第一章 波函数

第一章 波函数与dinger o

Schr 方程 一 内容提要

1 波函数的统计解释

[1] 在量子力学中用波函数描述微观体系的运动状态 ； [2] 2

),(t r

ψ表示粒子在空间出现的几率密度； [3] 波函数归一化条件

1),(2

=ψ⎰

t r ；

[4] 波函数应满足的基本条件：单值、有限、连续。 2态的叠加原理

设 ,,,,321n ψψψψ是体系的可能状态，那么态的线性叠加

∑ψ=ψn

n n c

也是体系的一个可能状态；

3 dinger o Schr

方程 [1] 含时间的dinger o Schr

方程 ψ+ψ∇μ

-=∂ψ∂),(222t r V t i

[2]定态dinger o Schr

方程 当)(r V 不显含时间t 时，波函数的解为定态解：

/)(),(iEt e

r t r -ψ=ψ

)(r ψ满足定态dinger o

Schr 方程ψ=ψ+∇μ

-E r V )](2[22

该方程也是能量算符的本征值方程。

4 几率流密度)(2ψ∇ψ-ψ∇ψμ=**

i j 与几率密度ψψ=ρ*满足连续性方程 0=⋅∇+∂ρ∂j t

5 量子力学中的初值问题

已知量子态的初态波函数)0,(r ψ，原则上可以利用S,eq 求出任意时刻的波函数),(t r ψ

二 例题讲解

1 粒子在一维无限深势阱中运动，阱宽为a ， （1）设a

x

ASin

x π=ψ)(，求归一化系数A 。 （2）设)()(x a Ax x -=ψ，求归一化系数A 并求粒子的最可几位置。

[解] （1）令12)()

(220

2

==π=ψ⎰⎰a

A dx a x ASin

dx x a

a

则 a

A 2

= 那么a

x Sin a x π=

ψ2)( （2）令130)]([)

(5

2

2

2

==-=ψ⎰⎰

a A dx x a x A dx x a

a

则530a A = 2 证明具有不同能量的两个束缚态，其波函数的重叠积分为零。

解：设1ψ、2ψ分别为对应能量1E 、2E 束缚态波函数，21E E ≠，要证明等式

0)()(2

*

1

=ψ

τψ⎰r r d 。

凡这种与具体势函数无关的结论，第一选择是从S.eq 出发。1ψ、2ψ满足的两个定态S.eq 为：

)()()(211112

2r E r V r m ψ=ψ+ψ∇- （1） )()()(222222

2r E r V r m

ψ=ψ+ψ∇- （2） )2()1(*

1*2⨯ψ-⨯ψ ，再对空间积分：⎰

τd ，得

)(2)()()(22

*1*12222*

1

21ψ∇ψ-ψ∇ψτ-=ψτψ-⎰⎰d m

r r d E E )(22*1*122ψ∇ψ-ψ∇ψ∇τ-=⎰d m 0)(22*

1*122=ψ∇ψ-ψ∇ψ-=⎰dS m

（束缚态边界条件：0,0,21→ψ→ψ∞→处r ）

因为21E E ≠ 那么有0)()(2*

1=ψτψ⎰

r r d

3 已知描述单粒子一维束缚态的两个本征函数分别为 22

11x Ae

α-=ψ 22

12

1)(x e

c bx x B α-++=ψ

试求这两个状态的能级间隔。 解：1ψ、2ψ满足的两个定态S.eq 为：

)()()(211112

2r E r V r m ψ=ψ+ψ∇- （1） )()()(222222

2r E r V r m

ψ=ψ+ψ∇- （2） )2()1(12⨯ψ-⨯ψ得

)(2)('

'21''1222112ψψ-ψψ=ψψ-m

E E （3） （3）对任意x 都成立，找一个波函数的非零点，如x=0，在方程（3）两边取值，得

mc

AB m ABc E E 2

212)2(2 -=-=-

4 已知自由粒子的动量为p

，初态波函数为)0,(r ψ，求任意时刻的波函数),(t r ψ。

解： 自由粒子的单色波函数是

/).(2

3)

2(1),(Et r p i e

t r -π=

ψ 而m

p E 22

= （1）

自由粒子的波函数可以由平面单色波叠加得到

)

.(3

23)()2(1),(Et r p i e

p dp t r -∞

∞

-ϕπ=

ψ⎰ （2） 那么初态波函数为

r

p i e p dp r .323

)()

2(1)0,(ϕπ=

ψ⎰

∞

∞

- （3） （3）的逆变换为

/.3

23)0,()

2(1)(r p i e r dr p -∞

∞

-ψπ=

ϕ⎰ （4）

即)(p ϕ由)0,(r ψ决定。以（4）代入（2）得： )0,()2(1),('/])([3'

323'r e

dp r

d t r Et r r p i

ψπ=

ψ--∞∞

-∞∞

-⎰⎰ （5）

一维自由粒子初值问题

)0,()

2(1

),(/])(['21

'x e

dp dx t x Et x x p i ψπ=

ψ---∞

∞

-∞∞

-⎰⎰

而m

p E 22

= （6） 5 证明：如果量子系统的态是可以归一化的，则一旦归一化，它在任何时刻也都是归一化的。

解：设描述态的波函数为),(t r ψ，它可归一化，意味着积分ψτψ⎰

*

d 是有限的。那么在∞→=r r

时

必然有0→ψ