自由粒子的薛定谔方程
自由薛定谔方程
自由薛定谔方程
自由薛定谔方程是描述量子力学中自由粒子运动的基本方程。
它是由
奥地利物理学家薛定谔在1925年提出的，是量子力学的重要基础之一。
自由薛定谔方程的形式为：
iℏ∂ψ/∂t = -ℏ²/2m ∇²ψ
其中，i是虚数单位，ℏ是普朗克常数除以2π，m是粒子的质量，t是时间，∇²是拉普拉斯算子，ψ是波函数。
这个方程的意义是，波函数的时间变化率与波函数的空间二阶导数成
反比。
这个方程可以用来描述自由粒子在空间中的运动，即没有受到
任何外力的作用。
自由薛定谔方程的解可以用波函数表示，波函数是一个复数函数，它
描述了粒子在空间中的位置和运动状态。
波函数的模的平方表示粒子
在某个位置的概率密度，即在这个位置找到粒子的概率大小。
自由薛定谔方程的解可以用量子力学中的态叠加原理来表示。
即，一
个粒子的波函数可以表示为多个不同能量的波函数的叠加。
这个原理
可以用来解释量子力学中的干涉现象和波粒二象性。
自由薛定谔方程在量子力学中有着重要的应用。
它可以用来描述自由粒子在空间中的运动，也可以用来描述粒子在势场中的运动。
在量子力学中，势场可以用势能函数来描述，势能函数与波函数的关系可以用薛定谔方程来表示。
总之，自由薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，它描述了自由粒子在空间中的运动，是量子力学中的重要基础。
通过解自由薛定谔方程，我们可以了解粒子在空间中的运动状态，进而研究量子力学中的各种现象和应用。
【大学物理】第二讲 薛定谔方程
一、薛定谔方程的建立
1、自由粒子的薛定谔方程
自由粒子平面波函数方程
i 2 ( Et px)
(x,t) 0e h
对x取二阶偏导数 对t取一阶偏导数 由于 E p2 可得
2m
2 p2
x2
2
i E
t
2 2
2m
x2
i
一维自由粒子含时 的薛定谔方程
t
2、在势场中粒子的薛定谔方程 势场中粒子的总能量 E p2 U (x，t)
代入薛定谔方程，采用分离变量，得到:
2
2m
2
(x,
y,
z)
U (x,
y,
z)
( x,
y,
z)
1 (x, y,
z)
i f (t) 1 t f (t)
令等式两端等于同一常数
i f (t) 1 E t f (t)
2
2m
2
(x,
y,
z)
U (x, y,
i Et
z)
(x,
y,
z)
1 (x, y,
a
Ep
o ax
(x) Asin nπ x
a
归一化条件
2
dx
0a
*dx
1
A2 a sin2 0
nπ a
xdx
1
A 2 a
(x) 2 sin n π x, (0 x a)
aa
波函数
(x)
0, (x 0, x a)
2 sin n π x, (0 x a) aa
讨论： （1） 粒子能量量子化
aa
例如，当 n =1时， 粒子在 x = a /2处出 现的概率最大。
3-4薛定谔波动方程jm
2m
p
2
E Ek Ep 经典力学：H p
2
V (r )
2m
V (r )
称为哈密顿函数
2m
15
6、本征方程
• 算符 F:
Fu u
常数 λ 为本征值，u为本征函数（对应的本征值为λ） • 定态薛定谔方程
H
[
2 2
（哈密顿算符的本征方程）
2
2
V
V ( r )
2
2m
E
p
2
V (r )
2m
一般粒子的薛定谔方程(波动方程）
i t
2
V
2
2m
(1)、反映了微观粒子的运动规律，一切微观粒 子的运动都可以求解薛定谔方程而得以解决；
(2)、正确与否由实验验证。 (3)、给定势能函数 V，通过求解薛定谔方程，
因为： 对自由粒子波函数 0 e
t i
i
对 t求导
Eψ
t
7
E 0 e
( p r Et )
i
E
i t
i
t
E i
4、动量算符
p x i x
p y i
i
y
i
p z i
i f(t) f(t) t [ u （ r) 2m 1
2
u （ r) V ( r ) （ r)] E u
2
11
i f(t) f(t) t
[ u （ r) 2m
E
1
2
薛定谔方程
定态特点：定态波函数几率密度ρ 定态特点：定态波函数几率密度ρ ＝ ψ 无关， 与t无关，几率分布不随时间而变，因此 无关 几率分布不随时间而变， 称为定态。 称为定态。 （见P45(a), (b), (c)) v − h 2∇ 2 v •用哈密顿算符 用哈密顿算符 ˆ = T + V (r ) = ˆ H + V (r ) 简化方程。 ，简化方程。 2m
2
v 2 ＝ϕ(r )
∂ ˆ ˆ ˆ Ψ (r ,t) = H Ψ (r ,t) ∆ 薛定谔方程： i h 薛定谔方程： ∂t
