2014-2015年湖北省襄阳五中、孝感高中联考高一(上)期中数学试卷及参考答案

2014-2015学年湖北省襄阳五中、孝感高中联考高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合A={x∈N|≥1}，B={x∈N|log2（x+1）≤1}，S⊆A，S∩B≠∅，则集合S的个数为（）A．0 B．2 C．4 D．82．（5分）某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这二项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为（）A．17 B．18 C．19 D．203．（5分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a4．（5分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．95．（5分）化简（log43+log49）•（log32+log38）=（）A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣126．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B． C． D．7．（5分）下列函数中在区间（3，4）内有零点的是（）A．y=3lg（x﹣）B．y=﹣x3﹣3x+5C．y=e x﹣1+4x﹣4 D．y=3（x+2）（x﹣3）（x+4）+x8．（5分）已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2﹣4）＜2，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（）A．﹣2≤t≤2 B．C．t≥2或t≤﹣2或t=0 D．10．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（1﹣x），已知当x∈[0，1]时，，则：①f（x+2）=f（x）；②函数f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；④当x∈（3，4）时，．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将各题的正确答案直接写在题目中的横线上）11．（5分）若函数f（x）=为奇函数，则a=．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时f（x）=x2+x+1，则f（﹣1）=．13．（5分）已知幂函数y=x m﹣3（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，则m=．14．（5分）已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围为．15．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x ＞0），则给出以下四个结论：①函数f（x）的值域为[0，1]；②函数f（x）的图象是一条曲线；③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．其中正确的序号为．三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）设集合A={x2，2x﹣1，﹣4}，B={x﹣5，1﹣x，9}，若A∩B={9}，求A∪B．17．（12分）若集合M={x|﹣3≤x≤4}，集合P={x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）是否存在实数m，使得M=P．若存在求出m，若不存在请说明理由．（2）若两个集合中其中一个集合是另一个集合的真子集，求实数m的取值范围．18．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．19．（12分）某工厂某种产品的年固定成品为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年常量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年常量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年常量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20．（13分）已知函数f（x）=log a（x+1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P 关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象：（1）写出g（x）的解析式（2）记F（x）=f（x）+g（x），讨论F（x）的单调性（3）若a＞1，x∈[0，1）时，总有F（x）=f（x）+g（x）≥m成立，求实数m 的取值范围．21．（14分）若定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，都有：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1；②当x＜0时，f（x）＞1．（Ⅰ）试判断函数f（x）﹣1的奇偶性；（Ⅱ）试判断函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若不等式f（a2﹣2a﹣7）+＞0的解集为{a|﹣2＜a＜4}，求f（5）的值．2014-2015学年湖北省襄阳五中、孝感高中联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合A={x∈N|≥1}，B={x∈N|log2（x+1）≤1}，S⊆A，S∩B≠∅，则集合S的个数为（）A．0 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵log2（x+1）≤1∴log2（x+1）≤log22∴故B={0，1}，从0开始逐一验证自然数可知A={1，2，3}，要使S⊆A，S∩B≠∅，S中必含有元素1，可以有元素2，3，所以S只有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．故选：C．2．（5分）某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这二项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为（）A．17 B．18 C．19 D．