第二章波函数和薛定谔方程
合集下载
第二章波动方程和薛定谔方程
1 (2πh )3 / 2 1 (2πh )3 / 2
p ⋅r v h C p t e dp x dp y dp z ， ( , ) ∫∫∫ ∞
i vv
− p ⋅r v h Ψ r t e dxdydz 。 ( , ) ∫∫∫
i vv
&&dinger 方程给出： 4、波函数随时间变化的规律由 Schro
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ
任意形状的势垒 U ( x) ，透射系数为：
D = D0 exp[−
四、典型例题
例 1、证明动量算符的属于本征值为 p' 的本征函数在动量表象中的表示是 δ ( p − p ' ) 。 证明：设 Ψ ( x, t ) 所描写的状态是具有动量 p ' 的自由粒子的状态，即
Ψ ( x, t ) = ψ p ' ( x )e
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。
第二章波函数和薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程本章重点1. 微粒的状态由波函数完全描写（正确理解ψ的意义和性质）.2. 状态随时间的变化遵从薛定谔方程（掌握，会用）.3. 几个应用例子，说明了量子力学处理问题的方法和结果的特征（逐步理解）.§2.1波函数的统计解释引入：在经典力学中，用坐标和动量描述质点的运动状态。
在量子力学中，我们也要找到描述微观粒子的量，由于量子力学与经典力学根本不同，在量子力学中，微观粒子既要描述粒子性又要描述其波动性。
那么这一章我们首先来找用什么量来描述微观粒子。
重点: 微粒的状态由波函数完全描写 难点: 波函数ψ的意义和性质的理解 一、状态的描述1. 经典力学中质点的状态由)(,v p r描写 经典力学中用)(,v p r两基本量来描写质点的状态。
〈1〉每个时刻t 该二量都有完全确定的数值，且随t 变化；在任一时刻，我们都能测到质点确定的动量和坐标，并且他们是连续变化的。
〈2〉质点的其它力学量，如L E r V E k，总),(,等全是p r ,的函数—p r,决定体系的一切性质。
〈3〉质点状态的变化（运动）遵从牛顿定律：F dtrd m =22，当F 已知时，如果初始时刻)(,000v p r已知，则积分得：00)(v dt m F t v t+=⎰ ， 00)(p dt F t p t +=⎰ ， 00)()(r dt t v t r t+=⎰,即任何时刻的)(),(t p t r完全确定.〈4〉)(t r描写质点运动的轨道。
2.微粒的状态由波函数),(t rψ来完全描写<1> 微粒除了粒子性，还有波动性，这就决定了它不可能同时具有确定的r 和p,自由粒子由平面单色波描写，（)(Et r p i Ae-⋅=ψ，以后我们会看到）这时p 有确定值，而r完全不确定。
微粒无同时确定的p r,，也就不可能有确定的轨道。
<2> 为了描写粒子的状态，量子力学中用一个反映其波粒二象性的波函数),(t rψ来描写。
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
第二章波函数和薛定谔方程
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一几率波， 所以波函数有一常数因子不定性。 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率 只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大 小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即
（2）3/ 2
exp[
p•
r]
则 Ψ可按Фp 展开
1
i
(r , t)
c(
p,
t )
p
Байду номын сангаас(r
)dp
(2)3/ 2
c( p, t)exp[ p • r ]dpxdpydpz
展开系数
c( p, t)
p
(r
)(r
,
t
)dr
1
（2）3/ 2
(r , t)exp[
i
p • r ]dxdydz
描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r , t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
• 3个问题？
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？
(3) 描写的是什么样的波呢？
P
P
电子源
O
感
Q光
屏
O Q