∆ 定态薛定谔方程或 不含时薛定谔方程： 不含时薛定谔方程：
v v ˆ ϕ (r ) = Eϕ (r ) H
ˆ 能量）本征方程； 定态薛定谔方程， 定态薛定谔方程，数学上称为 H（能量）本征方程； v ϕ(r) ，称为 H（能量）本征函数； ˆ 能量）本征函数；
v ψ (r , t ) = 1 v v v 3 d r ′G (r , t ; r ′, t ′)ψ (r ′, t ′) 3 ∫ (2πh ) (t ≥ t ′)
G(r,t; r´,t´)称为传播子 ´ ´ 称为传播子 以自由粒子的时间演化为例， 以自由粒子的时间演化为例，见P42,43
2.3.3 不含时间的 不含时间的Schrodinger 方程，定态 方程， 介绍定态Schrodinger 方程形式与定态波函数特点 介绍定态 定态条件：势能 （ ） 无关。 定态条件：势能V（r,t）=V(r)， 与t无关。 ， 无关 用分离变量法, φ(r)f(t)， 用分离变量法 令Ψ=φ(r)f(t)，得两个方程： φ(r)f(t) 得两个方程：
∂2 ∂2 ∂2 定义算符：∇ 2 = 2 + 2 + 2 定义算符： ∂x ∂y ∂z
自由粒子的薛定谔方程
自由粒子的薛定谔方程引言自由粒子是量子力学中的一个基本概念，指的是不受外力或势场作用的粒子。
自由粒子的行为可以通过薛定谔方程来描述。
本文将介绍自由粒子的薛定谔方程及其物理意义，以及一些与自由粒子相关的重要性质和应用。
自由粒子的薛定谔方程推导自由粒子的薛定谔方程可以通过一些推导过程得到。
我们先从薛定谔方程的一般形式出发：−ℏ22m∇2ψ(r,t)+V(r)ψ(r,t)=iℏ∂∂tψ(r,t)其中，ℏ为约化普朗克常数，m为粒子质量，ψ(r,t)为波函数，V(r)为势能。
对于自由粒子而言，V(r)=0，即没有势能作用。
在这种情况下，薛定谔方程可以简化为：−ℏ22m∇2ψ(r,t)=iℏ∂∂tψ(r,t)对上式进行分离变量，可以得到：∇2ψ(r,t)ψ(r,t)=−2mℏ2∂2∂t2左边是一个关于坐标的二阶偏微分算子，右边是一个关于时间的二阶偏微分算子。
由此可得：∇2ψ(r,t)=−k2ψ(r,t)其中，k=√2mEℏ2，E为粒子的能量。
自由粒子的波函数和能级根据上面得到的薛定谔方程，可以得到自由粒子的波函数形式为：ψ(r,t)=A e i(k⋅r−ωt)其中，A为归一化常数，k为波矢量，ω为角频率。
代入薛定谔方程中，可以得到：k2=ω2 c2其中，c为光速。
从上式可以看出，自由粒子的能量和波矢量之间存在一种关系，即能量与动量成正比。
这也是著名的德布罗意关系的一个特例。
对于自由粒子而言，由于没有势能作用，其能量可以连续取值。
即存在一个连续的能级谱。
自由粒子的动量算符动量是量子力学中的一个基本物理量，可以通过动量算符来描述。
对于自由粒子而言，其动量算符可以通过偏微分形式来表示：p̂=−iℏ∇动量算符的本征态称为动量本征态，记作|p⟩。
自由粒子的波函数可以通过动量本征态展开，即：ψ(r,t)=∫c(p)e i(p⋅r−ωt)|p⟩dp其中，c(p)为展开系数，dp为动量的微元。
自由粒子的传播子自由粒子在空间中的传播可以通过传播子来描述。
薛定谔方程最简单的形式
薛定谔方程最简单的形式引言薛定谔方程是量子力学中最重要的方程之一，描述了量子系统的演化和行为。
它的最简单形式可以用来描述自由粒子的运动，本文将对薛定谔方程最简单的形式进行介绍。
薛定谔方程薛定谔方程是用来描述量子系统的演化的方程。
对于一个自由粒子，它的薛定谔方程可以写作:$$i \\hbar \\frac{\\partial \\psi}{\\partial t} = -\\frac{\\hbar^2}{2m}\\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial x^2}$$其中，i是虚数单位，$\\hbar$是约化普朗克常数，$\\psi$是波函数，m是粒子的质量，t是时间，x是粒子的位置。
波函数与概率密度波函数是薛定谔方程的解，它包含了系统的全部信息。
但是，波函数本身并不直接描述粒子的物理性质，而是通过概率密度来给出具体的可观测结果。
概率密度$|\\psi|^2$表示在空间中找到粒子的几率。
根据波函数的性质，其概率密度要满足归一化条件，即在整个空间内的积分等于1。
这意味着粒子一定存在于某个位置。
在最简单的薛定谔方程中，波函数是一个平面波，可以写为$\\psi(x,t) = Ae^{i(kx - \\omega t)}$。
其中，A是振幅，k是波数，$\\omega$是频率。
根据平面波的性质，概率密度$|\\psi|^2$是恒定不变的，并且在整个空间范围内都有非零概率。
