72全同粒子体系的波函数
量子力学简答题题库 (1)
处的几率密度；
d 3r (r, ) 2
2
表示电子自旋向下（s z
) 的几率。 2
19、何谓正常塞曼效应？正常塞曼效应的本质是什么？何谓斯塔克效应？ 在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。原 子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。 20、何谓反常塞曼效应，有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？ 答：在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为（2j+1）条（偶数）的现象称 为反常塞曼效应。对简单的塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂 为三条。 21、简述定态微扰论的基本思想，对哈密顿量 H 有什么样的要求？ 答：微扰方法的基本物理思想：在简化系统的解的基础上，把真实系统的哈密顿 算符中没有考虑的因素加进来，得到真实系统的近似解。
3
因此用算符表示力学量是适当的。 力学量必须用线性厄米算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何
力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学 量必须由厄米算符来表示。 10、简述量子力学的五个基本假设。 （1）微观体系的运动状态由相应的归一化波函数描述； （2）微观体系的运动状态波函数随时间变化的规律遵从薛定谔方程； （3）力学量由相应的线性算符表示； （4）力学量算符之间有想确定的対易关系，称为量子条件；坐标算符的三个直 角坐标系分量之间的対易关系称为基本量子条件；力学量算符由其相应的量子条 件决定。 （5）全同的多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性：波色 子系的波函数是对称的，费米子系的波函数是反对称的。 11、简并、简并度。 答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简 并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。 12、简述测不准关系的主要内容，并写出时间 t 和能量 E 的测不准关系。 答：某一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置 与动量、力；位角与角动量，其中一个量越确定，另一个量就越不确定。它来源 于物质的波粒二象性，测不准关系是从粒子的波动性中引出来的。测不准关系有 两种形式，一种是动量-坐标的关系，另一种是能量-时间的关系。
全同粒子波函数与泡利原理
§7-7-1 两个全同粒子波函数)()(222q V q V ++∇−∇h==)()()ˆ)()()ˆ22201110q q q H q q q H i i i φεφφεφ（（粒子1 在i 态，粒子2 在j 态，则体系能量和波函数为则体系能量和波函数为：：=Φ+=)()(),(2121q q q q E j i ji φφεε验证验证：：),(),(ˆ2121q q E q q HΦ=Φ),()](ˆ)(ˆ[212010q q q H q HΦ+=)]()(ˆ)[()()]()(ˆ[22012110q q H q q q q Hj i j i φφφφ+=)()()()(2121q q q q j i j j i i φφεφφε+=)()()](ˆ)(ˆ[212010q q q H q Hj i φφ+=左端)()()(21q q j i j i φφεε+=),(21q q E Φ=交换简并=Eε)],(),([),q q q q C q q Φ+Φ=Φ（Φ())],(),([),q q q q C q q Φ+Φ=Φ（ΦΦΦ设粒子间无互作用设粒子间无互作用，，单粒子H 0不显含时间不显含时间，∑N其对称化波函数是：：2 个Bose 子体系，其对称化波函数是2 个Bose 子体系，其对称化波函数是其对称化波函数是：：Nkφ∏归一化因子!n该体系对称化的波函数。
φ1 、φ2、φ3，求：该体系对称化的波函数该体系对称化的波函数。
φ1 、φ2、φ3，求：该体系对称化的波函数该体系对称化的波函数。
φ1 、φ2、φ3，求：该体系对称化的波函数元素可重复选取）（元素可重复选取个元素（从m 个不同元素中每次取n 个元素其反对称化波函数是：：体系，，其反对称化波函数是2 个Fermi 子体系每一项都是单粒子波函数乘积形式，行列式展开后，，每一项都是单粒子波函数乘积形式●行列式展开后2 个Fermi 子体系(,()(()(11i i q q q q φφ们分别可能处于单粒态、、，1φ2φ3φ1925年奥地利物理学家泡利在研究全同粒子系统的波函数时发现，若全同粒子系统由费密子组成若全同粒子系统由费密子组成，，由于费密子系统的波函数是反对称函数是反对称函数，，如果有两个粒子的状态相同如果有两个粒子的状态相同，，则系统的波函数为零为零，，即不能有两个或两个以上的费密子处在同一个状态——泡利不相容原理泡利不相容原理。
全同粒子的特性全同粒子体系波函数Pauli原理两电
C 2 [ （ *q 1 ,q 2 ) （ q 1 ,q 2 ) （ *q 2 ,q 1 ) （ q 1 ,q 2 )
（ *q 1 ,q 2 ) （ q 2 ,q 1 ) （ *q 2 ,q 1 ) （ q 2 ,q 1 )d ]1 d q 2q
C 2 [ 1 0 0 1 ] 2 C 2 C 1
将方程中（q i , q j ) 调换，得：
i t (q 1 ,q 2, q j q i q N ,t)
由于
H ˆ(q 1 ,q 2, q j q i q N ,t) (q 1 ,q 2, q j q i q N ,t)
Hamilton
量对于
（q i , q j ) 调换不变
H ˆ ( q 1 , q 2 , q i q j q N , t ) ( q 1 , q 2 , q j q i q N , t ) 表明：（q i , q j ) 调换前后的波函数都是Shrodinger 方程的解。
2 ( q 1 ,q 2 , q函数
1 二粒子互换后 变波 ，函 即数不
(q1,q2, qi qj qN,t)(q1,q2, qj qi qN,t)
1 二粒子互换后 号波 ，函 即数反变 对称波函数
(q1,q2, qi qj qN,t)(q1,q2, qj qi qN,t)
I 2 个全同粒子Hamilton 量
H ˆ 2 2 1 22 2 2 2V(q1)V(q2)
H ˆ0(q1)H ˆ0(q2)
II 单粒子波函数
Hˆ 0对全同粒子是一样的，
设其不显含时间，则
i (qn ) (n 1,2.)
