计算方法 5 曲线拟合
5阶多项式曲线拟合 c语言实现
1. 概述在实际工程和科学问题中，经常需要拟合数据并用数学模型来描述数据的规律。
多项式曲线拟合是一种常用的数学工具，通过拟合多项式曲线可以找出数据的规律，并用曲线模型来预测和分析数据。
2. 多项式曲线拟合的基本原理多项式曲线拟合是通过拟合一个多项式函数来逼近已知的数据点。
假设有n个已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们要找出一个n次多项式函数y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n来逼近这些数据点。
通过求解多项式系数a0, a1, ..., an，就可以得到拟合的多项式曲线。
3. 多项式曲线拟合的实现在C语言中，我们可以通过最小二乘法来实现多项式曲线拟合。
最小二乘法是一种数学优化方法，通过最小化误差的平方和来求解多项式系数。
具体实现步骤如下：（1）定义多项式函数我们需要定义一个多项式函数来表示拟合的曲线。
在C语言中，可以通过数组来存储多项式系数，然后编写函数来计算多项式函数的取值。
（2）构造系数矩阵和常数矢量我们需要根据已知的数据点构造系数矩阵和常数矢量。
系数矩阵的每一行对应一个数据点的x值，并且每一列对应一个多项式系数。
常数矢量则对应已知的数据点的y值。
（3）求解线性方程组接下来，我们需要求解线性方程组来得到多项式系数。
可以使用高斯消去法、LU分解法等方法来求解线性方程组。
（4）计算拟合曲线的取值通过求解得到的多项式系数，我们可以计算拟合曲线上任意点的取值。
这样就实现了多项式曲线拟合的过程。
4. 示例代码下面是一个简单的C语言实现多项式曲线拟合的示例代码：```c#include <stdio.h>// 定义多项式函数float polynomial(float x, float coefficients[], int n) {float result = 0.0;for (int i = 0; i <= n; i++) {result += coefficients[i] * pow(x, i);}return result;}int m本人n() {// 已知数据点float x[] = {1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0};float y[] = {2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0};// 构造系数矩阵和常数矢量int n = 2; // n次多项式拟合float A[3][3] = {{5.0, 15.0, 55.0}, {15.0, 55.0, 225.0}, {55.0, 225.0, 979.0}};float b[3] = {20.0, 74.0, 292.0};// 求解线性方程组// （使用高斯消去法或其他方法求解）// 计算拟合曲线的取值float coefficients[] = {1.0, 1.0, 1.0}; // 临时设定的系数float result = polynomial(6.0, coefficients, n);// 打印拟合曲线的取值printf("The value of the fitted polynomial at x=6 is f\n", result);return 0;}```5. 总结通过多项式曲线拟合，我们可以用数学模型来描述已知的数据点，并用拟合曲线来预测和分析其他数据。
数值计算方法教案51
第5章 多项式逼近与曲线拟合教学目的 1. 理解连续函数空间，正交多项式理论；2. 掌握最佳平方逼近及最小二乘逼 近函数的求解方法；3. 理解非线性模型举例的有关知识的基础上会求模型的逼近函数。
教学重点及难点 重点是最佳平方逼近及最小二乘逼近函数的求解。
难点是会求非线性模型的逼近函数。
教学时数 6学时 教学过程§1 引言在科学计算中有下述两类逼近问题。
1．关于数学函数的逼近问题由于电子计算机只能做算术运算，因此，在计算机上计算数学函数（例如x x f e x f x sin )(,)(==等在有限区间上计算）必须用其他简单的函数来逼近（例如用多项式或有理分式来逼近数学函数，）且用它来代替原来精确的数学函数的计算。
这种函数逼近的特点是：（a ）要求是高精度逼近；（b ）要快速计算（计算量越小越好）。