（1）两种错误的看法 1. 波由粒子组成
如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为：
2波函数和薛定谔方程
第二章
波函数和薛定谔方程
三、波函数的归一化
由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子 在空间各点出现的概率之和等于1，因而粒子在空间各点 出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而 不决定于强度的绝对大小。换句话说，将波函数乘上一 个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
(r , t ) 与 C (r , t ) 表示同一个态。
2
概率密度
dW ( x, y, z, t ) 2 ( x, y , z , t ) C ( x, y , z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
2
波函数和薛定谔方程
C ( x, y, z, t ) d 1
归一化
C
1
( x, y, z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
波函数和薛定谔方程
自由粒子的波函数
Ae
i ( pr Et )
如果粒子受到随时间或位置变化的力场的作用，它的 动量和能量不再是常量，这时粒子就不能用平面波来描写，
而必须用较复杂的波来描写。一般记为：
(r , t )
描写粒子状态的波函数，它 通常是一个复函数。
c1 1 c2 2 cn n
cn n
n
§2.2 态迭加原理
第二章
波函数和薛定谔方程
二、波函数按平面波展开
以一个确定的动量 p 运动的自由粒子的状态用波函数
p (r , t ) Ae
i ( pr Et )
描写。按照态迭加原理，粒子的状态可表示为
波函数为
i (r , t ) A exp ( p r Et )
量子力学2波函数和薛定谔方程
传统对波粒二象性的理解： （1）物质波包 物质波包会扩散， 电子衍射，
波包说夸大了波动性一面。 （2）大量电子分布于空间形成的疏密波。 电子双
缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒 子性一面。
对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也 是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再 是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。 在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。
也是一个可能的波动过程。
波的干涉、衍射现象可用波的迭加原理解释。 二、量子力学的态迭加原理
如果 1 和 2 是体系的可能状态，那么它们的线性 迭加： c11 c21（c1 ，c2是复数）也是这个体系 的一个可能状态。
三、电子双缝衍射 P
设 1 表示电子穿过上面窄
缝到达屏的状态，设 2 表 示电子穿过下面窄缝到达
二、波函数的(Born)统计解释
1、几率波
1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学
上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波
函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该
点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。
描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同 一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。
dW 应正比于体积 d dxdydz 和强度 2
dW(x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
2.1 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
2
dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) d 1
2.2 归一化常数
C
1
2
可由归一化条件确定
(x, y, z,t) d
的线性迭加： c11 c22 cn n cn n
