电子自旋全同粒子
61第六章自旋与全同粒子
§6-1 电子自旋的实验证据
（一）斯特恩－盖拉赫实验
Z
（1）实验描述
基态的氢原子束经非均N
S
基态的氢原子束，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。
处于基态
的氢原子（2）结论
I 。氢原子有磁矩，因而在磁场中发生偏转。II 。氢原子磁矩只有两种取向，即空间量子化的。III 。处于基态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。
钠原子光谱中的一条亮黄线（二）光谱线精细结构
钠原子光谱中的条亮黄线
λ≈5893?，用高分辨率的光谱仪
观测可以看到该谱线其实是由3p
观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。5893?
D 1
D 2
很两条线
其他原子光谱中也可以发5896?
5890?
现类似现象，称之为光谱线的3s
精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释。
（三）电子自旋假设
乌伦贝克和高斯密特1925年根据上述现象提出了电子自旋假设：
（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值
方向上的投影只能取两个数值：
2
z s S
S m =±=
m s 称为自旋磁量子数。
（2）每个电子都具有与自旋角动量对应的自旋磁矩，它们的关系为：
S e M S
?= μ
因此自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
2S z
B
e M
M
μ
=±=± Bohr Bohr
磁子6-2§62 角动量的普遍性质简介
? （一）角动量算符的普遍定义A
定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符????????????定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符：
,,,x y z y z x z x y A A i A A A i A A A i A ???===????
??
角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系
角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系：2222????=++x y z
A A A A 2???()
,0,,A A x y z α?==
?A ?（二）与的本征值2z
A 角动量平方算符与角动量算符各分量对易故
角动量平方算符与角动量算符各分量对易，故有共同的本征函数系，在共同本征态下，同时具有确定值（本征值）。
解角动量方算符的本征方程22?A A ψψ=解角动量平方算符的本征方程
1012得到本征值
()2
2
1A j j =+
30,,1,,2,22
j =
?z z
A A ψψ=解角动量分量的本征方程z j A m =
得到本征值,1,1,j j m j j j j m j
=??+?≤ 或以上是角动量算符的共性对于不同的角动量还
以上是角动量算符的共性，对于不同的角动量还有不同的个性。
???对于轨道角动量22?A
L →z z
A L →()2
2
1A j j =+
13
0,,1,,2,22j =
()22
1L l l =+ 0,1,2,l =
=1,1,m =??+? z j A m
,,,j j j j j L m =
1,1,m l l l l
=??+? z l ,,,l 63§6-3 自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符
自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释和其他力学量有着根本的差别，通常的学来解释。和其他力学量有着根本的差别，通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数，而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。
与其他力学量样自旋角动量也是用个算与其他力学量一样，自旋角动量也是用一个算
符描写，记为? S
自旋角动量和轨道角动量异同点:
异：与坐标、动量无关，p
r ? ×不适用；同：满足同样的角动量对易关系。
???[L L i L = 轨道角动量
???[,]x z S S i S = 自旋角动量
,]???[,]x y z y z x L L i L = ???[,]???y y z x S S i S = ???[,]z x y
L L i L = [,]z x y
S S i S = 2222????x y z L L L L =++2222????x y z S S S S =++2??,0,,L L x y z
αα??==2??,0,,S S x y z
αα??==?
??
?
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只± /2 能取两个值
???S 所以的本征值都是±?算符的本征值是3,,x y z S S /2
2S
222224
x y z S S S S =++= 仿照22)1( +=l l L 2
2
231
(1)S s s s =+=→=
==42
自旋角量子数s
只有一个数值l
只有个数值
轨道角量子数=仿照
z L m =
1
22
z s s S m m ==±→=±
=自旋磁量子数m s
轨道磁量子数m
因为自旋是电子内部运动自由度所以描写电（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用(x , y , z ) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量(S z ），于是电子的含自旋的波函数需写为：)
,,,,(t S z y x z Ψ=Ψ由于/22x z t ?
Ψ+? S z 只取± /2 两个值，所以上式可写为两个分量：(,,,,)(,,,,)y x y z t ?Ψ=?
?Ψ? 2
??通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋状态对轨道运动有影响。但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，此时Ψ可以写成如下形式（分离变量）：
,,,,,x z t r t S Ψ±=
12
()()()
2z y ψχ±其中?S S 是的本征函数，称为自旋波函数
z ()12
z χ±??
???=)(2)(2121z z z S S S χχ
2??,0,,S S x y z
αα??==??
∵1
12
2
()()z z S S χχ?和也是的本征函数2?S
2
23??
