第二章 波函数和薛定谔方程
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第二章波动方程和薛定谔方程
1 (2πh )3 / 2 1 (2πh )3 / 2
p ⋅r v h C p t e dp x dp y dp z ， ( , ) ∫∫∫ ∞
i vv
− p ⋅r v h Ψ r t e dxdydz 。 ( , ) ∫∫∫
i vv
&&dinger 方程给出： 4、波函数随时间变化的规律由 Schro
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ
任意形状的势垒 U ( x) ，透射系数为：
D = D0 exp[−
四、典型例题
例 1、证明动量算符的属于本征值为 p' 的本征函数在动量表象中的表示是 δ ( p − p ' ) 。 证明：设 Ψ ( x, t ) 所描写的状态是具有动量 p ' 的自由粒子的状态，即
Ψ ( x, t ) = ψ p ' ( x )e
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。
第二章波函数和薛定谔方程(量子力学周世勋)PPT课件
第二章 波函数与薛定谔方程
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
第二章波函数和薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程本章重点1. 微粒的状态由波函数完全描写（正确理解ψ的意义和性质）.2. 状态随时间的变化遵从薛定谔方程（掌握，会用）.3. 几个应用例子，说明了量子力学处理问题的方法和结果的特征（逐步理解）.§2.1波函数的统计解释引入：在经典力学中，用坐标和动量描述质点的运动状态。
在量子力学中，我们也要找到描述微观粒子的量，由于量子力学与经典力学根本不同，在量子力学中，微观粒子既要描述粒子性又要描述其波动性。
那么这一章我们首先来找用什么量来描述微观粒子。
重点: 微粒的状态由波函数完全描写 难点: 波函数ψ的意义和性质的理解 一、状态的描述1. 经典力学中质点的状态由)(,v p r描写 经典力学中用)(,v p r两基本量来描写质点的状态。
〈1〉每个时刻t 该二量都有完全确定的数值，且随t 变化；在任一时刻，我们都能测到质点确定的动量和坐标，并且他们是连续变化的。
〈2〉质点的其它力学量，如L E r V E k，总),(,等全是p r ,的函数—p r,决定体系的一切性质。
〈3〉质点状态的变化（运动）遵从牛顿定律：F dtrd m =22，当F 已知时，如果初始时刻)(,000v p r已知，则积分得：00)(v dt m F t v t+=⎰ ， 00)(p dt F t p t +=⎰ ， 00)()(r dt t v t r t+=⎰,即任何时刻的)(),(t p t r完全确定.〈4〉)(t r描写质点运动的轨道。
2.微粒的状态由波函数),(t rψ来完全描写<1> 微粒除了粒子性，还有波动性，这就决定了它不可能同时具有确定的r 和p,自由粒子由平面单色波描写，（)(Et r p i Ae-⋅=ψ，以后我们会看到）这时p 有确定值，而r完全不确定。
微粒无同时确定的p r,，也就不可能有确定的轨道。
<2> 为了描写粒子的状态，量子力学中用一个反映其波粒二象性的波函数),(t rψ来描写。
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
2波函数和薛定谔方程
第二章
波函数和薛定谔方程
三、波函数的归一化
由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子 在空间各点出现的概率之和等于1，因而粒子在空间各点 出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而 不决定于强度的绝对大小。换句话说，将波函数乘上一 个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
(r , t ) 与 C (r , t ) 表示同一个态。
2
概率密度
dW ( x, y, z, t ) 2 ( x, y , z , t ) C ( x, y , z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
2
波函数和薛定谔方程
C ( x, y, z, t ) d 1
归一化
C
1
( x, y, z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
波函数和薛定谔方程
自由粒子的波函数
Ae
i ( pr Et )
如果粒子受到随时间或位置变化的力场的作用，它的 动量和能量不再是常量，这时粒子就不能用平面波来描写，
而必须用较复杂的波来描写。一般记为：
(r , t )
描写粒子状态的波函数，它 通常是一个复函数。
c1 1 c2 2 cn n
cn n
n
§2.2 态迭加原理
第二章
波函数和薛定谔方程
二、波函数按平面波展开
以一个确定的动量 p 运动的自由粒子的状态用波函数
p (r , t ) Ae
i ( pr Et )
描写。按照态迭加原理，粒子的状态可表示为
波函数为
i (r , t ) A exp ( p r Et )
第二章 波函数和薛定谔方程
2.波恩（Born）对波函数的统计解释，概率波 2.波恩 Born）对波函数的统计解释， 波恩（ 水波的双狭缝干涉： 水波的双狭缝干涉：
