江苏省常州市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题 (8)
2018常州市区高三期末统考试卷(含解析)
2017-2018年江苏省常州市市区高三（上）期末统考英语试卷第一部分：听力（共20小题；每小题1分，满分20分）第二部分：英语知识运用第一节：单项填空（共15小题；每小题1分，满分15分）请阅读下面各题，从题中所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
21. Ladies and gentlemen, we ___________ at Changzhou Station, please get ready to get off the train.A. are to arriveB. are arrivingC. are going to arriveD. will arrive考察时态。
现在进行时表将来，表示计划好的事情，并且距离现在是不远的将来。
根据句意：女士们先生们，我们即将到达常州站，下车的乘客请做好准备。
用现在进行时表即将发生的动作。
故选B。
22. ---What is the principal contradiction facing Chinese society nowadays?---The contradiction between _________ development and the people's ever-growing needs for a better lifeA. sustainableB. inadequateC. privilegedD.confidential考察形容词词义辨析。
A为可持续的，B为不充分的，C为赋予特权的，D为机密的。
根据句意：人民日增长的美好生活需要和不平衡不充分的发展之间的矛盾。
不充分，用inadequate故选B。
23. ---When the Americans objected to this,what did the British do?---They did not compromise,but increased control, __________ away many of their rights, and _______ soldiers there.A. taking; stationingB. taking; to stationC. took; stationingD. took; to station考察非谓语。
2018届江苏省常州高三上学期期末数学(理)试题(解析版)
2018届江苏省常州高三上学期期末数学（理）试题一、填空题1．若集合{}2,0,1A =-， {}2| 1 B x x =>，则集合A B ⋂=________.【答案】{}2-【解析】由题意，得{}2,0,1A =-， {}()()2| 1 ,11,B x x ∞∞=>=--⋃+，则{}2A B ⋂=-.2．命题“[]0,1x ∃∈， 210x -≥”是________命题（选填“真”或“假”）. 【答案】真【解析】当1x =时， 210x -≥成立，即命题“[]0,1x ∃∈， 210x -≥”为真命题. 3．若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =________. 【答案】1【解析】设i,,z a b a b =+∈R ，则由22i 1z z ⋅=+，得2222i 1b a a b -+=++， 则2221{20b a b a -=++=，解得0{1a b ==-，即i z =-，即1z =.4．若一组样本数据2015， 2017， x ， 2018， 2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为【答案】2【解析】因为该组样本数据的平均数为2017，所以201520172018201620175x ++++=，解得2019x =，则该组样本数据的方差为()()()()()222222120152017201720172019201720182017201620175S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦1025==. 5．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________.【答案】7【解析】由程序框图，得运行过程如下： 23624,3;4642,5A n A n =======；5306422017,7A n ==>=，结束循环，即输出的n 的值是7.6．函数()1ln f x x=的定义域记作集合D ，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1， 2， ⋅⋅⋅， 6），记骰子向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为________.【答案】56【解析】要使函数()1ln f x x=有意义，则ln 0x ≠且0x >，即0x >且1x ≠，即()()0,11,D =⋃+∞，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子，记骰子向上的点数为t ，则{}1,2,3,4,5,6t ∈，则事件“t D ∈”的概率为56P =. 7．已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为_______.【答案】3【解析】设该圆台的高为h ，由题意，得用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的小圆锥体积是1，则6162h -==，解得3h =，即该圆台的高为3. 点睛：本题考查圆锥的结构特征；在处理圆锥的结构特征时可记住常见结论，如本题中用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面的面积之比是两个圆锥高的比值的平方，所得两个圆锥的体积之比是两个圆锥高的比值的立方．8．各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为________.【解析】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，且234234a a a a a a =++，所以33324a a a a -=+，则3332432a a a a a -=+≥=，即()23330a a -≥，即2333,a a ≥≥3a点睛：本题考查等比中项和基本不等式的应用；在处理等比数列中，往往考查等比数列的性质的应用，如：在等比数列{}n a 中，若2m n p q t +=+=，则2m n p q t a a a a a ==.9．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ： 10x y ++=与双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________.【答案】(【解析】易知双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为by x a =±，联立10{x y by xa++==，得a x a b =-+，联立10{ x y by xa++==-，得a x b a =-，由题意，得0ab a <-，即a b >，则c >，即1ca<<，即双曲线C 的离心率e 的取值范围是(2. 10．已知实数x ， y 满足0,{220, 240,x y x y x y -≤+-≥-+≥则x y +的取值范围是________.【答案】4,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】令x y z +=，将x y z +=化为y x z =-+，作出可行域和目标函数基准直线y x =-（如图所示），当直线y x z =-+向右上方平移时，直线y x z =-+在y 轴上的截距z 增大，由图象，得当直线y x z =-+过点2233A （，）时， z 取得最小值43，当直线y x z =-+过点()44B ，时， z 取得最大值8，即x y +的取值范围为483⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.11．已知函数()ln f x bx x =+，其中b R ∈，若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为________. 【答案】1e【解析】因为()ln f x bx x =+，所以()1f x b x'=+，设过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切于点()000,ln x bx x +，则切线方程为()()00001ln y bx x b x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，因为该切线过原点，所以()()000ln 1bx x bx -+=-+，解得00ln 1,e x x ==，即1ek b =+，即1ek b -=.点睛：本题考查导数的几何意义；在利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意“曲线在某点处的切线”和“过某点的切线”的区别，“在某点处的切线”，即该点就是切点，且在曲线上，但“过某点的切线”，则该点不一定在曲线上，且也不一定是切点.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的图像与x 轴的交点A ， B ，C 满足2OA OC OB +=，则ϕ=________.【答案】34π【解析】不妨设0x ωϕ+=， πx ωϕ+=， 2πx ωϕ+=，得π2π,,B A C x x x ϕϕϕωωω--=-==，由2OA OC OB +=，得3π22ϕϕωω-=，解得3π4ϕ=.13．在ABC ∆中， 5AB =， 7AC =， 3BC =， P 为ABC ∆内一点（含边界），若满足()14BP BA BC R λλ=+∈，则BA BP ⋅的取值范围为________．【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理，得2225371cos 2532B +-==-⨯⨯，因为P 为ABC ∆内一点（含边界），且满足()14BP BA BC R λλ=+∈，所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则14BA BP BA BA BC λ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭212515525,44284BA BA BC λλ⎡⎤=+⋅=-∈⎢⎥⎣⎦. 14．已知ABC ∆中，AB AC == ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC∆面积的最大值为__________．【答案】16【解析】设2BC a =，以BC 所在直线为x 轴、其中垂线OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系（如图所示），则()()(,0,,0,B a C a A -，设(),P x y ，由22233PB PCPA +==，得222((3{(1x x yy y x +++=+=，即22222232{31x y a x y a +=-+-+-=，则2722{ 11a y -=≤≤，则()()222323aa --≤≤-+即()()2227232232a a a --≤-≤-+解得a ≤241523232ABC S a a a ∆=⨯=-，即ABC ∆.二、解答题15．已知ABC ∆中， a ， b ， c 分别为三个内角A ， B ， C 的对边，sin cos +C c B c =，（1）求角B ；（2）若2b ac =，求11tan tan A C+的值. 【答案】(1) 3B π=；(2)【解析】试题分析：（1）先由正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用配角公式进行化简求解；（2）由正弦定理将边边关系转化为角角关系，再利用同角三角函数基本关系式、两角和的正弦公式进行求解. 试题解析：（1sin cos C B c =+sin cos sin sin B C B C C ==，ABC ∆中， sin 0C >cos 1B B -=，所以1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 5666B πππ-<-<，66B ππ-=，所以3B π=；（2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，11tan tan A C += cos cos sin sin A C A C += cos sin sin cos sin sin A C A C A C + ()sin sin sin A C A C+= ()sin sin sin B A C π-= sin sin sin BA C =所以211sin 1tan tan sin sin B A C B B +====. 16．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形， PC ⊥平面ABCD ， PB PD =，点Q 是棱PC 上异于P 、C 的一点.（1）求证： BD AC ⊥；（2）过点Q 和AD 平面截四棱锥得到截面ADQF （点F 在棱PB 上），求证： //QF BC .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）先利用面面垂直的性质和等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而得到线线垂直；（2）先利用线面平行的判定定理证明线面平行，再利用线面平行的性质定理进行证明. 