什么是全同粒子
全同粒子体系
第六章 全同粒子体系6.1 全同粒子体系之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。
首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。
1、全同粒子我们称质量m ，电荷q ，磁矩M，自旋S 等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。
其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。
全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。
2、量子力学基本假设全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。
（不可区分性与交换不变性）量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。
由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。
在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。
3、全同粒子体系ˆH算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。
在量子力学情况下，微观粒子不存在严格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。
但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N = ），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N = 各有一个粒子。
专题讲座9-全同粒子
专题讲座9-全同粒子全同粒子: 质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的粒子称为全同粒子。
在一个微观体系中，全同粒子是不可区分的。
费米子：自旋为1/2, 3/2, 5/2……, 体系的波函数是反对称的, 两个全同费米子不能处于同一个状态.波色子: 自旋为0, 1, 2, 3, 体系的波函数是反对称的, 两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态.交换力假设我们有一个两粒子体系, 一个粒子处于()a x ψ,另一个处于()b x ψ态.(简单起见,先不考虑自旋)如果两个粒子是可以区分的,粒子1处于()a x ψ,粒子2处于()b x ψ态,那么体系的波函数为1212(,)()()a b x x x x ψψψ=如果是全同玻色子, 波函数必须是对称的]1212211(,)()()()()a b a b x x x x x x ψψψψψ+=+ 如果两个态相同 a b =1212(,)()()a a x x x x ψψψ=对于费米子, 波函数必须是反对称的]1212211(,)()()()()a b a bx x x x x xψψψψψ-=-两个费米子的状态不能相同,否则波函数为零.我们来求两个粒子坐标差平方的期待值222121212()2x x x x x x-=+-1.可区分粒子222 2222 111122111()()()a b a a x x x dx x dx x x dx x ψψψ===⎰⎰⎰2222222 211222222()()()a b b b x x dx x x dx x x dx x ψψψ===⎰⎰⎰2212111222()()a b a bx x x x dx x x dx x xψψ==⎰⎰所以22212()2a bd a bx x x x x x-=+-2.对全同粒子()22211122112221()()()()212a b a ba bx x x x x x dx dxx xψψψψ=±=+⎰同样有其中显然有：同可分辨粒子情况相比较,两者差别在最后一项和处于相同状态的可分辨粒子相比，全同波色子（取上面的+号项）将更趋向于相互靠近，而全同费米子（取下面的-号项）更趋向于相互远离。
全同粒子状态空间维数
全同粒子状态空间维数全同粒子是指具有相同质量、电荷和自旋的粒子。
在统计物理学中，我们研究的是这些粒子的集体行为，其中一个重要的概念就是全同粒子的状态空间。
全同粒子的状态空间是指描述所有全同粒子可能的量子态的集合。
对于仅由全同粒子构成的系统，其状态空间可以非常庞大。
为了计算状态空间的维度，我们需要考虑每个粒子的自由度和它们之间的相互作用。
首先，考虑一维空间中的全同粒子系统。
假设系统中有N个全同粒子，每个粒子可以处于L个离散的量子态中的一个。
因为粒子是全同的，所以每个粒子都有相同的L个可能的状态。
