构造对偶式
构造对偶式巧解竞赛题
为一
（ ２ ０ １ ２年全 国高 中数 学联 赛试题 ） 分析 题 目的条 件 和 结 论涉 及余 弦和正切运算 ， 化 简较 为 复杂 ， 故 从 整 体 上 思
考， 将ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ— ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ＝ ÷ｃ 视
Ｊ
从而
图１
Ａ ≥÷．
为一个 整体 ， 构 造 其 和差 对 偶式 ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＋ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ， 再 考 察
妙获 解．
ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ — ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ ÷ｃ ， ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＋ ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ ＝ ｃ ，
解得
从 向
ｒ ｆ —
ｃ ｏ ｓ Ａ＝ １ 。 ｃ 。 ｓ Ｂ： ４ ｃ６ ｃ，
，
ｔ ａ ｎ Ａ ｓ ｉ ｎ Ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＿４ ．
√４— ２， ／ ｓ ｓ ｉ ｎ ｘ＝１ ＋ｍ，
将 ２个式 子 进行 和差 运算 ， 得
√ｌ ０—４ √ ３ ｓ ｉ ｎ 一 ６ ｃ ｏ ｓ ｘ＝１一 ， 孔 ，
从 而 ２ ｉ ｎ ｘ＝一ｍ 一 ２ ｍ＋３ ，
６Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ＝ｍ ＋６ｍ ＋３．
＋
４
藕
口１
，
的值
同 时 …＝ ａ 蓑 １ ＋ 口 ， ＋ ａ 蓑 ， ＋ ａ ・ ｊ ＋ ａ 篙 十 ａ ．
由 基 本 不 等 式 ａ ÷ 十 譬 Ｄ ≥ （ 。 ＋ ６ ） ， 得
Ａ＋ ≥ （ ｎ ＋口 ）＋ （ ｎ ＋ａ ３ ）＋… ＋ （ 口 ＋ｎ ）＝１ ，
Ａ ＝Ｃ Ｏ Ｓ １ ０。＋Ｃ Ｏ Ｓ ５ ０。一ｓ ｉ ｎ ４ ０。 ｓ ｉ ｎ ８ ０。．
Ｂ ＝ｓ ｉ ｎ １ ０。＋ ｓ ｉ ｎ ５ ０。一 ｃ ｏ ｓ ４ ０。 ｃ ｏ ｓ ８ ０。．
构造对偶式
构造对偶式
构造对偶式，又称构造双对称式，是一种以空间为基础的设计方法，可以帮助创作者合理、有序地表达在情感上有价值的创作。
构造对偶式的灵感来源于日本设计师、建筑师、学者吉田满所著的《三维空间设计》，其中提出的三维空间视野被应用到设计领域，催生了构造对偶式，也被世界各地的设计师、建筑师所需要。
构造对偶式的视野，是从三个维度出发的，也就是三个面，比如说前面、后面、顶部和底部。
在视觉上，它能够给观察者以一种空间性的视觉感受，构造出一种双重空间分化、色彩对比显著的构图，从而丰富设计的表现形式。
同时，它也可以帮助设计师通过引入交互性的原则把设计的视觉内容完美呈现出来。
构造对偶式的基本原则是：以空间为基础，创造出有序的、有价值的设计。
这也是为什么构造对偶式如此受到欢迎的原因。
这一设计方法把色彩空间、形式和任意设计元素综合在一块融汇贯通，以达到有序的视觉效果，而且这一视觉融合效果能够跨越视觉领域，展开对任意两个以上元素之间的色彩空间表达。
比如颜色、形状、纹理等，可以在一定的空间构图中完成有效的表达。
其复杂的构图也为设计师提供了更多的灵活性和表达力，从而让设计具有更强烈的情感感受。
设计师在运用构造对偶式设计时，也需要注意一些事项，比如前后对比性、空间安排、构图关联之间的相互配合、不同色彩空间之间的衔接等要素，这些都有助于完美展现这种设计方法的价值。
构造对偶式是设计中必不可少的一种视觉元素，它可以帮助设计师更有效地
传达出情感，激发人们对设计的认可与共鸣，给观众带来强烈的视觉冲击力。
构造对偶式
构造对偶式对偶式是一种重要的数学工具，被广泛应用于许多数学问题的解答中。
其本质是将多个数学问题分解成一个等价的“对偶问题”，在求解对偶问题的过程中，更容易把握全局性的有用信息，随后可以利用这些信息，更有效地找出原有问题的解答。
构造对偶式，也就是将原有复杂问题转换为一个对偶问题，这是一种基本的数学方法。
换言之，就是把目标函数中的目标变量的函数值变成函数的极大或极小值，从而获得意义清楚、应用范围较广的独立极值问题。
以最优化问题为例，将原有问题转换为对偶问题的基本步骤如下：（1）构造拉格朗日函数：根据原有最优化问题，构造目标函数以及约束函数；（2）构建拉格朗日对偶函数：将原有最优化问题中的目标变量变换成拉格朗日乘子，将原有目标函数拉格朗日乘子四则运算后，消除原有目标变量，重组拉格朗日乘子，得到拉格朗日对偶函数；（3）处理拉格朗日对偶函数：将原有约束函数替换成拉格朗日乘子，然后将拉格朗日对偶函数的拉格朗日乘子进行四则运算，消除拉格朗日乘子，得到新的拉格朗日对偶函数；（4）解拉格朗日对偶函数：设定拉格朗日乘子的取值范围，然后用方程的解法求解拉格朗日对偶函数；（5）拆解拉格朗日函数：将原有目标函数中的拉格朗日乘子重新带入，将拉格朗日乘子拆解，求得原有问题的最优解。
