§1全同粒子的特性§2全同粒子体系波函数Pauli原(精)
量子力学与统计力学课件第7章
电子电 荷
电子质 量
9
在任意方向上的 投影仅两个
e M sz M B （SI）子 2 (3) e M sz M B （CGS） 2c
波尔磁
说明：自旋角动量无经典对应，纯属量子效应，与坐标和动量无 关。它是电子的本身的内禀属性，是电子内部状态的表征，标志 了电子还有一个新自由度。 电子自旋值是 ， 而不是 的整数倍。 2
(9)
17
本征值
ˆ ˆ ˆ x y z 的本征值都是 1
1
2 x 2 y 2 z
(10)
反对易关系 (11)式证明：
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x 0 ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ z x x y 0
自旋与全同粒子是研究多体问题的基础，非常重要。
3
本章主要研究内容
7.1 7.2 7.4
7.5
7.6 7.7
7.8
电子自旋 电子自旋算符与自旋波函数 两个角动量的耦合 光谱的精细结构 全同粒子的性质 全同粒子系统的波函数 泡利原理 两个电子的波函数
4
学习要求：
1.掌握电子的自旋特性，自旋算符及自旋波函数； 2.掌握全同粒子特性，泡利原理，双电子自旋波函数； 3.理解两个角动量的耦合； 4.理解光谱的精细结构； 5.了解简单塞曼效应及氦原子（微扰法）。
所以自旋算符应为 2 2 的矩阵。
ˆ ' Sz
故可设
在 1/ 2 ˆ 是 Sz 的本征态，对应的本征值 /2 ˆ S z 1/2 1/2 2
ˆ Sz 有确定的值 /2 ，故 所描写的态中， 1/ 2
§6.4全同粒子体系的波函数泡利原理
§6.4 全同粒子体系的波函数泡利原理重点：波函数所满足的对称性下面我们首先讨论在不考虑粒子间相互作用时，两个全同粒子组成体系的波函数的对称性问题，然后推广到N个全同粒子体系中去，（一）两个全同粒子体系在不考虑粒子间相互作用时，设两个全同粒子，分别处于i，j态，若哈密顿算符不显含时间，则单粒子的体征值方程为（6.4-1）式中分别表示对应于i，j态的能量，体系的哈密顿算符（6.4-2）体系的能量为（6.4-3）波函数为（6.4-4）这可由（6.4-4）式满足下列本征值方程看出：（6.4-5）交换两粒子坐标，则有（6.4-6）同样有（6.4-7）可见和都的本征函数，本征值都是，这表示体系的能量本征值E是简并的，这种简并由于波函数中交换后得出，故称交换简并。
当两个粒子所处的状态相同，即i=j，则（6.4-4）和（6.4-6）式是同一对称波函数，当两粒子所处状态不同，即，（6.4-4）和（6.4-6）式既不是对称波函数，又不是反对称波函数，不满足全同粒子体系波函数的要求，但可以把它们组合成对称波函数或反对称波函数：（6.4-8）容易证明，归一化常数，显然，都是相的本征函数，并且都属于本征值。
这样，归一化的对称波函数和反对称波函数为：（6.4-9）（6.4-10a）反对称波函数（6.4-10a）可写成行列式形式（6.4-10b）对二个玻色子系统的波函数取（6.4-9）式，二个费密子系统的波函数取（6.4-10a）或（6.4-10b）式。
由这式可见，当i=j，即两粒子状态相同时，就得到，即体系中不能有两个费密子处于同一状态，这是泡利不相容原理在两个粒子组成体系中的表述。
（二）N个全同粒子体系把上述计论推广到含N个全同粒子的体系，设粒子相互作用可以忽略，单粒子的哈密顿算符不显含时间，则有（6.4-11）体系薛定谔方程（6.4-13）的解是（6.4-14）（6.4-15）由此可见：由无相互作用的全同粒子所组成的体系的哈密顿算符其本征函数等于各单粒子哈密顿算符本征函数之积，本征能量则等于各粒子本征能量之和。
高等量子力学-基本原理-2要点
* dx
n
* dx 0
2。 完备性：
x C n n x x c x d
n
3.归一化条件：
n
| c n | 2 c d 1
2
4.平均值公式：
§7
全同性原理
(一) 全同粒子体系交换对称性 1.全同粒子
固有性质相同的粒子称为全同粒子 固有性质指的是：质量、电荷、自旋、磁矩、 宇称、寿命等 例：电子、质子、中子、超子、重子、轻子、 微子……同类核原子、分子…… 全同粒子的重要特点：在同样的物理条件下，它 们的行为完全相同，因此用一个全同粒子代替另 一粒子，不引起物理状态的变化
