高考数学第五章平面向量3第3讲平面向量的数量积及应用举例练习理(含解析)
高考数学(理)之平面向量 专题03 平面向量的数量积及应用(解析版)
平面向量03 平面向量的数量积及应用一、具本目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 考纲解读：1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.3.备考重点：(1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题. 二、知识概述： 一）主要公式：1.向量的数量积：已知两个非零向量a r 、b r ，它们的夹角为θ，则r a ·b rθcos . 若a r =(1x ,1y ),b r =(2x ,2y )，则a r ·b r=2121y y x x +.2.向量的模：若a r =(,)x y ，则|a r.3.两向量的夹角余弦值：>=<=b a ,cos cos θa ba b ×r r r r .4.向量垂直的等价条件：a r ⊥b r ⇔0r ra b?⇔02121=+y y x x .二）主要知识点： 1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作OA u u u r ＝，OB u u u r＝，则∠AOB ＝θ 叫做向量与的夹角．【考点讲解】（2）夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥. 2.平面向量数量积：（1）已知两个非零向量与θ⋅叫做与的数量积，记作⋅，即⋅a b θcos ，其中θ是a 与b 的夹角．规定0=⋅.当⊥时，θ＝90°，这时0r ra b?.（2）⋅的几何意义：数量积⋅等于与在θcos 的乘积．3.向量数量积的性质：（1）=⋅=（2）>=<=,cos cos θa ba b×r r r r (θ为与的夹角).（3≤⋅4.数量积的运算律（1）交换律：⋅=⋅.（2）分配律：()⋅+⋅=⋅+（3）对()()()R λλλλ⋅=⋅=⋅∈,.5.数量积的坐标运算：设()()2211,,,y x y x ==，有下面的结论：（1）2121y y x x +=⋅.（2）a r ⊥b r ⇔0r r a b?⇔02121=+y y x x .（3.2121y x +=（4）>=<=b a ,cos cosθr r r r a ba b×=(θ为a 与b 的夹角).1．【2019年高考全国I 卷】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】本题考查的是向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【答案】B2.【2019年高考全国II 卷】已知AB u u u r=(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =（ ）A ．−3B ．−2C ．2D ．3【解析】本题考点为平面向量的数量积.由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r，1BC ==u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u rg g ．故选C ．【答案】C3.【2018年高考全国II 卷】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【解析】本题主要考查平面向量的数量积.因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ,所以选B.【真题分析】4.【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）A 1BC ．2D ．2【解析】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题.设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)， 则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ，由b 2−4e ·b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1,因此|a −b |的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x的距离21，为√3−1.选A. 【答案】A5.【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积.AB u u u r 与AC u u u r的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22||||AB AC AC AB +>-u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为AC AB BC -=u u u r u u u r u u u r ，所以|AB u u u r +AC u u u r |>|BC uuu r|；当|AB u u u r +AC u u u r |>|BC uuu r |成立时，|AB u u u r +AC u u u r |2>|AB u u u r -AC u u u r |2AB ⇒u u u r •AC u u u r >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以ABu u u r与AC u u u r 的夹角为锐角.故“AB u u u r 与AC uuu r 的夹角为锐角”是“|AB u u u r +AC uuur |>|BC u u u r |”的充分必要条件,故选C ．【答案】C6.【2018年高考北京卷理数】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.7.【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为（ ）A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【解析】如图所示，连结MN ，由BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,CN ⃑⃑⃑⃑⃑ =2NA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 可知点M,N 分别为线段AB,AC 上靠近点A 的三等分点，则BC⃑⃑⃑⃑⃑ =3MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )， 由题意可知：OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=12=1，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1×2×cos120∘=−1， 结合数量积的运算法则可得：BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −3OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=−3−3=−6. 本题选择C 选项.【答案】C8.【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________． 【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【答案】89.【2019年高考全国III 卷】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________.【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ． 【答案】2310.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r___________．【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则0)B，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BEy x =-， 直线AE的斜率为-y x =.由(3y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以5(,)1)122BD AE =-=-u u u r u u u r g g .【答案】1-11.【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是___________．【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g g ，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g 22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ， 得2213,22AB AC =u u u r u u u r即,AB =u u u r u u r故ABAC=.12.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r ；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r ； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-313.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】14.【2017年高考山东卷理数】已知12,e e与的夹角为60︒，则实数的值是___________．【解析】∵221212112122)()λλλλ-⋅+=⋅-⋅-=e e e e e e e，12|2-===e，12||λ+===e ecos60λ=︒3λ=．1.已知向量(1,2)a=r，(1,1)b=-r，则()(2)a b a b+•-=r r r r（）A．2 B．-2 C．-3 D．4【解析】因)4,1(2),1,2(-=-=+，故224412)1()2()(=-=⨯+⨯-=-⋅+，应选A. 【答案】A2.已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos<m，n>=13.若n⊥（t m+n），则实数t的值为（）A.4B.–4C.94D.–94【解析】由43m n=u r r，可设3,4(0)m k n k k==>u r r，又()n tm n⊥+r u r r，所以22221()cos,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+=r u r r r u r r r u r r u r r r.所以4t=-，故选B.【答案】B3.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点ED,分别是边BCAB,的中点，连接DE并延长到点F，使得EFDE2=，则⋅的值为（）12-e12λ+e eλ∴【模拟考场】A.85-B.81 C.41 D.811【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B.【答案】B4.已知向量a r 与b r 的夹角为60°，||2a =r ，||5b =r，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．23 B ．2 C ．52 D ．3【解析】由已知条件可知，2a b -r r 在a r，其中()360cos 2=⋅-=⋅-=⋅-οa b a b a .23=.【答案】A5. 在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r ，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.【解析】本题考点是平面向量的数量积、三角函数同角关系、三角形的面积公式的应用.由题意可知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r 得，⋅=u u u r u u u rAB AC tantan 26||||cos tan ,||||cos 3cos 6A AB AC A A AB AC A ππ⋅=⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，11221||||sin sin 223636ABC S AB AC A π∆=⋅=⨯⨯==u u u r u u u r .【答案】166.已知向量b a,, 21==，若对任意单位向量，均有6≤⋅+⋅ ,则⋅的最大值是 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用．由题意可知221|(a b)||a ||b ||a b ||a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅+≤++⋅≤⇒⋅≤r r r r r r r r r r r r r r r ，即最大值为12.【答案】127.在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r则AE AF ⋅u u u r u u u r 的值为 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算， 在等腰梯形ABCD 中,由AB ∥DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o得12AD BC ⋅=u u u r u u u r,1AB AD ⋅=u u ur u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r , 所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+12132 221131218=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB AD BC AD AB BC AB111291331818=++-=【答案】29188.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．【解析】本题考点是平面向量的线性运算及数量积的运算，由题意可设==,，则()()433=-=+-⋅+=⋅，()()1-=-=+-⋅+=⋅，.85813== 则()().8722=-=+-⋅+=⋅【答案】78 9.设向量()2log 3,a m =r ，()3log 4,1b =-r ，且a b ⊥r r ，则m 的值为__________．【解析】因为a b ⊥r r ，所以有0r r a b?，可以得到23log 3log 40m -=， 则23lg3lg4log 3log 42lg2lg3m ==⨯=，应填答案2. 【答案】2 10.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为___________.【解析】由题意可知：360cos ==⋅ο，()32313232+=-+=+=， ()AB AC AC AB AE AC -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅λ3231 =433293143233-=⨯-⨯-⨯+⨯λλ， 所以可得113=λ. 【答案】113 11.已知3a =r ， 4b =r ， 0a b ⋅=r r ，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则c r 的取值范围是__________． 【解析】易知5a b +=r r ，由()()0a c b c -⋅-=r r r r ，且0a b ⋅=r r ，可得： ()2cos ,5cos ,=+=+⋅+=+r r r r r r r r r r r r r r c a b c a b c a b c c a b c .所以0c =r 或5cos ,c a b c =+r r r r ，由此可得c r 的取值范围是[]0,5.【答案】[]0,512.已知两个不共线的向量,，它们的夹角为θ13==，x 为正实数． (1)若2+与4-垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求x -的最小值及对应的x 的值，并判断此时向量与x -是否垂直．【解析】(1)因为2+与4-垂直， 所以()()042=-⋅+. 所以08222=-⋅-，所以32－2×3×1×cos θ－8×12＝0，所以cos θ＝16， 又θ∈(0，π)，sin θ＝1－cos 2θ＝356，所以tan θ＝sin θcos θ＝35.。
2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例分层演练理含解析新人教A版