试题解析：（1）证明： PC ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，所以BD PC ⊥，记AC ， BD 交于点O ，平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点，又PBD ∆中， PB PD =，所以BD OP ⊥，又P C O P P ⋂=， PC ， OP ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC所以BD AC ⊥；（2）四边形ABCD 是平行四边形，所以//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ， BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，又AD ⊂平面ADQF ，平面ADQF ⋂平面PBC QF =，所以//AD QF ，又//AD BC ，所以//QF BC .17．已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM 高3.6米， AB ， OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ， O .点光源从M 发出，小明在地上的影子记作'AB .（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求'AB 扫过的图形面积； （2）若3OA =米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ， 13OAA π∠=，且110AA =米. t秒时，小明在地面上的影子长度记为()f t （单位:米），求()f t 的表达式与最小值.【答案】(1) 27π平方米；(2) ()239f t t t =-+， 010t <≤，当32t =（秒）时， ()f t（米）.【解析】试题分析：（1）先由线线平行得到比例线段，再利用圆的面积公式进行求解；（2）先利用余弦定理得到函数表达式，再利用二次函数的最值问题进行求解. 试题解析：（1）由题意//AB OM ，则' 1.81' 3.62AB AB OB OM ===， 3OA =，所以'6OB =， 小明在地面上的身影'AB 扫过的图形是圆环，其面积为226327πππ⨯-⨯=（平方米）；（2）经过t 秒，小明走到了0A 处，身影为00'A B ，由(1)知000'12A B AB OB OM ==，所以 ()000'f t A B OA ===化简得()f t = 010t <≤， ()232724f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭32t =时， ()f t.答： ()f t = 010t <≤，当32t =（秒）时， ()f t（米）.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，点A 是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于M ， N 两点（M 在第三象限），与椭圆的右准线交于P 点.已知AM MN ⊥，且243OA OM b ⋅=.（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若103AMN POE S S a ∆∆+=，求椭圆C 的标准方程. 【答案】(1)e =(2) 22182x y +=. 【解析】试题分析：（1）联立方程，得到交点坐标，再利用平面向量的数量积求出椭圆的离心率；（2）先利用（1）结果写出M 的坐标和右准线方程，写出直线MN 的方程，得到相关点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解.试题解析：（1）由题意22222221{ 22x y a ba a x y +=⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，消去y 得22220c x ax b a ++=，解得1x a =-， 222ab x c =- 所以22M ab x c =- (),0a ∈-， M A OA OM x x ⋅= 22243ab a b c ==， 2234c a =，所以e =（2）由（1）2,3M b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，右准线方程为43x =， 直线MN的方程为y =，所以P ⎫⎪⎪⎝⎭， 12POF P S OF y ∆=⋅2== 2AMN AOM S S ∆∆==22M OA y b ⨯==，所以22103a =，2203b =，所以b =a =椭圆C 的标准方程为22182x y +=.19．已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a a =（其中a 为常数），()()111n n nS n S n n +=+++ ()*n N ∈.数列{}n b满足)*n b n N =∈.（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n N ∈，数列{}n b 中总存在两个不同的项s b ， t b ()*,s t N ∈使得s n t b c b ≤≤，求{}n c 的公比q .【答案】(1) 22n a n a =-+；(2) 1q =.【解析】试题分析：（1）仿写式子，两式相减得到212n n a a ++=+，利用等差数列的定义和通项公式进行求解；（2）构造数列，利用递减数列得到取值范围，利用数列是特殊的函数，利用导数研究其单调性，利用s n t b c b ≤≤确定公比的取值.试题解析：（1）方法一：因为()()111n n nS n S n n +=+++①， 所以()()()()211212n n n S n S n n +++=++++②，由②-①得， 21(+1)S n n n nS ++- ()()()12121n n n S n S n +=+-+++， 即()21n n S ++= ()()()122121n n n S n S n ++-+++，又10n +>， 则2122n n n S S S ++=-+，即212n n a a ++=+.在()()111n n nS n S n n +=+++中令1n =得， 12122a a a +=+，即212a a =+. 综上，对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=， 故数列{}n a 是以2为公差的等差数列. 又1a a =，则22n a n a =-+.方法二：因为()()111n n nS n S n n +=+++，所以111n nS S n n+=++，又11S a a ==， 则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以a 为首项， 1为公差的等差数列， 因此1nS n a n=-+，即()21n S n a n =+-. 当2n ≥时， 122n n n a S S n a -=-=-+，又1a a =也符合上式，故()*22n a n a n N =-+∈.故对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=，即数列{}n a 是以2为公差的等差数列.（2）令12122n n n a e a n a+==+-+，则数列{}n e 是递减数列，所以211n e a <≤+. 考察函数1(1)y x x x =+>，因为22211'10x y x x-=-=>，所以1y x x =+在()1,+∞上递增，因此()14222n n e e a a <+≤++，从而n b =∈⎝.因为对任意*n N ∈，总存在数列{}n b 中的两个不同项s b ， t b ，使得s n t b c b ≤≤，所以对任意的*nN ∈都有n c ∈⎝，明显0q >.若1q >，当1log n ≥+时，有111n n n c c q--=>≥若01q<<，当1log n ≥+时， 有11n n c c q -=≤12n -≤故1q =.20．已知函数()()2ln xf x x a =+，其中a 为常数.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在()0,a -上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在()0,1上的极值点为0x ，求证： ()02f x <-.【答案】(1)当x = ()f x 的极大值为12e，无极小值；(2) 122a e -≤-；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，将函数在某区间上单调递增转化为导函数非负恒成立，分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；（3）连续两次求导，分别通过研究导函数的符号变化研究函数的极值，再作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用求导进行求解. 试题解析：（1）当0a =时， ()ln xf x x=，定义域为()0,+∞， ()312ln 'xf x x -=，令()'0f x =，得x =xf x 0, e 0e1 2ee , f ' x极大值 当 x e 时， f x 的极大值为1 ，无极小值. 2ea 2lnx x （2） f ' x ，由题意 f ' x 0 对 x 0, a 恒成立. 3 x a 1x 0, a ， x a 0 ，3 1a 2lnx 0 对 x 0, a 恒成立， x a 2 xlnx x 对 x 0, a 恒成立.令 g x 2xlnx x ， x 0, a ，则 g ' x 2lnx 1， ①若 0 a e 1 2，即 0 a e1 2，则 g ' x 2lnx 1 0 对 x 0, a 恒成立， g x 2xlnx x 在 0, a 上单调递减，则 a 2 a ln a a ， 0 ln a ， a 1 与 a e ②若 a e 当0 x e 当e 1 2 1 2 1 2 1 2矛盾，舍去；，即 a e1 2，令 g ' x 2lnx 1 0 ，得 x e1 2，时， g ' x 2lnx 1 0 ， g x 2xlnx x 单调递减， x a 时， g ' x 2lnx 1 0 ， g x 2xlnx x 单调递增， 1 2当 x e时， g x min g e 1 21 1 1 1 2 2 2 2e ln e e 2e 2 ， a 2e .综上 a 2e .（3）当 a 1 时， f x 1 21 2lnx x 12， f ' x x 1 2 xlnx x x 13，令 h x x 1 2xlnx ， x 0,1 ， 则 h ' x 1 2 lnx 1 2lnx 1 ，令 h ' x 0 ，得 x e 1 2，①当 e1 21 x 1 时， h ' x 0 ， h x x 1 2xlnx 单调递减， h x 0, 2e 2 1 ， f ' x x 1 2 xlnx x x 1 1 23 1 单调递减，且 f x f e 2 . 0 恒成立， f x 2 x 1lnx②当 0 x e时， h ' x 0 ， h x x 1 2xlnx 单调递增，1 1 1 1 1 2 2 2 2 h e e 1 2e ln e 2e 2 1 0 2 e 2 1 2e 2 ln e 2 又h e 5 1 0 ， e2 1 存在唯一 x0 0, e 2 ，使得 h x0 0 ， f ' x0 0 ， 当 0 x x0 时， f ' x0 0 ， f x 1 2lnx x 12单调递增，当 x0 x e时， f ' x0 0 ， f x lnx x 12单调递减，且 f x f e 1 2 ， 由①和②可知， f x lnx x 1lnx2在 0, x0 单调递增，在 x0 ,1 上单调递减， 当 x x0 时， f x x 12取极大值.h x0 x0 1 2x0lnx0 0 ， lnx0 f x0 lnx0x0 1 ， 2 x0 x0 121 1 ， 2 2 x0 x0 1 1 1 2 x0 2 2 2 1 1 1 1 1 2 又 x0 0, 2e ， 2 x0 ,0 ， f x0 2 . 2 2 2 2 1 1 2 x0 2 2 21．在 【答案】中，N 是边 AC 上一点，且 .，AB 与的外接圆相切，求的值．【解析】试题分析：记 试题解析：记外接圆为 ，利用圆的切割线定理和相似三角形进行求解. 、 分别是圆 的切线和割线，所以 ，外接圆为 ，又，所以与相似，所以，所以， 22．已知矩阵 A . 4 2 不存在逆矩阵，求： a 1（1）实数 a 的值； （2）矩阵 A 的特征向量. 【答案】(1) a 2 ；(2)答案见解析. 【解析】试题分析： （1）根据题意，将问题转化为行列式为 0 进行求解； （2）利用特征向量的定义进行求解. 试题解析： （1）由题意42 0 ，即 4 2a 0 ，解得 a 2 ； a1（2） 4 2 0 ，即 4 1 4 0 ，所以 2 5 0 ，解得 1 0 ， 2 5 2 14 x 2 y 0 2 x y 0 x 2y 0 2 x 4 y 0， y 2 x ，属于 1 0 的一个特征向量为 1 0 时， {1 ； 2 2 5 时， {， x 2 y ，属于 1 0 的一个特征向量为 .2 1 23．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线 C 的参数方程为{x 2cos 1 （ 为参数） ，直线 l 的极坐标方程为 sin 2 ，直线 l 与曲线 C 交于 M ， N 两 y 2sin 4 点，求 MN 的长. 【答案】 14 . 【解析】试题分析：先消参得到曲线的直角坐标方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式得到直线的直 角坐标方程，再利用弦长公式进行求解. 