11222()()4z z S S S χχ=???1122
23?()()
4
z z S S S χχ???=?? 对于考虑自旋的氢原子，定态波函数为：Ψ()()()
,,,,,s z nlm m z r S r S θ?ψθ?χΨ==因此确定电子的状态需要四个量子数
因此确定电子的状态需要四个量子数：,,,s
n l m m 由于存在两种自旋态能级简并度由由于存在两种自旋态，能级简并度由
n 2变为2n 2。
6-4 §全同粒子波函数泡利原理
（一）全同粒子的不可区分性
（1）全同粒子
质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。
（2）经典粒子的可区分性
经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是以分的为粒在动中有各自确定是可以区分的。因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有确定的位置和速度。
的轨道在任意时刻都有确定的位置和速度轨道速度
位置
??
?2
1?可判断哪个是第个粒子哪个是第二个粒子1
2
可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子
（3）微观粒子的不可区分性服从
用
微观粒子运动
量子力学
波函数描写
在波函数重叠区粒子是不可区分的
4（）全同性原理
全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变
换不引起体系物理状态的改变。全同性原理是量子力学的基本原理之
全同性原理是量子力学的基本原理之一。?个全同粒子组成的体系其哈密顿量为
（二）全同粒子体系的交换不变性H
2个全同粒子组成的体系，其哈密顿量为：?H q q 12
2212(,)()(,)
i i U q V q q ??
=??++ 1,22i μ=????
∑q r s ≡
其中{,}i i i 表示第i 个粒子的坐标和自旋。
调换两个粒子，体系哈密顿量不变。
??H =(,,)(,,)q q H q q
N 个全同粒子组成的体系调换其中第推广到N 个全同粒子组成的体系，调换其中第i 和第j 粒子，体系哈密顿量不变。
1212??(,,)(,,)i j N j i N
H q q q q q H q q q q q = 全同粒子组成的体系的哈密顿量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标（q i , q j ) 后哈密顿量不变。
（三）对称和反对称波函数
考虑全同粒子体系的本征方程
121212
?(,)(,)(,)H q q q q E q q Φ=Φq q )将方程中（q 1, q 2) 调换
212121
?(,)(,)(,)H q q q q E q q Φ=Φ由于哈密顿量对于（q 1, q 2) 调换不变，得：
122121
?(,)(,)(,)H q q q q E q q Φ=Φ表明：（q 1, q 2) 调换前后的波函数都是12
?(,)H q q
根据全同性原理知描写同状描写同一状态。因此，二者相差一常数因子。
1221(,)(,)q q q q ΦΦ和1221(,)(,)
q q c q q Φ=Φ为确定c ，引入交换算符，它对全同粒子体系的?P
作用是交换两个粒子的坐标
1221
?(,)(,)P q q q q Φ=Φ2112
?(,)(,)P q q q q Φ=Φ????2121221(,)(,)(,)P q q P P q q P q q ??Φ=Φ=Φ??=12(,)
q q Φ另一方面
222???P P c q q cP q q Φ=Φ=Φ[][]1221212122121(,)(,)(,)???(,)(,)(,)q q cP q q cP c q q c P q q =Φ=Φ=Φ212(,)
c q q =Φ21
1
c c =?
=±与上式比较可得
1221(,)(,)q q q q Φ=Φc ＝1，二粒子互换后波函数不变，称为对称波函数
=?Φ
＝－二粒子互换后波函数变号1221(,)(,)q q q q ΦΦc ＝1，二粒子互换后波函数变号，称为反对称波函数
推广到N 个全同粒子体系，两个粒子互换后，
体系的波函数或者保持不变，或者与原来的波函数差一负号。
玻色子和费米子
实验表明：对于每一种微观粒子，它们的多粒波数的交换对称性是完全确定的该粒子波函数的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。对称性与粒子的自旋有确定的联系（1）玻色子
凡自旋为 整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒2子，其多粒子波函数对于交换2 个粒子总是对称的，遵从玻色统计，故称为玻色子
例如：γ光子（s =1）；π介子（s = 0）。
（2）费米子
凡自旋为 半奇数倍（s=1/2，3/2，……) 的粒子，其多粒子波函数对于交换2 个粒子总是反对称的，遵从费米统计，故称为费米子。
称的遵从费米统计故称为
例如：电子、质子、中子（s=1/2）等粒子。
例如：电子质子中子（）等粒子
（3）由“基本粒子”组成的复杂粒子
如果复杂粒子由玻色子组成或偶数个费米子组成，则为玻色子。
则为玻色子
例如：电子是费米子，在超导态，由两个电子组例如电子是费米子在超导态由两个电子组成的库柏对却是玻色子。
如果复杂粒子由奇数个费米子组成，则为费米子。
2（四）泡利原理
2（1）2 个全同粒子波函数I 。2 个全同粒子哈密顿量
当粒子间的相互作用可以忽略的情况下2当粒子间的相互作用可以忽略的情况下，2 个全同粒子体系的哈密顿量为
22
22?H U U q =????++ 1212()()
22??q μμ=0
1
2
()()H
q H q +II 。交换简并
粒子1 在i 态，粒子2 在j 态，则单粒子本征方程：
()
011
1?)()()1i i i H q q q ?ε??=?（()
022
2?)()()2j j j H q q q ?ε??