第3讲 平面向量的数量积及应用举例1．(2019·洛阳市第一次统一考试)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．2D ．3解析：选D.依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb2＋(2λ－1)a ·b ＝0，－3λ＋9＝0，λ＝3.2．(2019·山西四校联考)向量a ，b 满足|a ＋b |＝23|a |，且(a －b )·a ＝0，则a ，b 的夹角的余弦值为( ) A ．0 B.13 C.12D.32解析：选B.(a －b )·a ＝0⇒a 2＝b ·a ，|a ＋b |＝23|a |⇒a 2＋b 2＋2a ·b ＝12a 2⇒b 2＝9a 2，所以cos 〈a ，b 〉＝b ·a |b |·|a |＝a 23|a |·|a |＝13.故选B.3．(2019·洛阳市第一次统一考试)已知向量a ＝(1，0)，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为( ) A.55B ．－55C ．1D ．－1解析：选 D.依题意得|a |＝1，a ·b ＝1×2×cos 45°＝1，|d |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1，c ·d ＝a 2－b 2＝－1，因此c 在d 方向上的投影等于c ·d|d |＝－1，选D.4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 所以2AC →·BA →＝0，所以AC →⊥AB →.所以∠A ＝90°，又因为根据条件不能得到|AB →|＝|AC →|.故选C.5．(2019·福建漳州八校联考)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB →·CA →的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－92D.92解析：选 D.由|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|两边平方可得，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝3(AB →2＋AC →2－2AB →·AC →)，即AB →2＋AC →2＝4AB →·AC →，又|AB →|＝|AC →|＝3，所以AB →·AC →＝92，又因为CB →＝AB →－AC →，所以CB →·CA →＝(AB →－AC →)·(－AC →)＝AC →2－AB →·AC →＝9－92＝92，故选D.6．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2 b |＝ ________ .解析：易知|a ＋2b |＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.答案：2 37．(2019·江西七校联考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________． 解析：因为b 在a 上的投影为－3，所以|b |cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a |＝12＋（3）2＝2，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－6，又a ·b ＝1×3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，所以|b |＝32＋（－33）2＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－62×6＝－12，因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为23π.答案：23π8．(2017·高考天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.又AB →·AC →＝3×2×12＝3，所以AD →·AE→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(－AB →＋λAC →)＝－13AB →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23AB →·AC →＋23λAC →2＝－3＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23＋23λ×4＝113λ－5＝－4，则λ＝311.答案：3119．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )． (1)若a ⊥(a ＋b )，求|b |的值；(2)若a ＋2b ＝(4，－7)，求向量a 与b 夹角的大小． 解：(1)由题意得a ＋b ＝(3，－1＋x )． 由a ⊥(a ＋b )，可得6＋1－x ＝0， 解得x ＝7，即b ＝(1，7)， 所以|b |＝50＝5 2.(2)a ＋2b ＝(4，2x －1)＝(4，－7)， 故x ＝－3， 所以b ＝(1，－3)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝（2，－1）·（1，－3）5×10＝22，因为〈a ，b 〉∈[0，π]， 所以a 与b 夹角是π4.10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解：(1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a ·b －27＝61，所以a ·b ＝－6.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又因为0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13. (3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.1．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是( ) A.33B.22C.23D.34解析：选C.设BC 的中点为M ，则AG →＝23AM →.又M 为BC 中点， 所以AM →＝12(AB →＋AC →)，所以AG →＝23AM →＝13(AB →＋AC →)，所以|AG →|＝13AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →.又因为AB →·AC →＝－2，∠A ＝120°， 所以|AB →||AC →|＝4. 所以|AG →|＝13AB →2＋AC →2－4≥132|AB →||AC →|－4＝23，当且仅当|AB →|＝|AC →|时取“＝”， 所以|AG →|的最小值为23，故选C.2．(2019·广东七校联考)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选C.不妨设点M 靠近点A ，点N 靠近点C ，以等腰直角三角形ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B (0，0)，A (0，2)，C (2，0)，线段AC 的方程为x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)．设M (a ，2－a )，N (a ＋1，1－a )(由题意可知0<a <1)，所以BM →＝(a ，2－a )，BN →＝(a ＋1，1－a )，所以BM →·BN→＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋32，因为0<a <1，所以由二次函数的知识可得BM →·BN →∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.3．设非零向量a 与b 的夹角是5π6，且|a |＝|a ＋b |，则|2a ＋t b ||b |的最小值是________．解析：因为非零向量a 与b 的夹角是5π6，且|a |＝|a ＋b |， 所以|a |2＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b 2|＋2|a |·|b |cos 5π6，所以|b |2－3|a ||b |＝0，所以|b |＝3|a |，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a ＋t b ||b |2＝4|a |2＋t 2|b |2＋4t a ·b |b |2＝4|a |2＋t 2·3|a |2－6t |a |23|a |2＝t 2－2t ＋43＝(t －1)2＋13， 所以当t ＝1时，|2a ＋t b ||b |取最小值13＝33. 答案：334．(2019·昆明质检)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )； ③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)解析：当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b ＝b ·a＝b ⊗a ，故①是正确的；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故②是错误的；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c |≠a·c ＋b·c ，故③是错误的；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a·e|＜|a|·|e |＜|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④. 答案：①④5．(2019·安康模拟)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (0，2)、B (4，1)、C (－6，9)． (1)若AD 是BC 边上的高，求向量AD →的坐标；(2)若点E 在x 轴上，使△BCE 为钝角三角形，且∠BEC 为钝角，求点E 横坐标的取值范围． 解：(1)设D (x ，y )，则AD →＝(x ，y －2)， BD →＝(x －4，y －1)，由题意知AD ⊥BC ，则AD →·BC →＝0，即－10x ＋8(y －2)＝0，即5x －4y ＋8＝0，① 由BD →∥BC →，得8(x －4)＝－10(y －1)， 即4x ＋5y －21＝0，② 联立①②解得x ＝4441，y ＝13741，则AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4441，5541.(2)设E (a ，0)，则EB →＝(4－a ，1)，EC →＝(－6－a ，9)， 由∠BEC 为钝角，得(4－a )·(－6－a )＋9＜0，解得－5＜a ＜3， 由EB →与EC →不能共线，得9(4－a )≠－6－a ，解得a ≠214.故点E 的横坐标的取值范围为(－5，3)．6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)， |OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值；(2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．解：(1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)， 由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －222＋12，所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1.所以m ·n 的最小值为1－2，此时θ＝π8.。
2020高考数学大一轮复习第五章平面向量3第3讲平面向量的数量积及应用举例练习理(含解析)
第3讲 平面向量的数量积及应用举例[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3解析：选C.因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选B.设a 与b 的夹角为α， 因为(a －b )⊥b ， 所以(a －b )·b ＝0， 所以a ·b ＝b 2，所以|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3.故选B.3．(2019·贵阳模拟)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，找出D 点的位置，AB →·AD →的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选B.以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A (0，0)，B (4，1)，C (6，4)，根据四边形ABCD 为平行四边形，可以得到D (2，3)，所以AB →·AD →＝(4，1)·(2，3)＝8＋3＝11.故选B.4．(2019·贵州黔东南州一模)已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，且∠DAB ＝90°，AB ＝2，AD ＝1，若点Q 满足AQ →＝2QB →，则QC →·QD →＝( )A ．－109B.109 C ．－139D.139解析：选D.以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B (2，0)，C (1，1)，D (0，1)．又AQ →＝2QB →，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，所以QC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1，QD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1，所以QC →·QD →＝49＋1＝139.故选D.5．如图，AB 是半圆O 的直径，P 是AB ︵上的点，M ，N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →等于( )A ．13B ．7C ．5D ．3解析：选 C.连接AP ，BP ，则PM →＝PA →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(PA →＋AM →)·(PB →－AM →)＝PA →·PB →－PA →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－PA →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5.6．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________． 解析：因为(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，所以(a －2b )·a ＝0，(b －2a )·b ＝0，即a 2－2a ·b ＝0，b 2－2a ·b ＝0，所以b 2＝a 2＝2a ·b ，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝a·b |a |2＝12.因为〈a ，b 〉。
近年高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例作业本理(2021年整理)
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第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例A组基础题组1。
（2017北京丰台二模,5)已知向量a=,b=(,-1),则a,b的夹角为（)A。
B。
C。
D.2.（2016北京,4，5分）设a，b是向量。
则“|a｜=|b|”是“|a+b|=|a—b|"的（）A.充分而不必要条件B。
必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3。
（2017北京西城二模,6)设a，b是平面上的两个单位向量,a·b=。
若m∈R，则｜a+mb|的最小值是( )A. B。
C。
D。
4。
已知向量a=，b=(—,1)，c=a+λb，则c·a等于（）A。
λB。
—λ C.1 D。
—15.已知平面上三点A,B,C满足｜｜=6，｜|=8，||=10,则·+·+·=（）A。
48 B。
-48 C.100 D。
-1006.（2017北京朝阳二模，10)若平面向量a=（cos θ,sin θ），b=(1,—1）,且a⊥b,则sin 2θ的值是。
7.已知向量a,b的夹角为60°,｜a｜=2，｜b｜=1，则｜a+2b|= .8。
第五章第3讲平面向量的数量积及应用举例