试题解析：曲线 C ： x 12 y 2 4 ， 直 线 l ： x y 2 0 ， 圆 心 C 1,0 到 直 线 l 的 距 离 为d1 0 2 12 121 2 2 2 ，所以弦长 MN 2 r d 2 4 14 . 2 2a 3 b3 ab . a 2 b224．已知 a 0 ， b 0 ，求证:【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：利用排序不等式进行证明. 试 题 解 析 ： 证 明 ： a 0 ， b 0 ， 不 妨 设 a b 0 ， 则 a2 b2 ， a2 b2 ， 由 排 序 不 等 式 得5 5 1 1a 2 a 2 b 2b 2 a 2b 2 b 2 a 2 ab . a a b b a b b a ，所以 a 2 b2 a 2 b25 2 1 2 5 2 1 2 5 2 1 2 5 2 1 25151515125．已知正四棱锥 P ABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的 8 条棱中任取两条，按下列方式定 义随机变量 的值： 若这两条棱所在的直线相交，则 的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制） ； 若这两条棱所在的直线平行，则 0 ； 若这两条棱所在的直线异面，则 的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制). （1）求 P 0 的值； （2）求随机变量 的分布列及数学期望 E . 【答案】(1)1 ；(2)答案见解析. 14【解析】试题分析：先利用题意得到几何体的结构特征，写出变量的所有可能求值，写出基本事件数； （1） 利用古典概型的概率公式进行求解； （2）列表得到分布列，再利用期望公式进行求解. 试题解析：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到 PAC ， PBD 为 等腰直角三角形， 的可能取值为： 0 ， 时，有 3 4 2 4 20 种； （1） P 0 （2） P 2 2 ， ，共 C8 28 种情况，其中： 0 时，有 2 种； 3 2 3时，有 2 4 6 种；2 1 ； 28 14 4 16 5 6 3 ， P ， 3 28 7 2 28 14 根据（1）的结论，随机变量的分布列如下表：P01 14 35 7 23 14根据上表， E 0 26．记 x 1 x 1 5 3 29 . 14 3 7 2 14 84 1 1 * 2 x （ n 2 且 n N ）的展开式中含 x 项的系数为 Sn ，含 x 项的系数为 2 n Tn .（1）求 Sn ； （2）若Tn an 2 bn c ，对 n 2,3, 4 成立，求实数 a, b, c 的值； Sn*（3）对（2）中的实数 a, b, c 用数字归纳法证明：对任意 n 2 且 n N ，Tn an2 bn c 都成立. Snn 1 2 ；(2) a 1 ， b 1 ， c 1 ；(3)证明见解析. 【答案】(1) S n 4 12 6 n 1!【解析】试题分析： （1）利用多项式相乘和组合数公式进行求解； （2）代入前三项，得到关于 a, b, c 的三元 一次方程组进行求解； （3）利用数学归纳法进行求解.1 2 n 试题解析： （1） S n n!（2）n 1 2 . n 1!T2 2 T 11 T 7 ， 2 ， 4 ， S3 6 S2 3 S4 23 4a 2b c 2 11 则{ 9a 3b c 6 7 16a 9b c 2解得 a 1 1 1 ， b ， c ， 4 12 6（3）①当 n 2 时，由（2）知等式成立；* ②假设 n k （ k N ，且 k 2 ）时，等式成立，即Tk 1 2 1 1 k k ； Sk 4 12 6当 n k 1 时，由 f x x 1 x 1 1 1 x x 2 k k 1 1 1 1 [ x 1 x x ] x k k 1 2 1 1 Sk x Tk x 2 x k 1 k! k 1 1 1 2 1 1 1 Tk 2 1 k k ， 知 Tk 1 S k k 1 12 6 k 1! k 1 4所以Tk 1 S k 1k 1 2 1 1 1 k 2 1 k 1 k 3k 5 12 6 k 1! k 3k 2 k 2 k 1 4 ， k 1 12 k 11 k 2 12 2 k!又k 3k 5 1 1 1 2 ，等式也成立； k 1 k 1 4 12 6 12综上可得，对任意 n 2 且 n N * ，都有Tn an2 bn c 成立. Sn。
江苏省常州市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题 (11)
【题文】
如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面ABCD ，PB =PD ，点Q 是棱PC 上异于P 、C 的一点.
（1）求证：BD AC ⊥；
（2）过点Q 和的AD 平面截四棱锥得到截面ADQF （点F 在棱PB 上），求证：//QF BC .
【答案】
【解析】
（1）证明：PC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PC ⊥，记AC ，BD 交于点O ，平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点，又PBD ∆中，PB PD =， 所以BD OP ⊥，
又PC OP P =，PC ， OP ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC 所以BD AC ⊥；
（2）四边形ABCD 是平行四边形，所以//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，
又AD ⊂平面ADQF ，平面ADQF
平面PBC QF =，所以//AD QF ，又//AD BC ，所以//QF BC .
【标题】江苏省常州市2018届高三上学期期末考试数学（理）试题
【结束】。
2018-2019学年江苏省常州市高三(上)期末数学试卷
2018-2019学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0，1}，B={-1，1}，则A∩B=______．2.若复数z满足z（1+i）=1-i（i是虚数单位），则复数z=______．3.已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1，9.3，x，9.2，9.4，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x=______．4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的y值为1，则输入的实数x的值为______．5.函数f（x）=的定义域为______．6.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为______．7.已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为2，直线x+y+2=0经过双曲线C的焦点，则双曲线C的渐近线方程为______．8.已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为______．9.已知正数x，y满足，则的最小值为______．10.若直线kx-y-k=0与曲线y=e x（e是自然対数的底数）相切，则实数k=______．11.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）是偶函数，点（1，0）是函数y=f（x）图象的对称中心，则ω的最小值为______．12.平面内不共线的三点O，A，B，满足||=1，||=2，点C为线段AB的中点，∠AOB的平分线交线段AB于D，若||=，则||=______．13.过原点的直线与圆交于两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以为直径的圆与直线有异于Q的交点N，且直线与直线的斜率之积等于1，那么直线的方程为_________________________.14.数列{a n}，{b n}满足（n∈N*），且数列{b n}的前n项和为n2．已知数列{a n-n}的前2018项和为1，那么数列{a n}的首项a1=______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别是棱AB，CC1的中点．（1）求证：CM∥平面AB1N；（2）求证：平面A1BN⊥平面AA1B1B．16.已知△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且=a2．（1）求角A；（2）若tan B tan C=3，且a=2，求△ABC的周长．17.已知，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：的焦点在椭圆C2：上，其中a＞b＞0，且点P（，）是椭圆C1，C2位于第一象限的交点．（1）求椭圆C1，C2的标准方程；（2）过y轴上一点P的直线l与椭圆C2相切，与椭圆C1交于点A，B，已知，求直线l的斜率．18.某公园要设计如图一所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形ABCDEFGH），整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF=BE=1.6米，两根竖轴CH=DG=1.2米，记景观窗格的外框（图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为l米．（1）若∠ABC=，且两根横轴之间的距离为0.6米，求景观窗格的外框总长度；（2）由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5米，当景观窗格的面积（多边形ABCDEFGH的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC的大小与BC长度．19.已知数列{a n}中，a1=1，且a n+1+3a n+4=0，n∈N*．（1）求证：{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求出满足条件的项；若不存在，说明理由．20.已知函数m（x）=x2，函数n（x）=a ln x+1（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=n（x）在点（1，n（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）=m（x）-n（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）=n（x）+e x-ex≥0对x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．（e 是然对数的底数，e≈2.71828…）21.已知点（1，2）在矩阵A=对应的变换作用下得到的点（7，6），求：（1）矩阵A；（2）矩阵A的特征值及对应的特征向量．22.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），求直线l被曲线C所截的弦长．23.已知a＞0，b＞0，求证：a+b+1≥++．24.如图，在空间直角坐标系O-xyz中，已知正四棱锥P-ABCD的高PO=2，点B，D和C，A分别在x轴和y轴上，且AB=，点M是棱PC的中点．（1）求直线AM与平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角A-PB-C的余弦值．25 是否存在实数a，b，c，使得等式1•3•5+2•4•6+……+n（n+2）（n+4）=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．2018-2019学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷答案和解析【答案】1. {1}2. -i3. 9.54. 35. （0，e]6.7. =08.9. 410. e211.12.13. y=±14. 1.515. 证明：（1）以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面BCC1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=a，BB1=b，则C（0，0，0），B（a，0，0），A（，0，），M（，0，），B1（a，b，0），N（0，，0），=（，0，），=（，-，），=（a，，0），设平面AB1N的法向量=（x，y，z），则，取a=1，得=（1，-，-），=-0-=0，且CM⊄平面AB1N，∴CM∥平面AB1N．（2）A1（，b，），=（a，-，0），=（，，），设平面A1BN的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=（，-），=（-，0，），=（0，b，0），设平面AA1B1B的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，0，1），∵==0，∴平面A1BN⊥平面AA1B1B．16. 解：（1）=a2，即有b2+c2-a2=2bc cos A=bc sin A，可得tan A==，由0＜A，π，可得A=；（2）由A=，B+C=，可得tan（B+C）==-，由tan B tan C=3，可得tan B+tan C=2，可得tan B=tan C=，则B=C=，则三角形ABC为等边三角形，可得三角形的周长为3a=6．17. 