I12 = h1 + h2 = h1 + h2 + (h h + h h )
2 2 2 * 1 2 * 1 2
= I1 + I2 +干涉项
11
子弹点射
•
1 2
ψ ψ
P1
1
2Байду номын сангаас
P
P 2
P= P +P 1 2
12
电子双缝衍射
电子的干涉现象与水波干射完全相似，但与子弹点射 完全不同。与水波干射的含意也有着本质的不同，前 者是强度，后者是接收到的电子多少！
13
电子干涉实验的结论： 电子干涉实验的结论： 大量电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个 大量电子在同一个实验中的统计结果， 电子在多次相同实验中的统计结果。 电子在多次相同实验中的统计结果。
8
何为波包？ 何为波包？
波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包的频率是 波矢的函数（ ω = ω(k)），我们将频率作泰勒展开
dω 1 d 2ω 2 ω(k) = ω(0) + k+ k +L 2 dk 2! dk dω d 2ω 是波包的群速度； 2 表示 ω(0)是基波，为常数；
波包的扩散；若 扩散。 由于
r Ψ(r , t) 的变化遵从薛定谔方程。 4） 的变化遵从薛定谔方程。
5
二、波函数的统计解释
r 如果粒子处于随时间和位置变化的力场 U(r , t) 中，它 的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）， ），粒子 的动量和能量不再是常量（或不同时为常量），粒子 的状态就不能用平面波描写， 的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描 一般记为： 写，一般记为：
量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子 在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态） ②波函数一般用复函数表示。
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
第二章 波函数和薛定谔方程
思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
§2.5 一维谐振子
思考题: • 对称性 动量表象
§2.5 一维谐振子
思考题: • n维谐振子体系等间距能级 n个粒子 元激发(elementary exitation) 集合产生湮 灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并
第二章 波函数和Schroinger方程
质子在钯中的波函数 /groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• 勒让德多项式的性质
别名
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.7 势垒贯穿
如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换
§2.7 势垒贯穿
共振透射的条件和共振能量
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• • •
• •
辏力 普遍性质 若U(r)处处有界=>波函数处处有界 若U(r)有极小值,则体系平均能量必大于势场 的极小值 能量算符的本征值比大于势场的极小值 若无穷远处势场为零,则能量本征值小于零 的能谱必定是分立谱,对应束缚态
§2.5 一维谐振子
• • Motivation: 数学上: 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 通过数学,看物理
§2.5 一维谐振子
思考题: • 对称性 动量表象
§2.5 一维谐振子
思考题: • n维谐振子体系等间距能级 n个粒子 元激发(elementary exitation) 集合产生湮 灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并
第二章 波函数和Schroinger方程
质子在钯中的波函数 /groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• 勒让德多项式的性质
别名
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.7 势垒贯穿
如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换
§2.7 势垒贯穿
共振透射的条件和共振能量
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• • •
• •
辏力 普遍性质 若U(r)处处有界=>波函数处处有界 若U(r)有极小值,则体系平均能量必大于势场 的极小值 能量算符的本征值比大于势场的极小值 若无穷远处势场为零,则能量本征值小于零 的能谱必定是分立谱,对应束缚态
§2.5 一维谐振子
• • Motivation: 数学上: 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 通过数学,看物理
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粒子1位于 r1 r1 dr1 r2 r2 dr2 的几率是
….