构造对偶式在当今数学领域中占有重要位置，它可以将复杂的约束优化问题转换成一个简单的求解的问题，从而减少解决复杂优化问题的困难，并有助于求解规模大、精度要求高以及约束多的优化问题。
由于构造对偶式把复杂优化问题分解成一系列相互连接的子问题，这些子问题本身都是相对容易求解的，因此构造对偶式有助于解决多变量函数最优化问题。
此外，构造对偶式还可以有效地求解非凸优化问题，即在优化函数具有显著非凸特征时，能够高效地得出较优解。
总而言之，构造对偶式是一种十分重要的数学工具，可以有效求解多变量函数最优化问题，以及非凸优化问题，是许多应用层面的数学设计中经常用到的好方法。
求函数式的对偶式。
求函数式的对偶式。
函数式对偶式是一种重要的数学概念，它可以被用来解决不同类型的优化问题，这种概念也经常出现在控制理论、运筹学、统计学等应用程序中，因此，它们的理解和应用是一个重要的任务。
函数式对偶式可以定义为两个函数的函数，它们分别称为原函数和对偶函数。
原函数是一个给定变量的实值函数，可以使用最小化或最大化。
对偶函数是一个包含一系列不同变量的函数，可以用来表达原函数的最小值，或者解释原函数的极值的原因。
一般来说，函数式对偶式的构建主要有三个步骤：
第一，确定原函数。
构建原函数需要考虑函数的定义域、函数的取值范围，以及函数的极值的类型（最大值或最小值）。
第二，确定对偶函数。
该函数需要满足原函数关于变量的一系列多项式约束条件，以及关于一阶导数和二阶导数约束条件等。
第三，求解函数式对偶式。
在求解函数式对偶式之前，必须先将原函数和对偶函数进行有关求导运算，推出有关关系式，这样才能求得原函数的极值，也可以求得解决实际问题的更加精确的最优解。
函数式对偶式的概念是一个抽象的概念，但它的应用确实十分广泛，能够有效解决不同类型的复杂问题，从而可以有效支持企业和机构的发展目标。
构造对偶式的八种途径
构造对偶式的八种途径在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。
一． 和差对偶对于表达式()()u x v x ±，我们可构造表达式()()u x v x m 作为它的对偶关系式。
例１若02πθ<<，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值。
解析：构造对偶式：3sin 4cos y θθ-=则3sin 4cos 5,3sin 4cos y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得5sin 65cos 8y y θθ+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩再由22sincos 1θθ+=，得：73,tan 54y θ=-∴=。
点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。
例２已知：,,,a b c d R ∈，且22221a b c d +++≤，求证：444444()()()()()()6a b a c a d b c b d c d +++++++++++≤。
解： 则有：又0N ≥，故6M ≤，即原不等式成立。
10=a =，再由原方程联立可解得：那么22(1)(2)+得：221242(100),(3)2x a +=+ 22(1)(2)-得：1610x a =，即85x a =，代入（３）中得：22164242(100)225x x +=+，整理得：29425x =， 解得：103x =±。
二． 互倒对偶互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。
例４若,,(0,1)x y z ∈，求证：1113111x y y z z x++≥-+-+-+。
解：设111111M x y y z z x=++-+-+-+,构造对偶式：(1)(1)(1)N x y y z z x =-++-++-+，则1111(1)(1)(1)11112226M N x y y z z x x y y z z x y z+=+-+++-+++-++-+-+-+-+≥++=而3N =，故3M ≥，即1113111x y y z z x++≥-+-+-+。
构造对偶式
构造对偶式
构造对偶式，也称为非抽象设计，是一种新型的设计方法，它通过引入抽象和解释来形成解决方案，并在此基础上构建出高层次的设计思想。
在这种设计方式中，设计者将使用它们的思想来设计一个抽象的架构或模型，而程序员则使用该模型的概念来构建具体的软件解决方案。
构造对偶式的基本原理是将抽象的设计和具体实现分离开来，以形成单独的模型，抽象模型使程序员能够更好地理解系统，同时也将设计过程和实现过程加以区分。
因此，使用构造对偶式，设计者可以更好地构建出抽象模型，而程序员则可以根据此模型来实现具体的解决方案。
构造对偶式已经广泛应用于自动化技术、机器学习、数据科学等多领域的开发中。
它有效地将问题抽象为可视化形式，从而让开发者能够更好地理解和解决问题。
此外，构造对偶式能够有效地实现并行开发，这使得多个开发者可以有效分工协作，从而大大提升了开发效率。
构造对偶式具有许多优势，但也有一些限制和缺点。