波包说夸大了波动性一面。 （2）大量电子分布于空间形成的疏密波。 电子双
缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒 子性一面。
对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也 是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再 是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。 在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。
也是一个可能的波动过程。
波的干涉、衍射现象可用波的迭加原理解释。 二、量子力学的态迭加原理
如果 1 和 2 是体系的可能状态，那么它们的线性 迭加： c11 c21（c1 ，c2是复数）也是这个体系 的一个可能状态。
三、电子双缝衍射 P
设 1 表示电子穿过上面窄
缝到达屏的状态，设 2 表 示电子穿过下面窄缝到达
二、波函数的(Born)统计解释
1、几率波
1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学
上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波
函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该
点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。
描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同 一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。
dW 应正比于体积 d dxdydz 和强度 2
dW(x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
2.1 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
2
dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) d 1
2.2 归一化常数
C
1
2
可由归一化条件确定
(x, y, z,t) d
的线性迭加： c11 c22 cn n cn n
第二章 波函数和薛定谔方程
2.波恩（Born）对波函数的统计解释，概率波 2.波恩 Born）对波函数的统计解释， 波恩（ 水波的双狭缝干涉： 水波的双狭缝干涉：
I12 = h1 + h2 = h1 + h2 + (h h + h h )
2 2 2 * 1 2 * 1 2
= I1 + I2 +干涉项
11
子弹点射
•
1 2
ψ ψ
P1
1
2Байду номын сангаас
P
P 2
P= P +P 1 2
12
电子双缝衍射
电子的干涉现象与水波干射完全相似，但与子弹点射 完全不同。与水波干射的含意也有着本质的不同，前 者是强度，后者是接收到的电子多少！
13
电子干涉实验的结论： 电子干涉实验的结论： 大量电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个 大量电子在同一个实验中的统计结果， 电子在多次相同实验中的统计结果。 电子在多次相同实验中的统计结果。
8
何为波包？ 何为波包？
波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包的频率是 波矢的函数（ ω = ω(k)），我们将频率作泰勒展开
dω 1 d 2ω 2 ω(k) = ω(0) + k+ k +L 2 dk 2! dk dω d 2ω 是波包的群速度； 2 表示 ω(0)是基波，为常数；
波包的扩散；若 扩散。 由于
r Ψ(r , t) 的变化遵从薛定谔方程。 4） 的变化遵从薛定谔方程。
5
二、波函数的统计解释
r 如果粒子处于随时间和位置变化的力场 U(r , t) 中，它 的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）， ），粒子 的动量和能量不再是常量（或不同时为常量），粒子 的状态就不能用平面波描写， 的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描 一般记为： 写，一般记为：
量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子 在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态） ②波函数一般用复函数表示。
