刚体的基本运动ppt课件
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刚体的基本运动
转速：刚体每分钟转过的圈数。单位：r / min。 转速 n 与角速度 2n n 60 30
的关系：
（7-6）
角加速度
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
（7-7）
刚体的角加速度（Angular acceleration）
等于其角速度对时间的一阶导数，也等于其转角对
v r 0.4 50 20 m / s
an r 0.4 50 1000 m /s
2 2
2
例7-4 定轴轮系如图7-9所示，主动轮I通过轮齿
与从动轮II轮齿啮合实现转动传递。主动轮I和从动轮 II的节圆半径分别为r1、r2，齿数分别为z1、z2。设I轮 的角速度为 1 （转数为n1），角加速度为 1 ；II轮的 角速度为 2（转数为n2），角加速度为 2 。试求上
2 a a2 an (r )2 (rω2 )2 r 2 ω4
tan
a an
ω
2
（7-13）
在给定瞬时，刚体的角速度和角加速度有确 定的值，对刚体上任何点都是一样。因而，在同一瞬 时，转动刚体上各点的速度 v 和加速度 a 的大小均与
该点的转动半径 r 成正比；各点速度 v 的方向都垂直
O轴作定轴转动，其转动方程为 t 2 4t （1）当t = 1 s时，试求轮缘上M点速度和加速度；
（2）若轮上绕一不可伸长的绳索，并在绳索下端
悬一物体A，求当t = 1 s时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速 a M 度和角加速度为 d 2t 4 rad / s
当
t 1s，直杆AB上D点的速度和加速度。
解：由于O1A与O2B平行等
3-1刚体的基本运动
3－1
刚体的基本运动
例3-1 一半径 r 0 .5 0 m 的飞轮,转速n 6 0 0 r m in 1 , 制动后转过 1 0 圈而静止.设转动过程中飞轮作匀变 速转动.求:(1)转动过程中飞轮的角加速度和经过的 时间;(2)在1 s末时,飞轮边缘某点的线速度、切向加 速度和法向加速度.
0
0
第三章 刚体的定轴转动
3－1
刚体的基本运动
t d dt
瞬时角速度（角速度）
lim
t 0
刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以 用角速度的正负来表示 .
z
面对 O z 轴方向观察, 如果 0,刚体逆时 针转动;反之,刚体顺 时针转动.
z
0
0
1
3 1 .4 rad s
1
轮边缘某点的线速度
v r 0 .5 3 1 .4 m s
1
1 5 .7 m s
1
切向加速度
a t r 0 .5 3 1 .4 m s
2
1 5 .7 m s
2
法向加速度
a n r
3－1
刚体的基本运动
三、 匀变速转动公式 匀变速转动：当刚体绕定轴转动的角加速度为 恒量时的转动. 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动
v v 0 at
x x0 v 0t 1 2 at
2
刚体绕定轴作匀变速转动
0 t
0 0t
第三章作业 P83
15、17、18、19、21、23
第三章 刚体的定轴转动
解 （1） 0 5 π rad s
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
刚体基本运动.ppt
1
运动学
第七章 刚体的简单运动
刚体是由无数的点构成的。本章将研究刚体 的两种简单的运动 — 平移和定轴转动。这 是工程中最常见的运动，也是研究刚体复杂 运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动(平移)
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺 寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的 位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动 形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
（2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方
向与半径间的夹角 都相同。
速度分布图
加速度分布图 16
运动学
例 题 7-2
第七章ห้องสมุดไป่ตู้刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计，试求t=2 s时轮缘上M
工程中常用单位还有 n 转/分(r / min)
n与w 的关系为:
w 2πn πn
60 30
11
运动学
第七章 刚体的简单运动
角加速度:
lim
t 0
w
t
dw
dt
d 2
dt 2
单位: rad/s2
如果与w 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动
下面讨论两种特殊情况。
（1）匀速转动
当w =常数,为匀速转动时。有 = 0+ w t
6
运动学
第七章 刚体的简单运动
例 题 7- 1
解：
O1 φl
A O
（+）
运动学
第七章 刚体的简单运动
刚体是由无数的点构成的。本章将研究刚体 的两种简单的运动 — 平移和定轴转动。这 是工程中最常见的运动，也是研究刚体复杂 运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动(平移)
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺 寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的 位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动 形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