Hˆ（0 q1 ) i (q1 ) i i (q1 )
Hˆ（0 q2
全确
高二物理竞赛课件：量子力学之全同粒子体系的波函数和泡利原理
即 Pˆ12(q1, q 2 ) 和 (q1, q 2 ) 都是能量E 的本征函数，仍有交换简 并，体系的波函数仍可以对称化。
(2)对称化波函数
S
1 2
[
E
(q1
,
q
2
)
E
(q
2
,
q1
)]
A
1 2
[
E
(q1
,
q
2
)
E
(q
2
,
q1
)]
同样可以写成：
S
1 2
P E (q1, q 2 )
P
A
1 2
(2)对称化的波函数
因为粒子不可区分，由全同性原理知要把波函数对称化
当i j 时，S i (q1)i (q2 )
(1)
当 i j 时，(q1, q 2 ) 和 Pˆ12(q1, q 2 ) ，既不对称也不反对称，因
而不满足全同性原理的要求，但可将这两个波函数构造成对称和
反对称化的波函数，即:
C' j (q1 ) j (q 2 ) ... j (q N ) (12)
...
... ... ...
k (q1 ) k (q 2 ) ... k (q N )
关于归一化常数C
N
n!
1
, C'
N!
全同粒子体系的波函数_泡利原
作业
7-6
其中 P 表示两个粒子在单态中的某种排列， 代表对粒子不同排列的 求和，规定一种排列为偶排列，交换一次则为奇排列。 Φ A 还可表示成行列式的形式
P
q ) 1 i( 1 ( q , q ) A 1 2 q ) 2 j( 1
q ) i( 2 q ) j( 2
j 中有两种排列相同或行列式中两行相同，则 若 i，即 A
( qq ) ( ) ( q ) ( qqq ) ( ) ( ) ] 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1
021
120
102
（b）某一个状态上有2个粒子，另一粒子处于其它态。这种情况 共6个态，对应的波函数分别为
210
201
012
波函数的项数
若交换两个粒子，则
ˆ ˆ ˆ HH Φ [ () q H () q ]()() ( ) j( q ) ( q )(i j )Φ 0 1 0 2 jq 1 iq 2 j i 1 i 2
能量本征值仍为
Ei j
交换两粒子后，能量本征值不变，这种简并称为交换简并。 下面讨论体系的波函数。 前面讲过，全同粒子体系的波函数必须有确定对称性。 （1）当 i 时， j （2）当 i 时， j
于是得到泡利原理：
A 0
费米子组成的全同粒子体系中，两粒子不能处于相同的状态。 2．非单体近似
Wq ( 1,q 2) 0
( q , q ) ( q )( q ) 1 2 1 2
ˆ H ( q , q ) E ( q , q ) 1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H ( q , q ) H P ( q , q ) PH ( q ,q (q P q ,q 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2) E 2,q 1) 1 2 ( 1 2) E
全同粒子体系
第六章全同粒子体系6.1 全同粒子体系之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。
首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。
1、全同粒子我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。
其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。
全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。
2、量子力学基本假设全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。
（不可区分性与交换不变性）量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。
由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。
在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。
3、全同粒子体系ˆH算符的交换不变性粒子不可区分，单体算符形式一样。
在量子力学情况下，微观粒子不存在严格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。
