苏汝铿量子力学习题答案第二章2.16-2.18
量子力学教程课后习题问题详解
2 (0) 1 (0) ⑤
2 (a) 3 (a) ⑥
⑤ ⑥ A0 sin ka 0 ka n
B 0 (n 1, 2, 3,)
∴ 2 (x)
Asin
n a
x
Asin ka 0
10
由归一化条件
(x) 2 dx 1
得
A2
a
sin 2
n
xdx
1
0
a
由
a
sin
b
m a
x sin
这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的； 另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此 解正是所要求的，这样则有
mT
hc xk
把 x 以及三个物理常量代入到上式便知
mT 2.9 10 3 m K
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰 值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定 温度的高低。
1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量； （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场 H=10T，玻尔磁子 M B 9 10 24 J T 1 ，试计算运能的量子化间
隔△E，并与 T=4K 及 T=100K 的热运动能量相比较。 解 玻尔——索末菲的量子化条件为
根据动能与温度的关系式 以及
E 3 kT 2
可知，当温度 T=4K 时，
1k K 103 eV 1.6 1022 J
当温度 T=100K 时，
E 1.5 41.61022 J 9.61022 J
E 1.5 100 1.6 1022 J 2.4 1020 J 显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.31-2#3
x 0
2 x
x 0
eik0 y sin Reik0 y sin Te
ik y y
ik0 cos eik0 y sin Rik0 cos eik0 y sin Tik xe
ik y y
由于势能与 y 无关,则有 k y k0 sin ,上式变为
2 Ze / x, x 0 V x 的结果相比较. , x 0
解:根据维理定律
x 1 1 E V x Ze2 dx 2 2 x 2
如果当 x 0 时, x 不趋于零,上述积分会发散, E 会趋近于负无穷大 .这是不可能的 ,所以 我们得到 0 0 .这样我们就可以用 Laplace 变换来解决这个问题. 势能为 V x 一维薛定谔方程为
2
2
k02 sin 2
ii 在 x 0 区域中,波函数的形式和 i 中一样
在 0 x t 区域中, E V 0 ,薛定谔方程变为
2
/ 2m 2 0
在 y 方向上势能是不变的,我们有 exp ik x exp kx ,其中 k k0 sin ,
C
4ik
eikc e c 1 ik / e c 1 ik /
2 2
因为在 I 中已经取入射波的形式为 eikx ,所以透射系数 T CC * ,则有
T
k
2
2 2
4k 2 2 sinh 2 c 4k 2 2
2
当 c
1 ,即 V0 E
2
s
2
1 1 s 1 s ds
量子力学答案 苏汝铿 第二章课后答案2#16
e2 1 8a n2
a
2
me2
e2
e2 4
E
1 me4 1 2 2 ( px py ) 2m 32 2 n2
基态能量为： E
me4 32 2
对应波函数为： 100 ( x, y, z )
2z a
3 2
e
z a
0 z 0 dx3 100 100 z
2m(U 0 E ) 2
可解得径向部分的波函数是
R(r ) Akl jl (kr) (r a) (1) R(r ) Bk l hl (ik r ) (r a)
(1) 式中 jl (r ) 为球贝塞尔函数, hl (ik r ) 为球汉克尔函数
利用在 r a 处波函数 (r ) 及波函数的一阶微商 (r ) 都连续
x2 y 2 2 xy 2 (1 ) 2 (1 )
进行变量代换后的薛定谔方程为：
2 2 2 2 2 2 A 2 2 2 (1 ) (1 ) B( z 2 z ) E 2m z
2.24
2z 4 3 6 2 3 a z e dz a a3 2 me2 0
一 个 质 量 为 m 的 非 相 对 论 粒 子 在 一 势 场 中 运 动 ， 势 场 是
U ( x, y, z ) A( x 2 y 2 2 xy) B( z 2 2 z ) ，其中 A 0 ， B 0 ， 1 ， 是任意
1 x x x 2 ( ) 则 1 ( ) 2 y y y
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.16-2#14
2r 1 a 2 e x dxdydz 3 a 2r 1 3 e a r 2 dxdydz 3a 2r 4 4 而 3 e a r dr 3a 4 a 3 g( )5 4! 3a 2 a2
x
h2 2 h2 h 2 2 x p a 所以 3a 2 3 2
这为适合流超比方程，要使Ｒ（p）在 趋于０则有解
( ) F (S 1
s 1
本征值为
a ), 2s 2, ) 2 Eh
a n 2 Eh
n＝０、１、２…..