（2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方
向与半径间的夹角 都相同。
速度分布图
加速度分布图 16
运动学
例 题 7-2
第七章ห้องสมุดไป่ตู้刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计，试求t=2 s时轮缘上M
工程中常用单位还有 n 转/分(r / min)
n与w 的关系为:
w 2πn πn
60 30
11
运动学
第七章 刚体的简单运动
角加速度:
lim
t 0
w
t
dw
dt
d 2
dt 2
单位: rad/s2
如果与w 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动
下面讨论两种特殊情况。
（1）匀速转动
当w =常数,为匀速转动时。有 = 0+ w t
6
运动学
第七章 刚体的简单运动
例 题 7- 1
解：
O1 φl
A O
（+）
第七章--刚体的基本运动
ω1 α1
O2
ω2
某瞬时主动轮Ⅰ的角速度为ω1 ， 角加速度为α1，试求该瞬时从动
α2
轮Ⅱ 的角速度ω2和角加速度α2 ， 本例ω1、ω2、α1、α2都代表绝对
值。
第七章 刚体的基本运动
应用运动学
例题3
Ⅰ
a2ta1tv2v1
r1O1
Ⅱ
r2 M2M1
ω1 α1
O2
ω2
α2
解： 两齿轮节圆相切并无相对滑 动，故两轮啮合点M1与M2恒有 相同的速度与切向加速度。即
应用运动学
角速度矢量
角加速d度矢量(angular acceleration vector)
dt
加速度矢积
at R r
因此:
an
at 2
R
r
v
因此: an v
数z2。
Ⅴ DⅣ
ⅠⅡ
n1
Ⅲ
第七章 刚体的基本运动
应用运动学
思考题
解: 对于直接啮合的齿轮或用齿条联动的一对齿轮，转
速与齿数成反比。以 n 表示转速，则：
n2 n3 , n4 n5 ,
n2 z1 , n4 z3 n1 z2 n3 z4
Ⅴ DⅣ
因而
n4 n1
z1 z2
z3 z4
轮Ⅳ的转速为
应用运动学
例题2
vM
at
aM
M
O an
αω
A vA
aA
物体A作直线平移，轮缘上M点
随滑轮作圆周运动，由于细绳不能
伸长，物体A与M点的速度大小相等，
A的加速度与M点切向加速度的大小
也相等，于是有
vA vM aA at
《刚体的运动》课件
约束的类型与特点
● 约束类型：固定约束、滑动约束、柔性约束 ● 约束特点：限制刚体运动方向、限制刚体运动范围、影响刚体运动状态 约束的类型与特点
• 约束的类型与特点 ● 固定约束：限制刚体在某一方向的移动，使刚体在空间保持相对位置不变。 ● 滑动约束：允许刚体在某一方向上移动，但限制其转动。 ● 柔性约束：通过弹性元件限制刚体的运动，具有非线性特性。 约束的类型与特点
自由度与约束的关系
自由度的定义：刚体在空间中的自由程度，由其质心位置和转动轴决定。
约束的类型：固定约束、滑动约束、柔性约束等，对刚体的自由度产生限制。
自由度与约束的关系：刚体受到约束后，其自由度会相应减少，但仍保持其整体运动状态。
实际应用：在机械设计、航空航天等领域，需要合理考虑刚体的自由度与约束关系，以确保 系统的稳定性和性能。
刚体的平面运动 可以分解为平移 和绕某点的转动
平面运动中，刚 体的形状和大小 保持不变
平面运动中，刚 体的重心轨迹是 平面曲线
平面运动的特点
刚体平面运动定义
刚体平面运动分类
刚体平面运动性质
刚体平面运动实例
平面运动的合成与分解
平面运动的定义与分类 平面运动的合成：矢量法与解析法 平面运动的分解：定轴转动与平移 平面运动的应用实例
定轴转动的特点
刚体绕某一轴线 转动
转动轴固定不动
刚体上任意一点 到转动轴的距离 相等
刚体上任意两点 间的连线在转动 过程中保持不变
定轴转动的角速度和角加速度
角速度定义：刚 体绕定轴转动的 角速度是单位时 间内转过的弧度 （或角度）
角加速度定义： 刚体绕定轴转动 的角加速度是单 位时间内转过的 弧度/秒^2（或 角度/秒^2）
第八章 刚体的基本运动
平移刚体在任一瞬时速度、加速度都一样， 平移刚体在任一瞬时速度、加速度都一样，各点的运动轨迹 形状相同。 平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。 形状相同。即平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。
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第八章 刚体的基本运动
荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。 例8-1 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长 为 长 l， 长 度 单 位 为 m。 当 荡 木 摆 动 时 钢 索 的 摆 动 规 律 ， 。 π 为时间，单位为s；转角φ 为 ϕ =ϕ0 sin t ，其中 t 为时间，单位为 ；转角 0的单位为 4 rad，试求当 和t=2 s时，荡木的中点 的速度和加速度。 的速度和加速度。 ，试求当t=0和 时 荡木的中点M的速度和加速度
∴aτ =ε × r
∴a n =ω × v
a n =ω × v
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第八章 刚体的基本运动