20【解答】解：因为共40人，有6人对着两项运动都不喜爱，则热爱这两项运动的有40﹣6=34（人）因为24人喜爱篮球运动，16人喜爱兵乓球运动，则两项都喜欢的有24+16﹣34=6（人）则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为24﹣6=18（人）故选：B．3．（5分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：∵a=log20.3＜log21=0，b=20.3＞20=1，0＜c=0.30.2＜0.30=1，∴b＞c＞a．故选：C．4．（5分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．9【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选：C．5．（5分）化简（log43+log49）•（log32+log38）=（）A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12【解答】解：原式=log4（3×9）×log3（2×8）==6．故选：A．6．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B． C． D．【解答】解：设f（x）=，则f（0）=lg1=0，所以排除A，C．则f（9）==＞0，所以排除B，选D．故选：D．7．（5分）下列函数中在区间（3，4）内有零点的是（）A．y=3lg（x﹣）B．y=﹣x3﹣3x+5C．y=e x﹣1+4x﹣4 D．y=3（x+2）（x﹣3）（x+4）+x【解答】解：由于当x=3时，函数y=3lg（x﹣）的值为3lg＜0，当x=4时，函数y=3lg（x﹣）的值为3lg＞0，故函数y=3lg（x﹣）在区间（3，4）内有零点．由于当x=3时，y=﹣x3﹣3x+5的值为﹣31＜0，当x=4时，y=﹣x3﹣3x+5的值为﹣71＜0，故y=﹣x3﹣3x+5在区间（3，4）内没有零点．同理可得，y=e x﹣1+4x﹣4 和y=3（x+2）（x﹣3）（x+4）+x 在区间（3，4）内也没有零点．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2﹣4）＜2，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=＞0，∴f（x）单调递增，且f（1）=2，∴f（x2﹣4）＜2，即为f（x2﹣4）＜f（1），则0＜x2﹣4＜1，解得﹣＜﹣2或2，∴实数x的取值范围是，故选：D．9．（5分）设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f （x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（）A．﹣2≤t≤2 B．C．t≥2或t≤﹣2或t=0 D．【解答】解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，∴1≤t2﹣2at+1，当t=0时显然成立当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1]令r（a）=﹣2ta+t2，a∈[﹣1，1]当t＞0时，r（a）是减函数，故令r（1）≥0，解得t≥2当t＜0时，r（a）是增函数，故令r（﹣1）≥0，解得t≤﹣2综上知，t≥2或t≤﹣2或t=0故选：C．10．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（1﹣x），已知当x∈[0，1]时，，则：①f（x+2）=f（x）；②函数f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；④当x∈（3，4）时，．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1﹣x），∴f（x+1）=f（1﹣x）=f（x﹣1），即f（x+2）=f（x），故①正确．由f（x+2）=f（x）得函数的周期是2，∵当x∈[0，1]时，=2x﹣1为增函数，∴函数在[﹣1，0]上为减函数，在（1，2）上递减，在（2，3）上递增，故②正确．∵当x∈[0，1]时，=2x﹣1为增函数，∴当x∈[0，1]时，f（x）的最大值为f（1）=1，最小值为f（0）=．故③错误．∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），则f（x）=f（﹣x）=，当x∈（3，4）时，x﹣4∈（﹣1，0），则f（x）=f（x﹣4）=，故④正确．其中正确的是①②④，故选：C．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将各题的正确答案直接写在题目中的横线上）11．（5分）若函数f（x）=为奇函数，则a=．【解答】解：由函数为奇函可得，f（﹣x）=﹣f（x）∴=∴﹣x（2x+1）（x﹣a）=﹣x（2x﹣1）（x+a）∴﹣x（2x2﹣2ax+x﹣a）=﹣x（2x2+2ax﹣x﹣a）即（2a﹣1）x2=0∴2a﹣1=0即a=故答案为：12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时f（x）=x2+x+1，则f（﹣1）=﹣3．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时f（x）=x2+x+1，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1+1）=﹣3．故答案为﹣3．13．（5分）已知幂函数y=x m﹣3（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，则m=1．【解答】解：幂函数y=x m﹣3的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）递减，∴m﹣3＜0，且m﹣3是偶数由m﹣3＜0得m＜3，又由题设m是正整数，故m的值可能为1或2验证知m=1时，才能保证m﹣3是偶数故m=1即所求．故答案为：1．14．（5分）已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围为3＜a≤6．【解答】解：∵f（x）是R上的单调递增函数，∴当x＞1时，对数函数y=log a x是增函数，得a＞1当x≤1时，一次函数y=（a﹣3）x﹣3是增函数，得a﹣3＞0，∴a＞3取交集，得a＞3又log a1≥（a﹣3）×1﹣3，解之得a≤6∴3＜a≤6故答案为：3＜a≤615．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x ＞0），则给出以下四个结论：①函数f（x）的值域为[0，1]；②函数f（x）的图象是一条曲线；③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．