全同粒子体系习题解

第六章 全同粒子体系习题解1．求在自旋态)(21z S χ中，xS ˆ和y S ˆ的不确定关系：?)()(22=y x S S ∆∆ 解：在z S ˆ表象中)(21z S χ、xS ˆ、y S ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)(21z S χ 01ˆ102x S ⎛⎫= ⎪⎝⎭h ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002ˆi i S y η ∴ 在)(21z S χ态中00101102)0 1(2121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛==+ηχχx x S S 4010*********)0 1(ˆ2222121ηηη=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχx xS S 4)(2222η=-=∆xxx S S S 001002)0 1(ˆ2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i S S y y ηχχ 401002002)0 1(ˆ2222121ηηη=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i i i S S yyχχ 4)(2222η=-=∆yyy S S S 16)()(422η=∆∆y x S S讨论：由xS ˆ、y S ˆ的对易关系 [x S ˆ，y S ˆ]zS i ˆη= 要求4)()(2222z y x S S S η≥∆∆ 16)()(422η=∆∆y x S S ①在)(21z S χ态中，2η=z S ∴ 16)()(422η≥y x S S ∆∆可见①式符合上式的要求。

2．求⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002ˆ01102ˆi i S S y xηη及的本征值和所属的本征函数。

解：xS ˆ的久期方程为022=--λληη20)2(22ηη±=⇒=-λλ∴ xS ˆ的本征值为2η±。

设对应于本征值的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112/1b a χ由本征方程 2/12/12ˆχχη=x S ，得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111201102b a b a ηη 111111 a b b a a b =⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得 1),(11*1*1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a a 即 1221=a ∴ 21 2111==b a对应于本征值2η的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11212/1χ 设对应于本征值2η-的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-222/1b a χ 由本征方程 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--222/12/12ˆb a S x χχη222222 a b b a a b -=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件，得 1),(22*2*2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a a a a 即 1222=a ∴ 21 2122-==b a对应于本征值2η-的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11212/1χ同理可求得yS ˆ的本征值为2η±。

其相应的本征函数分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i 12121χ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-i 12121χ 3．求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆzy x n S S S S ++= 本征值和所属的本征函数。

在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？的平均值是多少？解：在z S ˆ 表象，nS ˆ的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηηηi i S n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=γβαβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n η 其相应的久期方程为0cos 2)cos (cos 2)cos (cos 2cos 2=--+--λγβαβαλγηηηηi i 即0)cos (cos 4cos 4222222=+--βαγληη0422=-ηλ )1cos cos cos (222=++γβα利用⇒ 2η±=λ所以nS ˆ的本征值为2η±。

设对应于2η=n S 的本征函数的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a S n )(21χ，则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2ηηγβαβαγb b i a =-+⇒γβαcos )cos (cos γβαcos 1cos cos ++=i b由归一化条件，得22**),(12121b a b a b a +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχ 1cos 1cos cos 222=+++a i a γβα1cos 122=+a γ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=)cos 1(2cos cos 1cos 1)(21γβαγχi S n ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=)cos 1(2cos cos 1cos 1)(21γβαγχi S n2121)cos 1(2cos cos 2cos 110)cos 1(2cos cos 012cos 1)(21-++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=χγβαχγγβαγχi i S n2121)cos 1(2cos cos 2cos 110)cos 1(2cos cos 012cos 1)(21-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=χγβαχγγβαγχi i S n可见， zS ˆ的可能值为 22ηη- 相应的几率为 2cos 1γ+ 2cos 1)cos 1(2cos cos 22γγβα-=++γγγcos 22cos 122cos 12ηηη=--+=z S同理可求得 对应于2η-=n S 的本征函数为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=-)cos 1(2cos cos 2cos 1)(21γβαγχi S n在此态中，zS ˆ的可能值为 2 2ηη- 相应的几率为 2cos 1γ- 2cos 1γ+γcos 2η-=z S讨论：算符zS ˆ的本征值为2η±，而z 方向为空间的任意方向。