=??（12
为单粒子本征态波函数()
1,i n q n ?=为单粒子本征态波函数。
?H ε?=（(1)式右乘，(2)式左乘，得
1()i q ?2()j q ?0112
12021212)()()()()?)()()()()i j i i j i j j i j q q q q q H q q q q q ??????ε????=??（
),),?2
121q q E q q H （（Φ=Φ两式相加
i j E εε=+???其中()1212,()()
i j q q q q ??Φ=??同理若粒子2 在i 态，粒子1 在j 态，则体系能量和波函数为：i j
E εε?=+??()2121Φi j q q φq φq ,()()??=??
能量是简并的由于这
状态能量是简并的，由于这两种状态可通过互换得到，故称该简并为()()1221,,q q q q ΦΦ和12q q ?交换简并。
III 。满足对称条件波函数的构成
全同粒子体系要满足对称性条件而全同粒子体系要满足对称性条件，而
和仅当i = j 二态相同时，才是一个对称波函数；()1212,()()i j q q q q ??Φ=()2121Φi j q q φq φq ,()()
=当i ≠j 二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数所以))反对称波函数。所以Φ(q 1,q 2) 和Φ(q 2,q 1) 不能用来描写全同粒子体系。
因此既满足对称性的要求又是体系本征函数的状
构造具有对称性的波函数对称波函数
()()()121221,[,,]
S
q q C q q q q Φ
=Φ+Φ]
C q q ′?C 和C ’为归一化系数
反对称波函数
()()()121221,[,,A
q q q q Φ
=
ΦΦ显然ΦS (q 1,q 2) 和ΦA (q 1,q 2) 都是的本征函?H
数，本征值皆为：
j
i E εε+=IV 。ΦS 和ΦA 的归一化
1d d *=ΦΦ12
S S q q ∫∫21221122112
d d C q q q q q q q q q q **,,,,????=Φ+ΦΦ+Φ2
*
*
∫∫()()()()??????∫∫()()()()1
2
1
2
2
1
1
2
**1221212112
[,,,,,,,,]d d C
q q q q q q q q q q q q q q q q q q =ΦΦ+ΦΦ+
+ΦΦ+ΦΦ()()()()22
[1001]2C C
=+++=1
2
C ?=
所以归一化的对称波函数ΦS 为
1
,[,,]
Φ=Φ+Φ()()()12122121S q q q q q q =()()1221[()()]
2
i j i j q q q q ????+有
同理对反对称波函数ΦA 有：1
[=
Φ()()121221,),,]21A q q q q q q ΦΦ?（()1221[()()()]
2
i j i j q q q q ????=?若2 个玻色子体系，其为对称化波函数是：
1212211Φ2
S i j i j q q φq φq φq φq ,)[)())()]
=
+（（（若2 个费米子体系，其为反对称化波函数是：
1,[)]Φ=
?（()12122112)()()()2
()()1A i j i j i i q q q q q q q q ??????12()()
2j j q q ??=
两费米子体系，若二粒子处于相同态，i 态则
（2）泡利原理
例如都处于i 态，则12()()
10i i q q ??Φ=
=（1212,)()()
2A i i q q q q ??两行相同行列式为两行相同，行列式为
0表明两个全同费米子体系不可能处于同一状
态即不可能有两个费米子处于同单粒子态态，即不可能有两个费米子处于同一单粒子态。可推广到2N 个全同费米子体系中，不可能有2 个或2 个以上费米子处于同一状态，这一结论称为泡利不相容原理。波函数的反对称化保证了全同费米子体系的这一重要性质。
量子力学基本假定
量子力学基本假定I
波函数完全描述粒子的状态。2
ψ
波函数的模方代表粒子在t 时刻r 处的几率
密度波函数是几率波密度。波函数是几率波。量子力学基本假定II
波函数随时间的演化遵从薛定谔方程。
?i H t
ψψ?=?