2．建立实验数据的数学模型给定函数的实验数据，需要用较简单和合适的函数来逼近（或拟合实验数据）。
例如，已知)(x f y =实验数据mm y y y x f x x x x 2121)(希望建立)(x f y =数学模型（近似表达式），这种逼近的特点是： （a ）适度的精度是需要的； （b ）实验数据有小的误差；（c ）对于某些问题，可能有某些特殊的信息能够用来选择实验数据的数学模型。
事实上，我们已经学过一些用多项式逼近一个函数)(x f y =的问题，例如 （1）用在0x x =点Taylor 多项式逼近函数 设)(x f y =在[a,b]上各阶导数)1,,1,0)(()(+=n i x fi 存在且连续，],[0b a x ∈，则有)()(!)())((')()(00)(000x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-+=)()(x R x P n n +≡其中εε],,[,)()!1()()(10)1(b a x x x n f x R n n ∈-+=++在0x 和x 之间。
曲线拟合得出方程
曲线拟合得出方程曲线拟合是一种数学方法，用于找到最适合给定数据点的数学函数。
这通常在数据分析、机器学习和科学计算等领域中使用。
以下是一个简单的步骤，说明如何使用Python进行曲线拟合并得出方程：1.导入必要的库：Python:import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.optimize import curve_fit2.定义要拟合的函数形式：例如，我们想要拟合一个简单的线性函数。
Python:def func(x, a, b):return a * x + b3.生成一些模拟数据：这样我们可以使用这些数据来演示曲线拟合。
Python:x_data = np.linspace(0, 10, 100) # 生成0到10之间的100个点y_data = func(x_data, 2, 3) + np.random.normal(0, 1, 100) # 加上一些噪声4.使用curve_fit进行拟合：这个函数返回拟合的参数值。
Python:popt, pcov = curve_fit(func, x_data, y_data)print("拟合参数: a = %.2f, b = %.2f" % (popt[0], popt[1]))5.绘制原始数据和拟合曲线：使用matplotlib来绘制结果。
Python:plt.scatter(x_data, y_data, label='Data') # 原始数据点plt.plot(x_data, func(x_data, *popt), 'r-', label='Fit: a=%5.3f, b=%5.3f' % tuple(popt)) # 拟合曲线plt.legend()plt.show()以上代码将显示原始数据点和拟合的直线。
mathcad曲线拟合
mathcad曲线拟合曲线拟合是指通过一些已知数据点，找到在数据点集上近似逼近的一条曲线。
在许多实际问题中，我们常常需要通过一组离散的数据来确定系统的行为规律。
曲线拟合提供了一种以数学模型近似描述或预测数据的方法，具有广泛的应用领域。
Mathcad是一款强大的数学计算软件，可用于曲线拟合问题。
Mathcad提供了诸多曲线拟合的方法和工具，常用的方法包括最小二乘法、多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
在曲线拟合中，最常用的方法是最小二乘法。
最小二乘法是通过最小化残差平方和来确定最佳拟合曲线的优化方法。
在Mathcad中，使用最小二乘法进行曲线拟合可以通过数值计算工具箱中的“拟合曲线”功能实现。
这个功能提供了一系列曲线拟合方法，例如多项式拟合、有理函数拟合、傅里叶级数拟合等等。
为了说明曲线拟合的使用，我们可以考虑一个简单的例子。
假设我们有一组离散的数据点，我们希望通过曲线拟合来找到一个函数，能够近似描述这些数据点的分布规律。
我们首先在Mathcad中导入这些数据点，然后利用最小二乘法进行曲线拟合。
假设我们的数据点是（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），......，（xn，yn），其中x和y是变量。
我们可以使用Mathcad的拟合曲线功能，选择一个适当的曲线拟合方法，例如多项式拟合。