波函数的演化薛定谔方程描述了波函数随时间的演化。
对于自由粒子，它的薛定谔方程是线性的，意味着波函数的形式在时间演化中保持不变，只是振幅发生变化。
这也说明了自由粒子的能量是守恒的。
根据薛定谔方程，波函数的时间导数与空间二阶导数之间存在简单的线性关系。
由此可得，波函数的形式在不同位置上的变化是类似的，只是相位和振幅的变化不同。
自由粒子的波函数演化可以用平面波的形式简洁地表示。
根据平面波的性质，波函数在空间中传播，形成波动。
15(4)15-8 自由粒子薛定额方程,一维定态问题.ppt
2a
0
E
p2 2m
0
能量本征方程：
(
x)
2m 2
E
U(
x)
(
x)
0
解方程，求出能量本征值谱 En, n 1,2,3,、
本征波函数集合n, n 1,2,3,。
无限深方势阱中粒子的波函数可以表示成
(x,t)
C
n
n
(
x
)e
i
Ent
n
Cn
* n
(
x)
(
x,0)dx
(x,0) 为给定的初始时刻的状态。
t
)
n
(
x)e
i
Ent
,
n
1,2,3,
通解可写成定态解叠加的形式
(x,t)
Cnn( x, t)
C
n
n
(
x
)e
i
En
t
n
n
(x,t)
Cn
n
(
x
)e
i
Ent
n
式中Cn称为展开系数。
后面证明，给定初始时刻的状态Ψ(x,0)， Cn 可按下式计算
Cn
* n
(
x)
(
x,0)dx
若势函数不显含时间，则薛定谔方程的求解，
几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋 地说：你们要的波动方程，我找到了！这个方程，就 是著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量 子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一 样的。
同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本 原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性 也只能靠实验来检验。
薛定谔方程
6.薛定谔方程的地位：
相当于经典力学中的牛顿二定律。 薛定谔方程经受住了所有近代实验的验证。
7.对薛定谔方程的讨论 定域几率守恒和流方程
薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程， 而在低能非相对论时，粒子没有产生、湮灭， 所以粒子数是守恒量。
对于单粒子而言，几率之总和恒定，即
2 3 d | (r , t ) | d r 0 dt
薛定谔方程
ˆ r, t i r, t H t
(1887-1961)
引入薛定谔方程的基本思想：首先假 定自由粒子的波动是平面波，则微分方程 的最基本的形式可以由平面波引入，再由 有势能存在的情况下作相应的修正得出薛 定谔方程。它的正确性是由其结果能够解 释已知的实验事实，并且能够推断出尚未 发现的实验现象来验证的。
2
4.薛定谔方程的特点： 1)在薛定谔方程中h保留了下来，说明其描述 的是量子体系的波动方程。 2)对时间的一阶微分方程，而经典的波动方 程为时间的二阶微分方程。 3)在时间微商前有一个虚因子。 4)是一个线性方程，其解满足态叠加原理。 5)自由粒子波函数必须是复数形式。
5.薛定谔方程的意义：
给出了质量为m ,在力场 U(r, t) 中运动的微观粒子的 波函数所满足的动力学方程，也就是微观体系的 基本运动方程。 在求解过程中，自然得到粒子能量E等力学量是量子化 的。
A sin(t kx) Aei (t kx)
取：
( x, t ) Ae
i ( kxt )
光子：E hv 2 h p k p k 波函数反应出光子的性质： i k x i t
一般情况：
i k p i t ˆ i E ˆ i p t
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§2.1
波函数的统计解释
由上节的讨论，微观粒子的波粒二象性是对微粒运动的一种 统计性的反映。数学上，把这种具有统计性的物质波（粒子 波）用一个物理量（Ψ）来描述，称为波函数。
1.波函数
用来描述具有统计性的物质波（粒子波）的一 个函数，它是位置 ( x, y, z) 和时间（t）的复值函 数（复数）表示为 (r , t ) 或 ( x, y, z, t ) 。
状态的波函数形式是不唯一的，对是不是归 一化的波函数,（ c ，C为常数）通常需 要把波函数归一化（利用波函数的归一化条 件）。
| c |
2