全同粒子体系习题解
第六章 全同粒子体系习题解 1．求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的不确定关系：?)()(2 2 =y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(2 1z S χ 01?102x S ??= ???h ??? ? ??-=002?i i S y η ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2 12 1 =??? ? ?????? ??== +ηχχx x S S 4 010*********)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 η=-=?x x x S S S 001002)0 1(?2 121=??? ? ?????? ??-==+ i i S S y y ηχχ 401002002)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 η=-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 η=??y x S S 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ?η= 要求4 )()(2 2 2 2z y x S S S η≥?? 16)()(422η=??y x S S ① 在)(2 1z S χ态中，2 η = z S ∴ 16 )()(4 2 2 η≥y x S S ??
可见①式符合上式的要求。 2．求??? ? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x ηη及的本征值和所属的本征函数。 解：x S ?的久期方程为 02 2=--λ λ ηη 20)2(22ηη±=?=-λλ ∴ x S ?的本征值为2 η±。 设对应于本征值的本征函数为 ??? ? ??=112/1b a χ 由本征方程 2/12 /12 ?χχη =x S ，得 ???? ??=???? ?????? ??1111201102b a b a ηη 111111 a b b a a b =???? ? ??=???? ??? 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得 1),(11* 1*1=??? ? ??a a a a 即 122 1 =a ∴ 2 1 2 111= = b a 对应于本征值 2η的本征函数为 ??? ? ??=11212/1χ 设对应于本征值2η - 的本征函数为 ??? ? ??=-222/1b a χ 由本征方程 ???? ??- =--222/12/12?b a S x χχη 222222 a b b a a b -=???? ? ??--=???? ??? 由归一化条件，得 1),(22* 2* 2=??? ? ??--a a a a 即 122 2=a ∴ 2 1 2 122- == b a 对应于本征值2η- 的本征函数为 ??? ? ??-=-11212/1χ
全同粒子体系习题解
全同粒子体系习题解-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第六章 全同粒子体系习题解 1．求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的不确定关系：?)()(22=y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(21z S χ 01?102x S ??= ??? ???? ??-=002?i i S y ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2121=??? ? ?????? ??==+ χχx x S S 4 010*********)0 1(?2222 121 =???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 =-=?x x x S S S 001002)0 1(?212 1=??? ? ?????? ??-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(?2 222 121 =???? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 =-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 =??y x S S 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ? = 要求4)()(2 22 2z y x S S S ≥?? 16)()(422 =??y x S S ① 在)(2 1z S χ态中，2 = z S ∴ 16 )()(4 2 2 ≥y x S S ??
第七章-自和全同粒子
第七章自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、自旋角动量(内禀角动量)S
它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 s z =± 12 η； (7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： μs e =- e m S , (7. 2) μμs e B z e m =± =±η 2, (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电
子的质量，μB ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量） μs e s e z z s e m g e m =- =2, (7. 4) g s = – 2是相应于电子自旋的g 因数, 是对于轨道运动的g 因数的两倍。 强调两点： ● 相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程??狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为
1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。二电子自旋态的描述
ψ( r, s z )：包含连续变量r和自旋投影这 两个变量，s z只能取 ±η/2这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2, (7. 5) 讨论： ●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为 ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2 ●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为 ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2
全同粒子体系
第六章全同粒子体系 6.1 全同粒子体系 之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。 1、全同粒子 我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。 全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。 2、量子力学基本假设 全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。（不可区分性与交换不变性） 量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。 3、全同粒子体系?H算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。在量子力学情况下，微观粒子不存在严