且 所以
Enl
2
a2
2h 2 (n s 1)2
2
而 s ( (2l 1) 8 A / h 1) / 2 第 14 组 彭毅 姜麟舜 200431020117 200431020119
2h 2 2ah a3 ( p 2 h / a 2 )2
于是
px | ( p) | px dpx d p y dpz
0
由于被积函数对 px 是奇函数
2 2 px | ( p ) |2 p x dpx d p y dpz
1 | ( p) |2 p 2 dpx d p y dpz 3 8h 5 2 p4 2 5 dp sin d d 3 a 0 0 0 ( p h ) 4 a2 h2 2 3a
a A (a, A 0) ，求粒子的能量本征值。 r r2
14QM-2.1８
设势场为 U (r )
解：由于 E>0 是连续谱，所以仅讨论 E<0 在极坐标中，薛定谔方程的径向方程为
2 2 E l (l 1) R '' (r ) R ' (r ) [ 2 r h r2 2 a 2 A ] R(r ) 0 h 2 r h 2 r2
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.13-2#08
选择 i ，在渐进区域 x 我们有 (1 y)
代表从左边入射的平面波，而第二项代表在金属表面反射的平面波，因此
AI eikx AR eikx
（ x ）
于是反射系数是
R
AR (2 )( )( 1) ……（13） AI (2 )( )( 1)
2 2 如果 V0 E 0 ， 则有 ， 于是 是实数。 当 x 时 y
F 1 e x / a 0 ，
而 们有
y
e x / a 。于是，如果选择 0 ，则解（9）当 x 时为零。如果 E 0 ，我
2 2 ， 因 而 是 纯 虚 数 ， 比 如 说 i 。 于 是 当 x 是 ，
n 2 2 2 8ma 2
F
En a
2
n 2 2 8m
2 a3
2 En a 2 ∴ F E a
dr
0
r 2 e
r i r a
dr
令
r i r x a 1 4 原式 3 ( 2 ) a3
0
x2 ex
1 (a
i
dx )
3
1 8 a3 3 3 ( 2 )3 a3 ( i a)
批注 [JL1]: 即去掉一个 overal 相位 因子, 但好像仍有差别。
2r r2 e y dy 3 0 a 2 4 a0 4 y 3 ( ) 6e 0 a 2 3 （ a a0 ） a 2
2
2） e / r r sin (
2 2 V
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.13-2#13
U 0 e 1
x a
，入射粒子能量 E 0 时的反射系数。
解：该势场的薛定谔方程为：
U d 2 2m 2 ( E x 0 ) 0 2 dx ea 1
令 y (1 e a ) 1 ，则有 y ( y 1)
x
d 2 d 2 2 (1 2 y) ( ) 0 2 dx dy y (1 y ) y
1
1 2m 2 2m( E V0 ) 2 其中 K 2 E ， k 2 a
1 r / a0
1
2.14 设氢原子处在 （i） r 的平均值；
a
3
e
， a0 为第一波尔半径，求：
（ii）势能 e / r 的平均值；
2
（iii）能量概率的分布函数。 解： （1）首先判断题中所给波函数的归一化情况：
十三组成员 ：李俊华 200431020040
扈俊 200431020122
余功硕 200431020039
4
1
令 i ，当 x ，我们有
(1 y)
e
i x / a
eikx ，这时 1 式中 的第一项代表
代表延 x 轴正向传播的平面波，第二代表反射的平面波 因此
AI eikx AReikx , x ，因此
2
A R R AI
(v 1)(v )(2 ) ，当 E 0 时， 和 v 均为纯虚数，即 (v ) 2 (v 1)
（2）
e 2 4 e2 4e2 1 e2 2 r / a0 2 re dr r a3 a 211 a0 0
量子力学习题解答-第2章
第二章定态薛定谔方程本章主要内容概要：1. 定态薛定谔方程与定态的性质：在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。
首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程）222.2d V E m dxψψψ-+= 求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。
能量本征函数n ψ具有正交归一性（分立谱）*()()m n mn x x dx ψψδ∞-∞=⎰或δ函数正交归一性（连续谱）'*'()()()q qx x dx q q ψψδ∞-∞=-⎰ 由能量本征函数n ψ可以得到定态波函数/(,)()niE t n n x t x eψ-ψ=定态波函数满足含时薛定谔方程。
对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值n E ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。
对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。