d 1 | c |
2
1
| |
2
d
量子力学基本假设告诉我们
归一化常数C的解不确定，可以是正负实数， 也可是复数 | ei |2 ei ei 1 | c |2 | cei |2 δ为常数，可取任意常实数值
求：①在球壳（r , r dr ）中找到粒子的几率 ②在（ , )方向的立体角dΩ 中找到粒子的几率 解：
d r dr sin d d
2
[
2
0 0
| (r , , ) |2 sin d d ]r 2 dr
[ | (r , , ) |2 r 2 dr ]d
引入波函数来描写微观粒子的运动状态是量子力学的基本假设之一
2.量子力学基本假设
↓ 波函数假设：
微观体系的状态总可以用一个波函数 (r , t )
来完全描述，即从这个波函数可以得出体系的所有 性质，且 ( r ) 与 c (r ) 描写同一量子状态。
3.波函数的性质和特点
微粒的波动性反映了其运动的一种统计性规律。 电子的双缝衍射实验中：明暗条纹是波动性的体现 屏上接收的只是一个一个的亮点（电子）→亮纹处（亮点密） →电子投射的数目多→电子投射几率大 取的面积大→里的电子数目多→几率大
▲为什么用 | |2描述波函数而不用 ？
因为Ψ 是复数，有物理意义的是
| | 2 ，而不是Ψ 。
经典物理： 一个经典波可以用实数也可以用复数表示，用复数表示仅 仅是为了数学上的方便，实际上只有实部才有物理意义。 量子力学： 2 所以在量子力学中，用 | | 来描述波函数的物理意义。 量子力学的波函数一般必须用复数表示，有物理意义的即 不是实部，也不是虚部，而是它的绝对值 的平方 | |2 ，所以Ψ 也叫几率振幅，或几率幅。
a
)
1 2
1 i 2 x 2 t a 1 ( x, t ) ( ) 2 e 2 2
即归一化的波函数为
②
a a2 x2 ( x, t ) | ( x, t ) | e
波函数是一种几率波，而不是真实存在的实体，不是可观测的物 理量。
波恩是著名的理论物理学家， 量子力学的奠基人之一。 从1923年开始，他致力于发展量子 理论，年轻的海森伯当时是他的助 教和合作者，1925年海森伯天才 地提出其“关于运动学和力学关系 的量子理论”，波恩当即看到海森 伯理论的表达形式与矩阵代数相一 致，随后他和海森伯、约旦合作发 表了长篇论文，以严整的数学形式 全面系统的阐明了海森伯的理论。
0
d sin d d
⑵波函数的归一化
2 2 | c | 量子力学第一基本假设告诉我们， 与 | | 描写 同一微观状态
说明量子力学中波函数描述的是相对几率密度分布 如空间R与R点的相对概率：
2 2 | c (r1 ) | | (r1 ) | 2 2 | c (r2 ) | | (r2 ) |
为了方便，一般规定归一化常数C取正实数。
不讨论相因子（δ=0），即归一化的波函数 不会有相因子的不确定性。
例一
为已知常数，A为任意常数。
求：①归一化的波函数
已知一维粒子波函数为 ( x, t ) Ae
1 i 2 x2 t 2 2
α （正数），
②粒子坐标的几率密度分布
③粒子在何处出现的几率最大？
解： ①
*
, 1
2
d | A |
e
1 i 2 x2 t 2 2
e
1 i 2 x2 t 2 2
dx 1
a2 x2
2
a x
2 2
| A |
| A |
2
e
dx | A | 2 e
2 0
dx
a
1
A(
因此用来描述具有统计性的物质波的波函数也一定具有统计特点
德国玻恩在1924年提出了波函数的统计解释，即： 波函数的一个重要性质。
⑴玻恩-波函数的几率波解释： 空间某点波函数绝对值的平方乘以该点附近的 2 小体积元d dxdydz 即 | (r ) | d 表示在 r 点 附近 d小体积元内找到粒子的几率。
* d 1
满足上式的波函数 （r , t )
为方便引入符号
→ 归一化的波函数
, *d
* 归一化条件： d 1
, 1或 | 1
量子力学基本假设告诉我们
与 c 描写同一量子状态，即描写同一量子
x A cபைடு நூலகம்s t 与 x' 2 A cos t 不同态
这与经典波完全不一样，经典波的振幅增加一倍
则其波动能量增加为原来的4倍，完全不同的态。
实物粒子不会产生或湮灭，必定会在空间某点出现， 在整个空间出现的几率为1 数学上表示为：
2 （r , t ) | d 1 波函数的归一化条件 |
练习1:
设粒子波函数为，求在范围内发现粒 子的几率？
解： | |2 d x x dx, y y dy, z z dz 范围内的几率 2 则 ( dydz | | ) dx y, z 可为任意范围， →为
x ~ x dx
内的几率
练习2:
设在球坐标中，粒子波函数为 (r , , )