全同粒子体系
§6.4全同粒子体系的波函数泡利原理
§6.4 全同粒子体系的波函数泡利原理重点：波函数所满足的对称性下面我们首先讨论在不考虑粒子间相互作用时，两个全同粒子组成体系的波函数的对称性问题，然后推广到N个全同粒子体系中去，（一）两个全同粒子体系在不考虑粒子间相互作用时，设两个全同粒子，分别处于i，j态，若哈密顿算符不显含时间，则单粒子的体征值方程为（6.4-1）式中分别表示对应于i，j态的能量，体系的哈密顿算符（6.4-2）体系的能量为（6.4-3）波函数为（6.4-4）这可由（6.4-4）式满足下列本征值方程看出：（6.4-5）交换两粒子坐标，则有（6.4-6）同样有（6.4-7）可见和都的本征函数，本征值都是，这表示体系的能量本征值E是简并的，这种简并由于波函数中交换后得出，故称交换简并。
当两个粒子所处的状态相同，即i=j，则（6.4-4）和（6.4-6）式是同一对称波函数，当两粒子所处状态不同，即，（6.4-4）和（6.4-6）式既不是对称波函数，又不是反对称波函数，不满足全同粒子体系波函数的要求，但可以把它们组合成对称波函数或反对称波函数：（6.4-8）容易证明，归一化常数，显然，都是相的本征函数，并且都属于本征值。
这样，归一化的对称波函数和反对称波函数为：（6.4-9）（6.4-10a）反对称波函数（6.4-10a）可写成行列式形式（6.4-10b）对二个玻色子系统的波函数取（6.4-9）式，二个费密子系统的波函数取（6.4-10a）或（6.4-10b）式。
由这式可见，当i=j，即两粒子状态相同时，就得到，即体系中不能有两个费密子处于同一状态，这是泡利不相容原理在两个粒子组成体系中的表述。
（二）N个全同粒子体系把上述计论推广到含N个全同粒子的体系，设粒子相互作用可以忽略，单粒子的哈密顿算符不显含时间，则有（6.4-11）体系薛定谔方程（6.4-13）的解是（6.4-14）（6.4-15）由此可见：由无相互作用的全同粒子所组成的体系的哈密顿算符其本征函数等于各单粒子哈密顿算符本征函数之积，本征能量则等于各粒子本征能量之和。
全同粒子体系
第六章 全同粒子体系6.1 全同粒子体系之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。
首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。
1、全同粒子我们称质量m ，电荷q ，磁矩M，自旋S 等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。
其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。
全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。
2、量子力学基本假设全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。
（不可区分性与交换不变性）量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。
由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。
在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。
3、全同粒子体系ˆH算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。
在量子力学情况下，微观粒子不存在严格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。
但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N = ），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N = 各有一个粒子。
§5.5 全同粒子系统
既然所有Pij都是守恒量，所以其对称性不 随时间变化,即全同粒子的统计性质(Bose 或Fermi统计)是不变的。
结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是 5对2 称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。10
④全同粒子的分类 所有的基本粒子可分为两类：
玻色子Fermion和费米子Boson
1）玻色子：
凡自旋为整数倍，波函数满足交换对称，
遵从Bose-Einstein统计的粒子。 如π介子（s=0）、光子（ s=1 ）等。
52
11
引力子(Graviton)
引力子(Graviton)，又称重力子，在物理学中是一个传 递引力的假想粒子。为了传递引力，引力子必须永远 相吸、作用范围无限远及以无限多的型态出现。在量 子力学中，引力子被定义为一个自旋为2、质量为零的 玻色子。
52
16
2、两个全同粒子组成的体系 ①简介
忽略相互作用，Hamiltonian可表为
Hˆ h(q1) h(q2 )
q1 q2 Hˆ 不变
故
[P12, Hˆ ] 0
设h(q)的单粒子本征态为
k
(q)，本征能为
，
k
则有
h(q)k (q) kk (q)
其中k为力学量（包含Hˆ）的一组完备量子数
(q1, q2,, qi ,q j ,)
来描述。其中 qi (i 1,2,N) 表示第i个
粒子的全部坐标（空间和自旋）。
若Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部 坐标变换，即
Pij (q1, q2,, qi ,q j ,, qN )
52
(q1, q2,, q j ,qi ,, qN ) 5
5-3 全同粒子系统波函数的交换对称性
pF 0
V h3
8
p2dp
N,
( pF 2mF )
其中 4 变为 8 的原因是每一个空间运动状态可以容纳自旋向上和向下的两个电子，这就决定了系统
的费米能量为
对应的电子动量为
F
h2 3 2m 8
N V
2/3
,
pF
h
3 8
N V
1/3
.
