第七章-自旋和全同粒子

第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋

一 电子自旋的概念

在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。

描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S

它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值

21

±=z s ；

(7. 1)

2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs

它与自旋角动量S 间的关系是：

S e

s m e

-=μ,

(7. 2)

B e s 2μμ±=±=m e z

,

(7. 3)

式中(- e )：电子的电荷，m e ：电

子的质量，B μ：玻尔磁子。

3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量）

e

s e s 2m e g m e s z

z

=-=μ,

(7. 4)

g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。

强调两点：

●相对论量子力学中，按照电子的

相对论性波动方程 狄拉克

方程，运动的粒子必有量子数为

1/2的自旋，电子自旋本质上是

一种相对论效应。

●自旋的存在标志着电子有了一个

新的自由度。实际上，除了静质

量和电荷外，自旋和内禀磁矩已

经成为标志各种粒子的重要的

物理量。特别是，自旋是半奇数

还是整数(包括零)，决定了粒子

是遵从费米统计还是玻色统计。

二 电子自旋态的描述

ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投

影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。

电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵）

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论：

● 若已知电子处于/2z s = ，波函数

写为

(,/2)(,) 0z s ψψ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数

写为

0(,)(,/2)z s ψψ⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

r r ● 概率密度

2)2/,( r ψ：电子自旋向上()2/ =z s 且

位置在r 处的概率密度；

2

)

2/,( -r ψ：电子自旋向下()

2/ -=z s 且位置在r 处的概率密度。

● 归一化条件

∑⎰⎰±=-+=2

/2

2

3

2

3

])2/,()2/,([d ),(d z s z r s r r r r ψψψ

⎰==+1d 3ψψr ,

(7. 6)

where

())2/,(*,)2/,(*),( -=+r r r ψψψz s (7. 7)

是式(7. 5)所示的电子波函数的

厄米共轭。

如果某一个体系的哈密顿量可以写成空间坐标部分与自旋变量部分之和，或者不包含自旋变量，则该体系的波函数可以分离变量，即

)()(),(z z s s χφψr r =. (7. 8)

)(z s χ: 描述自旋态的波函数，

其一般形式为

⎪⎭

⎫

⎝⎛=b a s z )(χ,

(7. 9)

式中 2a 和2b ：电子的s z 等于2/ 和

2/ -的概率。

归一化条件可以表示为

∑±=+

⎪⎭⎫

⎝⎛==2

/2

)**,()( z s z b a b a s χχχ

12

2=+=b a .

(7. 10)

其中 )**,(b a =+χ表示自旋波函数

⎪⎭

⎫

⎝⎛=b a χ的厄米共轭。 ● 自旋态空间的一组正交完备基

s z 的本征态)(s

z m

s χ:

⎪

⎭

⎫

⎝⎛==01)(2/1z s χα, 本征值

s /2m =+ ，

⎪⎭

⎫

⎝⎛==-10)(2/1z s χβ， 本征值

s /2m =-

(7. 11)

α 和β 构成了电子自旋态空间的一

组正交完备基.

式(7. 9)所表示的一般的电子自旋

态可以用它们来展开

βαχb a b a s z +=⎪⎭

⎫

⎝⎛=)(.

(7. 12)

于是，式 电子旋量波函数

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s 可以表示为

βψαψψ)2/,()2/,(),( -+=r r r z s . (7. 13)

三 自旋算符与泡利矩阵 1、 自旋算符

自旋角动量是一个力学量，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变

量，在量子力学中就要用一个算符S ˆ来描写。

● S

ˆ的对易关系 自旋角动量S

ˆ是角动量，满足轨道角动量算符L

ˆ满足的对易关系 z x y y x s s s s s

ˆi ˆˆˆˆ =-, x y z z y s s s s s

ˆi ˆˆˆˆ =-, (7. 14)

y z x x z s s s s s ˆi ˆˆˆˆ =-.

● 2ˆS

的本征值 由于自旋角动量S 在空间任意方向上的投影都只能取两个值2/ ±，所

以y x s s

ˆ,ˆ和z s ˆ三个算符的本征值都是