那么整个系统的状态可以通过描述每个粒子的状态来确定。
因此，系统的状态空间维度为L^N。
更具体地说，我们可以考虑一个由两个粒子构成的系统。
假设每个粒子有两个可能的状态，即每个粒子可以处于状态A或B中。
那么这个系统的状态空间维度为2^2=4。
系统的四个可能态可以用以下符号表示：|AA⟩，|AB⟩，|BA⟩和|BB⟩。
可以看出，对于两个粒子的系统，它具有一个二维状态空间。
对于更多的粒子，状态空间的维度会呈指数增长。
假设现在有3个粒子，每个粒子有2个可能的状态。
那么这个系统的状态空间维度为2^3=8。
系统的八个可能态可以用以下符号表示：|AAA⟩，|AAB⟩，|ABA⟩，|ABB⟩，|BAA⟩，|BAB⟩，|BBA⟩和|BBB⟩。
可以看出，对于三个粒子的系统，它具有一个三维状态空间。
一般来说，对于具有N个粒子的全同粒子系统，如果每个粒子有M个可能的状态，那么系统的状态空间维度为M^N。
当N和M都变得非常大时，系统的状态空间维度将会非常庞大。
此外，还要考虑全同粒子的取向和自旋等其他自由度。
这些额外的自由度将进一步扩大系统的状态空间。
例如，在三维空间中考虑两个自旋为1/2的全同粒子，每个粒子有两个可能的状态。
那么这个系统的状态空间维度为(2^2)*(2^2)=16。
综上所述，全同粒子的状态空间维度取决于粒子个数和每个粒子可能的状态数。
全同性原理的应用
全同性原理的应用1. 什么是全同性原理？全同性原理是量子力学的基本原理之一，指的是在量子力学中，一类粒子被称为全同粒子，它们在所有的物理性质上都是完全相同的。
换句话说，无法通过任何实验手段来区分它们。
全同性原理有两个重要的推论：•完全相同的粒子不能区分出来，即无法将它们进行编号。
•全同粒子的交换对物理系统不会产生任何影响。
2. 全同性原理在自旋统计中的应用在自旋统计中，全同性原理被广泛应用。
自旋是微观粒子所固有的性质，可以是1/2、1、3/2等。
根据全同性原理，全同粒子的自旋总和必须是整数或半整数。
全同性原理的应用可以通过以下几个方面进行解释：•自旋统计：根据不同粒子的自旋，全同粒子会遵循不同的统计方法。
费米子（自旋1/2）遵循费米-狄拉克统计，玻色子（自旋整数）遵循玻色-爱因斯坦统计。
•自旋交换：全同粒子的交换是通过交换它们的量子态来实现的。
根据全同性原理，对称自旋的全同粒子在交换后波函数不变，反对称自旋的全同粒子在交换后波函数变为负号。
•相干性和超导：全同性原理在超导物理中起着重要作用。
超导性是一种电阻为零的现象，它可以通过全同粒子的波函数相干性来解释。
全同粒子之间的波函数相干性可以使电流在超导体中流动而无能量损耗。
3. 全同性原理在光学中的应用全同性原理在光学领域也有着重要的应用。
光子作为一种粒子，也遵循全同性原理。
以下是全同性原理在光学中的应用：•光学相干性：全同性原理在光学中解释了激光器和干涉仪的工作原理。
激光器中的光子在同一能级上是全同粒子，它们具有相同的波长和相位。
干涉仪利用了全同光子的相干性来观察干涉条纹。
•单光子源：全同性原理使得我们能够制备单光子源。
通过对能级结构进行精确控制，可以产生仅发射一个光子的源。
这在量子通信和量子计算领域具有重要意义。
•非经典光与玻色统计：全同性原理还解释了非经典光的产生和性质。
在光与物质相互作用的过程中，光子能够组成波包，表现出玻色统计的特性。
4. 全同性原理在凝聚态物理中的应用在凝聚态物理中，全同性原理是理解和解释材料的特性和行为的基础。
全同粒子体系概念
全同粒子体系概念
全同粒子体系是物理学中的一个重要概念，涉及到全同粒子、粒子体系、全同性原理、量子态、玻色子和费米子等多个方面。
1.全同粒子
全同粒子是指具有完全相同属性的粒子。
这些粒子可以是光子、电子、质子、中子等基本粒子，也可以是由这些基本粒子组成的复合粒子，如原子、分子等。
2.粒子体系
粒子体系是指由一组粒子组成的系统。
这些粒子可以是全同粒子，也可以是不同的粒子。
在粒子体系中，粒子之间可以相互作用，例如通过力场、电磁场等相互耦合。
3.全同性原理
全同性原理是指在一个全同粒子体系中，无法区分单个粒子，因为它们的属性完全相同。
这一原理是全同粒子体系的基本特征之一，也是导致全同粒子表现出集体行为的重要原因。
4.量子态
量子态是描述量子系统状态的数学对象，它包含了系统的所有信息，包括粒子的位置、自旋、能量等。
在全同粒子体系中，粒子的量子态可以相同或不同，这将对体系的性质产生影响。
5.玻色子
玻色子是全同粒子中的一种特殊类型，其特性符合玻色子的统计规律。
玻色子具有整数自旋，包括光子、胶子、W和Z玻色子等。
玻色子在凝聚态物理、核物理和宇宙学等领域中具有重要应用价值。
6.费米子
费米子是另一种全同粒子，其特性符合费米子的统计规律。
费米子具有半整数自旋，包括电子、质子、中子等基本粒子以及由它们组成的原子和分子等。
费米子在描述多体系统中的粒子的行为时具有重要作用，例如在超导和费米凝聚等领域中。
全同粒子的波函数特点