第3讲 平面向量的数量积及应用举例1．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．平面向量数量积的几何意义 数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.1．平面向量数量积的重要性质 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ(e 为单位向量)； (2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |， a ·a ＝|a |2，|a |＝a ·a ；(4)cos θ＝a ·b|a ||b |；(5)|a ·b |≤|a ||b |.2．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)； (2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .1．(必修4 P 104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则a·b 为( ) A ．10 3 B ．－10 3 C ．10 D ．－10解析：选D.a ·b ＝|a |·|b |cos 120°＝5×4×cos 120°＝20×⎝⎛⎭⎫－12＝－10.故选D. 2．(必修4 P 107例6改编)设a ＝(5，－7)，b ＝(－6，t )，若a ·b ＝－2，则t 的值为( ) A ．－4 B ．4 C.327 D ．－327 解析：选A.由a ·b ＝－2，得 5×(－6)＋(－7)t ＝－2，－7t ＝28，∴t ＝－4，故选A. 3．(必修4 P 108A 组T 6改编)已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D.cos θ＝a ·b |a|·|b |＝－632×6＝－32.又∵0≤θ≤π，∴θ＝5π6，故选D.4．(必修4 P 108A 组T 3改编)已知|a |＝2，|b |＝5，|a ＋b |＝7，则a ·b ＝________.解析：∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2a ·b ＋52＝29＋2a ·b ∴29＋2a ·b ＝49， ∴a ·b ＝10. 答案：105．(必修4 P 113A 组T 4改编)平面上三个力F 1，F 2，F 3作用于一点且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝ 2 N ，F 1与F 2的夹角为45°，则F 3的大小为________．解析：根据物理中力的平衡原理有 F 3＋F 1＋F 2＝0，∴|F 3|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2＝12＋(2)2＋2×1×2×cos 45°＝5. ∴|F 3|＝ 5. 答案： 5 N平面向量数量积的运算(1)[定义型运算](2015·高考山东卷)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2 (2)[坐标型运算](2015·高考全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2(3)[投影型运算]已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152[解析] (1)由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D.(2)∵ a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴ a 2＝2，a ·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1.(3)由已知得AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.[答案] (1)D (2)C (3)A(1)向量数量积的两种运算方法：①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)向量a 在b 上的投影为|a |cos θ＝|a |·a ·b |a |·|b |＝a ·b|b |.1．已知向量a 与b 的夹角为120°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b 为( ) A ．10 3 B ．10 C ．－10 3 D ．－10 解析：选D.∵a ＝(－2，－6)，∴|a |＝(－2)2＋(－6)2＝2 10，∴a ·b ＝210×10cos 120°＝20×⎝⎛⎭⎫－12＝－10.故选D. 2．向量a ＝(3,4)在向量b ＝(1，－1)方向上的投影为________．解析：依题意得a·b ＝－1，|b |＝2，因此向量a 在向量b 方向上的投影为a·b|b |＝－22.答案：－223．如图，在等腰直角三角形ABC 中， ∠C ＝90°，AC ＝2，D 为BC 的中点，则AB →·AD →＝________.解析：法一：由题意知，AC ＝BC ＝2，AB ＝22， ∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →) ＝AB →·AC →＋AB →·CD → ＝|AB →|·|AC →|cos 45°＋|AB →|·|CD →|cos 45°＝22×2×22＋22×1×22＝6.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A (0,2)，B (－2,0)，D (－1,0)， ∴AB →＝(－2,0)－(0,2) ＝(－2，－2)， AD →＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴AB →·AD →＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6. 答案：6平面向量的模与夹角的计算(1)[模与数量积的关系](2014·高考新课标全国卷Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5(2)[夹角与垂直](2015·高考重庆卷)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π (3)[垂直的综合应用]如下图，ABCD 是边长为2的正方形，E 是AD 的中点，F 是DC上的点，AF 与BD 交于点G ，若AF ⊥BE ，且BG →＝λGD →，求λ的值与GF →·BD →.[解] (1)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6， 将上面两式左右两边分别相减，得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.选A.(2)由(a －b )⊥(3a ＋2b )， 得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.又∵ |a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0，∴ 83|b |2－223|b |2·cosθ－2|b |2＝0.∴ cos θ＝22.又∵ 0≤θ≤π，∴ θ＝π4.选A.(3)建立如图所示的平面直角坐标系，并设F (x,2)，则B (2,0)，E (0,1)，D (0,2)，∴AF →＝(x,2)，BE →＝(0,1)－(2,0)＝(－2,1)，由AF ⊥BE 得，AF →·BE →＝0，即－2x ＋2＝0，∴x ＝1.设G (x 1，y 1)，由BG →＝λGD →，得(x 1－2，y 1)＝λ(－x 1,2－y 1)，(λ≠－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2＝－λx 1，y 1＝2λ－λy 1，即⎩⎨⎧x 1＝21＋λ，y 1＝2λ1＋λ，∴AG →＝⎝⎛⎭⎫21＋λ，2λ1＋λ，由AF →⊥BE →知AG →·BE →＝0，即⎝⎛⎭⎫21＋λ，2λ1＋λ·(－2,1)＝0，∴－41＋λ＋2λ1＋λ＝0，解得λ＝2.此时G 点的坐标为⎝⎛⎭⎫23，43，∴GF →＝(1,2)－⎝⎛⎭⎫23，43＝⎝⎛⎭⎫13，23. 又BD →＝(0,2)－(2,0)＝(－2,2)，∴GF →·BD →＝13×(－2)＋23×2＝23.(1)向量的模与向量的数量积的计算常用下列法则：①a 2＝|a |2＝a ·a ；②|a ±b |2＝|a |2＋|b |2±2a ·b .(2)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．(3)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．1．已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a ＋b |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：选 C.因为向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2cos π3＋1＝ 3.2．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π6 解析：选C.∵ a ⊥(2a ＋b )，∴ a ·(2a ＋b )＝0， ∴ 2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0. ∵ |b |＝4|a |，∴ 2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0，∴ cos 〈a ，b 〉＝－12，∴ 〈a ，b 〉＝23π.故选C.3．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |；②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：由已知得，a·b ＝4×8×⎝⎛⎭⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768. ∴|4a －2b |＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．平面向量数量积的应用(1)[向量在解析几何中的应用](2015·高考全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 (2)[向量在物理中的应用]在长江南岸渡口处，江水以252km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为北偏西多少度( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°(3)[向量在三角函数中的应用]在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. ①若m ⊥n ，求tan x 的值；②若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解] (1)由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴ F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴ MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．∵ MF 1→·MF 2→＜0，∴ (－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.∵ 点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴ x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴ 2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴ －33＜y 0＜33.选A. (2)如图所示，渡船速度为OB →，水流速度为OA →，船实际垂直过江的速度为OD →，依题意知|OA →|＝252，|OB →|＝25.∵OD →＝OB →＋OA →，∴OD →·OA →＝OB →·OA →＋OA →2， ∵OD →⊥OA →，∴OD →·OA →＝0，∴25×252cos(∠BOD ＋90°)＋⎝⎛⎭⎫2522＝0， ∴cos(∠BOD ＋90°)＝－12，∴sin ∠BOD ＝12，∴∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.选A. (3)①若m ⊥n ，则m ·n ＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，∴ tan x ＝1.②∵ m 与n 的夹角为π3，∴ m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， ∴ sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵ x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，∴ x －π4＝π6，即x ＝5π12.(1)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．(2)平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，熟悉向量的各种运算，掌握其性质是解决此类题目的关键．1．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.故选C.2．已知两个力F 1，F 2的夹角是直角，且它们的合力F 与F 1的夹角是60°，|F |＝10 N ，则F 1和F 2的大小分别是________N.解析：如图所示，OC →表示F 1，OA →表示F 2，以OC →与OA →为邻边作矩形OADC ，则OD →表示F ，在Rt △OCD 中，∠COD ＝60°，|F |＝10(N)，∴|F 1|＝|F |cos 60°＝10×12＝5(N)，∴|CD →|＝|F |sin 60°＝10×32＝53(N)，又∵|F 2|＝|CD →|，∴|F 2|＝53(N)，∴F 1和F 2的大小分别为5 N 和5 3 N. 答案：5,5 33．P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最大值．解：因PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →)＝NP →2－NF →2＝NP →2－1，又因为P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任一点，设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 20＝16－4y 203，又N (0,1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17 ＝－13(y 0＋3)2＋20.因为y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20，故PE →·PF →的最大值为19.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解：(1)由m·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4，由余弦定理得()422＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1. 故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.一、选择题1．(必修4 P 107练习T 2改编)设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( )A ．－6 B.10 C. 5 D ．10 解析：选D.∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ， ∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝10，故选D.2．(必修4 P 119A 组T 10改编)已知△ABC 的三个顶点A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则最小角的余弦值为( )A.1010B.31010C.13D.105解析：选B ．由图可知，显然C 为△ABC 的最小角，∵CA →＝(3，－3)，CB →＝(4，－2)，∴cos 〈CA →，CB →〉＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝1832·25＝31010.3．(必修4 P 105例3改编)已知|a |＝3，|b |＝2，(a ＋2b )·(a －3b )＝－18，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 解析：选B.(a ＋2b )·(a －3b )＝－18， ∴a 2－6b 2－a ·b ＝－18，∵|a |＝3，|b |＝2，∴9－24－a ·b ＝－18，∴a ·b ＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝36＝12，∴〈a ，b 〉＝60°. 二、填空题4．(必修4 P 110例2改编)△ABC 中，∠BAC ＝2π3，AB ＝2，AC ＝1，DC →＝2BD →，则AD →·BC→＝________.解析：由DC →＝2BD →得 AD →＝13()AC →＋2AB →. ∴AD →·BC →＝13()AC →＋2AB →·(AC →－AB →)＝13()AC →2＋AC →·AB →－2AB →2 ＝13⎣⎡⎦⎤12＋1×2×⎝⎛⎭⎫－12－2×22＝－83. 答案：－835．(必修4 P 106练习T 3改编)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________．解析：由(a －c )·(b －c )≤0， 得a ·b －a ·c －b ·c ＋c 2≤0，又a ·b ＝0， 且a ，b ，c 均为单位向量，得－a ·c －b ·c ≤－1，|a ＋b －c |2＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b －a ·c －b ·c ) ＝3＋2(－a ·c －b ·c )≤3－2＝1， 故|a ＋b －c |的最大值为1. 答案：1 三、解答题6．(必修4 P 119B 组T 1(5)改编)若e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，求a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2的夹角．解：∵|e 1|＝|e 2|＝1，且夹角θ＝60°，∴|a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4e 21＋4e 1·e 2＋e 22＝4×12＋4×1×1×cos 60°＋12＝7. ∴|a |＝7.