全同粒子体系的波函数泡利原理共55页文档
量子力学教程第三十讲
Ex.3
一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无 相互作用。可能的单粒子态有三 1 , 2 , 3 ， 问体系可能的状态有几个？波函数怎样由单粒子 态构成？
Solve:
状态数：
（1）三个玻色子分别处于三个单态上：
Spin and identical particle
s
(1)
1!1!1! (q1, q2, q3 ) 3! 1 (q1 )2 (q2 )3 (q3 ) 1 (q2 )2 (q3 )3 (q1 ) 1 (q3 )2 (q1 )3 (q2 ) 1 (q3 )2 (q2 )3 (q1 ) 1 (q2 ) 2 (q1 )3 (q3 ) 1 (q1 ) 2 (q3 )3 (q2 )}
将两粒子体系推广到N 粒子体系
ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) H ˆ (q ) H ˆ (q ) H 0 1 0 2 0 N 0 n
n 1 N
（7.7-13）
ˆ (q ) (q ) (q ) 单粒子的本征值方程： H 0 n k n k k n
体系的薛定格方程：
* 2 * P P i 1 i 1
根据波函数的归一化条件：
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由于单粒子态是正交归一的，则上式变为：
C N! 1
2
归一化常数
C 1/ N !
Spin and identical particle
n i 个粒子处于某一个态 n 时, 有 ni !种 交换，即 ni! 种排列不形成新的状态，这时求和
Spin and identical particle
（3）两粒子处在同一态，一粒子处在另一态
n2 1 n1 2 n 1 3
泡利不相容定律(3篇)
第1篇一、引言在微观世界的探索中，科学家们发现了一系列神奇的现象。
其中，泡利不相容定律是量子力学中一个非常重要的原理，它揭示了微观粒子之间的一种特殊关系。
本文将详细阐述泡利不相容定律的内涵、起源、应用以及在我国科研领域的重要性。
二、泡利不相容定律的内涵泡利不相容定律，又称为泡利原理，是奥地利物理学家沃尔夫冈·泡利于1925年提出的。
该定律指出：在同一个原子中，不可能有两个电子的四个量子数完全相同。
这四个量子数分别是主量子数（n）、角量子数（l）、磁量子数（m）和自旋量子数（s）。
1. 主量子数（n）：表示电子所处的能级，取值为正整数（1、2、3...）。
2. 角量子数（l）：表示电子在原子轨道中的角动量大小，取值范围为0到n-1。
3. 磁量子数（m）：表示电子在特定角动量状态下的磁矩方向，取值范围为-l到l。
4. 自旋量子数（s）：表示电子自旋的取向，取值为+1/2或-1/2。
泡利不相容定律意味着，在同一个原子中，两个电子的四个量子数不能同时取相同值。
这保证了电子在原子中的稳定分布，为原子的化学性质提供了基础。
三、泡利不相容定律的起源泡利不相容定律的发现源于对原子结构的探索。
在20世纪初，科学家们发现，通过改变原子核的电荷数，可以产生不同元素。
然而，当时的原子模型无法解释元素周期表中的周期性规律。
泡利在研究电子在原子中的分布时，发现了这一神奇的现象，并提出了泡利不相容定律。
四、泡利不相容定律的应用泡利不相容定律在物理学、化学、材料科学等领域具有广泛的应用。
1. 物理学：泡利不相容定律是量子力学的基本原理之一，为研究原子、分子、固体等微观世界的性质提供了理论基础。
2. 化学：泡利不相容定律解释了元素周期表中元素的周期性规律，为化学元素的研究提供了重要依据。
3. 材料科学：泡利不相容定律在研究材料电子结构、导电性等方面具有重要意义。
五、泡利不相容定律在我国科研领域的重要性泡利不相容定律作为量子力学的基本原理之一，在我国科研领域具有重要地位。
§5.5 全同粒子系统
既然所有Pij都是守恒量，所以其对称性不 随时间变化,即全同粒子的统计性质(Bose 或Fermi统计)是不变的。
结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是 5对2 称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。10