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∞
2
∫ψ
2
dτ = A 2 ∫ dτ = ∞ 这样 C 为零，显然没有意义。
∞
例：假如粒子只在一维空间运动，它的状态可以用波函数
⎧0 ⎪ ψ = ⎨ − i Et π h sin x ⎪ Ae a ⎩
( x ≤ 0, x ≥ a ) (0 ≤ x ≤ x )
在 t=0 时函数曲线如图， 来描述， 式中 E 和 a 分别为确定的常数， 而 A 为任意常数，求 ⑴ 归一化波函数； ⑵ 几率函数（几率密度） w ； ⑶ x, x 的值。 解 ⑴ 在一维空间里
ih
r r ∂ ˆ ψ (r ψ (r , t ) = H , t) ∂t
2.3-1 [*]有量子力学第三原理的说法
若含有状态参量,则方程只能被粒子的部 分状态所满足.而不能被各种可能的状态 所满足.
——波函数随时间变化的规律
ˆ ——为哈密顿算符 式中 H
2.3.1 S-eq 的建立 1． 方程是线性的 2． 这个方程的系数不应包含状态参量（如：动量、能量等） 3． ——在量子力学中微观体系的运动状态是用一个波函数描述，所以，反映微观粒子运动规律的波 函数ψ ( r , t ) 应是对时间的一阶微分方程；
2． 三维情况
∫
∞
−∞ ∞
C ( p )e
i
p x h
dp
（2.2-2）
x
∫
−∞
ψ ( x )e
−i
p
dx
1r r i p⋅ x ⎧ r ∞ r 1 C ( p, t )e h dp x dp y dp z ⎪ψ (r , t ) = (2πh ) 3 / 2 ∫−∞ ⎪ ⎨ i r r − p.r ∞ r r 1 ⎪C ( p h = , t ) ψ ( r , t ) e dxdydz ⎪ (2πh ) 3 / 2 ∫−∞ ⎩
（ⅱ）与（ⅴ）比较得
（ⅴ）
ih
∂ψ p ∂t
=−
h2 2 ∇ψp 2μ
体系处于ψ 状态
2
也是微观体系的可能状态。
则它部分地处于ψ 1 ，ψ 2 态中 因为
2 2
ψ
= C1ψ 1 + C 2ψ
2
= (C1ψ 1 + C 2ψ ) (C1ψ 1 + C 2ψ )
* 2 * * * + C1*C 2ψ 1*ψ 2 + C1 C 2 ψ 1ψ 2
= C1ψ 1 + C 2ψ
（2.2-1）
记为：
6
∇ 2ψ p = − −
p2 ψp h2
式中 ∇ 为劈形算符，且 ∇ =
（ⅲ）
动量
∂ r ∂ r ∂ r i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
因为对自由粒子的能量和却是的关系式：
E=
p2 2μ
（ⅳ）
将（ⅲ）式两端除 2 μ ， μ 是粒子的质量 所以
h2 2 − ∇ ψ p = Eψ p 2μ
ψ ( x, y , z , t ) = CΦ ( x , y , z , t )
代入（2.1）中显然成立
dW = C Φ (r, t ) dτ = ψ ( x, y, z , t ) dτ
由（2.2）得几率密度
2
2
（2.5）
w( x, y, z , t ) = ψ ( x, y, z , t )
则（2.3）改为
2
Fig 2.1
2
∞
∫ ψ ( x, t )
a
2
dx = 1
亦
∫
由ψ ( x, t ) 的表达式得
i − Et h
0
−∞
ψ ( x, t ) dx + ∫ ψ ( x, t ) dx + ∫ ψ ( x, t ) dx = 1
2 2 2 0 a
−∞
A
即
2
∫
A
0
(e
sin
π
a
x)(e
i Et h
ห้องสมุดไป่ตู้
sin
∞
∫ψ
2
dτ = A > 0
∞
∫
ψ (r )
A
2
dτ = 1 ，
1 A
称为
归一化因子 2． 波函数的归一化 根据波函数的统计解释，粒子（不产生，不湮灭）在空间各点的几率之总和为一，即（2.2）波函数 应满足的条件
1
C=
1
∞
∫ Φ ( x , y , z , t ) dτ
2
（2.4）
——这称为波函数的归一化条件。 由于波函数乘上一个常数后不改变在空间找到粒子的几率，所以将上式开方后乘 Φ ，并用ψ 表示， 即
（2.2-2） ‘
3． 物理意义 ——任意波函数可以展成平面波的迭加
ψ ( r , t ) − − − − − − − − − − − − − − − − − −− → C ( p, t )
坐标表象下的波函数 动量表象下的波函数
r
r
注：波函数可选定一 特殊的表象来描述
5
§2.3 薛定谔方程（Schrödinger-equation）
式中
付里叶变换 付里叶逆变换
∫
∞
−∞