在动量空间中以 pF 为半径的球面称为费米面。所以，在T 0 时，系统中的电子将填满被费米面包围的
而
所以，
Pˆij Pˆij ,
C 2 1,
解得
C 1 或者 1,
也就是说，
Pˆij 或者 . (对任何i j)
假如
Pˆij ,
则称 为交换对称波函数；假如
Pˆij ,
则称 为交换反对称波函数。
交换对称或反对称是全同粒子体系波函数的特殊的、固有的性质，因此也是微观粒子的特殊的、固
成要复杂得多，它强烈地依赖于1,, N 当中有多少个是相同的，这里不再细讲。 波函数的对称化或者反对称化会对系统的性质产生重要的影响。假设 q 是粒子的空间坐标，让我们
考虑一个双粒子体系的两个粒子的位置互相重合（ r1 r2 r ）的几率。对于波函数 I (r1, r2 ) ，这个几
子、固体中的公用电子、原子核中的核子、处在同一个势中的许多原子、等等。显然，对于全同粒子体
系，Hamiltonian 中的 mi 都相同， qi 也都有相同的组成。但是在量子力学中，全同粒子体系与非全同粒
子体系有更深刻的区别。
在经典力学中，即使两个粒子是全同的，它们也仍然是可区别的，因为它们各有自己的轨道。但是
量子力学--第九章 全同粒子体系
注：交换简并显然存在： ) j ( )k ( ) 中填 粒子交换只不过是 i ( 入不同的排列，它们仍是 H 的属于 E 的本征函数。 2、对称化波函数与泡利原理 描述全同粒子体系的波函数必须是对称化的波函数。 交换简并的存在使我们有可能把波函数进行线性组合。
可以证明下面两个函数是H的属于能级E的本征函数 (q1 , q 2 ) i (q1 ) j (q 2 ) ( 7 .7 2 ) (q 2 , q1 ) i (q 2 ) j (q1 )
ˆ (q , q ) [ H ˆ (q ) H ˆ (q )] (q ) (q ) 证明： H 1 2 0 1 0 2 i 1 j 2
ˆ ， 则称 A 若P 为交换反对称波函数。 ij A A 交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的 固有的性质，因此也是(微观)粒子的特殊的、固有的性质。 它决定了粒子所服从的统计。
也就是说，描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或 反对称的，它们的对称性不随时间改变。 这一点可以从全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换下不变 的这点出发,很易得到证明. 全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换不变的
其中
ˆ ( s s s ) ( s s s ) E ( s s s ) H 1 1 N 1 1 N s 1 1 N
对于两个费米子体系的情况，只有如下两种形式：
(q1q2 q N ) (r1 r2 rN ) ( s1 s2 s N ) ˆ H (r1 r2 rN ) (r1 r2 rN ) Er (r1 r2 rN )
2 2 2 ˆ [ H 1 U (q1 )] [ 2 2 U (q 2 )] 2 2 ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) H
全同粒子体系概念
全同粒子体系概念
全同粒子体系是物理学中的一个重要概念，涉及到全同粒子、粒子体系、全同性原理、量子态、玻色子和费米子等多个方面。
1.全同粒子
全同粒子是指具有完全相同属性的粒子。
这些粒子可以是光子、电子、质子、中子等基本粒子，也可以是由这些基本粒子组成的复合粒子，如原子、分子等。
2.粒子体系
粒子体系是指由一组粒子组成的系统。
这些粒子可以是全同粒子，也可以是不同的粒子。
在粒子体系中，粒子之间可以相互作用，例如通过力场、电磁场等相互耦合。
3.全同性原理
全同性原理是指在一个全同粒子体系中，无法区分单个粒子，因为它们的属性完全相同。
这一原理是全同粒子体系的基本特征之一，也是导致全同粒子表现出集体行为的重要原因。
4.量子态
量子态是描述量子系统状态的数学对象，它包含了系统的所有信息，包括粒子的位置、自旋、能量等。
在全同粒子体系中，粒子的量子态可以相同或不同，这将对体系的性质产生影响。
5.玻色子
玻色子是全同粒子中的一种特殊类型，其特性符合玻色子的统计规律。
玻色子具有整数自旋，包括光子、胶子、W和Z玻色子等。
玻色子在凝聚态物理、核物理和宇宙学等领域中具有重要应用价值。
6.费米子
费米子是另一种全同粒子，其特性符合费米子的统计规律。
费米子具有半整数自旋，包括电子、质子、中子等基本粒子以及由它们组成的原子和分子等。
费米子在描述多体系统中的粒子的行为时具有重要作用，例如在超导和费米凝聚等领域中。
量子力学--第九章 全同粒子体系
1 2
S1z
1 2
S2z
1 2
S1z
1
2
S2z
A
1 2
1 2
S1z
1 2
S2z
1 2
S1z
1
2
S2z
可以证明，上面四个波函数是正交归一的见习题。
（二）自旋单态与三重态
上面我们从全同粒子波函数的对称性角度来考虑，构造了
七. 两个电子的自旋函数
