第二章波函数[详细讲解]
基本波函数精品PPT资料
解的特征是本征值具有离散谱，也就是本征值取一些离散值；
而 在 无 限 区 （ 如 在 天 线 周 围 ）， 本 征 值 具 有 连 续 谱 ， 也 就 是 本 征 值 取 连 续 值 。
表3-1 谐函数的类型及对应的性质
h(kx x) e jkx x
e jkx xsin kx Fra bibliotek cos kx x
kx
kx'
jk
'' x
k
'' x
0
k
' x
0
复数 kx
k
'' x
0
k
' x
0
复数 kx
k
'' x
0
k
' x
0
k
'' x
0
k
' x
0
函数的表示
e jk
' x
x
ek
'' x
x
e e kx'' x
jkx' x
e jk
' x
x
ek
'' x
x
e e kx'' x jkx' x
sin
k
' x
x
sinh kx'' x
cos
k
' x
x
cosh kx'' x
波动特性
向 x 方向传播的等幅行波 随 x 衰减的凋落波 向 x 方向传播的衰减行波
向 x 方向传播的等幅行波 随 x 衰减的凋落波 向 x 方向传播的衰减行波
第二章 波函数和薛定谔方程
n 2
{
n/2 n 1 / 2
(n为偶数) n为奇数
1 En n 2
n 0,1,2,
En1 En
E0 1 2
n x N n e
1 2 x2 2
H n x
N n 1/ 2 n 2 n!
第二章 波函数和Schroinger方程
质子在钯中的波函数 /groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(1)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(2)
§2.4 一维方势阱
思考题: 半壁无限势阱时的解如何?
§2.5 一维谐振子
• • • • • • Motivation: 物理上: 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 辐射场简谐波的叠加 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态波函数可取为实数
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象(图见后)
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
第二章波函数和薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程本章重点1. 微粒的状态由波函数完全描写（正确理解ψ的意义和性质）.2. 状态随时间的变化遵从薛定谔方程（掌握，会用）.3. 几个应用例子，说明了量子力学处理问题的方法和结果的特征（逐步理解）.§2.1波函数的统计解释引入：在经典力学中，用坐标和动量描述质点的运动状态。
在量子力学中，我们也要找到描述微观粒子的量，由于量子力学与经典力学根本不同，在量子力学中，微观粒子既要描述粒子性又要描述其波动性。
那么这一章我们首先来找用什么量来描述微观粒子。
重点: 微粒的状态由波函数完全描写 难点: 波函数ψ的意义和性质的理解 一、状态的描述1. 经典力学中质点的状态由)(,v p r描写 经典力学中用)(,v p r两基本量来描写质点的状态。
〈1〉每个时刻t 该二量都有完全确定的数值，且随t 变化；在任一时刻，我们都能测到质点确定的动量和坐标，并且他们是连续变化的。
〈2〉质点的其它力学量，如L E r V E k，总),(,等全是p r ,的函数—p r,决定体系的一切性质。
〈3〉质点状态的变化（运动）遵从牛顿定律：F dtrd m =22，当F 已知时，如果初始时刻)(,000v p r已知，则积分得：00)(v dt m F t v t+=⎰ ， 00)(p dt F t p t +=⎰ ， 00)()(r dt t v t r t+=⎰,即任何时刻的)(),(t p t r完全确定.〈4〉)(t r描写质点运动的轨道。
2.微粒的状态由波函数),(t rψ来完全描写<1> 微粒除了粒子性，还有波动性，这就决定了它不可能同时具有确定的r 和p,自由粒子由平面单色波描写，（)(Et r p i Ae-⋅=ψ，以后我们会看到）这时p 有确定值，而r完全不确定。
微粒无同时确定的p r,，也就不可能有确定的轨道。
<2> 为了描写粒子的状态，量子力学中用一个反映其波粒二象性的波函数),(t rψ来描写。
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
第二章波函数与波动方程
∫ = dx
−
e
x02 +ρ2
aρdρdφ
8πa3
∫ = dx
−
e
x02 +ρ2
aρdρdφ
8πa3
=
x 02dx 4a 3
∞
∫e
−1x0源自Ra RdR=
x 02dx 4a 3
[−
a x0
(Re− x 0
R
a
∞ 1
+
∞
∫e
−
x
0
1
R
a dR )]
= x02dx ( a e− x 0 a + a 2 e− x 0 a )dx
n1次 n 2次
n m次
x1 − x1 + dx x2 − x2 + dx
0
xm − xm + dx
当对足够多的同样的体系进行测量后，即
在大量的完全相同的体系中，同时测量，那发
现粒子在 xi − xi + dx 处的概率
∑ni
nm
=
ψ(xi , t) 2 dx
m
体系的波函数 ψ(r, t) 给出了体系所有信息 （可能范围内的），它给出体系一个完全的描 述（例如，测量粒子的能量时，可给出预言可能 测得那些能量值和测得该能量值的概率，等等）。 正因为如此，我们可以说波函数描述了体系所 处的量子状态，或称状态。以 ψ(r, t) 描述体系， 就称体系处于 ψ(r, t) 态，或称 ψ(r, t)为体系的态 函数。
ϕ(r, t) 2dr
是粒子处于 r − r + dr 中的概率。所以在
r0 − 0 和 r0 + 0 处概率当然应该相等。因 此，在任何条件下 ϕ(r, t) 应连续；
量子力学第二章波函数
第二章波函数和薛定谔方程2.1 波函数的统计解释与态叠加原理1、波函数的统计解释上一章已说到，为了表示粒子的波粒二象性，可以用复数形式的平面波束描写自由粒子。
自由粒子是不受力场作用的，它的能量与动量都是常量。
如果粒子受到随时间及位置等变化的力场的作用，它的能量和动量就不再是常量，或者不再都是常量。
这时，粒子就不能用平面波来描写，设这时描写粒子的波是某一个函数，这个函数就称为波函数。
它描写粒子所处的状态，所以也称为态函数，它通常是一个复数。
究竟怎样理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢？对于这个问题，曾经有过各种不同的看法。
例如，将波看作是由它所描写的粒子构成的，这种看法是不对的。
我们知道，衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波果真是由它所描写的粒子构成，则粒子流的衍射现象应当是由于构成波的这些粒子相互作用而形成的。
但事实证明，在粒子流的衍射实验中，照片上所显示出来的衍射图形与入射粒子流的强度无关，如果减少入射粒子流强度，即使粒子是一个一个地被衍射，虽然一开始照片上的点子看起来是毫无规则的，但当足够长的时间后，如果落在照片上的粒子数基本上保持不变，则所得到的衍射图形是相同的。
这说明每一个粒子被衍射的现象与其他粒子无关，衍射图形不是由粒子之间的相互作用而产生的。
除了上面的看法外，还有其他一些企图解释波函数的尝试，但都因与实验事实不符而被否定。