三、定轴轮系的传动比 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的， 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的， 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。常用的有 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比， 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比， 表示， 用i表示，即 表示 n主 ω主 i= = n从 ω 从 1．带传动 当主动轮Ⅰ转动时， 当主动轮Ⅰ转动时，利用胶带与带轮轮缘间的摩擦带动 从动轮Ⅱ转动。 从动轮Ⅱ转动。 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度， 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度，为此在 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等， 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等，即v1 = v = v2。若胶带 与带轮间没有滑动， 与带轮间没有滑动，则
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第八章 刚体的基本运动
荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。 例8-1 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长 为 长 l， 长 度 单 位 为 m。 当 荡 木 摆 动 时 钢 索 的 摆 动 规 律 ， 。 π 为时间，单位为s；转角φ 为 ϕ =ϕ0 sin t ，其中 t 为时间，单位为 ；转角 0的单位为 4 rad，试求当 和t=2 s时，荡木的中点 的速度和加速度。 的速度和加速度。 ，试求当t=0和 时 荡木的中点M的速度和加速度
∴aτ =ε × r
∴a n =ω × v
a n =ω × v
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第八章 刚体的基本运动
三、定轴轮系的传动比 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的， 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的， 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。常用的有 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比， 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比， 表示， 用i表示，即 表示 n主 ω主 i= = n从 ω 从 1．带传动 当主动轮Ⅰ转动时， 当主动轮Ⅰ转动时，利用胶带与带轮轮缘间的摩擦带动 从动轮Ⅱ转动。 从动轮Ⅱ转动。 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度， 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度，为此在 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等， 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等，即v1 = v = v2。若胶带 与带轮间没有滑动， 与带轮间没有滑动，则
理论力学 第二章 刚体的基本运动
0
nπ 式中n为转速 单位：转/ 分(r/min) 。 山东大学 土建与水利学院工程力学系 THEORETICAL MECHANICS 30
§ 2.2 刚体绕定轴的转动
3.角加速度
描述角速度变化的快慢程度
2
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) α与同号，刚体加速转动；
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§2.4 轮系的传动比
1 n1 r2 Z2 i1,2 2 n2 r1 Z1
此结论对于锥齿轮传动和带 轮传动同样适用。 在一些复杂轮系（如变速器） 中包含有几对齿轮。可将每一对 齿轮的传动算出后，将它们连乘 起来，变为可得总的传动比。
392.8 62.5 转 2π
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
例2- 3 轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径
成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。
00, 0.
M
O
a
60
THEORETICAL MECHANICS
解 ： AB 杆 为 平 移 ， O1A 为 定 轴 转 动 。 根 据 平移的特点，在同一瞬 时，M、A两点具有相同 的速度和加速度。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
ds dv vA 3π （m/s) a A t 0 dt dt
§ 2.1 刚体的平行移动
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刚体的平行移动 加 速 度
平动刚体上各点的加速度
刚体的平行移动 加 速 度
vB vA vB vA aB aA
刚体的平行移动
平动的特点
刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹；
刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度 和加速度；
刚体平动时的运动分析可以简化为其上任 意一点(一般取为质心)的运动分析；