含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为(,)(,)n n nx t c x t ψ=ψ∑系数n c 由初始波函数确定(,0)()n n nx c x ψψ=∑ ， *()(,0)n n c x x dx ψ∞-∞=ψ⎰由波函数(,)x t ψ的归一性，可以得到系数n c 的归一性21nnc=∑对(,)x t ψ态测量能量只能得到能量本征值，得到n E 的几率是2n c ，能量的期待值可由2n n nH c E =∑求出。
这种方法与用*ˆ(,)(,)H x t H x t dx∞-∞=ψψ⎰方法等价。
2. 一维典型例子：（a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态）0, 0(),x aV x<<⎧=⎨∞⎩其它地方能量本征函数和能量本征值为2222(), 0;1,2,3,...2nnn xx x a nanEmaπψπ⎛⎫=<<=⎪⎝⎭=若0,(),a x aV x-<<⎧=⎨∞⎩其它地方则能量本征函数和能量本征值为2222()(), ;1,2,3,...22(2)nnnx x a a x a nanEm aπψπ⎛⎫=+-<<=⎪⎝⎭=1n=是基态（能量最低），2n=是第一激发态。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
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14QM-2.16设氢原子处在基态，求：
（1） 它在动量表象中的表达式；
（2） x p 和2
x p 的平均值；
（3） x 和2x 的平均值；
解：氢原子基态波函数为 120121
(,,)r a r e a
φθϕπ-= 22h a e μ= 而动量p 本征函数为 2./3/2
1()(2)p r p r e φπ=v v h v v h 所以它在动量表象中的表达式为
2cos //223/200011()()1/21/20
1/23/222
3222
1()sin (2)[]2()111[]11(2)()()2(/)ipr a r a ip ip r r a a p e e r d d dr
a e e rdr a ip ip ip i p a a a a p a πφθθϕππππ∞-----+∞==-=--+=+⎰⎰⎰⎰h h h h h h h g g h h h h h
于是
|()|0
x x x y z p p p dp d p dp φ∞-∞==⎰
由于被积函数对x p 是奇函数
22222542250004
2
2
2|()|1|()|3
8sin 3()3x x x y z x y z p p p dp d p dp p p dp d p dp p dp d d a p a a ππφφθϕπ∞-∞∞-∞∞==
=+=⎰⎰⎰⎰⎰h h h
而223223243532
113434()4!32
r a r a r a x e x dxdydz a
e r dxdydz a e r dr a
a a a ππ
---====⋅=⎰⎰⎰g
2==>h 14QM-2.17利用氢原子的能谱公式，写出：
（1）电子偶素，即e e +--形成的束缚态的能级；
（2）以μ-子代表核外电子所形成的μ原子的能级；
（3）μ+和e -
形成的束缚态能级。
解：氢原子束缚态的能级公式为： 42
22
(2)(1,2,3,)2n me E n h n π=-= （1） 对于电子偶素来说，束缚态的能级为：
42422222(2)(2)(1,2,3,)24e n m e e E n h n h n
πμπ=-=-= 其中μ为系统折合质量，e m 为电子质量。
（2）对于μ原子来说，束缚态的能级为：
42422222(2)207(2)(1,2,3,)22e n m e m e E n h n h n
μππ=-
=-= 其中m μ为μ原子质量，e m 为电子质量。
（3）μ+和e -
形成的束缚态能级为： 4222(2)(1,2,3,)2e n m e E n h n
π=-= 其中e m 为电子质量。
14QM-2.1８ 设势场为2()(,0)a A U r a A r r
=-+>，求粒子的能量本征值。
解：由于E>0是连续谱，所以仅讨论E<0
在极坐标中，薛定谔方程的径向方程为
'''2222222(1)
()()[22]()0
E l l R r R r r r a A R r r r μμ
μ+++-+
⋅-⋅⋅=h h h
令
/r ρ=h
代入得
'''222
1
21
()()[((1))]()0
4A R R l l R μρρρρρ++-++=h （１） 由方程可知ρ→∞，R 的近世值为1/2e ρ-
0ρ→，解的形式为s ρ，而
2(1)[(1)2/]s s l l A μ+=++h 的正数解
即
1)/2s =
所以可令 1
2()()s R A e ρρρωρ-=，代入（１）得
'''()(22)()()1()0R s s ωρρωρωρ++--=
这为适合流超比方程，要使Ｒ（p ）在ρ→∞趋于０则有解
()(122,)F S s ωρρ=++
且
1s n +=- n ＝０、１、２…..
所以 本征值为
2
222(1)nl a E n s μλ=-++h
而1)/2s =
第14组 彭毅 200431020117 姜麟舜 200431020119。