现在把z 方向特别选为沿n ρ方向（这相当于作一个坐标旋转），则n S ˆρ的本征值也应为2η±。

另外我们知道，本征值和表象的先取无关。

这样选择n z ρρ//并不影响结果的普遍性。

同理yx S S ˆˆ和的本征值也都是2η±。

我们也可以在nS ˆ为对角矩阵的表象中（n S 表象）求本征矢。

显然这时nS ˆρ的知阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2002ηη所以本征矢为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001及注意到本征矢是随着表象选取的不同而改变的。

现在是在n S ˆρ表象，而上面算出的z S 是在2ηψ表象，算出的结果应用所不同，这是合理的。

4．在z σ表象中，求n ρρ⋅σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθn ρ是),(ϕθ方向的单位矢。

（解） 方法类似前题，设n ρρ⋅σ算符的本征矢是：βα21c c x += (1)它的本征值是λ。

又将题给的算符展开：z y x n σθσϕθσϕθσˆcos ˆsin sin ˆcos sin ++=⋅ρρ (2) 写出本征方程式：()()()βαλβασθσϕθσϕθ2121ˆcos ˆsin sin ˆcos sin c c c c z y x+=+++ (3) 根据问题（6）的结论，x σˆ,y σˆ对2ˆˆσσz 的共同本征矢α，β，运算法则是 βασ=x ˆ ， αβσ=x ˆ ， βασi y =ˆ ， αβσi y =ˆ ， αασ=z ˆ ， ββσ-=z ˆ （4） 将这些代入（3），集项后，对此两边α，β的系数：⎩⎨⎧=-+=++2211cos )sin sin cos (sin )sin sin cos (sin cos c c i c i c λθϕθϕθλϕθϕθθ （5）或 ⎩⎨⎧=+-⋅=⋅+--0)(cos sin 0sin )(cos 2121c c e c e c i i λθθθλθϕϕ （6） （6）具有非平凡解（平凡解01=c ，02=c ）条件是久期方程式为零，即0cos sin sin cos =----λθθθλθϕϕi i e e 它的解12=λ （7） 1=λ 时，代入（6）得：122c e tgc i ⋅=ϕθ（8）（1） 的归一化条件是： 12221=+c c将（8）代入（9），得： 2cos )(1θϕδ-=i ec 2sin 2θδi e c =归一化本征函数是： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--βθαθχϕδ2sin 2cos 1i i e e（10） 1-=λ时，21,c c 的关系是：122c e ctgc i ⋅-=-ϕθ归一化本征函数是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=-βθαθχϕδ2cos 2sin 2i i e e （11）δ是任意的相位因子。

本题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00ˆi i y σ ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001ˆz σ （12） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅-θθθθσϕϕcos sin sin cos i i ee n ρρ (13)本征方程式是：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2222cos sin sin cos c c c c ee i i λθθθθϕϕ (14) n ρρ⋅σ的本征矢是：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-δϕδθθi i e e 2sin 2cos 1)( , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-δϕδθθi i e e 2cos 2sin 2)( (15)补白：本征矢包含一个不定的 相位因式δi e ，由于δ可以取任意值，因此21,χχ的形式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。

5.若ˆˆˆ,,x y z σσσ为泡利矩阵，证明：i z y x =σσσˆˆˆ，并求： （1）在z σ表象中z y x σσσ,,的归一化本征函数； （2）在x σ表象中,y z σσ的归一化本征函数；证：由对易关系z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=- 及 反对易关系0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ， 得 z y x i σσσˆˆˆ= 上式两边乘z σˆ，得 2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ ∴ i z y x =σσσˆˆˆ （1）在z σ表象中，z σ的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001z σ 因此z σ的本征值是1，而本征矢为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛01,10都已归一化。

在z σ表象中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110x σ；设其本征值为，本征矢为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121210110,a a a a a a λ则 容易求得1±=λ相应的归一化本征函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11211121和 同理，在z σ表象中，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00ii y σ，设其本征值为μ，本征矢为⎪⎪⎭⎫⎝⎛21b b ，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212100b b b b i i μ 可求得：1±=μ相应归一化本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i i 121121和 （2）求在x σ表象中。