rN rN drN
(r1 , r2 , r3 ....rN ,t) dr1dr2 ...drN
2
§2.2 态叠加原理
波函数的统计解释是粒子波粒二象性的表现（粒 子的位置，动量取值的概率由波函数给出）
微观粒子的波粒二象性还可以通过态叠加原理表 现出来
波函数的统计解释
波函数给出体系一个完全的描述(例如，测量
粒子的能量时，可给出预言可能测得那些能量 值和测得该能量值的几率等) 因此，可以说波函数描述了体系所处的量子状
态。以 ( r , t ) 描述体系，就称体系处于 ( r , t ) 态，
或称 ( r , t ) 为体系的态函数
波函数基本性质
干涉、衍射
§2.2 态叠加原理
量子力学的叠加原理
波函数是可能性和概率 干涉项的概率性 是粒子运动状态概率波自身的干涉,不 是不同粒子之间的干涉
§2.2 态叠加原理
波叠加原理的表述
如果1，2是体系可能的状态则 ＝c11+ c22也是这个体系可能的状态 在中,体系处于1，2 态的几率分别是c12 和c22
J ds J ds
n s s
无限远处波函数为0
d w(r, t)d d 0 t dt
第二章 波函数和Schrodinger方程
薛定谔
Erwin Schrodinger
(1887-1961)
§2.1 波函数的统计解释
波和它所描写的粒子之间到底是什么关系?
波由粒子组成
波是大量粒子运动的表现（如水波），那么粒子流的衍 射现象应该是粒子之间的相互作用形成的。 但是减少入射粒子流密度,让粒子近似地一个个从粒子源 射出后仍有衍射现象 这种说法错误
i pr 1 c(p, t) e (r, t)dr 3/2 (2 )
以动量为自变量：动量表象 C(p,t) 2：t时刻粒子具有动量p的几率 处在(r,t) 的粒子,动量无确定值
1 (r) (2 ) 3/2
c(p, t)e
i
pr
dp xdp ydp z
波函数的线性叠加
如果1， 2…. n 是体系的一个可能态,则＝∑cnn 是体系的可能态，并称 为n态的线性叠加态。
§2.2 态叠加原理
经典物理波遵从叠加原理
1，2a1＋b2 惠更斯原理：空间任意一点的P的光强可以 由前一时刻波前上所有点传播来的光波在P 点线性叠加而得
×
§2.3 薛定谔方程
薛定谔方程的两个惯例
只在直角坐标中适用
将H分成三部分:
与坐标无关的动量二次式
只依赖于坐标的函数
1 [Pf i (x, y, z) f (x, y, z)Pi ] 2 i
§2.4 粒子流密度和粒子数守恒
在非相对论的情况下，实物粒子既不产生也 不湮灭，所以在整个空间发现粒子的几率不 随时间变，即
只在直角坐标中适用，先用直角坐标表示，然后用动量 算符替换动量分量，最后再换到其他坐标 2 Px2 Py2 2 1 1 2 ( 2 2 2) 2m 2m
2 2 2 2 P 1 1 (P2 ) ( 2 2 2) 2 2m 2m
* i U(r) i U(r) * 2 2 * t 2m i t 2m i w(r, t) i i 2 2 ( ) ( ) t 2m 2m i J ( ) 2m
(r , t ) dr
2
其意义是，在 r r dr 处发现粒子的几率正比于
波函数不代表物理实体，是一个几率波； 波函数不能告诉你，t时刻测量时，粒子在什么位置， 在任何位置都有一定的可能性
(r , t ) 越大，说明在r处出现的几率越大,而不能确定
2
测量的结果：到底出现在哪里
波函数的统计解释
i
量子:几率性，计算平均值
波函数的归一化
在 r r dr 处发现粒子的几率正比于 (r , t ) dr
2
比例系数为C，
C (r , t )
2
dr 1
C
1
(r , t ) dr
2
( r , t ) C ( r , t )
归一化 波函数
2
(r , t )
( r , t ) 的平方可积
除了个别孤立奇点外，波函数连续单值有界
在势能有限大小的间断处，波函数在该处的导数仍连续
不确定性:
'( x0 0, t ) '( x0 0, t )