对于多项式拟合，我们需要选择多项式的阶数，例如2阶，3阶或者更高阶。
Mathcad中的拟合曲线功能会自动计算出最佳拟合曲线的参数，使得拟合曲线和原始数据点的残差平方和最小。
我们可以通过拟合曲线的参数来获得拟合曲线的方程，从而可以进行进一步的分析和预测。
曲线拟合不仅仅局限于多项式拟合，还可以使用其他拟合方法进行精确拟合。
例如，指数函数拟合适用于需要分析指数增长或衰减行为的数据。
对数函数拟合则适用于处理呈现对数增长或对数衰减行为的数据。
此外，Mathcad还提供了其他拟合方法，例如多项式拟合、样条插值、非线性拟合等。
曲线拟合度问题回答
曲线拟合度1. 什么是曲线拟合度？曲线拟合度是指拟合曲线与实际数据点之间的相似程度。
当拟合曲线与数据点越接近，拟合度就越高。
2. 如何计算曲线拟合度？常用的计算方法有R方值和均方根误差（RMSE）。
R方值是指通过回归分析得出的自变量对因变量的解释程度，其取值范围在0到1之间。
当R方值为1时，说明回归模型能够完全解释因变量的变化；而当R方值为0时，则说明自变量对因变量没有任何解释作用。
RMSE是指预测值与真实值之间的误差平均值。
它可以反映出模型预测能力的好坏，误差越小表示模型预测能力越强。
3. 曲线拟合度对于数据分析有什么意义？曲线拟合度可以帮助我们评估模型的准确性和可靠性。
在数据分析中，我们通常会建立一个数学模型来描述数据之间的关系。
通过计算曲线拟合度，我们可以了解到这个模型是否能够很好地描述数据之间的关系，并且可以选择最优的模型来进行预测和分析。
4. 如何提高曲线拟合度？提高曲线拟合度的方法主要有以下几种：（1）增加数据量。
数据量越大，模型的准确性就越高。
（2）选择更好的模型。
不同的模型对不同类型的数据有不同的适应性。
在选择模型时，需要考虑到数据特点和模型复杂度之间的平衡。
（3）优化模型参数。
对于某些模型，其参数值可以通过优化算法来确定，从而提高拟合度。
（4）去除异常值。
在某些情况下，异常值会影响到拟合曲线与实际数据点之间的相似程度。
因此，在进行拟合分析之前，需要先进行异常值检测和处理。
5. 曲线拟合度在实际应用中有哪些应用？曲线拟合度在实际应用中有很多应用场景，例如：（1）金融领域：利用曲线拟合来预测股票价格、汇率等变化趋势。
（2）医疗领域：利用曲线拟合来预测疾病发展趋势、药物剂量等。
（3）工业领域：利用曲线拟合来预测设备故障率、生产效率等。
（4）环境领域：利用曲线拟合来预测气候变化趋势、污染物排放量等。
6. 总结曲线拟合度是数据分析中一个非常重要的指标，它可以帮助我们评估模型的准确性和可靠性。
5阶多项式曲线拟合 c语言实现
5阶多项式曲线拟合 c语言实现曲线拟合是一种统计分析方法，用于拟合观测数据点集合的一条曲线。
其中，多项式曲线拟合是一种简单而常用的方法，可以通过多项式函数来拟合数据。
本篇文章将介绍如何使用C语言实现5阶多项式曲线拟合。
在C语言中，我们可以通过使用最小二乘法来进行多项式曲线拟合。
最小二乘法是一种数学优化方法，可以找到最能拟合数据的曲线。
对于5阶多项式曲线拟合，我们可以使用以下的多项式函数形式：y = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + a4*x^4 + a5*x^5其中，y是拟合曲线在x处的值，a0, a1, a2, a3, a4, a5是曲线的系数，x是已知的数据点。
首先，我们需要定义一个结构体来表示数据点的坐标：```ctypedef struct {double x;double y;} Point;```接下来，我们可以编写一个函数来计算5阶多项式曲线的拟合系数。
该函数的输入为数据点的数组和数据点的数量，输出为曲线系数的数组：```cvoid fitPolynomialCurve(Point data[], int numPoints, double coefficients[]) {// 初始化矩阵和向量double matrix[6][6] = {0}; // 6x6的矩阵double vector[6] = {0}; // 长度为6的向量// 构造矩阵和向量for (int i = 0; i < numPoints; i++) {double x = data[i].x;double y = data[i].y;double xPower = 1;for (int j = 0; j < 6; j++) {vector[j] += y * xPower;for (int k = 0; k < 6; k++) {matrix[j][k] += xPower;xPower *= x;}}}// 解线性方程组// ...// 计算曲线系数// ...// 返回曲线系数的数组// ...}```上述代码中的解线性方程组和计算曲线系数的步骤可以使用线性代数库或自行实现。