但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N =各有一个粒子。
全同粒子的波函数特点
全同粒子的波函数特点
全同粒子是指具有完全相同量子态的一组粒子。
全同粒子的波函数具有以下特点：
1. 交换相干性
全同粒子的波函数具有交换相干性，即任意两个粒子交换后，波函数的幅度和相位不会发生改变。
这种特性也称为“交换不变性”。
交换相干性是全同粒子波函数最基本的特性之一，也是量子力学中对称性的体现之一。
2. 占据相同空间
全同粒子的波函数具有占据相同空间的特性。
在量子力学中，波函数是一种概率幅，描述了粒子的概率分布。
对于全同粒子，它们的波函数会占据相同的空间位置，即它们的位置概率分布是相同的。
3. 反对称性
全同粒子的波函数具有反对称性。
如果我们将全同粒子的波函数进行交换，那么它们的波函数将发生符号反转。
具体来说，如果我们将两个粒子的波函数进行交换，那么它们的波函数的符号将会发生改变。
这种特性也称为“反对称性”。
4. 球对称性
全同粒子的波函数具有球对称性。
在量子力学中，粒子的自旋和轨道运动是相互耦合的。
对于全同粒子，它们的自旋和轨道运动是相互独立的，因此它们的波函数可以具有球对称性。
具体来说，全同粒子的波函数可以表示为球谐函数的形式。
5. 唯一性
全同粒子的波函数具有唯一性，即对于一组全同粒子，它们的波函数是唯一的，不会因为不同的测量或不同的初始条件而发生改变。
这种唯一性也是量子力学中不可观察量的一个重要特性之一。
总之，全同粒子的波函数具有交换相干性、占据相同空间、反对称性、球对称性和唯一性等特点。
这些特性是量子力学中对称性和不可观察量的体现之一。
全同粒子体系的波函数泡利原理
§ 7.1 电子的自旋
一、提出电子自旋的依据 1、1912年反常塞曼效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线 分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释 ，因 为这只能分裂谱线为 （2n+1）重，即奇数重。
2、原子光谱的精细结构 。比如，对应于氢原子2p→1s的跃 迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也 存在双线结构等
4
S
2 x
S
2 y
S
2 z
2 4
.
(7.2 3)
所以，
Sˆ
2
Sˆx2
Sˆy2
Sˆz2
3 4
2
(7.2 4)
令 S 2 s(s 1)2 (7.2 5)
将上式与轨道角动量平方算符的本征值L2 l (l 1) 2
比较，可知s与角量子数 l 相当，我们称s为自旋量子数。但
这里s只能取一个数值，即s=1/2.
nlm 也是Hˆ Hˆ 0 Hˆ B 的本征函数。在强磁场中，
因为外磁场很强，可以略去自旋轨道耦合。波函 数中自旋和空间部分可以分离变量。哈密顿量H 的本征态可选为守恒量完全集（H, L2, Lz , Sz)的共 同本征态。能量的本征值为：
当 Sz
时， 2
nlm 1 2
RnlYlm 1
二、泡利算符
为简便起见，引进一个算符ˆ
，它和
Sˆ
的关系是
Sˆ
ˆ
2
Sˆ
x
Sˆ y
Sˆ
z
2
ˆ
x
2
ˆ
y
2
ˆ
z
(7.2 6)
将（7.2-6）式代入（7.2-1）式，得到ˆ 所满足的对易关系：
ˆ
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7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
1 ψi (q1) ψi (q2 ) ψA = 2 ψ j (q1) ψ j (q2 )
在将其推广到N粒子体系，
ψA =
ψi (q1) ψi (q2 ) L ψi (qN ) 1 ψ j (q1) ψ j (q2 ) L ψ j (qN )
L L L N! L ψk (q1) ψk (q2 ) L ψk (qN )
E = ∑ Ei
i =1 N
ψ (q1,L qN ) = ψ i (q1 )ψ j (q2 )L ψ k (qN )
对于由N个全同玻色子组成的体系，波函数是对称 的。对称化后的波函数为：
ψ S = C ∑ pψ i ( q1 )ψ j ( q2 )L ψ k ( qN )
p
式中 p 表示N个粒子在波函数中的某一种排列， C 是归一化常数。
7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
显然 c = ∏ ni !
i
!
的粒子数。 因此， ψ S =
∏n !
i i
N!