i) ห้องสมุดไป่ตู้ r , t ), c( r , t ) 表示同一个态（归一化） ii)位相不确定性 （ ( r , t )e ）：不影响几率
矢量J在体积V的界面S上 法向分量的面积分
J为概率流密度矢量 体积v中增加的概率＝v外部穿过边界S流进v的概率
§2.4 粒子流密度和粒子数守恒
为什么在空间找到粒子数的总几率与t无关？
w(r, t) d w(r, t)d Jd v t v v t
w(r, t) J 0 t
粒子数守恒定律
§2.4 粒子流密度和粒子数守恒
w(r, t) J 0 t
w(r, t) d w(r, t)d Jd v t v v t
J ds J ds
n s s
体积v中粒子出 现概率的变化率
§2.3 薛定谔方程
一般情况: 推广: 注意！
2 ˆ i 2 U(r) H t 2m 2 N ˆ i i 2 U(r1 ,r2....rN , t) H t i 1 2mi
同一力学量的经典表示，可得不同的量子 力学算符表示
2 Px 1 1 1 Px xPx 2m 2m x x
d 2 dr 0 dt
因为有波函数统计解释 , 因此概率流守恒定律 自动包含在薛定谔方程中
§2.4 粒子流密度和粒子数守恒
w(r, t) (r, t)(r, t)
* w(r, t) (r, t) (r, t) (r, t) (r, t) t t t
波恩：波函数的统计解释最正统
经典粒子
能量E
动量P 确定的轨道
无确定轨道
经典波
干涉
衍射
物理量的周期分布
出现几率的周期性分布
§2.1 波函数的统计解释
Max Born真正将量子粒子的微粒性和波动性统一起来。
粒子用一波函数 ( r , t ) 来描述， 在t时刻，在 r r dr 范围内，接收到粒子多少是与
(r , t ) dr 成正比
2
如果 ( r , t ) 是归一化的，则表示接收到粒子的几率 当发射粒子非常稀疏时，接收器上接收到的电子几乎 是“杂乱无章”的，但当时间足够长时，接收到的电 子数分布为 (r , t ) 2 dr
波函数的统计解释
波函数
( r , t )不是对物理量的波动描述。
在中,体系处于1，2….. n态的几率分别是c12， c22… cn2
任何时候观测到的都是一整个粒子,而不是cn2个粒 子 =>概率相干 线性叠加：叠加次序不重要
动量几率分布函数
以确定P运动粒子的波函数
p Ae
i (pr Et )
i ( p r ) 1 p (r) e 3/2 (2 )
2 2 2 2
c1 1 c 2 2 (c*1 *1 c2 2 )(c1 1 c 2 2 ) c1 1 c 2 2 c*1c 2 *1 2 c1c2 1 2
干涉项
§2.2 态叠加原理
波叠加原理的表述
如果1， 2…. n 是体系的一个可能态,则 ＝∑cnn 是体系 的可能态，并称 为n态的线性叠加态。
2
i E t 2 2 p 2
2 2 i t 2m
2 2 p 2 ( p p) ( i ) ( i )
p ( i )
Ei t
动量算符 能量算符
力学量用 算符表示!!
§2.3 薛定谔方程
§2.1 波函数的统计解释
粒子由波组成，粒子=波包？×
自由粒子对应的波是平面波，平面波在整个空 间传播，粒子充满整个空间？ 许多平面波的叠加对应粒子？
在传播过程中发生色散 d k 群速： v dt m 相速
k v t 2m
发生色散，粒子解体
§2.1 波函数的统计解释
i (p p' )r 1 c(p, t) e dr dp c(p, t) (r) p (r)dr dp 3 (2 )
p'
c(p, t)(p p' )dp c(p' , t)
如果有很多个全同的体系，在t时刻测量粒子的位 置可能的结果是 n ...........r dr
1 1
n2 ...........r2 dr n3 ...........r3 dr nn ...........rn dr
则测得粒子在r1 r1＋dr的几率为