
单项式除以单项式
4a c 3a 12a c
3 2
5
2
5 2
12a c 3a
2 2
4a c
3
2
思考?
4是怎么来的？
和 又是怎么计算出来的？
a
3
c
自主探究
1、计算： 3÷2a＝( 2 ) ⑴8a 4a ⑵6x3y÷3xy＝(
2x
2
)
⑶12a3b2x3÷3ab=(4a 2bx3 ) 2、观察上面3个算式及结果， 尝试说出单项式除以单项式的 运算方法。