为人们所普遍接受的对波函数的解释，是由玻恩（Born）首先提出的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
按照这种解释，描写粒子的波及是几率波。
按照波函数的几率解释，很容易理解衍射实验：每一个粒子都具有波性，所以每一个粒子都被衍射。
但如果粒子数很少，则统计性质显示不出来，所以在照片上的点子看起来好象是毫无规则的；如果粒子数目足够大，则在波的强度最大的地方，粒子投射在这里的几率也最大，便出现衍射极大，在波的强度最小的地方，粒子投射在这里的几率也最小，便出现衍射极小。
第二章波函数[详细讲解]
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dr u dt k
In contrast with electromagnetic wave, matter waves show dispersion in a vacuum. The relativistic energy theorem for free particle
The motion of a particle confined a cube
Ne 0
i ( k r t )
for r within V=L3
for r outside V=L3
On the surface of cube, wave functions must satisfy boundary condition.
Example
Calculate the wavelength of X ray (with energy 10 KeV ), eletron (1 keV) and neutron (5 eV). Solution: the momentum of particle is
2 2 p ( E / c)2 m0 c
A
How is the electron twoslits-diffraction experiment?
Two slits synchronously
Open one by one
2.2-1 Probability Wave
• Born’s (波恩) statistical interpretation:
0 0
0
The shorter the wavelength, the shorter the distance between two point that can be distinctly through the microscope.
量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
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The phase velocity
dr u dt k
In contrast with electromagnetic wave, matter waves show dispersion in a vacuum. The relativistic energy theorem for free particle
Charpter II Wave Function
2.1 Matter Waves 2.2 The Statistical Interpretation of Matter Waves 2.3 Mean (Expectation) Values in Quantum Mechanics 2.4Three Quantum Mechanical operators 2.5 The Superposition Principle in Quantum Mechanics 2.6 The Heisenberg Uncertainty Principle
2
2
w m0c2 k u ... k k 2m0
w E m c2 c 2 u k k p mv v
We define the group velocity (群速) as
d d ( ) dE vg dk d (k ) dp
The group velocity is identical with the particle velocity
2.1 The Matter Wave
According to De Broglie’s propose, matter (electron, neutron) possesses wave-particle duality. The energy and momentum of matter waves can be expressed:
0 0
0
The shorter the wavelength, the shorter the distance between two point that can be distinctly through the microscope.
2.2 The Statistical Interpretation of matter wave (物质波的统计诠释)
E m c p c
2 2 4 0
2 2
m0 is the rest mass (静止质量) When v<<c,
2 p 2 4 E mc2 m0 c p 2c2 m0c2 ... 2m0
m0 c k (k ) ... 2m0
Phase velocity
According to
p
h
For photon, m0=0,
photon hc / E
In nonrelativistic limit, for electron and neutron, v << c,
p E 2 2m0
2
h / 2m0 E
So we obtain
பைடு நூலகம்
photon (10keV) 1.20 A, electron(1keV) 0.39 A, Neutron (5 eV) 0.13A
Whether this wave should be assigned physical reality?
How to interpret a wave describing a particle?
Yong’s two-slits-diffraction experiment S
P S1 S2 d Q D B
The intensity of wave function at one position is proportional to the probability that particle presents there.
wave function is called probability wave The absolute square of wave function is the probability that particle presents there
E h
h p k
For a free particle, a plane wave is assigned:
(r , t ) A exp[i(k r t )]
The phase of the wave
(r , t )
k r t constant
A
How is the electron twoslits-diffraction experiment?
Two slits synchronously
Open one by one
2.2-1 Probability Wave
• Born’s (波恩) statistical interpretation:
Example
Calculate the wavelength of X ray (with energy 10 KeV ), eletron (1 keV) and neutron (5 eV). Solution: the momentum of particle is
2 2 p ( E / c)2 m0 c