解：（1）椭圆C1：的焦点为（±，0），由题意可得a2-b2=b2，即a2=2b2，由P在椭圆上可得+=1，解得a=，b=1，可得椭圆C1：+y2=1；C2：+x2=1；（2）过y轴上一点P的直线为y=kx+t，由可得（2+k2）x2+2ktx+t2-2=0，由△=0，即4k2t2-4（2+k2）（t2-2）=0，可得t2=2+k2，①由可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，由16k2t2-8（1+2k2）（t2-1）＞0，即t2＜1+2k2，可得k＞1或k＜-1；设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，由，可得x1=x2，即有x2=-，x22=，②①代入②可得k4-6k2+8=0，解得k=±2或k=±．则直线l的斜率为±2或±．18. 解：（1）由题意可知AB=0.6，∠MBC=∠ABC-∠ABM=30°，CM=（HC-AB）=（1.2-0.6）=0.3，∴BC=2CM=0.6，BM=CM=．∴CD=BE-2BM=1.6-=，∴景观窗格的外框总长度l=2AB+2CD+4BC=1.2++2.4=米．（2）设BC=a，∠MBC=θ，则BM=a cosθ，CM=a sinθ，∴AB=1.2-2a sinθ，CD=1.6-2a cosθ，∴l=4a+2.4-4a sinθ+3.2-4a cosθ=5.6-4a sinθ-4a cosθ+4a≤5，∴4a（sinθ+cosθ-1）≥，即a≥．景观窗格的面积S=1.2×1.6-4S△BCM=-2a2sinθcosθ≤-，当且仅当4a（sinθ+cosθ-1）=时取等号．令t=sinθ+cosθ=sin（），则1＜t≤，sinθcosθ=，∴S≤-=-（1+）≤-（1+）=-．当且仅当t=即θ=时取等号．∴当θ=时，a==．∴当景观窗格的面积（多边形ABCDEFGH的面积）最大时，∠ABC=，BC=．19. 证明：（1）数列{a n}中，a1=1，且a n+1+3a n+4=0，n∈N*．∴a n+1=-3a n-4=0，n∈N*．∴a n+1+1=-3（a n+1），n∈N*．∵a1+1=2，∴{a n+1}是以2为首项，-3为公比的等比数列，∴a n+1=2×（-3）n-1，∴数列{a n}的通项公式为a n=2×（-3）n-1-1．解：（2）假设a m，a n，a p构成等差数列，m≠n≠p，则2a n=a m+a p，即4×（-3）n-1-2=2×（-3）m-1-1+2×（-3）p-1-1，∴2（-3）n=（-3）m+（-3）p，∵m≠n≠p，且m，n，p∈N*，∴2（-3）n≠（-3）m+（-3）p，∴数列{a n}中不存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列．20. 解：（1）当a=2时，n（x）=2ln x+1，则n′（x）=，故n（1）=1，n′（1）=2，故切线方程是：y=2x-1；（2）f（x）=x2-a ln x-1，f′（x）=，①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）递增，∵f（1）=0，∴f（x）有唯一两点，即a≤0符合题意；②当a＞0时，令f′（x）=0，解得：x=，列表如下：，，故f（x）min=f（），（i）当=1即a=2时，f（x）min=f（1）=0，故a=2符合题意，（ii）当＜1即0＜a＜2时，f（）＜f（1）=0，∵f（）=＞0，且＜1，故＜，故存在x1∈（，），使得f（x1）=f（1）=0，故0＜a＜2不合题意，（iii）当＞1即a＞2时，f（）＜f（1）=0，∵f（a-1）=a（a-2-ln（a-1）），设a-1=t＞1，a-2-ln（a-1）=t-1-ln t=h（t），则h′（t）=1-＞0，故h（t）递增，即h（t）＞h（1）=0，故f（a-1）＞0，又a-1＞1，故a-1＞，故存在x2∈（，a-1），使得f（x2）=f（1）=0，故a＞2不合题意，综上，a的范围是（-∞，0]∪{2}；（3）g（x）=a ln x+e x-ex+1，g′（x）=+e x-e，g″（x）=e x-，①当a≥0时，g′（x）≥0恒成立，故g（x）递增，故g（x）≥g（1）=1，即a≥0符合题意，②当a＜0时，g″（x）＞0恒成立，g′（x）递增，又g′（1）=a＜0，g′（ln（e-a））=-a=a•＞0，故存在x0∈（1，ln（e-a）），使得g′（x0）=0，且当x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）递减，故g（x0）＜g（1）=0，即a＜0不合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．21. 解：（1）由题意，可知：•=．整理，得：=，即：，解得：．∴矩阵A=．（2）由题意，可知：矩阵A的特征多项式f（λ）==（λ-1）（λ-2）-6=λ2-3λ-4=（λ+1）（λ-4）．令f（λ）=0，即：（λ+1）（λ-4）=0．解得：λ=-1，或λ=4．①当λ=-1时，相应的线性方程组为：，取其中一个非零解为：．∴矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为：．②当λ=4时，相应的线性方程组为：，取其中一个非零解为：．∴矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为：．综上所述，可知：矩阵A的属于特征值为-1和4，相应的特征向量为．和．22. 解：∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程为x--1=0，∵曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），即ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=2，∴曲线C是以C（1，1）为圆心，以r=为半径的圆，∴圆心C（1，1）到直线l的距离d==，∴直线l被曲线C所截的弦长为2=2=．23. 证明：知a＞0，b＞0，由柯西不等式可得（a+b+1）（b+1+a）≥（++）2，当且仅当==时取等号，∴（a+b+1）2≥（++）2，∵a+b+1＞0，++＞0，∴a+b+1≥++．24. 解：（1）记直线AM与平面PAB所成角为α，A（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），M（0，，1），则=（1，1，0），=（0，-1，-2），=（0，，1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，-2，1），∴sinα=|cos＜＞|===，∴直线AM与平面PAB所成角的正弦值为．（2）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），=（-1，1，0），=（1，0，-2），则，取x=2，得=（2，2，1），∴cos＜＞===，由图知二面角A-PB-C的平面角为钝角，∴二面角A-PB-C的余弦值为-．25. 解：令n=1，得15=（a+b+c），令n=2，得63=（4a+2b+c），令n=3，得168=（9a+3b+c），即，得，下面用数学归纳法进行证明：等式1•3•5+2•4•6+……+n（n+2）（n+4）=（n2+9n+20）对于一切正整数n都成立当n=1时，等式成立，假设当n=k时，等式成立，即等式1•3•5+2•4•6+……+k（k+2）（k+4）=（k2+9k+20）对于一切正整数k都成立，则当n=k+1时，1•3•5+2•4•6+……+k（k+2）（k+4）+（k+1）（k+3）（k+5）=（k2+9k+20）+（k+1）（k+3）（k+5）=k（k+1）（k+3）（k+5）+（k+1）（k+3）（k+5）=（k+1）（k+5）（k2+8k+12）=[（k+1+1）（k+1+5）]=[（k+1）2+9（k+1）+20]，即等式对n=k+1也成立，综上可得，等式1•3•5+2•4•6+……+n（n+2）（n+4）=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立，∴存在实数a，b，c，符号题意，且．【解析】1. 解：∵集合A={0，1}，B={-1，1}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 解：由z（1+i）=1-i，得．故答案为-i．把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3. 【分析】本题考查了平均数的定义与计算问题，是基础题．根据平均数的定义列方程求出x的值．【解答】解：数据9.1，9.3，x，9.2，9.4的平均数为×（9.1+9.3+x+9.2+9.4）=9.3，解得x=9.5．故答案为：9.5．4. 解：执行如图所示的算法知，该算法输出y=当x≥1时，令y=x2-2x-2=1，解得x=3或x=-1（不合题意，舍去）；当x＜1时，令y==1，此方程无解；综上，则输入的实数x的值为3．故答案为：3．执行该算法后输出y=，令y=1求出对应x的值即可．本题考查了算法与应用问题，也考查了分段函数的应用问题，是基础题．5. 解：函数的定义域为：{x|}，解得0＜x≤e．故答案为：（0，e]．函数的定义域为：{x|}，由此能求出结果．本题考查对数函数的图象和性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．6. 解：某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，基本事件总数n==10，该同学恰好选中1文1理包含的基本事件总数m==6．∴该同学恰好选中1文1理的概率p===．故答案为：．先求出基本事件总数n==10，该同学恰好选中1文1理包含的基本事件总数m==6，由此能求出该同学恰好选中1文1理的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7. 解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为2，，直线x+y+2=0经过双曲线C的焦点，可得c=2，所以a=1，则b=，所以双曲线C的渐近线方程为：=0．故答案为：=0．利用双曲线的离心率以及焦距，列出方程，求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．8. 解：设圆锥SO的底面半径为r，高为h，则圆柱PO的底面半径是，高为，∴V SO=πr2h，V PO=π（）2•=，∴．故答案为：．设出圆锥的底面半径和高，分别求出圆柱和圆锥的体积，计算出比值．本题考查圆柱与圆锥体积的求法，考查计算能力，是基础题．9. 【分析】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行灵活配凑是解本题的关键，同时考查计算能力，属于基础题．将代数式与相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【解答】解：由基本不等式可得，所以，，当且仅当，即当y=x2时，等号成立，因此，的最小值为4.故答案为4．10. 解：根据题意，若直线kx-y-k=0与曲线y=e x相切，设切点为（m，e m）曲线y=e x，其导数y′=e x，则切线的斜率k=y′|x=m=e m，则切线的方程为y-e m=e m（x-m），又由k=e m，则切线的方程为y-k=k（x-m），即kx-y-mk+k=0，又由切线为kx-y-k=0，则有-m+1=-1，解可得m=2，则k=e m=e2，故答案为：e2．根据题意，设切点为（m，e m），求出曲线y=e x的导数，由导数的几何意义可得k=y′|x=m=e m，即可得切线的方程y-k=k（x-m），结合直线kx-y-k=0分析可得m=2，则k=e m=e2，即可得答案．本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．11. 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）是偶函数，∴φ=∵点（1，0）是函数y=f（x）图象的对称中心∴sin（ω+φ）=0，可得ω+φ=k2π，k2∈Z，∴ω=k2π-φ=（k2-k1）π-．又ω＞0，所以当k2-k1=1时，ω的最小值为．故答案为：．由题设条件，可由函数是偶函数得到φ的可能取值，再由函数过点（1，0）得出ω+φ的可能取值，从而得出ω的表达式，再对参数赋值即可得出所求的最小值本题考查正弦类函数的奇偶性与对称性，解答的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，能根据三角函数的图象与性质得出参数φ与ω的可能取值，再通过赋值的手段得出参数的最值12. 解：如图，∵点C为线段AB的中点，∴===（1+4+2×1×2×cos∠AOB）解得cos∠AOB=-，∴∠AOB=120°．由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA•OB cos120°=7．∴．由正弦定理可得：⇒sin A=．由正弦定理可得：，∵，∠AOD=60°．∴．故答案为：．可得=，==（1+4+2×1×2×cos∠AOB），即可得解得∠AOB，由正弦定理可得：，，即可求解．本题考查了向量的线性运算，正余弦定理，属于中档题．13. 解析：根据题意推得k l+k AP=0，然后设出P（x0，y0），解方程k l+k AP=0可得x0，再代入圆的方程可解得y0，从而可求出直线l的方程．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．解：依题意得k AN•k l=-1，k AN•k AP=1，所以k l+k AP=0，设P（x0，y0）（y0≠0）则k l=，k AP=，∴+=0，解得x0=-，又x02+y02=1，所以y0=±，k l==所以直线l的方程为：y=x故答案为：y=x14. 