两个电子系统是很重要的，氦原子，氢原子都是两个
电子的系统。另外它是多粒子系的最简单情况，
因此理论上也很重要。
（一）两电子的自旋波函数（不计自旋―自旋相互作用）
1、自旋波函数
电 子 的 两 个 单 粒 子 自 旋态：
这四个自旋波函数
1 Sz 1 Sz
2
四个对称化的自旋波函数，
下面我们从两个角动量的耦合角度来考察这个问题。
1、两电子体系总自旋角动量算符
定 义：
Sˆ Sˆ1 Sˆ 2
或者
Sˆ x Sˆ1x Sˆ 2x Sˆ y Sˆ1 y Sˆ 2 y Sˆ z Sˆ1z Sˆ 2z
再 引 入 Sˆ 2 Sˆ x 2 Sˆ y 2 Sˆ z 2
为泡利不相容原理
(2) 玻色子系的对称波函数
S C Pi (q1 ) j (q2 )k (qN )
P
(7.7 7)
（7.7-7）式中P表示N各粒子在波函数中的某一种排列， 表
P
示对所有可能的排列求和.
i) Hˆ S ES E i j k
全同粒子体系
全同粒子本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。
首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。
1. 全同粒子的基本概念1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。
例如，电子、质子，中子等。
在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。
而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。
即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。
1.2 全同性原理：由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。
这是量子力学基本原理之一。
1.3哈密顿算符∧H 的交换对称性考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r与自旋变量i S ，),(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧H 写为∑∑<++∇-=ji j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(ˆ2221μ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧H 显然是不变的，记为),,,(ˆ21t q q q q q H P Nj i ij ∧),,,(ˆ21t q q q q q H Ni j = ),,,(ˆ21t q q q q q HNji= （2） ij P ∧称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为0,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧H P ij （3）1.4 全同粒子波函数的交换对称性 （1）ij P ∧对波函数的作用设N 个全同粒子体系用波函数),,,,,(21t q q q q q N j i Φ描述，则有),,,,,(),,,,,(2121t q q q q q t q q q q q P N i j N j i ij Φ=Φ∧（4）根据全同性原理，Φ∧ij P 与Φ所描述的是同一量子态，而量子力学中描述同一量子态的波函数之间最多只能相差一个常数因子λ，即Φ=Φ∧λij P （5） 上式用ij P ∧再作用一次，相当于Φ中的交换复原，即Φ=Φ=Φ=Φ∧∧22λλij ijP P （6）由此得12=λ，所以交换算符的本征值为 1±=λ （7） （2）波函数的交换对称性当λ＝+1时，则Φ=Φ∧ij P ，表示交换两个粒子后波函数不变，这时的波函数称为对称波函数，记为S Φ 。
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全同粒子本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。
首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。
1. 全同粒子的基本概念1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。
例如，电子、质子，中子等。
在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。
而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。
即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。
1.2 全同性原理：由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。
这是量子力学基本原理之一。