其中正确的序号为④．【解答】解：由于符号[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=（x＞0），取x=﹣1.1，则[x]=﹣2，∴f（x）=＞1，故①不正确．由于当0＜x＜1，[x]=0，此时f（x）=0；当1≤x＜2，[x]=1，此时f（x）=；当2≤x＜3，[x]=2，此时f（x）=，此时＜f（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，故f（x）的图象不会是一条曲线，且f（x）不会是（0，+∞）上的减函数，故排除②、③．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时，函数f（x）的图象和直线y=a有且仅有3个交点，此时，，故④正确，故答案为：④．三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）设集合A={x2，2x﹣1，﹣4}，B={x﹣5，1﹣x，9}，若A∩B={9}，求A∪B．【解答】解：由题意知A∩B={9}，因此9∈A，①若x2=9，则x=±3，当x=3时，A={9，5，﹣4}，x﹣5=1﹣x，与B集合的互异性矛盾；当x=﹣3时，A={9，﹣7，﹣4}，B={﹣8，4，9}，满足题意．②若2x﹣1=9，则x=5，此时A={25，9，﹣4}，B={0，﹣4，9}，A∩B={﹣4，9}，与A∩B={9}矛盾，舍去．故A∪B={﹣8，﹣7，﹣4，4，9}．17．（12分）若集合M={x|﹣3≤x≤4}，集合P={x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）是否存在实数m，使得M=P．若存在求出m，若不存在请说明理由．（2）若两个集合中其中一个集合是另一个集合的真子集，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）假设存在实数m，使得M=P．则：﹣3=2m﹣1且4=m+1，∴m=﹣1且m=3，矛盾．∴不存在实数m，使得M=P．（2）若P⊊M，则或P=∅⇒m＞2；若M⊊P，则，综上：m≥1．18．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即又由f（1）=﹣f（﹣1）知．所以a=2，b=1．经检验a=2，b=1时，是奇函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．又因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式．所以k的取值范围是k＜﹣．19．（12分）某工厂某种产品的年固定成品为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年常量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年常量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年常量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=．综合①②可得，．（2）由（1）可知，，①当0＜x＜80时，=，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，=1200﹣200=1000，当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．20．（13分）已知函数f（x）=log a（x+1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P 关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象：（1）写出g（x）的解析式（2）记F（x）=f（x）+g（x），讨论F（x）的单调性（3）若a＞1，x∈[0，1）时，总有F（x）=f（x）+g（x）≥m成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）设P（x，y）是函数y=g（x）图象上的任意一点则P关于原点的对称点Q的坐标为（﹣x，﹣y）∵已知点Q在函数f（x）的图象上∴﹣y=f（﹣x），而f（x）=log a（x+1）∴﹣y=log a（﹣x+1）∴y=﹣log a（﹣x+1）而P（x，y）是函数y=g（x）图象上的点∴y=g（x）=﹣log a（﹣x+1）=﹣log a（1﹣x）（2）F（x）=f（x）+g（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x）=，则函数F（x）=的定义域为（﹣1，1），令h（x）=，则h′（x）=，∵当x∈（﹣1，1）时，h′（x）≥0恒成立故h（x）=在（﹣1，1）上单调递增，当0＜a＜1时，y=log a t为减函数，此时F（x）=为减函数，当a＞1时，y=log a t为增函数，此时F（x）=为增函数．（3）由（2）得若a＞1当x∈[0.1）时，F（x）=为增函数此时F（x）min=F（0）=log a1=0∴m≤0∴所求m的取值范围：m≤021．（14分）若定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，都有：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1；②当x＜0时，f（x）＞1．（Ⅰ）试判断函数f（x）﹣1的奇偶性；（Ⅱ）试判断函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若不等式f（a2﹣2a﹣7）+＞0的解集为{a|﹣2＜a＜4}，求f（5）的值．【解答】解：（Ⅰ）令y=﹣x，f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1x=y=0得f（0）=1即f（﹣x）﹣1=﹣[f（x）﹣1]，∴f（x）﹣1是奇函数．…（4分）（Ⅱ）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1﹣f（x1）=f（x2﹣x1）﹣1又x1﹣x2＜0．则f（x1﹣x2）＞1，∴f（x1﹣x2）﹣1＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＜0即：f（x2）＜f（x1）．∴f（x）在（﹣∞，∞）上单调递减．…（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知：a2﹣2a﹣7＜m的解集为（﹣2，4），∴m=1．即：．∴f（2）=﹣2f（4）=﹣5…（14分）。