西北工业大学 计算方法课件 第五章 曲线拟合的最小二乘法 西工大 nwpu
ϕ
r
2.70 480
2.00 670
1.61 830
1.20 1080
1.02 1260
变形为: 解:变形为: 1 = 1 − e cosϕ, 则有如下数据
r
p
p
1 y= r
0.370370 0.669131
0.50000 0.390731
0.621118
0.83333
0.980392
t = cosϕ
其矩阵形式为 Ax = b 方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩不相等时， 当方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩不相等时， 方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组 矛盾方程组。 方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于 的矛盾方程组（ ），我 rankA＝n（A的秩为n）的矛盾方程组（N>n），我 们寻求其最小二乘意义下的解。 们寻求其最小二乘意义下的解。
k
(2)矩阵
∂2 f 2 ∂x1 P 0 2 ∂ f M = ∂x2∂x1 P 0 ⋮ 2 ∂ f ∂x ∂x n 1 P0
P 0
∂2 f ∂x1∂x2
P 0
∂2 f 2 ∂x2 P 0 ⋮ ∂2 f ∂xn∂x2 P
0
P 0 2 ∂ f ⋯ ∂x2∂xn P 0 ⋱ ⋮ ∂2 f ⋯ 2 ∂xn P 0 ∂2 f ⋯ ∂x1∂xn
1.最小二乘原则 1.最小二乘原则
由于矛盾方程组的精确解不存在， 由于矛盾方程组的精确解不存在，我们转而 寻求其某种意义下，即最小二乘意义下的解。 寻求其某种意义下，即最小二乘意义下的解。 n 令 δi = ∑aij xj −bi (i =1,2,⋯, N) 偏差。 称 δi 为偏差。 工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组， 工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组， 实际中需要寻求矛盾方程组的一组解， 实际中需要寻求矛盾方程组的一组解，以使得偏差的 N 尽可能地小。 绝对值之和 ∑δi 尽可能地小。为了便于分析
功率曲线拟合度计算公式
功率曲线拟合度计算公式摘要：一、引言二、功率曲线拟合度计算公式的介绍1.什么是功率曲线拟合度2.计算公式详解三、如何使用该公式进行计算1.确定所需参数2.计算过程四、结论正文：一、引言在实际应用中，我们常常需要对实验数据进行处理和分析。
功率曲线拟合度计算公式是一种评估拟合优度的方法，可以帮助我们更好地理解实验数据的特性。
本文将详细介绍功率曲线拟合度计算公式及其应用。
二、功率曲线拟合度计算公式的介绍1.什么是功率曲线拟合度功率曲线拟合度是指实际测量得到的功率曲线与理论功率曲线之间的接近程度。
拟合度越高，说明实际测量值与理论值之间的差距越小，数据越可靠。
2.计算公式详解功率曲线拟合度的计算公式为：拟合度= (R × 100%) / n其中，R 是决定系数，n 是数据点的数量。
决定系数R 描述了拟合线与实际数据点之间的相关程度。
它的取值范围是0 到1，越接近1 说明拟合度越高。
三、如何使用该公式进行计算1.确定所需参数在进行计算前，首先需要收集实验数据，并确定数据点的数量n。
此外，还需要知道实际测量得到的功率曲线和理论功率曲线。
2.计算过程根据公式，首先计算决定系数R：R = Σ[(y_i - _i) / Σ(y_i - y_mean)]其中，y_i 是实际测量值，_i 是拟合值，y_mean 是实际测量值的平均值。
计算得到R 后，将其代入拟合度计算公式，即可得到功率曲线拟合度。
四、结论功率曲线拟合度计算公式是一种评估实验数据拟合优度的方法。
通过计算拟合度，我们可以了解实际测量值与理论值之间的差距，从而对实验数据进行更好的分析和处理。