O1 l A
即i1 ,2 ： 1 2n n 1 2r r1 2z z1 2
r22
r
r2
转动刚体内各点的速度和加速度
vP r
转动刚体内各点的速度和加速度
aPr 24
arctan2
转动刚体内各点的速度和加速度
例题2
M
r
O
A
已知：r = 0.2 m， 滑轮绕轴O的转动规
律 = 0.15 t3 。
求：t =2 s时轮缘 上M点和物体A的速 度和加速度。
转动刚体内各点的速度和加速度
A点：
vAvM0.36 m s－ 1 aAaτ0.36 m s－ 2
转动刚体内各点的速度和加速度 例题3
转动刚体内各点的速度和加速度
例题3
已知：O1A＝ O1B ＝l； O1A杆的角速度 和角
加速度 。
求：C点的运动 轨迹、速度和加 速度。
转动刚体内各点的速度和加速度
例题3
解：分析各物体的运动
aM
M
O an
a nr2 0 .64 m 8 s－ 2
总加速度 aM 的大小和方向
aMaτ2an20.74m 1 s－ 2
A
tan2 0.55,6
29
转动刚体内各点的速度和加速度
例题2
vM at
a
M
O an
α ω
A
vA aA
vMr0.36 m s－ 1
aτr0.36m s－ 2
a nr2 0 .64 m 8 s－ 2
A点的速度
vddst π4l0coπ4st
O1
l
A O
（+）
刚体的平行移动
例题1
O2
0
sin
π 4
t
v
π4l0
cosπt 4
l
A点的加速度
M
B
aτ
d dvt 1π26l0s
inπt 4
an
v2 l
1π26l02co2sπ 4t
刚体的平行移动
例题1
O1
O2
0
sin
π 4
t
v
π4l0
cosπt 4
l
l
aM
aτ 1π26l0sinπ4t
A M
M点:
t (s)
B
vM
(rad)
v (m·s－1)
an 1π26l02co2sπ4t
at (m·s－2)
an (m·s－2)
0
0
π 4
l
（水平向右）
0
0
π2 16
2 0
l
（铅直向上）
刚体的平行移动
例题1
O1
0 l
A
M
O
（+）
M点: aM
t (s) (rad)
例题2
vM
O
r = 0.2 m
= 0.15 t3
解： 0.45t2
M
0.9t
t =2 s
1.8rasd－ 1, 1.8rasd－ 2
M 点的速度
A
vMr0.36 m s－ 1
转动刚体内各点的速度和加速度
例题2
1.8rasd－ 1, 1.8rasd－ 2
vM
加速度分量
at
aτr0.36m s－ 2
00
2 0
O2
0
sin
π 4
t
v
π4l0
cosπt 4
l
aτ 1π26l0sinπ4t
B
an 1π26l02co2sπ4t
v (m·s－1)
at (m·s－2)
π 4
l
（水平向右）
0
0
0
π2 16
0l
an (m·s－2)
π2 16
2 0
l
（铅直向上）
0
第6章 刚体的简单运动
刚体绕定轴的转动
刚体绕定轴的转动
杆O1A、 O1B作定轴转动 板作平动。
1、运动轨迹
C点与A、B两点的
运动轨迹形状相同， 是以O点为圆心
l为半径的圆弧线。
转动刚体内各点的速度和加速度
例题3
2、速 度
vA vC
vC= vA= vB= l
转动刚体内各点的速度和加速度
例题3
anA
anC
tA
atC
3、加速度
aCaA (aC t)2(aC n)2 (atA)2(aA n)2
E F
rF rE
齿轮传动的条件： 齿距相等
齿距 t 2r
z
2 rF 2 rE
zF
zE
iEF
rF rE
zF zE
齿轮传动
外啮合
轮系的传动比
齿轮传动
轮系的传动比
齿轮传动
vC vD
CrC DrD
iCD C DrrC DzzC D
轮系的传动比
齿轮传动
转速n与 的关系：
26n0 12nn12成正比
第6章 刚体的简单运动
第6章 刚体的简单运动
第6章 刚体的简单运动
刚体的平行移动 刚体绕定轴的转动 转动刚体内各点的
速度和加速度 轮系的传动比 以矢量表示角速度
和角加速度
第6章 刚体的简单运动
刚体的平行移动
刚体的平行移动
定义 平动刚体上各点的速度 平动刚体上各点的加速度
刚体的平行移动
定义
刚体的平行移动
定义 转动方程 角速度 角加速度
刚体绕定轴的转动 转 动
定义
刚体绕定轴的转动
转动的实例
转动
刚体绕定轴的转动 转 动
定轴转动 —— 刚体运动过程中，其 上有一直线始终保持不动。
刚体绕定轴的转动 转 动
转动方程 f ( t )
角速度
lti0m t ddt 角加速度
lim
t0 t
d
dt
第6章 刚体的简单运动
转动刚体内各点的 速度和加速度
转动刚体内各点的速度和加速度
转动刚体内各点的速度和加速度aP
AO
a
n P
vP
r
a
τ P
s
P
B
aPr 24
aPτ aPn
arctan2
P点的速度
vPsrr
P点的加速度
aP τ vPr r
aP n
vP 2 r
平动的实例
定义
刚体的平行移动
平动的实例
定义
刚体的平行移动
定义
平 动－刚体运动过程中，其上之任 意直线始终平行于这一直线的初始位置。
刚体的平行移动
速度
平动刚体上各点的速度
刚体的平行移动 速 度
rB = rA + rAB
y
rB rArAB rAB 0
A rAB B
rA rB
vB vA
O
x
刚体的平行移动 速 度
刚体的平行移动
例题1
O2 l
M
B
已知：O1A＝ O2B ＝l；
0
sin
π 4
t
求：当t = 0和t = 2 s时， 荡木的中点 M 的速度和 加速度。
刚体的平行移动
例题1
O1 l
O2
0
sin
π 4
t
l
解： 1. 分析荡木的运动
A
M
B
O
（+）
AB平动 2. 求A点的运动
A点的运动方程
sl 0lsinπ4t
(l)2(2l)2
l 2 4
转动刚体内各点的速度和加速度
第6章 刚体的简单运动
轮系的传动比
轮系的传动比
齿轮传动 皮带传动
轮系的传动比
齿轮传动
内啮合
轮系的传动比
齿轮传动
轮系的传动比
两轮之间没有相对滑动
vF vE
FrFErE
定义齿轮传动比
iE F
E F
rF rE
齿轮传动
轮系的传动比
iE F