全同粒子的波函数特点
全同粒子是指具有完全相同量子态的一组粒子。
全同粒子的波函数具有以下特点：
1. 交换相干性
全同粒子的波函数具有交换相干性，即任意两个粒子交换后，波函数的幅度和相位不会发生改变。
这种特性也称为“交换不变性”。
交换相干性是全同粒子波函数最基本的特性之一，也是量子力学中对称性的体现之一。
2. 占据相同空间
全同粒子的波函数具有占据相同空间的特性。
在量子力学中，波函数是一种概率幅，描述了粒子的概率分布。
对于全同粒子，它们的波函数会占据相同的空间位置，即它们的位置概率分布是相同的。
3. 反对称性
全同粒子的波函数具有反对称性。
如果我们将全同粒子的波函数进行交换，那么它们的波函数将发生符号反转。
具体来说，如果我们将两个粒子的波函数进行交换，那么它们的波函数的符号将会发生改变。
这种特性也称为“反对称性”。
4. 球对称性
全同粒子的波函数具有球对称性。
在量子力学中，粒子的自旋和轨道运动是相互耦合的。
对于全同粒子，它们的自旋和轨道运动是相互独立的，因此它们的波函数可以具有球对称性。
具体来说，全同粒子的波函数可以表示为球谐函数的形式。
5. 唯一性
全同粒子的波函数具有唯一性，即对于一组全同粒子，它们的波函数是唯一的，不会因为不同的测量或不同的初始条件而发生改变。
这种唯一性也是量子力学中不可观察量的一个重要特性之一。
总之，全同粒子的波函数具有交换相干性、占据相同空间、反对称性、球对称性和唯一性等特点。
这些特性是量子力学中对称性和不可观察量的体现之一。
§4.16 全同粒子的特性
§4.16 全同粒子的特性一全同粒子1、全同粒子的定义我们称质量、电荷、自旋、同位旋等所有内禀固有属性完全相同的粒子为全同粒子。
例如：所有电子是全同粒子。
2. 全同粒子的重要特点在同样的物理条件下，它们的行为完全相同，因此用一个全同粒子代替另一粒子，不引起物理状态的变化。
3、全同性原理在经典力学中，即使是全同粒子，也总是可以区分的。
因为我们总可以从粒子运动的不同轨道来区分不同的粒子。
比如说给粒子编号，根据粒子的编号来追踪各个粒子的运动情况。
而在量子力学中由于波粒二象性，和每个粒子相联系的总有一个波。
随着时间的变化，波在传播过程中总会出现重叠，在两个波重叠在一起的区域，无法区分哪一个是第一个粒子的波，哪一个是第二个粒子的波。
因此全同粒子在量子力学中是不可区分的。
我们不能说哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。
全同粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。
三、交换对称性从全同性原理出发，可以推知，由全同粒子组成的体系具有以下性质：1. 全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。
讨论一个由N个全同粒子组成的体系，第i个粒子的全部变量用表示，体系的哈密顿算符是i1ˆ(,,,,,,,)i j NH t ξξξξ ，由于全同粒子的不可区分性，将粒子i 和j 互换，体系的哈密顿算符不变11ˆˆ(,,,,,,,)(,,,,,,,)i j N j i NH t H t ξξξξξξξξ= 引入交换算符ˆij P ，它是将第i 个粒子和第j 个粒子进行相互交换的运算：11ˆ(,,,,,,,)(,,,,,,,)ij i j N j i NP t t ψξξξξψξξξξ= ψ是任意波函数，由ˆH 的交换不变性有：1111ˆ(,,,,,,,)(,,,,,,,)ˆ(,,,,,,,)(,,,,,,,)ij i j N i j N i j N ij i j NP H t t H t P t ξξξξψξξξξξξξξψξξξξ= 即ˆˆ[,]0ijP H = 可见交换算符和体系的哈密顿算符有相同的本征函数。
全同的概念
全同的概念全同是一个数理概念，主要用于描述具有完全相同性质和特征的对象或系统。
在不同的领域中，全同的概念有所不同，下面我将从物理学、化学和数学三个方面来详细介绍全同的概念。
在物理学中，全同的概念主要应用于描述物质的微观粒子，如原子、分子和粒子等。
根据量子力学理论，全同粒子是指具有相同质量、电荷和自旋等性质的粒子。
此外，全同粒子还需要满足波函数对称或反对称的性质。
对于玻色子（如光子、声子等）来说，它们具有对称的波函数，因此可以在同一时刻处于相同量子状态；而费米子（如电子、质子等）具有反对称的波函数，因此不能在同一时刻处于相同量子状态。
这一特性导致了玻色子可以同时处于同一量子态，形成玻色凝聚和激光等现象；而费米子则遵循泡利不相容原理，不同电子要占据不同的量子态。
全同粒子的特性在量子信息和量子计算中有重要的应用。
在化学中，全同的概念用于描述等电子体系，如电子对、自旋三重态等。
根据量子力学的电子交换对称性原理，对于完全满足洪克尔规则的电子体系，如氦原子，在电子交换后的波函数中，总的电子交换性质不会改变。