f ( x)dx 存在， f ( x ) 在 ( −∞,+∞ ) 内分段光滑（即只有第一类间断点）
1/ 2
在上式中取 F (λ ) → ( 2π )
F (λ ) ，则
∞ 1 ⎧ ( ) = f x F (λ )e iλx dλ 1 / 2 ∫− ∞ ⎪ (2π ) ⎪ ⎨ ∞ 1 ⎪ F (λ ) = f ( x)e −iλx dx 1 / 2 ∫− ∞ ⎪ (2π ) ⎩
以上积分用分部法积分
3． 相对几率密度 ——几率的大小只与空间不同位置几率密度的相对大小有关。 波函数的三种等价形式，设
ψ1
r
ψ2
r r
ψe iδ (δ是实常数）
设波函数是 Cψ ( r ) 的情况下，在空间 r1 点与在空间 r2 点的相对几率是
r 2 r 2 cψ (r1 ) ψ (r1 ) r 2 = r 2 cψ (r2 ) ψ (r2 )
π
a
x)dx = 1
A2 ∫ sin
0
A
π
a
xdx = 1
积分后有
A2 ⋅
所以归一化因子
a =1 2
A=
则归一化波函数为
2 a
( x ≤ 0, x ≥ a ) (0 ≤ x ≤ x )
⎧0 ⎪ ψ = ⎨ 2 − i Et π h sin x ⎪ e a ⎩ a
解⑵ 几率函数（几率密度） w ；
⎧0 ⎪ w( x) = ψ ( x, t ) = ⎨ 2 2 π sin x ⎪ a ⎩a
∂ψ p
或
i = − Eψ P ∂t h
记住后面要用。
ih
∂ψ p ∂t
= Eψ P
（ⅱ）
将（ⅰ）的两边对 x 求二次偏导，得到
∂ 2ψ p ∂x 2
=A
rr ∂ 2 Et − p ⋅r e ∂x 2
[
]
or
2
∂ψ p ∂x
∂ 2ψ p ∂x 2
=
i p xψ p h
− ih
∂ψ p ∂x
= p xψ p
dW = C Φ (r, t ) dτ
注：C 是比例常数， Φ 是复函数，且 Φ (r , t ) = Φ (r , t )e
三层含意：
iθ
2
（2.1）
——在某时刻在空间 dτ 范围内发现粒子的几率。且 Φ (r , t ) = Φ * (r , t )Φ (r , t ) ，由（2.1）得
2
w( x, y, z , t ) =
找到几率最大，求解并进行分析，可知 x=2/a 处到粒子的几率最大。 ⑶ x, x 的值。
2
x = ∫ xψ ( x, t ) dx =
2
−∞
∞
π a 2 a x sin 2 xdx = ∫ a 0 a 2
3
x 2 = ∫ x 2 ψ ( x, t ) dx =
2
∞
−∞
2 a 2 a3 a2 2 π x sin x dx = − a ∫0 a 3 2π 2
ψ p = Ae
i ( k ⋅r −ωt )
= Ae
i ( P⋅r − Et ) h
2.0
3． 一般情况下→波函数与哈密顿（Hamilton）量对应
H → ψ (r , t )
是微观粒子波粒二象性的表现。 （2） 波函数统计解释 * 1． 波恩对波函数的统计解释 （量子力学的基本原理之一） ——波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例 （3） 数学描述 1． 位置几率密度
dW 2 = C Φ (r.t ) dτ
2
（2.2）
——在 t 时刻在（x,y,z）点附近找到粒子的几率，叫位置密度。
∞
∫ dW = C ∫ Φ(r, t )
∞
dτ = 1
（2.3）
——在整个空间中粒子出现的几率，这称为波函数的归一化条件。 注： *重要的是相对几率，见曾谨言P27； **波函数的归一化条件相当于波函数的平方可积条件
量子力学基本假定之 一 是微观粒子波粒二象性的表现。
r
r
r
a
λ
=n
n=1,2,3……
Fig 2.1 经典波迭加
2
特点：①波迭加；②线性迭加；③有条件迭加。 （2） 量子力学中的态迭加原理 1． 两个量子态迭加 若 则 若
ψ 1 ，ψ 2 是微观体系的可能状态（以双狭缝为例，教材P14）
ψ = C 1ψ 1 + C 2ψ
2
∫ψ
2
dτ = A 2 ∫ dτ = ∞ 这样 C 为零，显然没有意义。
∞
例：假如粒子只在一维空间运动，它的状态可以用波函数
⎧0 ⎪ ψ = ⎨ − i Et π h sin x ⎪ Ae a ⎩
( x ≤ 0, x ≥ a ) (0 ≤ x ≤ x )
在 t=0 时函数曲线如图， 来描述， 式中 E 和 a 分别为确定的常数， 而 A 为任意常数，求 ⑴ 归一化波函数； ⑵ 几率函数（几率密度） w ； ⑶ x, x 的值。 解 ⑴ 在一维空间里
ih
r r ∂ ˆ ψ (r ψ (r , t ) = H , t) ∂t
2.3-1 [*]有量子力学第三原理的说法
若含有状态参量,则方程只能被粒子的部 分状态所满足.而不能被各种可能的状态 所满足.