1.3哈密顿算符∧H 的交换对称性考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r与自旋变量i S ，),(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧H 写为∑∑<++∇-=ji j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(ˆ2221μ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧H 显然是不变的，记为),,,(ˆ21t q q q q q H P Nj i ij ∧),,,(ˆ21t q q q q q H Ni j = ),,,(ˆ21t q q q q q HNji= （2） ij P ∧称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为0,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧H P ij （3）1.4 全同粒子波函数的交换对称性 （1）ij P ∧对波函数的作用设N 个全同粒子体系用波函数),,,,,(21t q q q q q N j i Φ描述，则有),,,,,(),,,,,(2121t q q q q q t q q q q q P N i j N j i ij Φ=Φ∧（4）根据全同性原理，Φ∧ij P 与Φ所描述的是同一量子态，而量子力学中描述同一量子态的波函数之间最多只能相差一个常数因子λ，即Φ=Φ∧λij P （5） 上式用ij P ∧再作用一次，相当于Φ中的交换复原，即Φ=Φ=Φ=Φ∧∧22λλij ijP P （6）由此得12=λ，所以交换算符的本征值为 1±=λ （7） （2）波函数的交换对称性当λ＝+1时，则Φ=Φ∧ij P ，表示交换两个粒子后波函数不变，这时的波函数称为对称波函数，记为S Φ 。
当λ＝-1时，则Φ-=Φ∧ij P ，表示交换两个粒子后波函数变号，这时的波函数称为反对称波函数，记为A Φ 。
可见，描述全同粒子体系的波函数对于任何两个粒子的交换，或者是对称的，或者是反对称的。
这一性质称为全同粒子波函数的交换对称性。
不具有交换对称性的波函数是不能描述全同粒子体系的。
另外，由于0,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧H P ij ，可见ij P ∧是守恒量，即全同粒子体系波函数的交换对称性不隨时间而变化。
1.5 全同粒子的分类实验表明，全同粒子体系波函数的交换对称性，与粒子的自旋有确定的联系。
（1）凡是自旋为 整数倍的粒子),2,1,0( =s 所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是对称的。
例如，π介子)0(=s ，α粒子（S ＝0），基态的He(S=0)，光子（S ＝1）。
它们在统计物理中遵从玻色(Bose)—爱因斯坦(Einstein)统计规律，称为玻色子。
（2）凡是自旋为 半奇数倍的粒子),2/3,2/1( =s ，所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是反对称的。
例如，电子、质子、中子等，S ＝1/2，它们在统计物理中遵从费米（Fermi ）—狄拉克(Dirac)统计规律，称为费米子。
2 全同粒子体系的波函数介绍如何由单粒子波函数来组成全同粒子体系的具有交换对称性的波函数2.1 两个全同粒子体系的波函数假设两个全同粒子组成的体系，其中单个粒子的哈密顿算符为0ˆH , 归一化本征函数为i ϕ, 本征值为i ε，则应有)()()()()()(ˆ22201110q q q H q q q H j j j i i i ϕεϕϕεϕ==∧ （8）对于全同粒子，)(),(ˆ2010q H q H ∧在形式上是完全相同的，不考虑两粒子的相互作用时，两个粒子体系的哈密顿算符为)(ˆ)(ˆˆ2010q H q H H += （9） 相应的本征方程),(),(ˆ2121q q E q q H Φ=Φ （10） 式中的),(21q q Φ可以分离成两个单粒子波函数的乘积（因为不考虑相互作用）。
当第一个粒子处于i 态，第二个粒子处于j 态时，波函数为 )()(),(2121q q q q j i ϕϕ=Φ （11） 它是满足（10）式的解， 对应的本征能量 j i E εε+= 。
当第一个粒子处于j 态，第二个粒子处于i 态时，波函数为 )()(),(2121q q q q i j ϕϕ=Φ （12）它也是满足（10）式的解， 具有同样的本征能量 j i E εε+= 。
（交换简并）注意：),(21q q Φ是否具有交换对称性？当j i =时，),(21q q Φ具有交换对称，对应玻色子当j i ≠时，（11）与（12）虽是本征方程的解，但不具有交换对称性，不满足全同粒子波函数的条件。