|b |2＝(－3e 1＋2e 2)2＝9e 21－12e 1·e 2＋4e 22＝9×12－12×1×1×cos 60°＋4×12＝7， ∴|b |＝7. a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2) ＝－6e 21＋e 1·e 2＋2e 22＝－6×12＋1×1×cos 60°＋2×12＝－72，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.故a 与b 的夹角为23π.一、选择题1．设向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C.52 D.72[导学号03350399] 解析：选C.由已知得a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3)．因为向量a ＋2b 与2a －b 平行，所以3(1＋2x )－4(2－x )＝0，解得x ＝12，所以b ＝⎝⎛⎭⎫12，1，a ·b ＝1×12＋2×1＝52.故选C.2．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．4[导学号03350400] 解析：选C.由已知得2a －b ＝(3，x )，而(2a －b )·b ＝0⇒－3＋x 2＝0⇒x 2＝3，所以|a |＝1＋x 2＝4＝2.故选C.3．已知平面向量a ，b 均为单位向量，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |＝( ) A. 3 B.7 C ．3 D ．7[导学号03350401] 解析：选A.由题意，得|2a ＋b |2＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4|a |·|b |cos 120°＋|b |2＝3，∴|2a ＋b |＝ 3.故选A.4．a ，b 是两个向量，|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°[导学号03350402] 解析：选C.∵(a ＋b )·a ＝|a |2＋b ·a ＝|a |2＋|b ||a |cos θ＝1＋2×1×cos θ＝0，∴cos θ＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.故选C.5．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．10[导学号03350403] 解析：选B.因为AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC ⊥BD .设四边形ABCD 对角线交于O 点(图略)，则四边形的面积等于四个三角形的面积之和，即S ＝12(AO ·DO ＋AO ·BO ＋CO ·DO ＋CO ·BO )＝12(|AC →|·|BD →|)．容易算出|AC →|＝5，|BD →|＝25，代入得S ＝5.故选B.6．若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3[导学号03350404] 解析：选C.由于|a ＋b |2＝|a －b |2，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，得a ·b ＝0.又|a －b |2＝4a 2，得a 2－2a ·b ＋b 2＝4a 2，得b 2＝3a 2，(a －b )·b ＝－b 2，设a －b 与b 的夹角为θ，则cos θ＝(a －b )·b |a －b ||b |＝－b 22|a |·3|a |＝－3a 223a 2＝－32，由于θ∈[0，π]，所以θ＝5π6，故选C.7．在△ABC 中，sin A ＝35，AB →·AC →＝8，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．4C ．6 D.125[导学号03350405] 解析：选A.∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝8>0，∴cos A >0，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，∴|AB →|·|AC →|＝8cos A ＝8×54＝10.∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×10×35＝3，即△ABC 的面积为3.故选A.8．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[导学号03350406] 解析：选B.法一：因为已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AB →·AD →＝0，故AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(BA →＋AD →)＝⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝|AD →|2－AD →·AB →＋12AB →·AD →－12|AB →|2＝4－0＋0－12×4＝2.故选B.法二：将正方形放在直角坐标系中(图略)，其中正方形的四个顶点坐标为A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，E 为CD 的中点，所以点E 的坐标为(1,2)，AE →·BD →＝(1,2)×(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.故选B.9．设e 1，e 2为单位向量，e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为( )A ．1 B.32C ．2 D.52[导学号03350407] 解析：选D.向量a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b|b |，又|b |＝2，a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，所以向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝52.故选D.10．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是AB 的中点，点E 是对角线AC 上的动点，则DE →·FC →的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[导学号03350408] 解析：选B.以A 为坐标原点，AB →、AD →方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F (1,0)，C (2,2)，D (0，2)，设E (λ，λ)(0≤λ≤2)，则DE →＝(λ，λ－2)，FC →＝(1,2)，所以DE →·FC →＝3λ－4≤2.∴DE →·FC →的最大值为2.故选B. 11.甲、乙两位同学参加2016年的自主招生考试，下火车后两人共同提起一个行李包(如图所示)，设他们所用的力分别为F 1，F 2，行李包所受重力为G ，若|F 1|＝|F 2|＝22|G |，则F 1与F 2的夹角θ的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2[导学号03350409] 解析：选D.由力的平衡可知F 1＋F 2＋G ＝0，F 1＋F 2＝－G ，两边平方，得F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝(－G )2，由条件得F 1·F 2＝0，故F 1与F 2的夹角θ的大小为π2.故选D.12．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos A ，sin A )，向量n ＝(2－sin A ，cos A )，若|m ＋n |＝2.则内角A 的大小为( )A.π6B.π4C.3π4D.5π6 [导学号03350410] 解析：选B.|m ＋n |2＝(cos A ＋2－sin A )2＋(sin A ＋cos A )2＝4＋22(cos A －sin A )＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A .∵4＋4cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝4，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝0. ∵A ∈(0，π)，∴π4＋A ＝π2，∴A ＝π4.二、填空题13．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则|3a ＋b |＝________.[导学号03350411] 解析：∵a 与b 共线，∴1×k －2×(－2)＝0，解得k ＝－4，∴3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝ 5.答案： 5 14．已知向量m ＝(2x ，－1)，n ＝(x ，ln x )，若f (x )＝m ·n ，则f (x )的单调递减区间为________．[导学号03350412] 解析：f (x )＝m ·n ＝2x 2－ln x (x >0)，令f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x≤0，解得0<x ≤12.答案：⎝⎛⎦⎤0，12 15．如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．[导学号03350413] 解析：由题意，得AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，∴AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－34AB →＝|AD →|2－12AD →·AB →－316|AB →|2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22. 答案：2216．已知i 和j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．[导学号03350414] 解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝(1，－2)·(1，λ)5×1＋λ2＝1－2λ5×1＋λ2∵〈a ，b 〉为锐角，∴0<1－2λ5×1＋λ2<1，∴⎩⎨⎧1－2λ>01－2λ<5·1＋λ2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ<12，λ2＋4λ＋4>0.∴λ<12且λ≠－2.答案：(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12。
第03讲 平面向量的数量积 (精讲)(含答案解析)
第03讲平面向量的数量积(精讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲平面向量的数量积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析角度2：平面向量数量积的几何意义高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积角度2：向量模运算角度3：向量的夹角角度4：已知模求数量积角度5：已知模求参数高频考点三：平面向量的综合应用高频考点四：极化恒等式第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA a = ，OB b =，则AOB θ∠=(0θπ≤≤)叫做向量a 与b的夹角，记作,a b <> ．(2)范围：夹角θ的范围是[0,]π．当0θ=时，两向量a ，b共线且同向；当2πθ=时，两向量a ，b 相互垂直，记作a b ⊥ ；当θπ=时，两向量a ，b共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅= ，其中θ是a 与b的夹角，记作：,a b θ=<> ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：00a ⋅=.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点O ，作OM a ON b ==，.过点M 作直线ON 的垂线，垂足为1M ，则1OM 就是向量a 在向量b 上的投影向量.②投影向量计算公式:当θ为锐角（如图（1））时，1OM 与e 方向相同，1||||cos OM a λθ== ，所以11||||cos OM OM e a e θ== ；当θ为直角（如图（2））时，0λ=，所以10||cos 2OM a e π==；当θ为钝角（如图（3））时，1OM 与e方向相反，所以11||||cos ||cos()||cos OM a MOM a a λπθθ=-=-∠=--= ，即1||cos OM a e θ= .当0θ=时，||a λ=，所以1||||cos0OM a e a e == ；当πθ=时，||a λ=-，所以1||||cosπOM a e a e =-= 综上可知，对于任意的[0π]θ∈，，都有1||cos OM a e θ= .2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量1122(,),(,)a x y b x y == ，θ为向量a 和b的夹角：2.1数量积1212=||||cos x x y y a b a b θ⋅=+2.2模：2211||a a x y =⋅=+a 2.3夹角：121222221122cos ||||x x y y a ba b x y x y θ+⋅==++ 2.4非零向量a b ⊥的充要条件：121200a b x x y y ⋅=⇔+= 2.5三角不等式：||||||a b a b ⋅≤ （当且仅当a b∥时等号成立）⇔222212121122x x y y x y x y +≤+⋅+3、平面向量数量积的运算①a b b a⋅=⋅r r r r ②()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ③()c+⋅=⋅+⋅ a b c a c b 4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形ABCD 中，则221()4AB AD AC DB ⋅=- ②三角形形式：在ABC ∆中，M 为BC 的中点，所以222214AB AC AM MB AM BC⋅=-=- 5、常用结论①22()()a b a b a b+-=- ②222()2a b a a b b+=+⋅+ ③222()2a b a a b b-=-⋅+ 第二部分：课前自我评估测试一、判断题（2022·全国·高一专题练习）1．判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个向量的数量积仍然是向量.()（2）若0a b ⋅= ，则0a =或0b = .()（3）a ，b 共线⇔a ·b =|a ||b |.()（4）若a ·b =b ·c ，则一定有a =c.()（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.()（2021·全国·高二课前预习）2．已知两个向量,NM MP的夹角为60°，则∠NMP ＝60°.()二、单选题（2022·河南安阳·高一阶段练习）3．已知向量()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，若a b ⊥，则t =（）A ．1B ．13-C ．1-D ．2（2022·全国·模拟预测（文））4．在边长为2的正三角形ABC 中，则AB BC ⋅= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）5．在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则ABC －定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量a ，b满足1a = ，1a b ⋅=- ，则()2a a b ⋅-=（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C22(2)222113a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=⨯+=.故选：C.例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（）①0a b a b ⇒⋅=∥ ②a b b a⋅=⋅r r r r ③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ④a b a b⋅≤⋅A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B由数量积的定义知||||cos a b a b θ⋅=，对于①，若a b∥，则||||a b a b ⋅= 或||||a b a b -⋅= ，0a b ⋅= 不一定成立，①错误对于②，a b b a ⋅=⋅r r r r成立，②正确对于③，()a b c ⋅⋅r r r 与a共线，()a b c ⋅⋅r r r 与c 共线，两向量不一定相等，③错误对于④，||||cos a b a b a b θ⋅=≤⋅，④正确故选：B例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是（）A ．