格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2, i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋） ，第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12 ,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋） ，但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也 还是在(1,2, )i q i N =各有一个粒子。假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以 i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S =，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为： () ()()12 2211 ??,,,1,,22i j N N N i i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==??=-?++????∑∑ (6.1.1) 显然交换两个粒子，全同体系的?H 不变，即交换对称性。这里我们引入：交换算符?ij P ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1 2 12 ?,,,,i j N i j N q q q q q H q q q q q ≡ (6.1.2) 全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系?H 具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。 而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。 4、全同粒子体系波函数的交换对称性 考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数 ()12 ,,i j N q q q q q ψ
第七章-自旋和全同粒子
第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一 电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S 它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 21±=z s ；
(7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： S e s m e -=μ, (7. 2) B e s 2μμ±=±=m e z , (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电 子的质量，B μ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁 矩/自旋角动量） e s e s 2m e g m e s z z =-=μ, (7. 4)
g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。 强调两点： ●相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程 狄拉克 方程，运动的粒子必有量子数为 1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。
二 电子自旋态的描述 ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投 影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ?? ? ??-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论： ● 若已知电子处于/2z s = ，波函数 写为 (,/2)(,) 0z s ψψ??= ??? r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数
电子自旋全同粒子
61第六章自旋与全同粒子 §6-1 电子自旋的实验证据 （一）斯特恩－盖拉赫实验 Z （1）实验描述 基态的氢原子束经非均N S 基态的氢原子束，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。 处于基态 的氢原子（2）结论 I 。氢原子有磁矩，因而在磁场中发生偏转。II 。氢原子磁矩只有两种取向，即空间量子化的。III 。处于基态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。
钠原子光谱中的一条亮黄线（二）光谱线精细结构 钠原子光谱中的条亮黄线 λ≈5893?，用高分辨率的光谱仪 观测可以看到该谱线其实是由3p 观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。5893? D 1 D 2 很两条线 其他原子光谱中也可以发5896? 5890? 现类似现象，称之为光谱线的3s 精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释。 （三）电子自旋假设 乌伦贝克和高斯密特1925年根据上述现象提出了电子自旋假设： （1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值 方向上的投影只能取两个数值： 2 z s S S m =±= m s 称为自旋磁量子数。
（2）每个电子都具有与自旋角动量对应的自旋磁矩，它们的关系为： S e M S ?= μ 因此自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个数值： 2S z B e M M μ =±=± Bohr Bohr 磁子6-2§62 角动量的普遍性质简介 ? （一）角动量算符的普遍定义A 定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符????????????定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符： ,,,x y z y z x z x y A A i A A A i A A A i A ???===???? ?? 角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系 角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系：2222????=++x y z A A A A 2???() ,0,,A A x y z α?==
全同粒子体系
全同粒子 本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。 1. 全同粒子的基本概念 1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。例如，电子、 质子，中子等。 在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。 1.2 全同性原理： 由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。 1.3哈密顿算符∧ H 的交换对称性 考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r 与自旋变量i S ，) ,(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧ H 写为 ∑∑<++?-=j i j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(?2221μ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧ H 显然是不变的，记为 ),,,(?21t q q q q q H P N j i ij ∧ ),,,(?21t q q q q q H N i j = ),,,(?2 1 t q q q q q H N j i = （2） ij P ∧ 称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为 0,=?? ? ???∧∧H P ij （3）