（1）对于玻色子，波函数要求对于交换两个粒子是对称的，所以当j i ≠时，归一化的对称波函数构成如下)]()()()([21),(122121q q q q q q j i j i S ϕϕϕϕ+=Φ （13）当j i =时 )()(),(2121q q q q i i S ϕϕ=Φ （14）（2）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对称的，归一化的反对称波函数构成如下)()()()(21)]()()()([21),(2121122121q q q q q q q q q q j j i i j i j i A ϕϕϕϕϕϕϕϕ=-=Φ （15）由上式可以看出，当j i =时，则0=ΦA ，所以两个费米子处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态2.2 N 个全同粒子体系的波函数设粒子间相互作用可以忽略，单粒子哈密顿量0ˆH 不显含时间，以i ε 和i ϕ表示0ˆH 的第i 个本征值和本征函数，则N 个全同粒子体系的哈密顿量为∑=∧∧=+++=Ni iN q H q H q H q H H 1002010)()()(ˆ)(ˆˆ （16） 对应本征值 N j i E εεε+++= 的本征态)()()(),,(2121N k j i N q q q q q q ϕϕϕ =Φ （17） 体系的本征方程为 Φ=Φ∧E H （18）由此可见，在粒子无相互作用的情况下，只要求得单粒子的本征值和本征函数，多粒子体系的问题就可以迎刃而解了。
但),,(21N q q q Φ并不满足全同粒子体系波函数交换对称性的要求，还须作变换。
（1）对于N 个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒子态，则组合中的每一项都是 N 个单粒子态的一种排列，用∑PP 来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为!N ，所以玻色子系统的对称波函数是∑=ΦPk j i N S N P N q q q )()2()1(!1),,(21ϕϕϕ （19） 但若单粒子态的个数小于粒子数，譬如有1n 个粒子处于i 态，2n 个粒子处于j 态，l n 个粒子处于k 态，且N n n n l =+++ 21，则因相同单粒子态的交换不会产生新的结果，故所有可能排列的总项数等于下列组合数!!!!!!)!(!)!()!(!)!()!(!!21111121211111211l l l l l l l n n n N n n N n N n N n n n N n n n N n n n N n n N n n N n N n N C C C l l ∏==-------⋅---⋅-=-------所以N 个玻色子体系的对称波函数为[][][])()()()()(!!211111N k Pn n j n j n i i l l S q q q q q P N n ϕϕϕϕϕ ∑++⋅∏=Φ )91(' 这里的P 只对处于不同状态的粒子进行对换。
例一 求三个全同玻色子组成的体系所有可能的状态。
解：设三个单粒子态分别为321,,ϕϕϕ，（1）若三个粒子各处于不同状态 6!3!==N （共6项），则)]()()()()()()()()()()()()()()()()()([61132231331221233211231231133221332211q q q q q q q q q q q q q q q q q q S ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+++++=Φ （2）三粒子中有两个处于相同态，而另一个处于不同态，如0,1,2321===n n n则 3!1!2/!3=⋅ （共3项），有)]()()()()()()()()([31122131223111322111q q q q q q q q q S ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++=Φ 也可以是 1,0,2321===n n n 或1,2,0321===n n n 等，这样的对称波函数共有六个。
（3）三粒子都处于相同的单粒子态，如0,0,3321===n n n ，则 )()()(312111q q q S ϕϕϕ=Φ也可以是 0,3,0321===n n n 或3,0,0321===n n n 这样的对称波函数共有三个。
（2）对于N 个费米子，若它们分别处于k j i ,,态，则反对称的波函数为)]()()([)1(!1)()()()()()()()()(!121212121k k Pj i P N k k k N j j j N i i i A q q q P N q q q q q q q q q N ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∑-==Φ （20）式中P )1(-规定了求和号下每一项的符号，若把)()()(21N k j i q q q ϕϕϕ 作为基本排列（第一项），则任一种排列都是基本排列经过每两个粒子的若干次对换而得到，对于偶次对换P )1(-为正，奇次对换P )1(-为负。