AB 与BC的夹角是锐角B ．AC 与BA的夹角是锐角C ．AC 与BC的夹角是锐角D ．AC 与BC的夹角是钝角【答案】C 如下图所示：对于A 选项，AB 与BC的夹角为ABC π-∠，为钝角，A 错；对于B 选项，AC 与BA的夹角为BAC π-∠，为钝角，B 错；对于CD 选项，AC 与BC的夹角等于ACB ∠，为锐角，C 对D 错；故选：C.例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量,a b 的夹角为23π，且||3,a b ==，则b 在a方向上的投影为___________.【答案】1-由题意得2b = ，则b 在a 方向上的投影为2||cos ,2cos13π=⨯=- b a b .故答案为：1-.角度2：平面向量数量积的几何意义例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量()()1121a b ==- ，，，，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．15B ．15-CD．5【答案】D因为()()1121a b ==-，，，，所以cos a b a b a b ⋅〈⋅〉==⋅ ，因此a 在b方向上的投影数量为cos ()105a ab 〈⋅〉=-=-，故选：D例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆O 中弦AB 的长度为8，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．16C ．24D ．32【答案】Dcos 8432AO AB AB AO OAB ⋅=⋅∠=⨯=．故选：D例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知8,4a b == ，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a方向上的投影为（）A ．4B ．－4C ．2D ．－2【答案】D由向量8,4a b == ，且a 与b 的夹角为120°，所以向量b 在a 方向上的投影为cos 4cos1202b θ=⨯=-，故选：D.例题4．（2022·吉林一中高一期中）在ABC中，AB =4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12【答案】A如图，作AE BC ⊥于E ，作PF BC ⊥于F ，由已知得AE =32BE ==，cos 4BC BP BC BP PBC BF ⋅=∠= ，当P 在线段AC 上运动时地，F 在线段EC 上运动，342BF ≤≤，所以6416BF ≤≤ ，故选：A ．例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP ×uu u r uu u r 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．⎡⎣-C ．⎡-⎣D ．[]4,4-【答案】Dcos ,AB OP AB OP AB OP ×=<>uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r ，即AB 与OP 在向量AB方向上的投影的积．由图2知，O 点在直线AB 上的射影是AB 中点，由于2AB =，圆弧直径是2，半径为1，所以OP 向量AB方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此AB OP ×uu u r uu u r 的最大值是224⨯=，最小值是2(2)4⨯-=-，因此其取值范围为[4,4]-，故选：D ．题型归类练（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）6．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AO AB AC +=，AO AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A ．14BCB ．12BC C ．14BC - D ．12BC -（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））7．非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，a 与b 的夹角为6π，3a = ，则c 在b 上的正射影的数量为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2022·北京市第十九中学高一期中）8．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2022·全国·高三专题练习）9．在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，1AD AB == ，与BC方向相同的单位向量为e ，则向量AB 在BC上的投影向量为（）A ．12eB ．12e- C D ．（2022·河南河南·三模（理））10．在△ABC 中，“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）11．在圆O 中弦4AB =，则AO AB ⋅=__________.（2022·四川·树德中学高一阶段练习）12．如图，直径4AB =的半圆，D 为圆心，点C 在半圆弧上，3ADC π∠=，线段AC 上有动点P ，则DP BA ⋅的取值范围为_________．高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形ABCDEF 的边长为2，则CE FD ⋅u u r u u u r=（）A ．-6B ．-C ．D ．6【答案】A在CDE 中，2CD DE ==，120CDE ∠=︒，所以CE =所以有CE DF == CE 与FD 所成的角为120°，所以(2162CE FD ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A ．例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，则()AB BE BC +⋅=（）A ．2-B ．0C ．12D ．2【答案】D()AB BE BC +⋅= AB BC BE BC ⋅+⋅0122=+⨯=.故选：D例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知12a = ，4b = ，且a ，b的夹角为π3，则⋅=a b （）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】Aπ||||cos 3a b a b ⋅=⋅⋅114122=⨯⨯=.故选：A例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量)1a =-，单位向量b满足20b a b +⋅= ，则向量a 与b夹角为___________.【答案】23π)1a =- ，2a =，由20b a b +⋅= 可知112cos ,0a b +⨯⨯= ，解得1cos ,2a b =- ，所以2,3a b π= .故答案为：23π例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在ABC 中，60,6,5B AB BC ∠=== ，则AB BC ⋅=_______【答案】15-因为60,6,5B AB BC ∠=== ，所以()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：15-.角度2：向量模运算例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知i ，j是平面内的两个向量，i j ⊥ ，且2,2,34j a i j b i i j ===+=-+，则a b -=r r （）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】由42a b i j -=-r r r r，则2222(42)1616480a b i j i i j j -=-=-⋅+=r r r r r r r r ，所以a b -=r r 故选：D例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量a 与b 的夹角为2π3，且||2a = ，1b ||=，则|2|a b +=（）A ．2B ．C ．4D ．12【答案】A∵2π13|s |co b a b a ⋅==- ||则222|2|444a b a a b b +=+⋅+= ，即|2|2a b += 故选：A ．例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量a 与b的夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ||b =（）AB ．1C ．2D ．4【答案】C解:向量a ，b夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ∴222(2)44a b a a b b -=-⋅+ 22242||cos604||12b b ︒=-⨯⨯⨯+= ，即2||||20b b --=，解得||2b =或||1b =- （舍），∴||2b =，故选：C例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量a =，b ，且a 与b的夹角为6π，则2a b -= （）A ．7B C ．6D【答案】B2a ==，cos 362a b a b π∴⋅=⋅== ，222244161237a b a a b b ∴-=-⋅+=-+= ，2a b ∴-= 故选：B.例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，则a b -=______．【答案】7因为平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，所以由7a b -====，故答案为：7例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量(a = ，4b = ，且向量a 与b 的夹角为34π，则a b -= ______．因为(a = ，所以a =又4b = ，3,4a b π〈〉=，所以34cos124a b π⋅==- 所以2222()218241658a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=所以a b -角度3：向量的夹角例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b满足1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B解：因为1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅= ，所以1a b ⋅= ，设a 与b的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅ ，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=；故选：B例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量a 、b 、c ，满足a b c +=，则向量a 和b的夹角为()A ．2π3B ．π2C ．π3D ．6π【答案】A∵a b c +=，∴()()a b a b c c +⋅+=⋅ ，∴2222a b a b c ++⋅= ，∴12a b ⋅=-r r ，∴1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，∵[],0,π∈ a b ，∴2π,3a b = ．故选：A ．例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量a ，b 满足||2a =，b = 3a b ⋅=，则向量b 与b a -夹角的余弦值为（）.A．2BC．16D．20【答案】D因为b = 3a b ⋅=，所以22()39b b a b b a ⋅-=-⋅=-=，因为b a -==== ，所以向量b 与b a -夹角的余弦值为()20b b a b b a ⋅-==⋅- ，故选：D例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量a = ，b 是单位向量，若|2|a b -= a 与b的夹角为_____.【答案】π3##60o由a = ､b为单位向量，|2|a b -= 得：2|23|1-= a b ，即224413a a b b -⋅+= ，由2a = ，=1b 所以cos ,1a b a b a b ⋅=⋅= ，1cos ,2a b = ，所以,a b =π3故答案为：π3例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若||a =r ，||2b =，且|2|a b += a 与b的夹角大小为______．【答案】150︒##5π6因为|2|a b + 22447a a b b +⋅+= ，即34447a b +⋅+⨯= ，解得3a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅〈〉===-，而0,πa b ≤〈〉≤ ，所以5π,6a b 〈〉= ．故答案为：150︒．例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =-r，()1,b λ= ，则“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B当a 与b 的夹角为锐角时，0a b ⋅> 且a 与b不共线，即12020λλ->⎧⎨+≠⎩，∴12λ<且2λ≠-，∴“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．【答案】1λ>-且4λ≠因向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b 的夹角为锐角，于是得0a b ⋅> ，且a 与b 不共线，因此，220λ+>且40λ-≠，解得1λ>-且4λ≠，所以实数λ的取值范围是1λ>-且4λ≠.故答案为：1λ>-且4λ≠例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角．则λ的取值范围是______．【答案】12λ>-且2λ≠解：因为向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角，所以0a b ⋅<且两个向量不共线，即240240λλ--<⎧⎨-≠⎩，解得12λ>-且2λ≠.故答案为：12λ>-且2λ≠.例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量(),2a λ=- ，()3,4b =- ，若a ，b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为______【答案】833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：由题意得380a b λ⋅=--< ，且46λ≠，解得83λ>-且32λ≠，即833,,322λ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭角度4：已知模求数量积例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量a ，b满足2a b == ，a b -=r r ，则⋅=a b （）A ．2-B ．-C ．D ．6【答案】A||a b -==4241 2,2a b a b ∴-⋅+=⋅=- 故选：A例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量a 、b 满足2a b b ==-=，则a b ⋅= （）A ．6B ．-C ．D ．－2【答案】D2244122||21222b a b a b a b a b +--=⇒-=+-⋅=⇒⋅==- .故选：D.例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量,a b满足122a b a b ==-= ，，，则a b ⋅=_____.【答案】12##0.5因为122a b a b ==-= ，，，所以22224a ba ab b-=-⋅+= ，即1244a b -⋅+=，所以12a b ⋅= .故答案为：12.例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 则a b ⋅=___________.【答案】0解：因为向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 所以()22222221225a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+-⋅=，所以0a b ⋅=，故答案为：0.例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=________．【答案】32-##-1.5∵向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，∴()()()22222320a b ca b a b b c c a a b b c c c a =⋅+⋅+⋅⋅+++++=+⋅=+⋅+，∴32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：32-.