——波函数随时间变化的规律
ˆ ——为哈密顿算符 式中 H
2.3.1 S-eq 的建立 1． 方程是线性的 2． 这个方程的系数不应包含状态参量（如：动量、能量等） 3． ——在量子力学中微观体系的运动状态是用一个波函数描述，所以，反映微观粒子运动规律的波 函数ψ ( r , t ) 应是对时间的一阶微分方程；
2． 三维情况
∫
∞
−∞ ∞
C ( p )e
i
p x h
dp
（2.2-2）
x
∫
−∞
ψ ( x )e
−i
p
dx
1r r i p⋅ x ⎧ r ∞ r 1 C ( p, t )e h dp x dp y dp z ⎪ψ (r , t ) = (2πh ) 3 / 2 ∫−∞ ⎪ ⎨ i r r − p.r ∞ r r 1 ⎪C ( p h = , t ) ψ ( r , t ) e dxdydz ⎪ (2πh ) 3 / 2 ∫−∞ ⎩
（ⅱ）与（ⅴ）比较得
（ⅴ）
ih
∂ψ p ∂t
=−
h2 2 ∇ψp 2μ
体系处于ψ 状态
2
也是微观体系的可能状态。
则它部分地处于ψ 1 ，ψ 2 态中 因为
2 2
ψ
= C1ψ 1 + C 2ψ
2
= (C1ψ 1 + C 2ψ ) (C1ψ 1 + C 2ψ )
* 2 * * * + C1*C 2ψ 1*ψ 2 + C1 C 2 ψ 1ψ 2
= C1ψ 1 + C 2ψ
（2.2-1）
记为：
6
∇ 2ψ p = − −
p2 ψp h2
式中 ∇ 为劈形算符，且 ∇ =
（ⅲ）
动量
∂ r ∂ r ∂ r i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
因为对自由粒子的能量和却是的关系式：
E=
p2 2μ
（ⅳ）
将（ⅲ）式两端除 2 μ ， μ 是粒子的质量 所以
h2 2 − ∇ ψ p = Eψ p 2μ
ψ ( x, y , z , t ) = CΦ ( x , y , z , t )
代入（2.1）中显然成立
dW = C Φ (r, t ) dτ = ψ ( x, y, z , t ) dτ
由（2.2）得几率密度
2
2
（2.5）
w( x, y, z , t ) = ψ ( x, y, z , t )
则（2.3）改为
2
Fig 2.1
2
∞
∫ ψ ( x, t )
a
2
dx = 1
亦
∫
由ψ ( x, t ) 的表达式得
i − Et h
0
−∞
ψ ( x, t ) dx + ∫ ψ ( x, t ) dx + ∫ ψ ( x, t ) dx = 1
2 2 2 0 a
−∞
A
即
2
∫
A
0
(e
sin
π
a
x)(e
i Et h
ห้องสมุดไป่ตู้
sin
∞
∫ψ
2
dτ = A > 0
∞
∫
ψ (r )
A
2
dτ = 1 ，
1 A
称为
归一化因子 2． 波函数的归一化 根据波函数的统计解释，粒子（不产生，不湮灭）在空间各点的几率之总和为一，即（2.2）波函数 应满足的条件
1
C=
1
∞
∫ Φ ( x , y , z , t ) dτ
2
（2.4）
——这称为波函数的归一化条件。 由于波函数乘上一个常数后不改变在空间找到粒子的几率，所以将上式开方后乘 Φ ，并用ψ 表示， 即
（2.2-2） ‘
3． 物理意义 ——任意波函数可以展成平面波的迭加
ψ ( r , t ) − − − − − − − − − − − − − − − − − −− → C ( p, t )
坐标表象下的波函数 动量表象下的波函数
r
r
注：波函数可选定一 特殊的表象来描述
5
§2.3 薛定谔方程（Schrödinger-equation）
式中
付里叶变换 付里叶逆变换
∫
∞
−∞
f ( x)dx 存在， f ( x ) 在 ( −∞,+∞ ) 内分段光滑（即只有第一类间断点）
1/ 2