这意味着，交换两个全同的电子粒子，不会改变整个体系的能量和波函数的形式。
如果交换两个不同的电子粒子，整个体系的能量和波函数就会发生改变。
这一性质解释了物质中化学键的形成和反应的进行。
同时，全同电子对的性质也对化学键的强度和性质有重要影响。
在数学中，全同的概念主要应用于集合论和代数结构。
在集合论中，全同指的是具有相同成员的集合。
即使成员的排列顺序不同，只要集合的成员相同，就可以看作是全同的。
例如，{1, 2, 3}和{3, 2, 1}是全同的集合。
在代数结构中，全同的概念是对称性的重要性质之一。
例如，全同变换是指保持代数结构的不变性的变换。
在群论中，全同变换是将群的元素映射回自身的变换，满足封闭性、结合律和单位元等性质。
全同变换是群的重要概念，对于研究群的结构和性质有很大的意义。
综上所述，全同是一个数理概念，它在物理学、化学和数学等领域中有着重要的应用。
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| 1 , 1 现在的问题是
22
j1
s1
1, 2
j2
s2
1 2
22
，故耦合后的
总角动量
j
j1
j1
j2
j2
s1
s1
s2 s2
1 2
1 2
1 2
1 2
1,
m 0,
1,0,1 m0
• 可见，对应 j 1 的耦合态矢有三个：
| 1 , 1 ,1,1 22
| 1 , 1 ,1,0 22
n1 n2 nl N
C C C n1 n2 N N n1
nl N n1 nl 1
N! n1!(N
n1 )!
n2
(N n1 )! !(N n1 n2
)!
nl
(N n1 nl1 )! !(N n1 nl1 nl
)!
所以n1N!n个2N!!玻n色l ! 子体Nl n!系l ! 的对称波函数为
A (q1, q2 )
1 2
[
i
(q1
)
j
(q2
)
i
(q
2
)
j
(q1
)]
1 i (q1 ) i (q2 ) 2 j (q1 ) j (q2 )
（15）
由上式可以看出，当 i j时，则 A 0 ，所以两个费米子 处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能
有两个或两个以上的费米子处于同一状态
www.sys m www.hzdi
• 1.2 全同性原理：
由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系
中，任意两个可观测的物理效应，该论断称
为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。
• 1.3 哈密顿算符的交换对称性
考虑N个全同粒子组成的体系， 表示第i个粒子的空
次对换 (1) P 为正，奇次对换 (1) P 为负。在N! 项中，奇偶
次对换各占一半。
• 3 氦原子 多粒子体系的薛定谔方程只能近似求解，这里我们讨论
氦原子（两个电子）。通过此例，即反映角动量耦合的规 律，又表现全同粒子的特性，同时介绍微扰法在多体问题的 应用。
氦的原子核带电 2e ， 不考虑核的运动，即视为两个全 同粒子的体系。以 r1, s1 和r2 , s2 分别表示两个电子的坐标和
波函数的交换对称性不隨时间而变化。
P ij
,
H
0
P ij
• 1.5 全同粒子的分类 实验表明，全同粒子体系波函数的交换对称性，与粒
子的自旋有确定的联系。
• （1）凡是自旋为 整数倍的粒子 (s 0,1,2,)所组成的
全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是对称的。例
如， 介子(s 0)，α粒子（S＝0），基态的He(S=0)，光
1111 2222
2 1/ 2 (S1z ) 1/ 2 (S 2z )
1111 222 2
3 1/ 2 (S1z )1/ 2 (S2z )
1111 2 222
4 1/ 2 (S1z ) 1/ 2 (S2z )
1111 2 22 2
• 它们是正交归一完备系，是无耦合表象基矢：S1ms1S2ms2
(q1
)
2
(q
2
)3
(q3
)
1
(q2
)
2
(q3
)
3
(q1
)
1
(q3
)
2
(q1
)3
(q2
)
1 (q1 )2 (q3 )3 (q2 ) 1 (q2 )2 (q1 )3 (q3 ) 1 (q3 )2 (q2 ) 3 (q1 )]
（2）三粒子中有两个处于相同态，而另一个处于不同态，
如 n1 2, n2 1, n3 0则3!/ 2!1! 3（共3项），有
S
1 3
[1
(q1
)1
(q2
)
2
(q3
)
1
(q1
)1
(q3
)
2
(q2
)
1
(q3
)1
(q2
)
2
(q1
)]
也可以是 n1 2, n2 0, n3 1或 n1 0, n2 2, n3 1等
这样的对称波函数共有六个
（3）三粒子都处于相同的单粒子态，如 n1 3, n2 0, n3 0 则
| 1 , 1 ,1,1 22
（23）