角度5：已知模求参数例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-，若||||a b a b +=-，则实数n =（）A ．BC ．-2D ．2【答案】D 【详解】由||||a b a b +=-可得22()()a b a b +=-2222220a a b b a a b b a b ∴+⋅+=-⋅+∴⋅= 20a b m mn ∴⋅=-+=，因为0m ≠，所以2n =.故选：D例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量,a b满足12a b ⋅= ，则()a tb t R +∈ 的最小值为（）A ．2B ．34C ．12D ．14【答案】A 【详解】,a b为单位向量，1a b ∴==，2222221a tb a ta b t b t t ∴+=+⋅+=++，则当12t =-时，()2min314t t ++=，mina tb∴+=.故选：A.例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量(),2a m = ，()1,1b =r，若a b a += 则实数m =（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A因为()1,1b =r，则b = a b a b +=+，等式a b a b +=+ 两边平方可得222222a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，则a b a b ⋅=⋅ ，故a 与b同向，所以，2m =.故选：A.例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量a ，b满足4a =，(b =- ，且0a kb +=，则k 的值为______．【答案】2∵0a kb += ，∴0a kb += ，∴a kb =-，∴a kb k b == ，∵(b =-，∴2b ==．又∵4a =，∴2a k b==．故答案为：2.题型归类练（2022·北京·潞河中学三模）13．已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠= ，则DB CD ⋅=（）A ．232a-B ．234a-C ．234aD ．232a（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））14．已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠ ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3（2022·全国·高一单元测试）15．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2B ．4CD ．17（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））16．如图，ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若AC ＝3，AB ＝4，则AP CD ⋅的值为（）A ．125B ．512C ．1312D ．1213（2022·湖南·长沙市明德中学二模）17．已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-= ，则向量b 与向量a b - 夹角的余弦值为（）A ．2B ．0C ．2D ．2（2022·广东·模拟预测）18．已知单位向量a ，b 满足()2a a b ⊥- ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．120︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））19．设,a b 为非零向量，且22a b a b +=- ，则a ，b的夹角为___________.（2022·广东广州·三模）20．已知,a b为单位向量，若2a b -= 2a b += __________.（2022·山东济宁·三模）21．在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP = ________.高频考点三：平面向量的综合应用例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点，若AG x AB y AD =+，则xy =（）A ．625B ．625-C ．825D ．825-【答案】C由题意，可得()11112224AG AB BG AB BH AB BC CH AB BC CE =+=+=++=++ ，因为EFGH 是平行四边形，所以AG CE =-，所以1124AG AB BC AG =+- ，所以4255AG AB BC =+ ，因为AG x AB y AD =+ ，所以42,55x y ==，则4285525xy =⨯=.故选：C.例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中OM ON ⋅的值为（）A ．24B ．6C ．D ．【答案】A在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，4OM =，(2cos ,2sin )(2,33OM ππ== ，83MP = ，即8(,0)3MP = ，23PN = ，由分形知//PN OM ，所以1(,)33PN = ，所以(5,)3ON OM MP PN =++= ，所以2524OM ON ⋅=⨯+= ．故选：A ．例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>> ，若13mn =，则mn 的值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】B 【详解】因平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，则1122AO AB AD =+，而,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，于是得122m AO AM AN n=+，又点M ，O ，N 共线，因此，1122m n +=，即12mn n +=，又13mn =，解得12,23m n ==，所以34m n =.故选：B例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形ABCD 中，,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥ 分别为线段BC ，CD 上的动点.(1)求BC AB ⋅ ；(2)若14BP BC =，求AP ；(3)若1,6BP BC DQ DC μμ== ，求AP BQ ⋅u u u r u u u r 的最小值；【答案】(1)2-76(1)因为,2,120AB CD AB BC BCD ==∠= ∥，所以60ABC ∠= ，所以,180120BC AB ABC =-∠=，所以cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅ .(2)由（1）知，2BC AB -⋅=，因为14BP BC = ，所以14AP AB BP AB BC =+=+ ，所以()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以AP = .(3)因为BP BC μ= ，16DQ DC μ=，则()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2611666AB BC AB CD BC CB CDμμμμ--=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭，因为011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，解得116μ≤≤，设()125536f μμμ=+-，116μ≤≤，根据对勾函数的单调性可知，()f μ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当1μ=时，()f μ取得最大值：()125715366f =+-=.22．已知P 是ABC 的外心，且3420PA PB PC +-=uu r uu uu u r r r，则cos C =（）A ．-4B ．-14C．4或-4D ．14或-14（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））23．在△ABC 中，点D 满足AD =1162AB AC +，直线AD 与BC 交于点E ，则CE CB的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15（2022·山东淄博·高一期中）24．如图，1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒= ，则AD AB ⋅=_________（2022·湖南·模拟预测）25．在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD D C =，AD AB AC λμ=+ (),λμ∈R ，则λμ-=______．（2022·浙江·高一阶段练习）26．平面内的三个向量(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==.(1)若(2)//()a b c a +-，求实数k 的值；(2)若()()c a c b -⊥-，求实数k 的值.（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）27．已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=.(1)若a b ⊥，求2a b + ；与a夹角的余弦值.28．已知平行四边形ABCD 中，2DE EC = ，0AF DF +=，AE 和BF 交于点P.(1)试用AB，AD 表示向量AP .(2)若BPE 的面积为1S ，APF 的面积为2S ，求12S S 的值.(3)若AB AD AB AD +=- ，0AC BD ⋅= ，求APF ∠的余弦值.（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））29．如图，设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知2AD =，c ＝1且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+．(1)求b 边的长；(2)求△ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅的最小值．高频考点四：极化恒等式例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字：2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫-=-⋅+ ⎪⎝⎭，两式相减得：22221()44a b a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=⋅⇒⋅=+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.（1）若6AD =，4BC =，求→→⋅的值；（2）若4AB AC →→⋅=，1FB FC →→⋅=-，求EB EC →→⋅的值.【答案】（1）32；（2）78.【自主解答】解：（1）因为2,AB AC AD AB AC CB →→→→→→+=-=，所以2222113643244AB AC AB AC AB AC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）设3AD m =，2(0,0)BC n m n =>>，因为4AB AC →→⋅=，由（1）知222214494AD CB m n →→=⇒-=-①因为2,3FB FC AD FB FC CB →→→→→→+=-=，所以根据2222111494FB FC FB FC FB FC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为1FB FC →→⋅=-，所以2222111194AD CB m n →→-=-⇒-=-②由①②解得258m =，2138n =.所以2222141494EB EC EB EC EB EC AD CB→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦22201374888m n =-=-=.例题2．（2022·河北唐山·高三期末）ABC 中，D 为BC 的中点，4BC =，3AD =，则AB AC ⋅=______．【答案】5【自主解答】解：因为D 为BC 的中点，4BC =，所以DB DC =-，2DB DC ==,AB AD DB AC AD DC =+=+ ，所AB AC ⋅=()()AD DB AD DC =+⋅+ ()()22945AD DC AD DC AD DC =-⋅+=-=-= 故答案为：5法二：由极化恒等式2211916544AB AC AD BC ⋅=-=-⨯= 例题3．（2022届高三开年摸底联考新高考）已知直线l ：10x y +-=与圆C ：22()(1)1x a y a -++-=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的最小值为：（）A.12-B.D.12【自主解答】如图：圆C 22()(1)1x a y a -++-=的圆心(,1)C a a -，在直线l ：10x y +-=上，由极化恒等式，2214OA OB OC BA ⋅=- ，而24BA = ，所以222114OA OB OC BA OC ⋅=-=- ，C是直线l ：10x y +-=上的动点，所以||OC的最小值，就是点O 到直线l 的距离d 2min 1()12OA OB d ⋅=-=- .题型归类练30．设向量,a b 满足a b += a b -=r r a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．531．如图，在ABC 中,90,2,2ABC AB BC ∠=== ，M 点是线段AC 上一动点.若以M 为圆心､半径为1的圆与线段AC 交于,P Q 两点，则BP BQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-33．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为__________．第四部分：高考真题感悟（2021·浙江·高考真题）34．已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件（2021·全国·高考真题）35．已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．（2021·全国·高考真题（文））36．若向量,a b满足3,5,1a a b a b =-=⋅= ，则b = _________.（2021·全国·高考真题（理））37．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．（2021·天津·高考真题）38．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．（2021·北京·高考真题）39．已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅=________；=a b ⋅ ________.参考答案：1．错误错误错误错误正确【分析】根据数量积的相关概念逐一判断即可【详解】对于（1）：两个向量的数量积是数量，故错误；对于（2）：若0a b ⋅= ，除了0a = 或0b = 之外，还有可能a b ⊥，故错误；对于（3）：a ，b 共线a ·b =±|a ||b|，故错误；对于（4）：数量积是一个整体，这里面b 不能直接约去，故a 与c无固定关系，故错误；对于（5）：两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量，符合向量的运算规律，故正确.2．错误【解析】略3．C【分析】由题可得0a b ⋅=，即可求出.【详解】因为()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，a b ⊥，所以()210a b t t ⋅=--=，解得1t =-.故选：C.4．A【分析】根据数量积的定义计算可得；【详解】解：()1cos 2222AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A 5．C【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得cos 0A <，得到A 为钝角，即可求解.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅< ，即cos 0A <，因为(0,)A π∈，所以A 为钝角，所以ABC －定是钝角三角形.故选：C.6．B【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC 为菱形,直接得到向量BA在向量BC 上的投影向量.【详解】如图示：因为△ABC 的外接圆圆心为O ，AO AB AC+=，AO AC = ，所以AO AC CO ==,所以△AOC 为等边三角形，所以OBAC 为菱形，所以OA BC ⊥.所以向量BA 在向量BC 上的投影向量为12BC .故选：B 7．D【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅= ，即c b a b ⋅=⋅ ，又a 与b的夹角为6π，3a = ，所以c 在b 上的正射影的数量||cos ,||cos 62||||c ba b c c b a b b π⋅⋅〈〉====.