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16
记号： (h, g ) h( xi ) g( xi )
i 1
计算方法（2016/2017 第一学期） 西南科技大学
制造科学与工程学院
曲线拟合求法（多项式）
对于给定的一组数据 ( xi , yi )(i 0,1,, m)
求作 n 多项式 (n m)：
m
... ( 0 , n ) ... (1 , n ) ... ... ... ( n , n )
a0 ( 0 , f ) a ( , f ) 1 1 ... ... an ( n , f )
0
9
曲线拟合
令 i ( xi ) yi
仍然是已知 x1 xm；y1 ym ，求一个 简单易算的近似函数 y( x ) f ( x ) 但是，① m 很大；② i 本身是测量值， 不准确，即 i f ( xi )
这时没必要取 ( xi ) yi ，而要使 ( xi ) yi
2
曲线拟合
编号 拉伸倍数 强度 kg/mm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.9 2.0 2.1 2.5 2.7 2.7 3.5 3.5 4.0 4.0 4.5 4.6 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3.0 2.7 4.0 3.5 4.2 3.5
西南科技大学
2016/2017 学年
第一学期（16周）
曲线拟合的最小二乘法
曲线拟合
某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直
接关系，下表是实际测定的 24 个纤维 样品的强度与相应拉伸倍数的记录
将拉伸倍数作为 x，强度作为 y，在座
标纸上标出各点，可以发现什么?
计算方法（2016/2017 第一学期） 西南科技大学 制造科学与工程学院
使得关系式
* 2 2 ( ( x ) y ) min ( ( x ) y ) i i i i i 0 m m
成立
14
i 0
计算方法（2016/2017 第一学期）
西南科技大学
制造科学与工程学院
曲线拟合求法
令 a0 , a1 ,, an ( * ( xi ) yi )2
达到最小
6
计算方法（2016/2017 第一学期）
西南科技大学
制造科学与工程Байду номын сангаас院
曲线拟合
本课程主要介绍按 达到最小的方法
法来求曲线 y ( x )，这样的方法称为
最小二乘法，所求曲线称为拟合曲线
y
y ( x)
x0
西南科技大学
xn x
制造科学与工程学院
计算方法（2016/2017 第一学期）
计算方法（2016/2017 第一学期）
制造科学与工程学院
曲线拟合
将从图中可以看出, 纤维强度与拉伸倍
9 8
数大致成线形关系,
并且 24 个点大致
7 6 5 4 3 2 1
分布在一条直线附
近,可用一条直线来 表示两者之间关系
计算方法（2016/2017 第一学期） 西南科技大学
1
2
3
4
5
6
7
8
计算方法（2016/2017 第一学期）
西南科技大学
制造科学与工程学院
22
例题
计算表如下：
k 1 2 xk 2 yk 4 xk 2 4 6.25 x k yk 8 11.25
故法方程组为
6a0 22a1 40 22a0 90.5a1 161.25
2.5 4.5
3 3 6 9 18 4 4 8 16 32 5 5 8.5 25 42.5 6 5.5 9 30.25 49.5 22 40 90.5 161.25
西南科技大学
制造科学与工程学院
17
曲线拟合求法（多项式）
即拟合函数取为多项式，这样的曲线
拟合问题叫多项式拟合问题 特别地，当 n=1 时，称一次多项式，
又叫直线拟合
计算方法（2016/2017 第一学期）
西南科技大学
制造科学与工程学院
18
曲线拟合求法（多项式）
相应的法方程组为：
m m xi i 1 ... m xn i i 1
* * * n k * ( x ) a0 a1 x ... an x a* x j j 0 n
使得关系式
* 2 2 ( ( x ) y ) min ( ( x ) y ) i i 成立 i i i 0 i 0 m m
计算方法（2016/2017 第一学期）
西南科技大学
制造科学与工程学院
21
例题
解：设直线 y a0 a1 x ，那么 a0 和 a1
满足