表示力学量的算符必须是线性厄密算符，而且有完备的本 征函数系。
ˆ的本征函数 力学量算符F {1 , 2 ,n }是正交归一的而且是完 备的 对于任意波函数有 ： r Cnn r
n
波函数完全描述了体系状态 若体系的状态已知，则体系的可以测量的力学量的可能测得值 的相应的概率就完全确定了。在这个意义上讲，波函数完全 描述了体系状态。
2．不可区分性 经典力学中，两物体性质相同时，仍然可以区分， 因各自有确定轨道。
位置 轨道 速度
1
2
微观体系（粒子），因为运动具有波粒二象性，无确 定轨道。粒子的位置是由波函数来决定。而波函数只 能提供粒子在每一个位置的概率。随着时间演变，几 个粒子的波函数会扩散蔓延，互相重叠。在波函数重 叠处就不能区分是哪个粒子。
4．全同粒子体系波函数的特性-交换对称性
设体系由N个全同粒子组成 以 q i 表示第i个粒子的坐标和自旋
qi (ri , si )
全同粒子
对于全同粒子多体系, 任何两个粒子交换一下, 对于全同粒子多体系 任何两个粒子交换一下 其量子态是不变的, 即要求该体系的波函数对于粒 其量子态是不变的 即要求该体系的波函数对于粒 子交换具有一定的对称性. 子交换具有一定的对称性 那么, 忽略粒子相互作用的情况下, 那么 在忽略粒子相互作用的情况下 如 何去构造 构造具有完全交换对称性或反对性的波 何去构造具有完全交换对称性或反对性的波 函数? 函数 接下来我们将对这问题做一般的讨论. 接下来我们将对这问题做一般的讨论 考虑 N个全同粒子组成的多体系的情况 个全同粒子组成的多体系的情况. 个全同粒子组成的多体系的情况
1 2 N
经过
各种可能的置换P， 各种可能的置换 ，得到 P , ψ k1 ( q1 )ψ k2 ( q2 )Lψ k N ( qN ) 一共得出N！ 一共得出 ！项，即行列式展开后得出的N! 项. 即行列式展开后得出的
4.3.4 N个全同 个全同Bose子组成的体系 个全同 子组成的体系
Bose 子不受 子不受Pauli原理限制，可以有任意数目 原理限制， 原理限制 可以有任意数目 子处于相同的单粒子态 的Bose子处于相同的单粒子态 设有 ni 个Bose子 子处于相同的单粒子态. 子 N 处于 ki 态上 ( i = 1, 2,L , N ) ， n i = N ，这些 ni 中， ∑ i =1 有些可以为0，有些可以大于1.此时 此时， 有些可以为 ，有些可以大于 此时，对称的多粒 子波函数可以表示成 P ψ k1 ( q1 )Lψ k1 qn1 ⋅ψ k2 qn1 +1 Lψ k2 qn1 + n2 L ∑ 144 2444 1444 24444 4 3 4 3 P n1个 n2个
3
二次量子化
16
同样地，对于Fermi子,结合Pauli 原理， 脱离表象后，
n 1, n 1...n 1... 11...1...
... ...
为在粒子数表象中进行各种计算，下面引入粒子产 生算符和湮灭算符
17
Bose子体系
● 全同粒子具有不可分辨性→ 全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性
† 费米子—交换反对称→泡利不相容原理 † 玻色子—交换对称
15
坐标表象带来的繁琐
由上述表达式可以看出，描述全同粒子系的量子态 在坐标表象下的繁琐，故引入粒子数表象， 即，无需进行编号， 只需单粒子态上的粒子数交代清楚即可， 为此，此全同粒子系的量子态也随之确定。 对于Bose子，脱离q表象，有
(ni 1)nk fik
二次量子化形式
Fˆ f a a
28
由q表 象过渡至粒子数表象，求其矩阵元与上面比较：
_
首先， F ...nk ...ni... F ...ni...nk ...
f ...nk ...ni... a a ...ni...nk ...
f ...nk ...ni... a a ...ni...nk ... 利用粒子数算符性质
f ...nk ...ni... n ...ni...nk ...
f n
对非对角元，
^
...(nk 1)...(ni 1)... F ...ni...nk ...