故选：D 8．A【分析】依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，即可求出AE ，设AP 与AB的夹角为θ，结合图形即可得到AP 在AB方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；【详解】解：依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，则3cos 602AE AD =︒=，设AP 与AB的夹角为θ，因为点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），所以AP 在AB方向上的投影cos AP θ ，且3cos 12AP θ-<<，所以3cos cos ,12AB AP AB AP AP θθ⎛⎫⋅=⋅=∈- ⎪⎝⎭故选：A 9．B【分析】易知ABD △是等边三角形，再根据BC 方向相同的单位向量为e ，由2cos 3AB e π⋅⋅求解.【详解】在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以D 为BC 的中点，且|AD |=|BD |，又1AD AB ==，所以ABD △是等边三角形，因为BC方向相同的单位向量为e ，所以向量AB 在BC 上的投影向量为21cos 32AB e e π⋅⋅=-，故选：B 10．D【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.【详解】由||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅<，即cos 0B >，又0B π<<，所以02B π<<，不能推出△ABC 为钝角三角形，充分性不成立；△ABC 为钝角三角形时，若2B ππ<<，则||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅>，不能推出0AB BC ⋅<，必要性不成立.所以“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D 11．8【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解.【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 为AB 的中点，12AC AB =，所以2211cos ,4822AO AB AO AB AO AB AB AC AB ⋅=⋅===⨯= ，故答案为：8.12．[]4,8【分析】由数量积的定义求解【详解】过点P 作AB 的垂线，交AB 于点H 可得||||DP BA DH BA ⋅=⋅当P 在C 点时，DP BA ⋅ 取最小值4，当P 在A 点时，DP BA ⋅取最大值8故答案为：[4,8]13．A【分析】将,DB CD 分别用,BA BC表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=- .故选：A.14．C【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅= ，从而得到0a b ⋅= ，得到a 与b 的夹角.【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+ ，因为向量a ，b为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅= .因为0λ≠，所以0a b ⋅= ，即a 与b 的夹角为π2.故选：C 15．C【分析】首先由数量积的定义求出ab ，再由余弦定理及基本不等式求出c 的最小值；【详解】解：∵92CB CA ⋅= ，∴9cos 2a b C ⋅⋅=，∴15ab =，由余弦定理得22232cos 222110c a b ab C ab ab =+-⋅≥-⨯=，当且仅当a b =时取等号，∵0c >，∴c ≥c ，故选：C ．16．C【分析】根据,,C P D 三点共线求出14m =，然后把,AB AC 当基底表示出,AP CD ，从而求出AP CD ⋅的值【详解】 2AD DB =，32AB AD∴= ∴1324AP m AC AB m AC AD=+=+ ,,C P D 三点共线，31144m m ∴+=⇒=1142AP AC AB ∴=+，又23CD AD AC AB AC=-=- 112()()423AP CD AC AB AB AC ∴=+- 22111343AB AC AB AC =--22111πcos 3433AB AC AB AC =--1111169433432=⨯-⨯-⨯⨯⨯1312=故选：C 17．A【分析】根据0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,)b t = ，根据()()0a b a b +⋅-= 求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a = ，(0,)b t = ，则(1,)a b t += ，(1,)a b t -=- ，因为()()0a b a b +⋅-= ，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a b b a b b a b ⋅-<->=⋅-2=2=-，故选：A.18．B【分析】利用向量垂直，向量数量积的定义及运算法则可得1cos ,2a b = ，即得.【详解】因为1a b ==r r ，()2a a b ⊥-，所以()22222cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅⋅=-=，所以1cos ,2a b = ，又,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦ ，所以向量a ，b的夹角为60°.故选：B ．19．2π##90 【分析】由|22a b a b +=- |两边平方化简分析即可【详解】由22a b a b +=- ，平方得到22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅=，所以a ，b 夹角为2π故答案为：2π.20【分析】先由225a b -= 求得0a b ⋅=，再求得22a b +r r 即可求解.【详解】由2a b -= 222244545a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，则0a b ⋅=，又2222445a b a a b b +=+⋅+= ，则2a b +21【分析】根据题意得34AP m AC AD =+ ，求出14m =，所以1142AP AC AB =+ ，即AP = .【详解】因为23AD AB = ，所以32AB AD = ，又12AP mAC AB =+ ，即1324AP m AC AB m AC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上，所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形，所以222211111cos 60421644AP AC AB AC AC AB AB⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故AP = ..22．B【分析】将234PC PA PB =+uu u r uu r uu r 两边平方得可得4916+24cos 2C =+，从而解出1cos 4C =±，然后由条件可得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，判断出C 与外心P 在AB 的异侧，从而得出答案.【详解】因为P 是ABC 的外心，所以||||||PA PB PC ==uu r uu r uu u r，由题知234PC PA PB =+uu u r uu r uu r，两边平方得222491624PC PA PB PA PB =++⋅uu u r uu r uu r uu r uu r 即222491624cos 2PC PA PB PA PB C +⋅=+uu u r uu r uu r uu r uu r,即4916+24cos 2C =+，所以221cos 22cos 124C C -==-，则1cos 4C =±，又由23433PC PA PB PC CA =+=++uu u r uu r uu r uu u r uu r44PC CB +uu u r uu r ，得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，因为34155+>，则C 与外心P 在AB 的异侧，即C 在劣弧上，所以C 为钝角，即1cos 4C =-.故选：B 23．C【分析】根据向量的减法运算及共线向量计算，可得出1144CE AB AC →→→=-即可求解.【详解】设62AE AD AB AC λλλ→→→→==+,则16262CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC λλλλλ→→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=+-=+-⎪⎝⎭,CB AB AC→→→=-，且CE →，CB →共线，则CE kCB = ，162AB AC λλ→→⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()k AB AC →→-所以612k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩所以162λλ=-，解得32λ=，此时1144CE AB AC →→→=-，所以14CE CB →→=，故14CE CB =.故选：C 24．23【分析】先用,AC AB 表示向量AD，再利用向量数量积运算求解.【详解】解：因为1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=，所以()22=+=++==- AD AC CD AC AC CD DB AB AD ，即1233AD AC AB =+ ，所以21212233333⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭AD AB AC AB AB AC AB AB ，故答案为：2325．13-【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD D C =，得()2233BD BC AC AB ==- ，所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++ ，因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R uuu r uu u r uuu r ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-26．(1)15k =(2)0k =或1k =【分析】（1）先求出()()3,512a+2b =,c a =k +,-，再利用向量平行的坐标表示列方程即可求解；（2）先求出(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=- ，再利用向量垂直的坐标表示列方程即可求解；(1)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==，所以()()3,512a+2b =,c a =k +,- .因为(2)//()a b c a +-，所以()32510k ⨯-⨯+=，解得：15k =.(2)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-== ，所以(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=-.因为()()c a c b -⊥-，则(1)(2)20k k +⋅-+=，解得：0k =或1k =.27．(1)5；(2)35【分析】（1）利用垂直的坐标表示求出m ，再利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算作答.。
2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数第3讲平面向量的数量积及应用举例练习(含解析)
第3讲平面向量的数量积及应用举例［基础达标］1．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量错误!＝(1，1），n＝（1,－1），且n·错误!＝2,则n·错误!等于（）A．－2 B．2C．0 D．2或－2解析：选B。
n·错误!＝n·（错误!＋错误!）＝n·错误!＋n·错误!＝（1，－1)·(－1，－1）＋2＝0＋2＝2.2．(2019·温州市十校联合体期初)设正方形ABCD的边长为1，则｜错误!－错误!＋错误!|等于（）A．0 B．2C．2 D．2错误!解析：选C。
正方形ABCD的边长为1，则｜错误!－错误!＋错误!｜2＝｜错误!＋错误!｜2＝｜错误!｜2＋|错误!|2＋2错误!·错误!＝12＋12＋12＋12＝4，所以|错误!－错误!＋错误!|＝2，故选C。
3．(2019·温州市十校联合体期初）已知平面向量a，b，c满足c＝x a＋y b(x，y∈R），且a·c〉0，b·c>0。
（)A．若a·b〈0则x>0，y〉0B．若a·b〈0则x<0,y<0C．若a·b>0则x〈0，y<0D．若a·b〉0则x>0，y〉0解析：选A。
由a·c〉0，b·c>0，若a·b<0,可举a＝（1，1），b＝(－2，1)，c＝（0,1），则a·c＝1〉0，b·c＝1〉0，a·b＝－1〈0，由c＝x a＋y b,即有0＝x－2y，1＝x＋y，解得x＝错误!，y＝错误!,则可排除B；若a·b〉0，可举a＝（1，0），b＝(2,1)，c＝（1，1)，则a·c＝1>0，b·c＝3〉0，a·b＝2〉0，由c＝x a＋y b，即有1＝x＋2y,1＝y，解得x＝－1，y＝1，则可排除C，D.故选A。
2023年高考数学一轮复习第五章平面向量与复数3平面向量的数量积练习含解析
平面向量的数量积考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θe . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示 坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θa·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模|a |＝a ·a|a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a∥b 的充要条件a ＝λb (λ∈R )x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b | (当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( × )(2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．9解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0，a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案 －2 解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，3则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋t －32＝1，解得t ＝3， 所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos∠DBM ＝|BM →|2＝1.思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝1，3·3，432＋42＝1525＝35. 教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1＋e 2|＝3，则|e 1－e 2|＝________. 答案 1解析 由|e 1＋e 2|＝3，两边平方， 得e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝3.又e 1，e 2是单位向量， 所以2e 1·e 2＝1，所以|e 1－e 2|2＝e 21－2e 1·e 2＋e 22＝1， 所以|e 1－e 2|＝1.思维升华 (1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a ||b |，求解时应求出a ·b ，|a |，|b |的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2 (1)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉等于( ) A.73B.23C.79D.29答案 B解析 方法一 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则c ＝(7，2)，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. 方法二 a ·c ＝a ·(7a ＋2b ) ＝7a 2＋2a ·b ＝7， |c |＝7a ＋2b2＝7a 2＋2b 2＋214a ·b ＝7＋2＝3，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝71×3＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. (2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析 由题意可知，|OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确； 取α＝π4，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误． 