首先，构建对偶式可能需要较多的时间和精力，设计者需要仔细构建出抽象模型，而程序员则要根据抽象模型来生成具体的解决方案，这可能会消耗大量时间。
其次，构建对偶式需要高质量的文档，如果文档不够清楚，程序员将无法正确理解和实现设计者的思想。
另外，抽象模型的可视化也可能降低开发效率，因此需要设计者和程序员结合经验进行实践
验证，做到有效把控时间和质量，从而发挥构造对偶式的最大价值。
构造对偶式是一种新型的设计方法，它具有优势和局限性，但其中所包含的抽象结构为程序员提供了一种可视化的解决方案，有效使开发者在实现过程中更好地理解复杂的问题，同时还可以有效地实现并行开发。
因此，构造对偶式的实践可以大大提高开发的效率，为软件开发带来巨大的便利。
应用“构造法”解题例析
应用“构造法”巧解数学问题例析河北省隆化县职业中学 曹瑞民（068150）构造法是初中数学的一种重要的数学方法，利用构造法可以巧妙的解决数学中的很多难题。
一、构造矛盾，巧证几何题例1、 求证：两条角平分线相等的三角形是等腰三角形。
证明：如图1，已知∆ABC ，BD 、CE 分别是ACB ABC ∠∠,的平分线。
BD=CE ，要证AB=AC 。
假设AB ,AC ≠不妨设AB>AC,则有ACB ∠>ABC ∠ A因而ACE ∠>ABD ∠构造ECF ∠=ABD ∠. F设CF 分别交AB 、BD 于G ，则CEF BFG ∆≈∆。
E G D 即BF ：CF=BG ：CE但BF>CF ∴BG>CE B C BD>BG ∴ BD>CE (图1)这显然与已知BD=CE 相矛盾，故AB ≠AC 的假设不成立，而必有AB=AC 。
二、构造对偶式，巧求非对称式的值例2、设x 21x 是方程x 2＋5x ＋2=0的两根，不解方程；求21x x 的值。
分析：21x x 是非对称式，构造其对偶式12x x （即将21x x 中的2,1x x 互换位置）以后，组合成对称式再进行运算。
22124)5(2)(11,221212212122211221=--=-+=+=+∴==x x x x x x x x x x y y y x x y x x 则解：设即2y 2－21y ＋2=0,解之得 4175212,1±=y 三、构造方程，巧解几何最值问题例2、 如图2，平行四边形MNPQ 的一边在ABC ∆的边BC 上， A 另两个顶点分别在AB ，AC 上。
M H N 求证：平行四边形MNPQ 的面积的最大值为ABC ∆面积的一半。
分析：题设中出现两个相关图形——平行四边形，三角形；结论是证明面积最值问题，面积问题自然联想到作高AG ， 与两个图形面积有关的元素有四个：MN 、HG 、BC 、AG 。
构造“对偶式”,巧解数学问题-解析版
构造“对偶式”，巧解数学问题在解答某些数学问题时，针对已知式M 的结构特征，构造一个或几个与之相关联的式子N ，使M 与N 经过相加、相减、相乘、相除等运算之后，所需解答的问题得到合理的转化和解决。
这种解题方法称之为构造“对偶式”解题，是一种极其巧妙的解题方法。
通过构造对偶式可以巧妙地解决多项式求值、恒等式证明、求函数的最值、解方程(组以及求解析式等，当然难点在于如何构造解题所需要的“对偶式”。
典型例题1求证:2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ≤5。
【分析】本例是三角不等式的证明，运用一般的方法证明是困难的，若能运用对称的方法，构造对偶式，则比较容易证明【解析】【证明】设A =2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ，B =2cos 4x +3cos 2x sin 2x +5sin 4x ，则 A +B =7sin 4x +cos 4x +6sin 2x cos 2x =7sin 2x +cos 2x 2-8sin 2x cos 2x=7-2sin 22x =5+2cos 22x ，①A -B =3cos 4x -sin 4x =3cos2x ，②①+②，得 2A =5+2cos 22x +3cos2x =5+2cos2x +342-916 ≤5+21+34 2-916=10所以A ≤5，命题得证2已知α，β是方程x 2-7x +8=0的两根，且α>β，不解方程，求2α+3β2的值。
【分析】 若要不解方程求2α+3β2的值, 因为2α+3β2是非对称式, 无法化为αβ及α+β的形式,所以需要构造2α+3β2相应的对偶式2β+3α2，两者结合就可以化为αβ及α+β的形式，然后运用韦达定理,从而求出2α+3β2的值.【解析】设A =2α+3β2，构造对偶式B =2β+3α2。
∵α，β是方程x 2-7x +8=0的两根，∴α+β=7，αβ=8。
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构造对偶式的八种途径在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。
一． 和差对偶对于表达式()()u x v x ±，我们可构造表达式()()u x v x 作为它的对偶关系式。
例１若02πθ<<，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值。