... ...
k1(qN ) k N (qN )
A k1... kN
(q1...qN
)
1 N!
P
全同粒子波函数与泡利原理
§7-7-1 两个全同粒子波函数)()(222q V q V ++∇−∇h==)()()ˆ)()()ˆ22201110q q q H q q q H i i i φεφφεφ（（粒子1 在i 态，粒子2 在j 态，则体系能量和波函数为则体系能量和波函数为：：=Φ+=)()(),(2121q q q q E j i ji φφεε验证验证：：),(),(ˆ2121q q E q q HΦ=Φ),()](ˆ)(ˆ[212010q q q H q HΦ+=)]()(ˆ)[()()]()(ˆ[22012110q q H q q q q Hj i j i φφφφ+=)()()()(2121q q q q j i j j i i φφεφφε+=)()()](ˆ)(ˆ[212010q q q H q Hj i φφ+=左端)()()(21q q j i j i φφεε+=),(21q q E Φ=交换简并=Eε)],(),([),q q q q C q q Φ+Φ=Φ（Φ())],(),([),q q q q C q q Φ+Φ=Φ（ΦΦΦ设粒子间无互作用设粒子间无互作用，，单粒子H 0不显含时间不显含时间，∑N其对称化波函数是：：2 个Bose 子体系，其对称化波函数是2 个Bose 子体系，其对称化波函数是其对称化波函数是：：Nkφ∏归一化因子!n该体系对称化的波函数。
φ1 、φ2、φ3，求：该体系对称化的波函数该体系对称化的波函数。
φ1 、φ2、φ3，求：该体系对称化的波函数该体系对称化的波函数。
φ1 、φ2、φ3，求：该体系对称化的波函数元素可重复选取）（元素可重复选取个元素（从m 个不同元素中每次取n 个元素其反对称化波函数是：：体系，，其反对称化波函数是2 个Fermi 子体系每一项都是单粒子波函数乘积形式，行列式展开后，，每一项都是单粒子波函数乘积形式●行列式展开后2 个Fermi 子体系(,()(()(11i i q q q q φφ们分别可能处于单粒态、、，1φ2φ3φ1925年奥地利物理学家泡利在研究全同粒子系统的波函数时发现，若全同粒子系统由费密子组成若全同粒子系统由费密子组成，，由于费密子系统的波函数是反对称函数是反对称函数，，如果有两个粒子的状态相同如果有两个粒子的状态相同，，则系统的波函数为零为零，，即不能有两个或两个以上的费密子处在同一个状态——泡利不相容原理泡利不相容原理。
量子力学课件10
2S
s
z
0 1 1 2
s s s
m m m m
（2）Pauli 算符
1. Pauli 算符的引进
令
ˆ ˆ S 2
分量 形式
Sx 2 x S y y 2 Sz 2 z
第八章 自旋与全同粒子
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 电子的自旋 电子的自旋算符和自旋波函数 简单塞曼效应 两个角动量耦合 光谱精细结构 全同粒子的特性 全同粒子体系波函数 Pauli 原理 两电子自旋波函数
返回
§9 氦原子（微扰法）
§1
电子的自旋
返回
（一）Stern-Gerlach 实验 (二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设 （四）回转磁比率
ˆ来表示 p
共同点:同是角动量
满足类似的对易关系
ˆ L ˆ ˆ ˆ L L i L ˆ ,L ˆ ] i L ˆ [L
x y
z
ˆ S ˆ ˆ ˆ S S i S ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S x y z ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S y z x ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S z x y
注：开始,人们认为自旋角动量和自旋磁矩是电子绕自身自转轴作自转形成的,但是,后来 研究发现:这种对于自旋角动量和自旋磁矩成因的理解是错误的! 但是,电子的自旋角动量和自旋磁矩的存在,的确是个事实!至于其产生的原因以及 对于粒子的自旋角动量和自旋磁矩究竟如何理解,至今仍是个谜
§2 电子的自旋算符和自旋波函数
ˆ ,L ˆ ] iL ˆ [L y z x ˆ ,L ˆ ] i L ˆ [L z x y
第4章-2.全同粒子体 西南大学量子力学PPT(考试必备)
§4.２
全同粒子体系的波函数
[本节要求]：深刻理解泡利原理，掌握如何
构造玻色子、费米子波函数
[本节内容]：讨论在忽略粒子之间相互作
用的情况下,如何去构造具有交换对称的波函数. 在计及相互作用时, 可以用它们作为基矢来展 开. 先讨论两个全同粒子体系, 然后推广到多 粒子体系.
一. 两个全同粒子体系的波函数：
N个粒子在N个单粒子态上的不同排列数有N! 个, 或者说有N! 个置换，所以上式共有N!项
奇置换：从标准排列式出发, 若经过奇数次对换才达到
排列P，记为 P 1 偶置换：从标准排列式出发, 若经过偶数次对换才达到 排列P，记为 P 1
注意到： １.在N!个置换中, 偶置换与奇置换各占一半； ２.并且注意到对换两个粒子波函数的次序，体
1 2
体系能量为 E k1 k2 的本征态为
1 2
k q1 k q2
体系能量为 k1 k 2
k q2 k q1
C1 k1 q1 k2 q2 C 2 k1 q2 k2 q1
1 2
这说明体系的能级是简并的, 这种与全同粒子 交换对称性相联系的简并, 称为交换简并.