题型三 平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |221＋cos θ.当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求：(1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2＝12＋2×1×6＋22cos45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ， 则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋1＋32＋2×1×1＋3cos θ，解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋1＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×1＋3＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[]a ＋b2－a －b2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，PA →·PB →有最小值，即PA →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1B ．2C.2D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，M 为AB 的中点，由极化恒等式有(a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2， 所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝a －b ·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32， 因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫255，55C.⎝⎛⎭⎪⎫255，55 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b62＋－32＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55.5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析 根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确； 根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2，故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析 对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)， 则a·b ＝2－1＝1>0， 又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误； 对于B ，向量a 在b 上的投影向量为a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误；对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－－1＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， 所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin2x ＋12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－12.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－12＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中，BE ＝22＋⎝⎛⎭⎪⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos∠BDA －|DC →||BD →|cos∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC→|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， 所以∠BAC 的平分线垂直于BC ， 所以AB ＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12， 所以cos∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝102N ，则物体的重力大小为________N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝102N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20N ， ∴物体的重力大小为20N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________． 答案 11120解析 设BE ＝x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ，DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos0°＋(1－2x )2＝1， ∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ， 所以m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin2C ，所以sin2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b .21 因为CA →·(AB →－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。
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第3讲 平面向量的数量积及应用举例[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3解析：选C.因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选B.设a 与b 的夹角为α， 因为(a －b )⊥b ， 所以(a －b )·b ＝0， 所以a ·b ＝b 2，所以|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3.故选B.3．(2019·贵阳模拟)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，找出D 点的位置，AB →·AD →的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选B.以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A (0，0)，B (4，1)，C (6，4)，根据四边形ABCD 为平行四边形，可以得到D (2，3)，所以AB →·AD →＝(4，1)·(2，3)＝8＋3＝11.故选B.4．(2019·贵州黔东南州一模)已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，且∠DAB ＝90°，AB ＝2，AD ＝1，若点Q 满足AQ →＝2QB →，则QC →·QD →＝( )A ．－109B.109 C ．－139D.139解析：选D.以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B (2，0)，C (1，1)，D (0，1)．又AQ →＝2QB →，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，所以QC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1，QD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1，所以QC →·QD →＝49＋1＝139.故选D.5．如图，AB 是半圆O 的直径，P 是AB ︵上的点，M ，N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →等于( )A ．13B ．7C ．5D ．3解析：选 C.连接AP ，BP ，则PM →＝PA →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(PA →＋AM →)·(PB →－AM →)＝PA →·PB →－PA →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－PA →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5.6．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________． 解析：因为(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，所以(a －2b )·a ＝0，(b －2a )·b ＝0，即a 2－2a ·b ＝0，b 2－2a ·b ＝0，所以b 2＝a 2＝2a ·b ，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝a·b |a |2＝12.因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π3. 答案：π37．已知点M ，N 满足|MC →|＝|NC →|＝3，且|CM →＋CN →|＝25，则M ，N 两点间的距离为________．解析：依题意，得|CM →＋CN →|2＝|CM →|2＋|CN →|2＋2CM →·CN →＝18＋2CM →·CN →＝20，则CM →·CN →＝1，故M ，N 两点间的距离为|MN →|＝|CN →－CM →|＝|CN →|2＋|CM →|2－2CN →·CM →＝9＋9－2＝4. 答案：48．(2019·石家庄质量检测(一))已知AB →与AC →的夹角为90°，|AB →|＝2，|AC →|＝1，AM →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，且AM →·BC →＝0，则λμ的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，所以AB →＝(0，2)，AC →＝(1，0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →，即(x ，y )＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14. 答案：149．已知向量m ＝(sin α－2，－cos α)，n ＝(－sin α，cos α)，其中α∈R . (1)若m ⊥n ，求角α；(2)若|m －n |＝2，求cos 2α的值． 解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0，即为－sin α(sin α－2)－cos 2α＝0， 即sin α＝12，可得α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z .(2)若|m －n |＝2，即有(m －n )2＝2， 即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2，即为4sin 2α＋4－8sin α＋4cos 2α＝2， 即有8－8sin α＝2，可得sin α＝34，即有cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×916＝－18.10．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)法一：由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得： (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11， 所以t ＝－115.法二：AB →·OC →＝tOC →2，AB →＝(3，5)， t ＝AB →·OC →|OC →|2＝－115.[综合题组练]1．(2019·湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AB ＝4，AC ＝2，若AD→＝32AB →，则CD →·CB →＝( ) A ．－18 B ．－6 3 C ．18D ．6 3解析：选C.法一：由∠C ＝π2，AB ＝4，AC ＝2，得CB ＝23，CA →·CB →＝0.CD →·CB →＝(CA →＋AD →)·CB →＝CA →·CB →＋32AB →·CB →＝32(CB →－CA →)·CB →＝32CB →2＝18，故选C.法二：如图，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则C (0，0)，A (2，0)，B (0，23)．由题意得∠CBA ＝π6，又AD →＝32AB →，所以D (－1，33)，则CD →·CB →＝(－1，33)·(0，23)＝18，故选C.2．(2019·南宁模拟)已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC＝60°，则△OBC 的面积为( )A.33B. 3C.32D.23解析：选A.因为OA →＋OB →＋OC →＝0，所以O 是△ABC 的重心，于是S △OBC ＝13S △ABC .因为AB →·AC→＝2，所以|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2，因为∠BAC＝60°，所以|AB →|·|AC →|＝4.又S △ABC ＝12|AB→|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，所以△OBC 的面积为33，故选A.3．(应用型)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：选B.如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)，设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC→＝(1－x ，－y )，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2(y －32)2－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值为－32. 4．(应用型)如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为________．解析：由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于|AM →|与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB →2＋AD →2＋32AB →·AD →＝9.答案：95．(创新型)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 若cos x ＝0，则sin x ＝0， 与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.6．(创新型)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，2cos 2C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m·n ＝0. (1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． 解：(1)因为m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，所以c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得sin C cos B ＋(sin B －2sinA )cos C ＝0，sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0， 所以cos C ＝12，而C ∈(0，π)，所以∠C ＝π3.(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →， 所以2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.① 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ， 所以a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝2 3.。