对应 j 0 的耦合态矢有一个：
| 1 , 1 ,0,0 22
（24）
（2）从全同粒子波函数的要求出发。
由于单粒子态只有 1/ 2 , 1/ 2 ，忽略二个电子自旋之间
相互作用，两个电子的自旋波函数可以取共同本征函数四
个：
1 1/ 2 (S1z )1/ 2 (S2z )
它也是满足（10）式的解， 具有同样的本征能量 E i j
（交换简并）
• 注意： (q1,q2 ) 是否具有交换对称性？
称波i函 数j 构成如(q下1,q2 ) i j
当
时
i j
i j
S (q1, q2 ) i (q1)i (q2 )
（13） （14）
（2）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对 称的，归一化的反对称波函数构成如下
• 2.2 N个全同粒子体系的波函数
含时间设Hˆ，粒0 以子间 i 相和互作i 表用示可以忽的略第，i个单本粒征子值哈和密本顿征量函Hˆ数0 不，显则
N个全同粒子体系量为
Hˆ
Hˆ 0 (q1)
Hˆ 0 (q2 )
H
0 (qN
)
N
H 0 (qi )
i1
对应本征值 E i j N 的本征态
子（S＝1）。它们在统计物理中遵从玻色(Bose) —爱因斯
坦(Einstein)统计规律，称为玻色子。
• （2）凡是自旋为 半奇数倍的粒子 (s 1/ 2,3/ 2,) ，所
组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是反对 称的。例如，电子、质子、中子等，S＝1/2，它们在统计物
理中遵从费米（Fermi） —狄拉克(Dirac)统计规律，称为费
（8）
对于全同粒子，Hˆ
0
(q1
),
H
0
(q2
)
在形式上是完全相同的，不考虑
两粒子的相互作用时，两个粒子体系的哈密顿算符为
Hˆ Hˆ 0 (q1) Hˆ 0 (q2 )
（9）
相应的本征方程 Hˆ(q1,q2 ) E(q1,q2 )
（10）
式中的 (q1,q2 ) 可以分离成两个单粒子波函数的乘积
描述，则有
Pij (q1, q2 ,qi ,q j ,qN ,t) (q1, q2 ,q j ,qi ,qN ,t)（4）
根据全同性原理，Pij 之间最多只能相差一个常
数因子 ，即
上式用 再作用一次P，ij相当于 中的交换复原，即（5）
P ij
Pij2 Pij 2
（6）
由此得 2 1 ，所以交换算符的本征值为
S
l nl! N!
P
P i (q1)i (qn1 )
j (qn11 ) j (qn1n2 ) k (qN )
(19)
例一 求三个全同玻色子组成的体系所有可能的状态。
解：设三个单粒子态分别为 1,2 ,3
（1）若三个粒子各处于不同状态 N! 3! 6 （共6项），则
S
1 6
[1
全同粒子
• 本讲介绍多粒子体系的量子力学基本 原理。首描述全同粒子体系的波函数；最 后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。
• 1. 全同粒子的基本介绍 • 1.1 全同粒子：
静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒 子。例如，电子、质子，中子等。
在经典力学中，粒量子力学中，微观全同粒子 的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有 不可区分性，这是微观粒子的基本性质之一。
S 1(q1)1(q2 )1(q3 )
也可以是 n1 0, n2 3, n3 0 或 n1 0, n2 0, n3 3 这样的对称波函数共有三个
• （2）对于N个费米子，若它们分别处于 i, j,k 态，则
反对称的波函数为
i (q1 ) i (q2 ) i (qN )
A
1 j (q1 )
任意二个电子体系波函数都可以用它们展开。1 , 4是对称自 旋波函数，但 2 , 电3 子自旋函数分别为
(1) S
1/ 2 (S1z )1/ 2 (S2z )
(2) S
1/ 2 (S1z ) 1/ 2 (S 2z )
(3) S
1 2
[1/
2
(S1z
)
1 /
2
(S2z
)
1/
2
(S2z
)
1 /
（1）对于N个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒 子态，则组合中的每一项都是N个单粒子态的一种排列，用
P 来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为 N!， P
所以玻色子系统的对称波函数是
S (q1, q2 ,qN )
1 N!
P
Pi (1) j (2)k (N )
（19）
结果单，粒n故2子所态有的可交能换排不列会的产总n生l项新数的等于下列组合数n1
自旋，系统的哈密顿量为
H
2
2
12
2
2
2 2
2es2 r1
2es2 r2
es2 r12
（21）