解析：构造对偶式：3sin 4cos y θθ-=则3sin 4cos 5,3sin 4cos y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得5sin 65cos 8y y θθ+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩再由22sincos 1θθ+=，得：73,tan 54y θ=-∴=。
点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。
例２已知：,,,a b c d R ∈，且22221a b c d +++≤，求证：444444()()()()()()6a b a c a d b c b d c d +++++++++++≤。
解：444444444444()()()()()():()()()()()()M a b a c a d b c b d c d N a b a c a d b c b d c d =+++++++++++=-+-+-+-+-+-设,构造对偶式则有：4444222222222222222226(222222)6()6M Na b c d a b a c a d b c b d c d a b c d +=+++++++++=+++≤ 又0N ≥，故6M ≤，即原不等式成立。
10=a =，再由原方程联立可解得：10,(1)210,(2)2a a +=-= 那么22(1)(2)+得：221242(100),(3)2x a +=+22(1)(2)-得：1610x a =，即85x a =， 代入（３）中得：22164242(100)225x x +=+，整理得：29425x =， 解得：103x =±。
二． 互倒对偶互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。
例４若,,(0,1)x y z ∈，求证：1113111x y y z z x++≥-+-+-+。
解：设111111M x y y z z x=++-+-+-+,构造对偶式：(1)(1)(1)N x y y z z x =-++-++-+，则1111(1)(1)(1)11112226M N x y y z z x x y y z z x y z+=+-+++-+++-++-+-+-+-+≥++=而3N =，故3M ≥，即1113111x y y z z x++≥-+-+-+。
例５设123,,,,n a a a a 为互不相等的正整数，求证：32122211112323n a a a a nn++++≥+++。
解：设Ｍ＝32122223n a a a a n ++++，构造对偶式：12111nN a a a =+++ 则212212111111()()()1232n n a a M N a a a a nn+=++++++≥+++又123,,,,n a a a a 为互不相等的正整数，所以111123N n≤+++，因此111123M n≥+++。
点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题这目的。
例６已知对任意(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞总有1()2()0f x f x x++=，求函数()y f x =的解析式。
解析：因1()2()0f x f x x++= ①用1x 替代上式中的x ，构造对偶式：11()2()0f f x x x++= ② 由①－②×２得：12()4()0f x x f x x+--=故22()3x xf x x-=。
三． 共轭对偶共轭对偶是反映利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式的方法。
例７已知z c ∈，解方程：313z z iz i ⋅-=+。
解析：由313z z iz i ⋅-=+ ① 构造对偶式：313z z iz i ⋅+=- ② 由①－②得2z z =--，代入②得(1)(13)0z z i ++-=， 故1z =-或13z i =-+。
例８若z c ∈，已知1z =且1z ≠±，证明：11z z -+为纯虚数。
解：设Ｍ＝11z z -+，则11()11z z M z z --==++，构造对偶式：Ｎ＝11z z -+ 则Ｍ＋Ｎ＝11z z -+＋11z z -+＝０（因为21z z z ⋅==） 又101z z -≠+（因为1z ≠±） ∴11z z -+为纯虚数。
例９已知：0,0a b >>，且1a b +=≤+∵2224()48M M N a b ≤+=++=∴M ≤，即原不等式成立。
四． 倒序对偶倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。