第六章自旋与全同粒子
第六章：自旋与全同粒子 [1]在x σ ?表象中，求x σ?的本征态 （解） 设泡利算符2 σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2 1 和()z s x 2 1 - （1） 或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ ?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ ?的本征函数可表示： β αχ21c c += (2) 21,c c 待定常数，又设x σ ?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ =x ? (3) 将（2）代入（3）： ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ ?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ) 6()6() 6(12221 1 221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ，即1=λ，或1-=λ 当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12=
δ 是任意的相位因子。 当时1-=λ，代入（6a ）得 21c c -= 代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12- = 最后得x σ ?的本征函数： )(21βαδ+= i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ-= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2 ??σσ x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ?? ? ???=10β ??????=21c c χ （7） x σ ?的矩阵已证明是 ?? ? ???=0110?x σ 因此x σ ?的矩阵式本征方程式是： ?? ????=?????????? ??21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ ?本征矢的矩阵形式是： ??????=1121δi e x ?? ? ???-=1122δi e x [2]在z σ表象中，求n ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是) ,(?θ方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设n ?σ算符的本征矢是： βα21c c x += (1)
第七章-自旋与全同粒子 lt
第七章例题剖析 1求自旋角动量在任意方向n [方向余弦是(cos α，cos β，cos γ)]的投影γβαc o s c o s c o s z y x n s s s s ++=的本征值和本征矢。 [解] 自旋算符的矩阵表示为 ??? ? ??-=???? ??-=???? ??=10012;002;01102 z y x s i i s s ?????????? ??-+???? ??-+???? ??=∴γβαcos 10 01 cos 00cos 01102i i s n ???? ??-+-=γβαβ αγ c o s c o s c o s c o s c o s c o s 2i i 令s n 的本征矢为 ???? ??=ηξψ 它必然是一个两行两列的矩阵，s n 的本征方程为 λψψ2 =n s 则 ???? ??=???? ?????? ?? -+-ηξληξγβαβ αγ2cos cos cos cos cos cos 2 i i 就有 ???=+-+=-+-) 2(0)(cos )cos (cos ) 1(0)cos (cos )(cos ηλγξβαηβαξλγi i ηξ,不同时为零的条件是其系数行列式为零，即 0)(cos cos cos cos cos cos =+-+--λγβαβ αλγi i 展开得： 0)c o s (c o s )(c o s 2222=+---βαλγ 1012±==-∴λλ 因此 n S 的本征值为2 ± 下面求本征矢： （1）当2 =n S 时，即1=λ时，由①式得 ηβαξγ)cos (cos )1(cos i --=- ηγβ αξcos 1cos cos --=i ??? ? ? ??--=ηηγβαψcos 1cos cos i 利用归一化条件
量子力学[第七章自旋与全同粒子] 山东大学期末考试知识点复习
第七章自旋与全同粒子 本章的目的是将量子力学基本理论向两个方面扩展，一是将电子自旋纳入量子力学理论体系，并讨论与其相关的问题；二是由单粒子量子力学扩展到多粒子体系，建立起完整的非相对论量子力学的理论体系． 根据光谱的精细结构和施特恩一格拉赫等实验，人们发现电子还具有的一种无经典对应的新的运动自由度．通过对实验事实的分析，人们提出了电子自旋的假设，引入了自旋角动量，并进一步扩展成包括空间运动和自旋运动在内的完整的状态描述和力学量的算符表示，并将薛定谔方程扩展到包含自旋的情况，建立起非相对论的含自旋的运动方程． 真实的物理系统是多个微观粒子共存的，与经典力学不同，量子化的全同粒子具有不可分辨性，全同粒子体系的微观状态只能是对称的(对应于玻色子)或者反对称的(对应于费米子)．因此，还需要将单粒子非相对论量子力学扩展到全同粒子系统． 本章的主要知识点有 1．电子自旋 (1)泡利算符 泡利算符是描写电子自旋运动力学量的矢量厄米算符，定义为 由此可以推出 ζ i ζ j =iε ijk ζ k +δ ij (7-3)
(2)电子自旋角动量 借助泡利算符，电子自旋角动量S可以表示为 (3)电子自旋状态 (4)有关力学量 (5)自旋状态的演化 在电磁场中，电子的波函数为ψ(r，s z ，t)：(ψ + (r，t)，ψ - (r，t))T，随 时间的演化仍然由薛定谔方程 决定，但是哈密顿算符要修正为
其中A为电磁场的矢势，φ为标势．概率流密度要修正为 2．角动量耦合 (1)角动量的一般性质 其中角量子数j为正整数或半正整数，磁量子数m=-j，…，j-1，j共2j+1个取值． (2)自旋轨道耦合
第6章自旋与全同粒