解：数列{a n-n}的前2018项和为1，即有（a1+a2+…+a2018）-（1+2+…+2018）=1，可得a1+a2+…+a2018=1+1009×2019，由数列{b n}的前n项和为n2，（n∈N*），可得b n=2n-1，a2=1+a1，a3=2-a1，a4=7-a1，a5=a1，a6=9+a1，a7=2-a1，a8=15-a1，a9=a1，…，可得a1+a2+…+a2018=（1+2+7）+（9+2+15）+（17+2+23）+…+（4025+2+4031）+（a1+4033+a1）=505+×505×504×8+2×504+504×7+×504×503×8+2a1=1+1009×2019，解得a1=1.5．故答案为：1.5．由数列的分组求和可得a1+a2+…+a2018=1+1009×2019，由数列{b n}的前n项和为n2，以及数列的递推式可得a n与a1的关系，求和解方程即可得到所求值．本题考查等差数列的求和公式，以及数列的分组求和，考查运算能力和推理能力，属于中档题．15. （1）以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面BCC1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CM∥平面AB1N．（2）求出平面A1BN的法向量和平面AA1B1B的法向量，利用向量法能证明平面A1BN⊥平面AA1B1B．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16. （1）运用三角形的余弦定理和面积公式，以及同角公式，计算可得所求角；（2）由两角和的正切公式，解方程可得B=C，即三角形为等边三角形，即可得到所求周长．本题考查三角形的余弦定理和面积公式，以及两角和的正切公式的运用，考查化简运算能力，属于基础题．17. （1）求得椭圆C1的焦点，代入椭圆C2，将P代入椭圆方程，可得a，b的方程组，解方程可得椭圆方程；（2）设直线l为y=kx+t，代入椭圆C2，由判别式为0，可得t，k的关系式，由直线方程和椭圆C1方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，可得k的方程组，解方程可得所求值．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式法和韦达定理、以及向量共线的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18. （1）计算AB，BC，CD的长度即可得出景观窗格的外框总长度；（2）设BC=a，∠MBC=θ，表示出景观窗格的外框总长度，列不等式得出a与θ的关系，利用基本不等式得出景观窗台面积的最大值，从而得出结论．本题考查了函数解析式的求解，不等式与函数最值的计算，属于中档题．19. （1）推导出a n+1+1=-3（a n+1），n∈N*．a1+1=2，由此能证明{a n+1}是以2为首项，-3为公比的等比数列，并能求出数列{a n}的通项公式．（2）假设a m，a n，a p构成等差数列，m≠n≠p，则2a n=a m+a p，推导出2（-3）n=（-3）m+（-3）p，由m≠n≠p，且m，n，p∈N*，得到2（-3）n≠（-3）m+（-3）p，从而数列{a n}中不存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列．本题考查等比数列的证明，考查数列能否构成等差数列的判断与求法，考查构造法、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. （1）代入a的值，求出函数的导数，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点求出a的范围即可；（3）求出g（x）的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性确定a的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21. 本题第（1）题可根据题意写出相应的矩阵算式，然后转化成线性方程组进行计算x、y的值，即可得到矩阵A；第（2）题可根据第（1）题写出矩阵A的特征多项式f（λ），令f（λ）=0，即可得到矩阵A的特征值，然后根据特征值写出相应的线性方程组，取其中一个非零解即为特征值相应的特征向量．本题第（1）题主要考查根据题意写出相应的矩阵算式，然后转化成线性方程组进行计算出参数的值；第（2）题主要考查求一个矩阵的特征值及对应的特征向量．本题属中档题．22. 求出直线l的普通方程，曲线C的直角坐标方程，得到曲线C是以C（1，1）为圆心，以r=为半径的圆，求出圆心C（1，1）到直线l的距离d=，直线l被曲线C所截的弦长为2．本题考查直线被圆截得的弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23. 直接根据柯西不等式即可证明．本题考查了柯西不等式的应用，属于中档题．24. （1）求出和平面PAB的法向量，利用向量法能求出直线AM与平面PAB所成角的正弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PAB的法向量，利用向量法能求出二面角A-PB-C 的余弦值．本题考查线面的正弦值和二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25. 先令n=1，2，3建立方程组，求出a，b，c，然后结合数学归纳法的步骤进行证明即可．本题主要考查数学归纳法的证明和应用，建立方程组求出a，b，c是解决本题的关键．注意数学归纳法的基本步骤．。
2018年江苏省常州市高三期末数学试卷 (3)
2018年江苏省常州市高三期末数学试卷一、填空题1．设复数z满足（z+i）（2+i）=5（i为虚数单位），则z=______．2．设全集U={1，2，3，4}，集合A={1，3}，B={2，3}，则B∩∁U A=______．3．某地区有高中学校10所、初中学校30所，小学学校60所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校______所．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点P（1，﹣2），则该双曲线的离心率为______．5．函数f（x）=log2（﹣x2+2）的值域为______．6．某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为______．7．如图所示的流程图中，输出S的值是______8．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=3，若点M是BC的中点，则三棱锥M﹣PAD的体积为______．9．已知实数x，y满足，则2x+y的最大值为______．10．已知平面向量，，x∈R，若，则||=______．11．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+a2=，a3+a4+a5+a6=40．则的值为______．12．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正实数），则的最小值为______．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P 有且只有两个，则实数b的取值范围是______．14．已知函数f（x）=若不等式f（x）≥kx，对x∈R恒成立，则实数k的取值范围是______．二、简答题15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos（B﹣C）=1﹣cosA，且b，a，c成等比数列，求：（1）sinB•sinC的值；（2）A；（3）tanB+tanC的值．16．如图，正三棱柱A1B1C1﹣ABC，点D，E分别是A1C，AB的中点．（1）求证：ED∥平面BB1C1C（2）若AB=BB1，求证：A1B⊥平面B1CE．17．已知等差数列{a n}的公差d为整数，且a k=k2+2，a2k=（k+2）2，其中k为常数且k∈N*（1）求k及a n（2）设a1＞1，{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的首项为l，公比为q（q＞0），前n项和为T n，若存在正整数m，使得，求q．18．如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ（1）求S关于θ的函数关系式；（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．19．已知a，b为实数，函数f（x）=ax3﹣bx．（1）当a=1且b∈[1，3]时，求函数F（x）=||+2b+1（x∈[]的最大值为M（b））；（2）当a=0，b=﹣1时，记h（x）=①函数h（x）的图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为y=y（x），记g（x）=h（x）﹣y （x）．问：是否存在x0，使得对于任意x1∈（0，x0），任意x2∈（x0，+∞），都有g（x1）g （x2）＜0恒成立？若存在，求也所有可能的x0组成的集合；若不存在，说明理由．②令函数H（x）=，若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，求实数s的取值集合．选修4-1：几何证明选讲20．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB=AC，AP∥BC，弦CE的延长线交AP 于点D，求证：AD2=DE•DC．选修4-2：矩形与变换21．已知矩阵M=的属于特征值8的一个特征向量是e=，点P（﹣1，2）在M对应的变换作用下得到点Q，求Q的坐标．2018年江苏省常州市高三期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．设复数z满足（z+i）（2+i）=5（i为虚数单位），则z=2﹣2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（z+i）（2+i）=5，得z+i=，∴z=2﹣2i．故答案为：2﹣2i．2．设全集U={1，2，3，4}，集合A={1，3}，B={2，3}，则B∩∁U A={2} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出（∁U A），再根据交集的运算法则计算即可【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，集合A={1，3}，∴（∁U A）={2，4}∵B={2，3}，∴（∁U A）∩B={2}故答为：{2}3．某地区有高中学校10所、初中学校30所，小学学校60所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校6所．【考点】分层抽样方法．【分析】从100所学校抽取20所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为1：5，得到每个个体被抽到的概率，即可得到结果．【解答】解：某城地区有学校10+30+60=100所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取20所，每个个体被抽到的概率是=，∴用分层抽样进行抽样，应该选取初中学校×30=6人．故答案为：6．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点P（1，﹣2），则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线过点P，建立a，b，c的关系，结合离心率的公式进行求解即可．【解答】解：焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，∵一条渐近线经过点P（1，﹣2），∴点P（1，﹣2）在直线y=﹣x，即=2，则b=2a，则c2=a2+b2=5a2，即c=a，则双曲线的离心率e===，故答案为：5．函数f（x）=log2（﹣x2+2）的值域为（﹣∞，]．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数以及二次函数的性质解答即可．【解答】解：∵0＜﹣x2+2≤2，∴x=0时，f（x）最大，f（x）=f（0）==，最大值故答案为：（﹣∞，]．6．某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，由选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的3名学生都是女生，由此利用对立事件概率计算公式能求出选出的学生中男女生都有的概率．【解答】解：某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，基本事件总数n==10，选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的3名学生都是女生，∴选出的学生中男女生都有的概率为p=1﹣=1﹣=．故答案为：．7．如图所示的流程图中，输出S的值是【考点】程序框图．【分析】运行流程图，写出每次i ＜1026成立时S ，k 的值，当k=2016，k ＜1026不成立，退出循环，输出S 的值为．【解答】解：运行如图所示的流程图，有S=3，k=1，k ＜1026成立，S=，k=2k ＜1026成立，S=，k=3k ＜1026成立，S=3，k=4…观察规律可得S 的取值周期为3，由于2016=672×3，所以：k ＜1026成立，S=，k=2016k ＜1026不成立，退出循环，输出S 的值为．故答案为：．8．已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA=3，若点M 是BC 的中点，则三棱锥M ﹣PAD 的体积为 ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由AD ∥BC 可知S △ADM =S △ABD ，则V M ﹣PAD =V P ﹣ADM =．