∑ pψ (q )ψ
i 1 p
j
( q2 )L ψ k ( qN )
对于由N个全同费米子组成的体系，波函数是反对 称的。需将其反对称化。为此，我们先将二粒子体系 的反对称波函数式写成行列式
1 2.当 i ≠ j时 ψ s = 2 [ψ ( q1 , q 2 ) + ψ ( q 2 , q1 )] 1 = [ψ i ( q1 )ψ j ( q 2 ) + ψ i ( q 2 )ψ j ( q1 )] 是对称波函数 2
7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
1 ψA = [ψ ( q1 , q2 ) − ψ ( q2 , q1 )] 2 1 = [ψ i ( q1 )ψ j ( q2 ) − ψ i ( q2 )ψ j ( q1 )] 2
7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
更谈不上将第几个和第几个交换。粒子既然不能编号， 就不能说第几个粒子处于那个量子态。二只能说某个 量子态有几个粒子，或者说，有几个粒子占据了那个 量子态。
还要强调指出，全同性原理只是说全同粒子不可区 分，不可编号，但它没说量子态不可区分。量子态可 以通过守恒量对应的量子数来表示，不同的量子数表 征不同的量子态。
ψ ( q1 , q 2 ) = ψ i ( q1 )ψ j ( q 2 )
满足
ˆ Hψ ( q1 , q2 ) = Eψ i ( q1 )ψ j ( q2 )
若两粒子交换，则能量表达式不变，但波函数表达 式变为
ψ (q2 , q1 ) = ψ i (q2 )ψ j (q1 )
ψ 这说明 ψ(q1,q2 )和 (q2,q1) 对应相同的能量本征值，体 系存在交换简并。
i =0
N
H0 (q1)ψi (q1) = Eiψi (q1) 各粒子的薛定谔方程为 H0 (q1)ψ j (q1) = Ejψ j (q1) L
体系的薛定谔方程为
ˆ Hψ (q1,L qN ) = Eψ (q1,L qN )
7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
体系的能级和波函数为
ˆ H 0 ( q1 )ψ ( q1 ) = Eiψ i ( q1 ) ˆ H ( q )ψ ( q ) = E ψ ( q )
0 2 2 i i 2
当第一个粒子处于i 态，第二个粒子处于 j 态，体系 的能量是
E = Ei + E j
7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
体系的波函数是
7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
当 i ≠ j 时，两波函数即不是对称波函数，也不是反 对成波函数。这种波函数是不能描述全同粒子体系的。 要描述全同系，必须将波函数做对称化或反对称化， 于是有 1.当 1. i = j时 ψ ( q 1 , q 2 ) = ψ ( q 2 , q 1 ) 波函数是对称波函数。
7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
自旋的影响 在忽略粒子自旋和轨道相互作用的情况下，体系的波 v q = (rs) 函数可以写成坐标的函数和自旋函数的乘积。取 v r 表示粒子的坐标，s 表示粒子的自旋，有
v v v v v v ψ ( r1s1 , r2 s2 ,L rN sN ) = ϕ ( r1 , r2 ,L rN ) χ ( s1 , s2 ,L sN )
7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
另外，如果粒子间存在相互作用，我们虽然不能把体 系波函数写成单粒子波函数形式或进行对称化或反对 称化，但这并不等于不可以对称化或反对称化。事实 上，总可以找出 ψ ( q 1 , L q N ) ，然后互换波函数中的 粒子坐标来进行对称化或反对称化。 当然，如果粒子只定域在空间的某一区域，描写粒子 的波函数在空间是分开的不重叠。全同粒子的不可区 分性就不重要了。
7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
这一节我们先讨论由两个全同粒子组成的体系。在不 考虑粒子间相互作用条件下，两粒子体系的哈密顿算 ˆ ˆ ˆ ˆ 符为 H = H0 (q1 ) + H0 (q2 ) ，H 0是每个粒子的哈密顿算符 ˆ 因为是全同粒子，所以两粒子的哈密顿算符相同。H 的本征方程为
7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
上式称为斯莱特行列式，因为任何两粒子的交换相当于 行列式中两列之间的交换，行列式必然反号。因此，斯 莱特行列式是反对称的。 特别重要的是：如果两个或两个以上粒子的状态相同， 则由于行列式中有两行以上相同，这个行列式必为零。
这表示不能有两个或两个以上的全同费米子处于同一 状态，这个结果称为泡利不相容原理。
是反对称波函数。 由上式可知，若 i = j ，即两粒子处于同一状态时
ψ
A
=0
上述结果可以推广到N个全同粒子组成的体系。
7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
若粒子间的相互作用可以忽略，体系的哈密顿算符为
ˆ ˆ ˆ ˆ H = H 0 ( q1 ) + L + H0 ( qN ) = ∑ H0 ( qi )
如果粒子是费米子，波函数对称，于是有两种情况 1. 2.
ϕ 对称，χ 反对称； ϕ 反对称，χ 对称。
7.2全同粒子体系的波函数 7.2全同粒子体系的波函数
如果粒子是玻色子，波函数反对称，也有两种情况 1. 2.
ϕ 对称，χ 也对称； ϕ反对称， χ 也反对称。
在前面的讨论中，实际上引入了一个不是很完美的 假设：粒子仍然可以编号，仍然可以分为第一个、第 二个、…….第N个，然后再考虑粒子之间的交换，要 求它们具有交换对称性。严格的说，这种做法并不彻 底，原因在于：既然粒子是全同的，他们之间不可区 分，就根本谈不上将粒子编号。