反对称 对称 反对称 对称
对称 反对称 反对称 对称
费米子 玻色子
反对称 对称
例１：对两电子体系, 总波函数为
A
1 2
11 1 s1z 1 s2 z
2 2
A r1 , r2 s s1 z , s2 z
k1 r1 k 2 r2
两者相差一相因子
ˆ P ij
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由于 Hamilton 量对于 （q i , q j ) 调换不变
, q
j
) 调换，得：
(q1 , q2 , q j qi q N , t ) t ˆ (q , q , q q q , t )(q , q , q q q , t ) H 1 2 j i N 1 2 j i N
所以
1
2 1
1
Байду номын сангаас
对称波函数
二粒子互换后波函数不 变，即 (q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t ) 反对称波函数 1 二粒子互换后波函数变 号，即 (q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )
质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。
（2）经典粒子的可区分性
经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。 因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有 确定的位置和速度。 1
位置 轨道 速度
2 1 2
可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子
（3）微观粒子的不可区分性
引入粒 子坐标 交换算 符
ˆ ( i , j ) ( j , i ) ( i , j ) ij ˆ 2 ( i , j ) ˆ ˆ ij ij ij ( i , j ) ˆ ( i , j ) ( i , j ) ij
2
所以
1，
第七章 全同粒子
§1 全同粒子的特性
§2 全同粒子体系波函数 Pauli 原理
§3 两电子自旋波函数 §4 氦原子（微扰法）
§1 全同粒子的特性
（一）全同粒子和全同性原理 （二）波函数的对称性质 （三）波函数对称性的不随时间变化 （四）Fermi 子和 Bose 子
（一）全同粒子和全同性原理
（1）全同粒子
即：
ˆ (q , q , q q q , t ) H ˆ (q , q , q q q , t ) H 1 2 j i N 1 2 i j N
表明，N 个全同粒子组成的体系的Hamilton 量具有交换对称性， 交换任意两个粒子坐标（q i , q j ) 后不变。
（2）对称和反对称波函数
ˆ (q , q ,q q q , t )(q , q ,q q q , t ) H 1 2 i j N 1 2 j i N
表明：（q i , q j ) 调换前后的波函数都是Shrodinger 方程的解。
(q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )
服从 用
微观粒子运动
量子力学
波函数描写
在波函数重叠区 粒子是不可区分的
（4）全同性原理
全同粒子所组成的体系中，二全同粒子 互相代换不引起体系物理状态的改变。 全同性原理是量子力学的基本原理之一。
（二）波函数的对称性质
（1）Hamilton 算符的对称性 调换第 i 和第 j 粒子， 体系 Hamilton 量不变。
实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性是完 定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。 全确
（1）Bose 子
ˆ 本征值 对称波函数是 ij
1的本征态；
ˆ 本征值 反对称波函数是 ij
1的本征态。
（三）波函数对称性的不随时间变化
全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即 初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的； 初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。 方法 I 设全同粒子体系波函数s在 t 时刻是对称的，由体系 哈密顿量是对称的，所以H s 在t 时刻也是对称的。
方法 II
ˆ 0 ˆ ,H ij
ˆ 是守恒量，即 ij
交换对称性不随时间改 变。
全同粒子体系哈 密顿量是对称的
结论： 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反 对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一 时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于 对称（或反对称）态上。
（四）Fermi 子和 Bose 子
N 个全同粒子组成的体系，其Hamilton 量为：
2 N 2 ˆ (q , q , q q q , t ) H i U ( q i , t ) V ( q i , q j ) 1 2 i j N 2 i 1 i j 其中 qi {ri , si } 为第i个粒子的坐标和自旋。 N
根据全同 性原理：
描写同一状态。
因此，二者相差一常数因子。
(q1 , q2 ,q j qi q N , t ) (q1 , q2 ,qi q j q N , t )
再做一次（q
i
, q
j
) 调换
2 (q1 , q2 , qi q j q N , t )
(q1 , q2 , qi q j q N , t ) (q1 , q2 , q j qi q N , t )
i
考虑全同粒子体系的含时 Shrodinger 方程
(q1 , q2 , qi q j q N , t ) t ˆ (q , q , q q q , t )(q , q , q q q , t ) H 1 2 i j N 1 2 i j N
i
将方程中（q
证
因为等式两边对称性应 是一样的，所以 Shrodinger方程 ˆ i s H 中式右的 s 是对称的。 s t t 在 t+dt 时刻，波函数变化为 s s dt t
二对称波函 数之和仍是 对称的
对称
对称
依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。
同理可证：t 时刻是反对称的波函数a，在t以后任何时刻都是反对称的。