【解答】解：∵底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，S △ADM =S △ADB ==， ∵PA ⊥底面ABCD ，∴V M ﹣PAD =V P ﹣ADM ==．故答案为．9．已知实数x，y满足，则2x+y的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），令z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故答案为：．10．已知平面向量，，x∈R，若，则||=2．【考点】向量的模．【分析】根据向量的垂直关系求出，，从而求出||即可．【解答】解：平面向量，，x∈R，若，则4x+2x﹣2=0，解得：2x=1，∴=（1，1），=（1，﹣1）∴﹣=（0，﹣2），∴||=2，故答案为：2．11．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+a2=，a3+a4+a5+a6=40．则的值为117．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=，a3+a4+a5+a6=40．∴，解得a1=，q=3．则===117．故答案为：117．12．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正实数），则的最小值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】假设=λ，用表示出，使用平面向量的基本定理得出m，n与λ的关系，得到关于λ的函数，求出函数的最值．【解答】解：=，==﹣+，设=λ=﹣+λ（0≤λ≤1），则==（1﹣）+λ．∵，∴m=1﹣，n=λ．∴===≥=．当且仅当3（λ+4）=即（λ+4）2=时取等号．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是﹣＜b＜4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出P的轨迹方程，动点P在直线x+y﹣b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，转化为直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，即可求出实数b的取值范围．【解答】解：由题意O（0，0），O1（4，0）．设P（x，y），则∵PB=2PA，∴（x﹣4）2+y2=4（x2+y2），∴x2+y2+x﹣=0，圆心坐标为（﹣，0），半径为，∵动点P在直线x+y﹣b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，∴直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，∴圆心到直线的距离d=＜，∴﹣﹣＜b＜﹣+故答案为：﹣＜b＜4．14．已知函数f（x）=若不等式f（x）≥kx，对x∈R恒成立，则实数k的取值范围是﹣3≤k≤e2．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据分段函数的表达式，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：当x=0时，不等式f（x）≥kx等价为0≥0成立，当x＜0时，由f（x）≥kx得2x2﹣3x≥kx，即2x﹣3≤k，当x＜0，2x﹣3＜﹣3，则k≥﹣3；当x＞0时，由f（x）≥kx得e x+e2≥kx，≥k，设h（x）=，当x＞0时，h′（x）=，设g（x）=xe x﹣e x﹣e2，则g′（x）=xe x，当x＞0时，g′（x）＞0，即函数g（x）为增函数，∵g（2）=2e2﹣e2﹣e2=0，∴当x＞2时，g（x）＞0，h′（x）＞0，函数h（x）为增函数，当0＜x＜2时，g（x）＜0，h′（x）＜0，函数h（x）为减函数，即当x=2时，函数h（x）取得极小值，同时也是最小值h（2）==e2，此时k≤e2，综上﹣3≤k≤e2，故答案为：﹣3≤k≤e2．二、简答题15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos（B﹣C）=1﹣cosA，且b，a，c成等比数列，求：（1）sinB•sinC的值；（2）A；（3）tanB+tanC的值．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角形内角和定理及两角和的余弦函数公式化简cos（B﹣C）=1﹣cosA 即可求得sinBsinC的值．（2）由等比数列的性质可得a2=bc，由正弦定理得sin2A=sinBsinC，由（1）解得sin2A=，结合范围A∈（0，π），a边不是最大边，即可解得A的值．（3）由B+C=π﹣A=，可得cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=﹣，解得cosBcosC的值，利用同角三角函数基本关系式及两角和的正弦函数公式化简所求后计算即可得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵cos（B﹣C）=1﹣cosA=1+cos（B+C），∴cosBcosC+sinBsinC=1+cosBcosC﹣sinBsinC，∴sinBsinC=．…2分（2）∵b，a，c成等比数列，∴a2=bc，由正弦定理，可得sin2A=sinBsinC，从而sin2A=，因为A∈（0，π），所以sinA=，又因为a边不是最大边，所以A=…8分（3）因为B+C=π﹣A=，所以cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=﹣，从而cosBcosC=，…10分所以tanB+tanC====﹣2﹣…14分16．如图，正三棱柱A1B1C1﹣ABC，点D，E分别是A1C，AB的中点．（1）求证：ED∥平面BB1C1C（2）若AB=BB1，求证：A1B⊥平面B1CE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC1，BC1，则DE∥BC1，由此能证明ED∥平面BB1C1C．（2）推导出CE⊥AB，从而CE⊥平面ABB1A1，进而CE⊥A1B，再推导出Rt△A1B1B∽Rt△B1BE，从而A1B⊥B1E，由此能证明A1B⊥平面B1CE．【解答】证明：（1）连结AC1，BC1，∵AA1C1C是矩形，D是A1C的中点，∴D是AC1的中点，在△AA1C1C中，∵D、E分别是AC1、AB的中点，∴DE∥BC1，∵DE⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴ED∥平面BB1C1C．（2）∵△ABC是正三角形，E是AB的中点，∴CE⊥AB，又∵正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，平面ABC⊥平面ABB1A1，交线为AB，∴CE⊥平面ABB1A1，∴CE⊥A1B，在矩形ABB1A1中，∵，∴Rt△A1B1B∽Rt△B1BE，∴∠B1A1B=∠BB1E，∴∠B1A1B+∠A1B1E=∠BB1E+∠A1B1E=90°，∴A1B⊥B1E，∵CE，B1E⊂平面B1CE，CE∩B1E=E，∴A1B⊥平面B1CE．17．已知等差数列{a n}的公差d为整数，且a k=k2+2，a2k=（k+2）2，其中k为常数且k∈N*（1）求k及a n（2）设a1＞1，{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的首项为l，公比为q（q＞0），前n项和为T n，若存在正整数m，使得，求q．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）根据等差数列{a n}的公差d为整数，且a k=k2+2，a2k=（k+2）2，其中k为常数且k∈N*，可得a1+（k﹣1）d=k2+2，a1+（2k﹣1）d=（k+2）2，解得d=4+，即可得出．（2）由于a1＞1，可得a n=6n﹣3，S n=3n2．而，可得T3==1+q+q2．整理为：q2+q+1﹣=0，利用△≥0，解得m，即可得出．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的公差d为整数，且a k=k2+2，a2k=（k+2）2，其中k为常数且k∈N*，∴a1+（k﹣1）d=k2+2，a1+（2k﹣1）d=（k+2）2，解得d=4+，∵k=1或2，∴当k=1时，d=6，a1=3，a n=3+6（n﹣1）=6n﹣3；当k=2时，d=5，a1=1，a n=1+5（n﹣1）=5n﹣4．（2）∵a1＞1，∴a n=6n﹣3，∴S n==3n2．∵，∴T3===1+q+q2．整理为：q2+q+1﹣=0，∵△=1﹣4≥0，解得m2≤，∵m∈N*，∴m=1或2．当m=1时，q2+q﹣3=0，q＞0，解得q=．当m=2时，q2+q=0，q＞0，舍去．综上可得：q=．18．如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ（1）求S关于θ的函数关系式；（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）根据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式，（2）存在，存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），根据两角和差的余弦公式即可求出．【解答】解：（1）在△COP中，CP2=CO2+OP2﹣2OC•OPcosθ=10﹣6cosθ，从而△CDP得面积S△CDP=CP2=（5﹣3cosθ），又因为△COP得面积S△COP=OC•OP=sinθ，=（3sinθ﹣3cosθ﹣θ）+，0＜θ＜θ0＜π，所以S=S△CDP+S△COP﹣S扇形OBPcosθ0=，当DP所在的直线与半圆相切时，设θ取的最大值为θ0，此时在△COP中，OP=1，OC=3，∠CPO=30°，CP==6sinθ0，cosθ0=，（2）存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），令S′=0，得sin（θ+）=，当0＜θ＜θ0，S′＞0，所以当θ=θ0时，S取得最大值，此时cos（θ0+）=﹣，∴cosθ0=cos[（θ0+）﹣]=cos（θ0+）cos+sin（θ0+）sin=19.（1）当a=1且b∈[1，3]时，求函数F（x）=||+2b+1（x∈[]的最大值为M（b））；（2）当a=0，b=﹣1时，记h（x）=①函数h（x）的图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为y=y（x），记g（x）=h（x）﹣y （x）．问是否存在x0，使得对于任意x1∈（0，x0），任意x2∈（x0，+∞），都有g（x1）g （x2）＜0恒成立？若存在，求也所有可能的x0组成的集合；若不存在，说明理由．函数H（x）=，若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，求实数s的取值集合．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）记t（x）=x2﹣lnx，x∈[，2]，求出t（x）的范围是[，4﹣ln2]，b ∈[1，3]时，记v（t）=|t﹣b|+2b+1，求出函数的单调性，求出M（b）即可；（2）①求出h（x）的导数，求出g（x）的表达式，结合函数的单调性求出x0的值即可；②求出H（x）的值域，根据y=x在[s，+∞）递增，值域是[，+∞），若s＞e，则函数y=在（0，e）递增，[e，s）是减函数，其值域是（﹣∞，]，得到≤，即s2﹣2elns≤0，①，记u（s）=s2﹣2elns，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）F（x）=|x2﹣lnx﹣b|+2b+1，记t（x）=x2﹣lnx，x∈[，2]，则t′（x）=2x﹣，令t′（x）=0，得：x=，＜x＜2时，t′（x）＜0，t（x）在（，）上递减，＜x＜2时，t′（x）＞0，t（x）在（，2）上递增，又t（）=+ln2，t（2）=4﹣ln2，t（）=且t（2）﹣t（）=﹣2ln2＞0，∴t（x）的范围是[，4﹣ln2]，b∈[1，3]时，记v（t）=|t﹣b|+2b+1，则v（t）=，∵v（t）在[，b]上递减，在（b，4﹣ln2]递增，且v（）=3b+，v（4﹣ln2）=b+5﹣ln2，v（）﹣v（4﹣ln2）=2b+，∴b≤时，最大值M（b）=v（4﹣ln2）=b+5﹣ln2，b＞时，最大值M（b）=v（）=3b+，∴M（b）=；（2）h（x）=，①h′（x）=，h′（x0）=，∴y（x）=（x﹣x0）+y0，g（x）=﹣y0﹣（x﹣x0），g（x0）=0，g′（x）=﹣，g′（x0）=0，令G（x）=g′（x）=﹣，G′（x）=，∴g′（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，若x0＜，则x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，g（x）递增，g（x）＜g（x0）=0，x∈（x0，）时，g′（x）＜0，g（x）递减，g（x）＜g（x0）=0，不符合题意，若x0＞，则x∈（，x0）时，g′（x）＜0，g（x）递减，g（x）＞g（x0）=0，x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，g（x）＞g（x0）=0，不符合题意，若x0=，则x∈（0，）时，g（x）＜0，x∈（，+∞）时，g（x）＞0，符合题意，综上，存在x0满足要求，且x0的取值集合是{}，②∵对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，∴y=H（x）的值域是R，y=x在[s，+∞）递增，值域是[，+∞），对于y=，y′=，x=e时，y′=0，x＞e时，y′＞0，在（e，+∞）递增，0＜x＜e时，y′＜0，在（0，e）递减，若s＞e，则函数y=在（0，e）递增，[e，s）是减函数，其值域是（﹣∞，]，又＜，不符合题意，舍去，若0＜s≤e，则函数y=在（0，s）递增，其值域是（﹣∞，），由题意得：≤，即s2﹣2elns≤0，①，记u（s）=s2﹣2elns，u′（s）=2s﹣=，0＜s＜时，u′（s）＜0，u（s）在（0，）递减，s＞时，u′（s）＞0，u（s）在（，e）递增，∴s=时，u（s）有最小值u（）=0，从而u（s）≥0恒成立（当且仅当s=时，u（s）=0）②，由①②得：u（s）=0，得：s=，综上，实数s的取值集合是{}．