第6章自旋与全同粒子 非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功，如原子的能级结构，谱线频率，谱线强度等，但进一步的实验事实发现，还有许多现象留待进一步解释，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细结构。这说明微观粒子还有一些特性有待我们去认识，即电子存在自旋角动量，在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加量子数引入的，是根据电子具有自旋的实验事实,在薛定谔方程中硬加上的。在相对论量子力学中，电子自旋像电荷一样，自然地包含在相对论的波动方程：狄拉克方程中。 §6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点 一．实验事实 1．斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验： 现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。 解释：氢原子具有磁矩，设沿Z方向 如在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明是空间量子化的，只有两个取向，对S 态, ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩。即自旋磁矩。 2．碱原子光谱的双线结构 如钠原子光谱中一条很亮的黄线，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它 是由很靠近的两条谱线组成 3．反常塞曼(Zeeman)效应 1912年，Passhen 和Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。 二．乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设 1．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值 2．每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量S的关系是
为玻尔磁子 这个比值称为电子自旋的回转磁比率. 轨道运动的回转磁比率是 三．电子自旋的特点 乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。但把电子的自转看成机械的自转是错误的。设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性。 特点： 1．电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。 2．电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。 3．电子自旋值是，而不是的整数倍。 4．，而两者在差一倍。 自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对易关系 §6.2 电子的自旋算符和自旋函数 一．自旋角动量算符 在空间任意方向上的投影只能取值（由实验所得假设） 本征值都是 ,
第七章-自旋与全同粒子-习题 y
第七章 自旋与全同粒子 第一部分: 基本概念和基本思想题目 1. 描述全同粒子的波函数应具什么性质? 2. 玻色子是否受泡利原理的限制? 为什么? 3. 描述全同粒子体系的波函数有什么特征? 4. 电子的自旋可用 ()z S a X b ??= ??? 表示,试说明|a|2 与|b|2的物理意义。 5. 当单电子处于任一自旋态时，测量S x 、S y 各可能测到哪些值？ 6. 费米子与玻色子体系对描述其状态的波函数有什么要求？ 7. 提出电子有自旋的实验根据是什么？ 8. 斯特恩－盖拉赫实验中为什么要选用基态氢原子？ 9. 考虑电子自旋后，电子波函数在形式上有什么特点？ 10. 说明积分2 |(,,,,) x y z t d ψτ??? 的物理意义。 11. 古德斯米特－乌伦贝克关于电子自旋的基本假设是什么？ 12. 电子自旋磁矩与自旋角动量之间的关系是什么？ 13. 电子自旋是如何表示的？ 14. 无耦合表象中，哪些力学量是对角矩阵？ 15. 耦合表象中，哪些力学量是对角矩阵？ 第二部分：基本技能训练题 1. 试求泡利算符?x σ 的本征值和本征函数。 2. y z ??? i 证明＝x σ σσ
3. 221y 2 ??X ()S S (S )(S )? 求在自旋态中，与的测不准关系：z x x y s ???= 4. 求下列状态中J z 的本征值 1112 1101 112 2 1211() ()(,) () ()(,)()(,)] z z z X S Y S Y X S Y ψθ?ψθ?θ?- == + 5. 01021020 求及的本征函数与本征值。 x y i S S i -?? ?? == ? ????? 6. 求自旋角动量在（cosα，cosβ，cosγ）的投影 ????cos cos cos n x y z S S S S αβγ=++的本征值和本征函数。 在这些本征态中，测量S z 有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？ 7. 下列波函数中，哪些是完全对称的？ 哪些是反对称的？ 1212211122 2 2111211122 2 2 2 12341() 2121() () f(r )()()() () r () f(r )()[()()()()] () z z r r z z z z r r g r X s X s e f r X s X s X s X s e αα-+----- 8. 设氢原子的状态是 21112110122z z L S R Y R Y ψ?? ? ?= ?- ??? 求＝？＝？ 9. (1)(2)(3)(4) s s s A X ,X ,X X 证明和组成正交归一系。 10. 在1z 2 X (s )态中测量S z 可得到哪些可能值？可能值的几率分别是多
量子力学填空简答证明复习资料
填空 第一章 绪论 6、玻尔的量子化条件为 n L = 9 德布罗意关系为 k p E ==,ω 。 1、 用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 2 2 1mv A h + =ν 。 2、 戴微孙-革末 实验验证了德布罗意波的存在，德布罗意关系 为 k p E ==,ω 。 第二章 波函数和薛定谔方程 1、波函数的标准条件为 单值，连续，有限 。 4、2 ),,,(t z y x ψ的物理意义： 发现粒子的几率密度与之成正比 。 5、dr r r 22 ),,(??θψ表示 在r —r+dr 单位立体角的球壳内发现粒子的几率 。 第三章 量子力学中的力学量 2如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 0 。 3、设体系的状态波函数为 ，如在该状态下测量力学量 有确定的值 ，则力学量算符 与态矢量 的关系为__ψλψ=F ?_______。 5、在量子力学中，微观体系的状态被一个 波函数 完全描述；力学量用 厄密算符 表示。 10坐标和动量的测不准关系是_2 ≥ ??x p x ___________________________。 自由粒子体系，_动量_________守恒；中心力场中运动的粒子___角动量________守恒 3、 设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为___在 p —p+dp 范围内发现粒子的几率____________________________________________。 3、厄密算符的本征函数具有 正交，完备性 。 10、=]?,[x p x i ； =]?,?[z y L L x L i ；
第四章 态和力学量的表象 量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__________；算符是希尔伯特空间的__算符 __________。 力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的 第五章 微扰理论 第七章 自旋与全同粒子 7. 为泡利算符，则 =2?σ 3 ，=]?,?[y x σ σ z i σ ?2 8、费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_交换反对称性__ _______, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____交换对称性____ 。 4、 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 2n ，考虑自旋但不考虑自 旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。 5、 S ? 为自旋算符，则 =2 ?S 2 4 3 ，=]? ,?[2z S S 0 ， =]?,?[y x S S z S i ? 。 简答 第一章 绪论 什么是光电效应？爱因斯坦解释光电效应的公式。 答：光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。 这些逸出的电子被称为光电子 （3分） 用来解释光电效应的爱因斯坦公式：2 2 1mv A h +=ν （3分） 第二章 波函数和薛定谔方程 1、如果1ψ和2 ψ 是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：