例１０求和：12341234nn n n n n S C C C C nC =+++++解析：观察和式联想到*,0,k n k n n C C k n n N -=≤≤∈，故首先在和式右边添上一项00n C ⋅，则012012nn n n n S C C C nC =⋅++++ ①构造对偶式： 012(1)(2)0n n n n S nC n C n C C =+-+-+ ②即②亦为： 012012nn n n n S C C C nC =⋅++++ ③由①＋③得：011n nn n n n nC nC nC nC -++++∴0110112()n n n nn n n n n n n n S nC nC nC nC n C C C C --=++++=++++∴22nS n =⋅ ∴2nS n =⋅点评：利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例１１正项等比数列{}n a 中，123123,n n T a a a a S a a a a =⋅⋅⋅⋅=++++试用Ｓ，Ｔ表示12111nQ a a a =+++。
∵∴ 解析：传统解法都用1,a q 表示Ｓ，Ｔ及Ｑ，然后通过1a 和q 找到Ｓ，Ｔ，Ｑ的等量关系，这种解法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论1q =和1q ≠两种情形，如此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点。
其实，观察和式子与积式特征不妨采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试。
由题意知：123n T a a a a =⋅⋅⋅⋅ ①构造倒序对偶式：121n n n T a a a a --=⋅⋅⋅⋅ ②由①×②得：2212111()()()()n n n n T a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅，即21()n n T a a =⋅再来看： 12111n Q a a a =+++③ 构造倒序对偶式：11111n n Q a a a -=+++④ 即③＋④得：12211111112()()()n n n Q a a a a a a -=++++++，即122112212n n n n n n a a a a a a Q a a a a a a --+++=+++⋅⋅⋅。
由等比数列性质可知，右边的分母均为1n a a ⋅，故12111()()()2n n n na a a a a a Q a a -++++++=⋅即122n S Q a a =，∴1nSQ a a = 又21nn a a T = ∴2nS Q T==。
五． 定值对偶定值对偶是指能利用和，差，积，商等运算产生定值，并借此构造出对偶式的方法。
例１２已知函数22()1x f x x =+。
111()()()(1)(2)(3)(4)432f f f f f f f ++++++，则Ｓ＝ 。
解析：22222221()11()()111111()x x x f x f x x x x x+=+=+=++++ 发现定值：1()()1f x f x+=。
那么111()()()(1)(2)(3)(4)432S f f f f f f f =++++++ ①构造对偶式：111(4)(3)(2)(1)()()()234S f f f f f f f =++++++ ②由①＋②得：1112[()(4)][()(3)][()(2)]2(1)432111[(2)()][(3)()][(4)()]234S f f f f f f f f f f f f f=++++++++++++∴２Ｓ＝７，即72S =。
六． 奇偶数对偶奇偶数对偶指利用整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式的方法。
例１３求证：135212462n n-⨯⨯⨯<。
解：设135212462n M n -=⨯⨯⨯，构造对偶式：246235721nN n =⨯⨯⨯+。
由于1234212,,,,2345221n n n n -<<<+因此MN <，从而2121M M N n <⋅=+故M <例１４求证：11(11)(1)(1)432n +++>-证明：待证不等式的左边为：112531(11)(1)(1)4321432n n n -+++=⨯⨯⨯--。
令：25311432n M n -=⨯⨯⨯-构造两个对偶式：3634731,2531363n n N P n n+=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯- ∵23456731331,,12345632313n n n n n n-+>>>>>>-- ∴325313634731()()()1432253136331M M N P n nn n n nn >⋅⋅-+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯--=+ ∴M >故原不等式成立。
七． 轮换对偶轮换对偶是指针对式子的结构，通过轮换字母而构造对偶式的方法。
例１５求证：对任意实数.1,1a b >>，都有22811a b b a +≥--不等式成立。
证明：设2211a b M b a =+--构造对偶式2211b a N b a =+--， 则22222()()011(1)(1)a b b a a b a b M N b a b a --+--=+=≥----，即M N ≥ 而1111114(1)(1)42281111N b a b a b a b a =+++++=+-++-+≥++=----， ∴8M N ≥≥，即8M ≥。
当且仅当2a b ==时等号成立。