选修4-1：几何证明选讲20．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB=AC，AP∥BC，弦CE的延长线交AP 于点D，求证：AD2=DE•DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接AE，通过证明∠AED=∠CAD，∠ACD=∠EAD，得到△ACD∽△EAD，即可证明结论．【解答】证明：连接AE，则∠AED=∠B，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠AED=∠ACB，∵AP∥BC，∴∠ACB=∠CAD，∴∠AED=∠CAD．∵∠ACD=∠EAD，∴△ACD∽△EAD，∴，∴AD2=DE•DC．选修4-2：矩形与变换21．已知矩阵M=的属于特征值8的一个特征向量是e=，点P（﹣1，2）在M对应的变换作用下得到点Q，求Q的坐标．【考点】矩阵特征值的定义；特征向量的定义；特征向量的意义．【分析】利用矩阵的特征值和特征向量的定义，求出矩阵，即可求Q的坐标．【解答】解：由题意，=8×，∴，∴a=6，b=4，∴，∴Q的坐标是（﹣2，4）．。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
【精选高中试题】江苏省常州市高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考公式：圆锥的体积公式：1=3V Sh 圆锥，其中S 是圆锥的底面积，h 是高. 样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1.若集合{2,0,1}A =-，2{1}B x x =>，则集合AB = ▲ .2命题“[0,1]x ∃∈，210x -≥”是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）. 3.若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z = ▲ .4.若一组样本数据2015，2017，x ，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为5.如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲.6.函数1()ln f x x=的定义域记作集合D ，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1，2，⋅⋅⋅，6），记骰子向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为 ▲ .7.已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为 ▲ .8.各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为 ▲ .9.在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10x y ++=与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ▲ .10.已知实数x ，y 满足0,220,240,x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩则x y +的取值范围是 ▲ .11.已知函数()ln f x bx x =+，其中b R ∈，若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为 ▲ .12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数sin()y x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的图像与x 轴的交点A ，B ，C 满足2OA OC OB +=，则ϕ= ▲.13.在ABC ∆中，5AB =， 7AC =，3BC =，P 为ABC ∆内一点（含边界），若满足1()4BP BA BC R λλ=+∈，则BA BP ⋅的取值范围为 ▲ ． 14.已知ABC ∆中，AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题 ：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，Csin cos +C c B c =， （1）求角B ； （2）若2b ac =，求11tan tan A C+的值. 16.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面ABCD ，PB PD =，点Q 是棱PC 上异于P 、C 的一点.（1）求证：BD AC ⊥；（2）过点Q 和的AD 平面截四棱锥得到截面ADQF （点F 在棱PB 上），求证：//QF BC . 17.已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM 高3.6米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O .点光源从M 发出，小明在地上的影子记作'AB .（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求'AB 扫过的图形面积； （2）若3OA =米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ，13OAA π∠=，且110AA =米.t 秒时，小明在地面上的影子长度记为()f t （单位:米），求()f t 的表达式与最小值.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，点A 是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于M ，N 两点（M 在第三象限），与椭圆的右准线交于P 点.已知AM MN ⊥，且243OA OM b ⋅=.（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若103AMN POE S S a ∆∆+=，求椭圆C 的标准方程. 19.已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a a =（其中a 为常数），1(1)(1)n n nS n S n n +=+++*()n N ∈.数列{}n b满足*)n b n N =∈.（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n N ∈，数列{}n b 中总存在两个不同的项s b ，t b *(,)s t N ∈使得s n t b c b ≤≤，求{}n c 的公比q . 20.已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在(0,1)上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-.常州市教育学会学业水平监测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分.请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲在ABC ∆中，N 是边AC 上一点，且2CN AN =，AB 与NBC ∆的外接圆相切，求BCBN的值.B.选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵421A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不存在逆矩阵，求： （1）实数a 的值；（2）矩阵A 的特征向量. C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长. D.选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，求证:3322a b a b+≥+【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.已知正四棱锥P ABCD -的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则0ξ=；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制). （1）求(0)P ξ=的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ.23.记11(1)()()2x x x n+⨯+⨯⋅⋅⋅⨯+（2n ≥且*n N ∈）的展开式中含x 项的系数为n S ，含2x 项的系数为n T . （1）求n S ； （2）若2nnT an bn c S =++，对2,3,4n =成立，求实数,,a b c 的值； （3）对（2）中的实数,,a b c 用数字归纳法证明：对任意2n ≥且*n N ∈，2nnT an bn c S =++都成立.常州市教育学会学业水平监测高三数学参考答案一、填空题1. {2}-2.真3.14. 25.76.567.310.[2,8] 11.1e 12.34π 13.525[,]84二、解答题15.解：（1sin cos C B c =+sin cos sin sin B C B C C ==，ABC ∆中，sin 0C >cos 1s B B -=，所以1sin()62B π-=，5666B πππ-<-<， 66B ππ-=，所以3B π=；（2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，11tan tan A C +=cos cos sin sin A C A C +=cos sin sin cos sin sin A C A C A C +sin()sin sin A C A C +=sin()sin sin B A Cπ-=sin sin sin B A C=所以，211sin 1tan tan sin sin 32B AC B B +====.16.（1）证明：PC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PC ⊥，记AC ，BD 交于点O ，平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点，又PBD ∆中，PB PD =， 所以BD OP ⊥， 又PCOP P =，PC ， OP ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC所以BD AC ⊥；（2）四边形ABCD 是平行四边形，所以//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，又AD ⊂平面ADQF ，平面ADQF平面PBC QF =，所以//AD QF ，又//AD BC ，所以//QF BC .17.解：（1）由题意//AB OM ，则' 1.81' 3.62AB AB OB OM ===，3OA =，所以'6OB =，小明在地面上的身影'AB 扫过的图形是圆环，其面积为226327πππ⨯-⨯=（平方米）； （2）经过t 秒，小明走到了0A 处，身影为00'A B ，由(1)知000'12A B AB OB OM ==，所以 000()'f t A B OA ===化简得()f t =010t <≤，()f t =32t =时，()f t的最小值为答：()f t =010t <≤，当32t =（秒）时，()f t. 18.解：（1）由题意22222221()()22x y a b a a x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，消去y 得22220c x ax b a ++=，解得1x a =-，222ab x c =-所以22M ab x c =-(,0)a ∈-， M A OA OM x x ⋅=22243ab a b c ==，2234c a =，所以2e =；（2）由（1）2(,)33M b --，右准线方程为3x =， 直线MN的方程为y =，所以(,)33P ， 12POF P S OF y ∆=⋅2==2AMN AOM S S ∆∆==22M OA y b ⨯==，所以22103a +=2203b =，所以b =a =椭圆C 的标准方程为22182x y +=.19.解：（1）方法一：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++①， 所以21(1)(2)(1)(2)n n n S n S n n +++=++++②，由②-①得，21(+1)S n n n nS ++-1(2)(1)2(1)n n n S n S n +=+-+++， 即2(1)n n S ++=1(22)(1)2(1)n n n S n S n ++-+++，又10n +>， 则2122n n n S S S ++=-+，即212n n a a ++=+.