第七章 电子自旋与全同粒子
２７２ 第七章 电子自旋与全同粒子 （Electron spin and identical particles） §7.1电子自旋 §7.2电子的自旋算符和自旋函数 §7.4两个角动量的耦合 §7.5光谱的精细结构 §7.6全同粒子的特性 §7.7全同粒子体系的波函数，泡利（Pauli）原理 §7.8 两个电子的自旋函数 §7.9氦原子(微扰法) 第七章 电子自旋与全同粒子 （Electron spin and identical particles） 引言： 很多问题是多粒子体系，例如：多电子原子、分子、原子核和晶 体等。多粒子体系复杂，dinger o Schr && 方程不能直接求解。一是要采用逐级近似的方法，二要尽可能多的了解多粒子体系的知识和信息，如：角动量和对称性等知识。 1.角动量 角动量有两种： (1)与空间运动有关—轨道角动量L r ； (2)与空间运动无关—自旋角动量S r 。 有些物理现象必须引入自旋角动量概念才能给予解释，例如： (1)碱原子光谱的双线结构 如钠原子光谱中一条很亮的黄线o A 5893≈λ，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它是由很靠近的两条谱线组成(o A 5896≈λ和
２７３ o A 5890≈λ)。 (2)反常塞曼(Zeeman)效应： 1912年，Passhen 和 Back 发现反常Zeeman 效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂现象（能级分裂成偶数条子能级，例如钠光谱线4D 1→条，6D 2→条）。 2.对称性 对称性中有一类为置换对称性，如全同粒子体系中，相互置换任意两个粒子，体系的哈密顿不变，这是研究全同粒子体系的基础，基本原理是全同性原理。共价键理论，光谱理论，超导超流理论，夸克与核力问题等都是建立在全同性原理的基础上。 总之，自旋与全同粒子是研究多体问题的基础，非常重要。 §7.1 电子自旋 重点:Stern-Gerlach 实验和Ulenbeck-Goudsmit 假设 难点:Ulenbeck-Goudsmit 假设 我们从实验事实引入电子自旋的概念。 一、Stern-Gerlach(斯特恩-革拉赫) experiments（1921） 实验现象是单价原子（如银原子和氢原子等）束流通过非均匀磁场后裂为两束，我们以氢原子为例介绍这种实验现象。 实验现象：电炉K 射出的处于S 态的氢原子束流通过狭缝BB 和不均匀磁场，最后射到照相片PP 上，实验结果是照片上出现两条分立线。
第七章-自旋与全同粒子-习题答案汇编
第七章 自旋与全同粒子 1． 试求泡利算符?x σ 的本征值和本征函数。 [解] 设泡利算符?x σ 的本征函数为a b ψ?? = ??? 本征值为λ 则由本征方程 ?x σ ψλψ= 01?10x σ??= ??? 11 0a a b b λ??????∴= ??? ??????? 0b a λ-= ① 0b a λ -+= ② 方程有非零解的条件 101 λλ -=- 21λ= 1λ=± 当1λ=时，由①可知a b = 1a b ψ??∴= ??? 由归一化条件 111ψψ+ = *** ()1a a a b ?? = ??? 221a = 2a = （略去相因子） 即 122ψ? = ? ? 当1λ=时，a b =- 2a a ψ?? = ?-?? **()1a a a a ?? -= ?-?? 221a =
2a = 即 222ψ?? ? = - ?? ∴ ?x σ 的本征函数为12ψ? = 2 22ψ?? ? ?= ?- ??? 对应本征值为1、-1 2．y z ??? i 证明＝x σ σσ 证：由对易关系z x y y x i σσσσσ ?2????=- 及 反对易关系0????=+x y y x σσσσ ， 得 z y x i σσσ ???= 上式两边乘z σ ?，得 2????z z y x i σσσσ = ∵ 1?2=z σ ∴ i z y x =σσσ ??? 3． 221y 2 ??X ()S S (S )(S )? 求在自旋态中，与的测不准关系：z x x y s ???= 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(2 1z S χ ???? ??= 01102? x S ??? ? ??-=002?i i S y ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2 12 1 =??? ? ?????? ??== + χχx x S S 4010110201102)0 1(?2 22 2 121 =???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 =-=?x x x S S S
自旋与全同粒子
第六章：自旋与全同粒子 [1]在x σ ?表象中，求x σ?的本征态 （解） 设泡利算符2 σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2 1 和()z s x 2 1 - （1） 或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ ?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ ?的本征函数可表示： β αχ21c c += (2) 21,c c 待定常数，又设x σ ?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ =x ? (3) 将（2）代入（3）： ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ ?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ) 6()6() 6(12221 1 221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ，即1=λ，或1-=λ 当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12=
δ 是任意的相位因子。 当时1-=λ，代入（6a ）得 21c c -= 代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12- = 最后得x σ ?的本征函数： )(21βαδ+= i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ-= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2 ??σσ x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ?? ? ???=10β ??????=21c c χ （7） x σ ?的矩阵已证明是 ?? ? ???=0110?x σ 因此x σ ?的矩阵式本征方程式是： ?? ????=?????????? ??21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ ?本征矢的矩阵形式是： ??????=1121δi e x ?? ? ???-=1122δi e x [2]在z σ表象中，求n ρ ρ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn ρ是) ,(?θ方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设n ρ ρ?σ算符的本征矢是： βα21c c x += (1)