前面的内容都是单粒子系统,现在开始讨论全同粒子组成的多粒子系统。

6.ξ全同粒子
前面的内容都是单粒子系统，现在开始讨论全同粒子组成的多粒子系统。

在经典统计物理学中，每一个电子或每一个氢原子，都被认为既是相同的，又是可以辨别的。

“相同”是指粒子的质量，电荷等物理性质一致；而“辨别”则指可以为这些粒子逐一标上记号，为给每一个粒子编上各不相同的一个号码。

在此基础上，就可以按玻尔兹曼分布定律，运用概率统计的方法，求出关于系统平衡态宏观性质的结果。

1924——1926年，在进一步解决黑体辐射和气体性质等问题的过程中，先后提出了B ose ——Einstein 统计和Fermi —Dirac 统计，它们同经典统计的主要区别在于，引进了粒子的全同性，即认为同种粒子中的每一个都是完全相同而不可辨别的，也不可以对它们编号，于是运用相应的概率统计方法，就会算出与以前不同的结果。

一．全同粒子
质量，电荷，自旋等固有属性完全相同的微观粒子叫全同粒子，如，所有电子是全同粒子，所有质子也是全同粒子。

在经典力学中，全同粒子是可以区分的，因为粒子在运动过程中有自己确定的位置和轨道，经典粒子有不可入性。

在量子力学中，和每个粒子相联系的总有一个波，波在传播过程中会出现重叠，在重叠部分无法区分哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子。

二．全同性原理——量子力学的一个基本假设
全同粒子所组成的体系中两全同粒子相互交换不改变体系的物理状态，这就是全同性原理，它体现了全同粒子的不可区分性。

全同性原理深刻反映了微观粒子的本质。

首先，不可能通过任何手段为一个微观粒子做标记而不改变它的身份，因为，要对一个微观粒子作出标记，必定要改变它的组成，它就不再是原来的粒子了。

其次，不可能通过跟踪来辨认粒子，例如在两个同种粒子碰撞的过程中，因不可能直接观察到在两者发生作用的区域（典型尺度为1510-m ）内的情况，就无法判定，由设置在远离碰撞区域的探测器接收到的一个粒子，到底是原来的入射粒子还是原来作为靶的粒子。

三，全同粒子系统的特性——全同性原理的推论。

1，全同粒子体系的波函数具有确定的交换对称性。

定义交换算符
ij p 表
示将第i 个粒子交换。

即
()()
1212,,.....,,,,,,,,,.....,,,,,,,i j N i j N ij p q q q q q t q q q q q t Φ=Φ则，因全同性原理要求以上运算结果不改变体系的状态。

但态函数Φ乘以一个任意复常数，仍表示同一状态。

所以，全同性原理实际上要求对任意的一对i 和j 都有：
()()1212,,.....,,,,,,,,,.....,,,,,,,....i j N ij i j N ij p q q q q q t q q q q q t λΦ=Φ①
即态函数具有交换对称性：
()()1212,,.....,,,,,,,,,.....,,,,,,,....j i N ij i j N q q q q q t q q q q q t λΦ=Φ②
①式实际上是
ij p 的本征方程，ij λ为其本征值，可得1ij λ=±， ()()()
()()()
2
2
2...,,,,,...,,,,,,...,,,,,,...,,,,,...,,,,,,...,,,,,,i j j i ij ij i j i j ij j i ij ij ij j i p q q t p q q t q q t p q q t p q q t q q t λλ∧
∧
Φ=Φ=ΦΦ=Φ=Φ而
比较上两式，得 2
21,1ij ij ij p λλ===±
①可以证明，ij ij
ij p p p ∧
-+
== 所以，ij p ∧
是一个厄米算符，也是一个公正算符。

②
()()()()
1212,0,,,.....,,,,,,,....,,,,,..,,.....,,,,,,,....,,,,,..ij ij i j N i j ij i j N i j ij p H p p H q q q q q t q q t H q q q q q t p q q t ∧∧∧∧∧
∧
∧
⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
Φ=Φ是一个守恒量。

证：
③
()()
11....,,,,,......,,,,,..ij ij ij i j j i p q q t q q t λλ∧
=±=Φ=Φ 即有且只有两个本征值
时，
即两粒子互换后，波函数反号，Φ是q 的反对称函数。

凡ij p ∧
Φ=+Φ的Φ叫对称波函数，凡ij p ∧
Φ=-Φ的叫反对称波函数，所以，全同粒子的交换对称性给了波函数一个很强的限制，要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称，[]1,2,,3...i j N ≠=
2.全同粒子系统中，任意交换两个全同粒子的结果，系统的哈密顿算符不
改变——H ∧
具有对称性。

证明：设系统的定态方程是：
()()()...............
................
i j i j i j
H q q q q E q q Φ=Φ①
全同性原理，既然()...........i j q q Φ是上方程的解，则与()...........i j q q Φ至多差一个符号的()...........j i q q Φ，也应当是方程的解。

（系统能级的这种简并性质叫“交换简并”）
()()().....................................i j j i j i H q q q q E q q Φ=Φ②
其次，把方程①中的i 和j 全部对换（相当于互换这两个粒子的编号）它仍应成立。

即：()()().....................................j
i
j
i
j
i
H
q q q q E q q ∧
Φ=Φ③
比较②③得:
()()......................i j j i H q q H q q ∧
∧
=
讨论：上述“全同粒子体系的波函数具有确定的交换对称性”，可以进一步表述为：“描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的且它们的对称性不随时间改变”。

证明：（前半句论述过，现证明后半句）
设t 时刻体系波函数是对称的用s Φ表示。

s s s
s
s
s t d H H t i H t
t
t t
∧
∧
∧
∴Φ∂Φ=Φ∂∂Φ∂∂ΦΦ+∂ 是对称的在时刻也对称
由在时刻也对称，在下一时刻波函数也是对称的
以此类推，波函数在以后任一时刻都是对称的，同理，若某一时刻波函数A
Φ是反对称的，则以后任何时刻都是反对称的。

3.Bose 子和Fermi 子P219——P220
Fermi 子：自旋为2
的奇数倍，如电子，质子，中子，遵从Fermi ——Dirac
统计。

Bose 子：自旋为 的整数倍或零，遵从Bose —— Einstein 统计，如光子（自旋为1）处于基态的H e 原子（自旋为0） 粒子（自旋为0）
由于全同粒子系统的波函数的交换对称性是不随时间变换的，所以，全同粒子的统计性（Bose 统计或Fermi 统计）是不变的。