n n na0 ( xk )a1 yk k 1 k 1 n n n ( x )a ( x 2 )a x k yk k 0 k 1 k 1 k 1 k 1
j 0 计算方法（2016/2017 第一学期）
n
k
, j a j k , f
西南科技大学
法方程
制造科学与工程学院
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曲线拟合求法
关于系数 ak (k 0,1,, n)的法方程组，其
矩阵形式为：
( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( , ) ( , ) 1 1 1 0 ... ... ( n , 0 ) ( n , 1 )
5
曲线拟合
科学实验，统计分析，获得大量数据
xi yi x0 y0 x1 y1 x2 x n y2 y n (n 很大)
确定 y 和 x 之间的近似表达式 方法一：插值方法 方法二：曲线拟合；求一曲线 y ( x ) 使得误差
n 2 ( ( x y )) i i i 0 max ( x ) y 或 i i 0 i n
即 a0 和 a1 是法方程组的解
计算方法（2016/2017 第一学期） 西南科技大学 制造科学与工程学院
20
例题
例：已知一组试验数据
xk yk 2 2.5 3 4 5 5.5 9 4 4.5 6 8 8.5
试用直线拟合这组数据。（计算过程
保留3位小数）。
计算方法（2016/2017 第一学期）
9
10
制造科学与工程学院
4
曲线拟合
解：设， y* a bxi
我们希望 y* a bxi 与所有的数据点 (样本点)—— ( xi , yi ) 越接近越好 即令 yi y i 最小；必须找到一种
*
度量标准来衡量什么曲线最接近所有
数据点
计算方法（2016/2017 第一学期） 西南科技大学 制造科学与工程学院
计算方法（2016/2017 第一学期）
西南科技大学
制造科学与工程学院
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曲线拟合求法（多项式）
若 y ( x) a0 a1 x ，a0 和 a1 满足法
方程组：
n n na0 ( xk )a1 yk k 1 k 1 n n n ( x )a ( x 2 )a x k yk k 0 k 1 k 1 k 1 k 1
m
问题转化为求 a0 , a1 ,, an 的最小值点
利用多元函数取极值的必要条件
0 a k
i 0
k 0,1, , n
m n 2 yi a j j xi k xi 0 a k i 1 j0
2 | ( x ) y | 使 最小 i i i 1 m
选用这种 方法
偏差平方和最小
计算方法（2016/2017 第一学期） 西南科技大学 制造科学与工程学院
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曲线拟合
设 ( xi , yi )(i 1, 2,, m) ，为给定的一组数
据，要求在函数类 {0 ( x)n ( x)}(n m)
计算方法（2016/2017 第一学期） 西南科技大学
解得
a0 1.229，a1 1.483
所求直线方程为
y 1.229 1.483 x
制造科学与工程学院
23
编号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
拉伸倍数 强度 kg/mm2 5.0 5.2 6.0 6.3 6.5 7.1 8.0 8.0 8.9 9.0 9.5 10.0 5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1 3
* * ( x ) a 中，求函数 j j ( x ) n j 0
满足
2 2
( * ( xi ) yi )2 min ( ( xi ) yi )2
i 1
m
m
i 1
其中 ( x ) a j j ( x ) 为 中任一函数
j 0
13
曲线拟合求法
定理：对于给定的一组实验数据 ( xi , yi )
( xi互异； i 0, 1,, m)，求在函数类 i ( x )
（n m且0 ( x)n ( x) 线性无关）唯一函数
* * * * ( x ) a0 0 ( x ) a1 1 ( x ) ... an n ( x ) a* j j ( x ) j 0 n
计算方法（2016/2017 第一学期） 西南科技大学 制造科学与工程学院