在1(1)(1)n n nS n S n n +=+++中令1n =得，12122a a a +=+，即212a a =+. 综上，对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=， 故数列{}n a 是以2为公差的等差数列. 又1a a =，则22n a n a =-+.方法二：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++，所以111n nS S n n+=++，又11S a a ==， 则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以a 为首项，1为公差的等差数列，因此1nS n a n=-+，即2(1)n S n a n =+-. 当2n ≥时，122n n n a S S n a -=-=-+，又1a a =也符合上式，故*22()n a n a n N =-+∈.故对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=，即数列{}n a 是以2为公差的等差数列. （2）令12122n n n a e a n a +==+-+，则数列{}n e 是递减数列，所以211n e a<≤+. 考察函数1(1)y x x x =+>，因为22211'10x y x x -=-=>，所以1y x x =+在(1,)+∞上递增，因此1422(2)n n e e a a <+≤++，从而n b =∈. 因为对任意*n N ∈，总存在数列{}n b 中的两个不同项s b ，t b ，使得s n t b c b ≤≤，所以对任意的*n N ∈都有n c ∈，明显0q >.若1q >，当1log q n ≥+有111n n n c c q--=>≥，不符合题意，舍去；若01q <<，当1log qn ≥+有11n n c c q -=≤1n -≤故1q =.20.解：（1）当0a =时，ln ()xf x x=，定义域为(0,)+∞， 312ln '()xf x-=，令'()0f x =，得x =∴当x =()f x 的极大值为2e，无极小值. （2）312ln '()()axxf x x a +-=+，由题意'()0f x ≥对(0,)x a ∈-恒成立. (0,)x a ∈-，3()0x a ∴+<， ∴12ln 0ax x+-≤对(0,)x a ∈-恒成立， ∴2ln a x x x ≤-对(0,)x a ∈-恒成立.令()2ln g x x x x =-，(0,)x a ∈-，则'()2ln 1g x x =+， ①若120a e-<-≤，即120a e->≥-，则'()2ln 10g x x =+<对(0,)x a ∈-恒成立，∴()2ln g x x x x =-在(0,)a -上单调递减，则2()ln()()a a a a ≤----，0ln()a ∴≤-，1a ∴≤-与12a e -≥-矛盾，舍去； ②若12a e -->，即12a e-<-，令'()2ln 10g x x =+=，得12x e-=，当120x e -<<时，'()2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递减，当12ex a -<<-时，'()2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递增，∴当12x e -=时，12min [()]()g x g e -=111122222ln()2ee ee ----=⋅-=-，122a e-∴≤-.综上122a e -≤-.（3）当1a =-时，2ln ()(1)x f x x =-，312ln '()(1)x x xf x x x --=-，令()12ln h x x x x =--，(0,1)x ∈，则'()12(ln 1)h x x =-+2ln 1x =--，令'()0h x =，得12x e -=， ①当121ex -≤<时，'()0h x ≤，()12ln h x x x x ∴=--单调递减，12()(0,21]h x e -∈-， 312ln '()0(1)x x x f x x x --∴=<-恒成立，2ln ()(1)x f x x ∴=-单调递减，且12()()f x f e -≤. ②当120x e -<≤时，'()0h x ≥，()12ln h x x x x ∴=--单调递增，11112222()12ln()h e ee e ----∴=--⋅12210e-=->又2222()12ln()h e ee e ----=--⋅2510e=-<， ∴存在唯一12(0,)x e -∈，使得0()0h x =，0'()0f x ∴=，当00x x <<时，0'()0f x >，2ln ()(1)xf x x ∴=-单调递增，当12x x e-<≤时，0'()0f x <，2ln ()(1)x f x x ∴=-单调递减，且12()()f x f e -≥， 由①和②可知，2ln ()(1)xf x x =-在0(0,)x 单调递增，在0(,1)x 上单调递减， ∴当0x x =时，2ln ()(1)xf x x =-取极大值.0000()12ln 0h x x x x =--=，0001ln 2x x x -∴=， 0020ln ()(1)x f x x ∴=-200011112(1)2()22x x x ==---，又120(0,2)x e -∈，201112()(,0)222x ∴--∈-，0201()2112()22f x x ∴=<---.常州市教育学会学业水平监测 高三数学Ⅱ（附加题）参考答案21.A.解：记NBC ∆外接圆为O ，AB 、AC 分别是圆O 的切线和割线，所以2AB AN AC =⋅， 又A A ∠=∠，所以ABN ∆与ACB ∆相似，所以BC AB ACBN AN AB==，所以 23BC AB AC AC BN AN AB AN ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，BC BN =. B.解：（1）由题意4201a =，即420a -=，解得2a =； （2）42021λλ--=--，即(4)(1)40λλ---=，所以250λλ-=，解得10λ=，25λ=10λ=时，42020x y x y --=⎧⎨--=⎩，2y x =-，属于10λ=的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；25λ=时，20240x y x y -=⎧⎨-+=⎩，2x y =，属于10λ=的一个特征向量为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦.C.解：曲线C ：22(1)4x y -+=，直线l ：20x y +-=，圆心(1,0)C 到直线l 的距离为2d ==MN ===D.证明：0a >，0b >，不妨设0a b ≥>，则5522a b ≥，1122a b ≥，由排序不等式得5151515122222222a ab b a b b a +≥+，所以51515151222222222222a ab b a b b a a b a b++≥=++22.解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到PAC ∆，PBD ∆为等腰直角三角形，ξ的可能取值为：0，3π，2π，共2828C =种情况，其中：0ξ=时，有2种；3πξ=时，有342420⨯+⨯=种；2πξ=时，有246+=种；（1）21(0)2814P ξ===； （2）4165()3287P πξ+===，63()22814P πξ===， 根据（1）的结论，随机变量的分布列如下表：根据上表，15329()0143721484E ππξπ=⨯+⨯+⨯=. 23.解：（1）12!n nS n ++⋅⋅⋅+==12(1)!n n +-. （2）2223T S =，23116T S =，4472T S =， 则34221193671692a b c a b c a b c ⎧=++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩解得14a =，112b =-，16c =-，（3）①当2n =时，由（2）知等式成立；②假设n k =（*k N ∈，且2k ≥）时，等式成立，即21114126k k T k k S =--； 当1n k =+时，由1()(1)()2f x x x =+⨯+⨯⋅11()()1x x k k ⋅⋅⨯+⨯++ 1[(1)()2x x =+⨯+⨯11()]()1x x kk ⋅⋅⋅⨯+⨯++ 211()()!1k k S x T x x k k =+++⋅⋅⋅++ 知111k k T S k +=++2111112[1()](1)!14126k k T k k k k +=+---+， 所以11k k T S ++=2111112[1()](1)!14126112!k k k k k k k ++---+=++⎛⎫ ⎪⎝⎭232(1)212k k k k k --+++(35)12k k +=， 又2111(1)(1)4126k k +-+-(35)12k k +=，等式也成立； 综上可得，对任意2n ≥且*n N ∈，都有2nnT an bn c S =++成立.。
【高三数学试题精选】江苏省常州市教育学会学业水平监测2018届高三数学试卷
江苏省常州市教育学会学业水平监测2018届高三数学试卷
5
c
常州市教育学会学业水平监测高三数学试题 2矩阵与变换（本小题满分10分）
求矩阵的特征值及对应的特征向量。
c。
选修4-4坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在极坐标系中，为极点，求过圆c 的圆心c且与直线c垂直的直线的极坐标方程。
D．选修4-5不等式选讲（本小题满分10分）
已知均为正实数，求证≥ 。
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
字说明、证明过程或演算步骤。
http
22．已知斜率为的直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A、B 两点。
设线段AB的中点为。
（1）求点的轨迹方程；（2）若时，点到直线（为常数，）的距离总不小于，求的取值范围。
23．已知正项数列中，。
用数学归纳法证明。
5
c。
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【题文】
已知各项均为正数的无穷数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足1a a =（其中a 为常数），
1(1)(1)n n nS n S n n +=+++*
()n N ∈.数列{b n }
满足*)n b n N =∈. （1）证明数列{a n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式； （2）若无穷等比数列{c n }满足：对任意的*n N ∈，数列{b n }中总存在两个不同的项s b ，t b *(,)s t N ∈使得s n t b c b ≤≤，求{c n }的公比q.
【答案】
【解析】
（1）方法一：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++①，
所以21(1)(2)(1)(2)n n n S n S n n +++=++++②，
由②-①得，21(+1)S n n n nS ++-1(2)(1)2(1)n n n S n S n +=+-+++， 即2(1)n n S ++=1(22)(1)2(1)n n n S n S n ++-+++，又10n +>， 则2122n n n S S S ++=-+，即212n n a a ++=+.
在1(1)(1)n n nS n S n n +=+++中令1n =得，12122a a a +=+，即212a a =+. 综上，对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=，
故数列{}n a 是以2为公差的等差数列.
又1a a =，则22n a n a =-+.
方法二：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++，所以
111n n S S n n +=++，又11S a a ==， 则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以a 为首项，1为公差的等差数列， 因此1n S n a n
=-+，即2(1)n S n a n =+-. 当2n ≥时，122n n n a S S n a -=-=-+，又1a a =也符合上式，
故*22()n a n a n N =-+∈.
故对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=，即数列{}n a 是以2为公差的等差数列. （2）令12122n n n a e a n a +==+-+，则数列{}n e 是递减数列，所以211n e a
<≤+. 考察函数1(1)y x x x =+>，因为22211'10x y x x
-=-=>，所以1y x x =+在(1,)+∞上递增，因此1422(2)n n e e a a <+≤++
，从而n b =
. 因为对任意*n N ∈，总存在数列{}n b 中的两个不同项s b ，t b ，使得s n t b c b ≤≤，所以对任意的*n N ∈
都有n c ∈，明显0q >. 若1q >
，当1log q n ≥+
有111n n n c c q --=>≥，不符合题意，舍去； 若01q <<
，当1log q n ≥+ 有11n n c c q -=
≤1n -≤ 故1q =.
【标题】江苏省常州市2018届高三上学期期末考试数学（理）试题
【结束】。