在上式中取 F (λ ) → ( 2π )
F (λ ) ，则
∞ 1 ⎧ ( ) = f x F (λ )e iλx dλ 1 / 2 ∫− ∞ ⎪ (2π ) ⎪ ⎨ ∞ 1 ⎪ F (λ ) = f ( x)e −iλx dx 1 / 2 ∫− ∞ ⎪ (2π ) ⎩
以上积分用分部法积分
3． 相对几率密度 ——几率的大小只与空间不同位置几率密度的相对大小有关。 波函数的三种等价形式，设
ψ1
r
ψ2
r r
ψe iδ (δ是实常数）
设波函数是 Cψ ( r ) 的情况下，在空间 r1 点与在空间 r2 点的相对几率是
r 2 r 2 cψ (r1 ) ψ (r1 ) r 2 = r 2 cψ (r2 ) ψ (r2 )
π
a
x)dx = 1
A2 ∫ sin
0
A
π
a
xdx = 1
积分后有
A2 ⋅
所以归一化因子
a =1 2
A=
则归一化波函数为
2 a
( x ≤ 0, x ≥ a ) (0 ≤ x ≤ x )
⎧0 ⎪ ψ = ⎨ 2 − i Et π h sin x ⎪ e a ⎩ a
解⑵ 几率函数（几率密度） w ；
⎧0 ⎪ w( x) = ψ ( x, t ) = ⎨ 2 2 π sin x ⎪ a ⎩a
∂ψ p
或
i = − Eψ P ∂t h
记住后面要用。
ih
∂ψ p ∂t
= Eψ P
（ⅱ）
将（ⅰ）的两边对 x 求二次偏导，得到
∂ 2ψ p ∂x 2
=A
rr ∂ 2 Et − p ⋅r e ∂x 2
[
]
or
2
∂ψ p ∂x
∂ 2ψ p ∂x 2
=
i p xψ p h
− ih
∂ψ p ∂x
= p xψ p
dW = C Φ (r, t ) dτ
注：C 是比例常数， Φ 是复函数，且 Φ (r , t ) = Φ (r , t )e
三层含意：
iθ
2
（2.1）
——在某时刻在空间 dτ 范围内发现粒子的几率。且 Φ (r , t ) = Φ * (r , t )Φ (r , t ) ，由（2.1）得
2
w( x, y, z , t ) =
找到几率最大，求解并进行分析，可知 x=2/a 处到粒子的几率最大。 ⑶ x, x 的值。
2
x = ∫ xψ ( x, t ) dx =
2
−∞
∞
π a 2 a x sin 2 xdx = ∫ a 0 a 2
3
x 2 = ∫ x 2 ψ ( x, t ) dx =
2
∞
−∞
2 a 2 a3 a2 2 π x sin x dx = − a ∫0 a 3 2π 2
ψ p = Ae
i ( k ⋅r −ωt )
= Ae
i ( P⋅r − Et ) h
2.0
3． 一般情况下→波函数与哈密顿（Hamilton）量对应
H → ψ (r , t )
是微观粒子波粒二象性的表现。 （2） 波函数统计解释 * 1． 波恩对波函数的统计解释 （量子力学的基本原理之一） ——波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例 （3） 数学描述 1． 位置几率密度
dW 2 = C Φ (r.t ) dτ
2
（2.2）
——在 t 时刻在（x,y,z）点附近找到粒子的几率，叫位置密度。
∞
∫ dW = C ∫ Φ(r, t )
∞
dτ = 1
（2.3）
——在整个空间中粒子出现的几率，这称为波函数的归一化条件。 注： *重要的是相对几率，见曾谨言P27； **波函数的归一化条件相当于波函数的平方可积条件
量子力学基本假定之 一 是微观粒子波粒二象性的表现。
r
r
r
a
λ
=n
n=1,2,3……
Fig 2.1 经典波迭加
2
特点：①波迭加；②线性迭加；③有条件迭加。 （2） 量子力学中的态迭加原理 1． 两个量子态迭加 若 则 若
ψ 1 ，ψ 2 是微观体系的可能状态（以双狭缝为例，教材P14）
ψ = C 1ψ 1 + C 2ψ