④全同粒子的分类 所有的基本粒子可分为两类：
玻色子Fermion和费米子Boson
1）玻色子：
凡自旋为整数倍，波函数满足交换对称，
遵从Bose-Einstein统计的粒子。 如π介子（s=0）、光子（ s=1 ）等。
52
11
引力子(Graviton)
引力子(Graviton)，又称重力子，在物理学中是一个传 递引力的假想粒子。为了传递引力，引力子必须永远 相吸、作用范围无限远及以无限多的型态出现。在量 子力学中，引力子被定义为一个自旋为2、质量为零的 玻色子。
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16
2、两个全同粒子组成的体系 ①简介
忽略相互作用，Hamiltonian可表为
Hˆ h(q1) h(q2 )
q1 q2 Hˆ 不变
故
[P12, Hˆ ] 0
设h(q)的单粒子本征态为
k
(q)，本征能为
，
k
则有
h(q)k (q) kk (q)
其中k为力学量（包含Hˆ）的一组完备量子数
(q1, q2,, qi ,q j ,)
来描述。其中 qi (i 1,2,N) 表示第i个
粒子的全部坐标（空间和自旋）。
若Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部 坐标变换，即
Pij (q1, q2,, qi ,q j ,, qN )
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(q1, q2,, q j ,qi ,, qN ) 5
量子力学--第九章 全同粒子体系
三、波函数的交换对称性和粒子的统计性 ˆ ，它的作用是 对全同粒子体系的波函数引入交换算符 P ij 把波函数中的第i个粒子和第j个粒子的坐标交换位置： ˆ (, q ,, q ,; t ) (, q ,, q ,; t ), (i j ) P
ij i j j i
那么全同性原理告诉我们：这样交换以后的状态与原 来的状态是不可区别的，所以，按照量子力学的基本原理
可以证明下面两个函数是H的属于能级E的本征函数 (q1 , q 2 ) i (q1 ) j (q 2 ) ( 7 .7 2 ) (q 2 , q1 ) i (q 2 ) j (q1 )
ˆ (q , q ) [ H ˆ (q ) H ˆ (q )] (q ) (q ) 证明： H 1 2 0 1 0 2 i 1 j 2
2 2 ˆ [ H i U (q i )] W q i , q j 2 i i 1 i j N
U(q)是粒子在外场中的势,W是两个粒子间的相互作用能.
二、全同粒子的不可区分性
1、全同粒子；质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。 2、全同粒子体系：电子系、质子系、中子系、光子系、电子 气、中子星等等。显然，对于全同粒子体系，哈密顿中的 i 都相同，q i 也都有相同的组成，但是在量子力学中，全 同粒子体系与非全同粒子体系有更多的区别。 在经典力学中，即使两个粒子是全同的，它们也仍然 是可区别的，因为它们各自有自己的轨道。但是在量子力 学中，粒子的状态用波函数描写，当两个粒子的波函数在 空间中发生重叠的时候，我们无法区分哪个是“第一个” 粒子，哪个是“第二个”粒子。所以，在量子理论中有“ 全同粒子不可区别性原理”： 3. 全同性原理: 当一个全同粒子体系中两个粒子交换不改 变体系的状态。
第4章-2.全同粒子体 西南大学量子力学PPT(考试必备)
§4.２
全同粒子体系的波函数
[本节要求]：深刻理解泡利原理，掌握如何
构造玻色子、费米子波函数
[本节内容]：讨论在忽略粒子之间相互作
用的情况下,如何去构造具有交换对称的波函数. 在计及相互作用时, 可以用它们作为基矢来展 开. 先讨论两个全同粒子体系, 然后推广到多 粒子体系.
一. 两个全同粒子体系的波函数：
N个粒子在N个单粒子态上的不同排列数有N! 个, 或者说有N! 个置换，所以上式共有N!项
奇置换：从标准排列式出发, 若经过奇数次对换才达到
排列P，记为 P 1 偶置换：从标准排列式出发, 若经过偶数次对换才达到 排列P，记为 P 1
注意到： １.在N!个置换中, 偶置换与奇置换各占一半； ２.并且注意到对换两个粒子波函数的次序，体
1 2
体系能量为 E k1 k2 的本征态为
1 2
k q1 k q2
体系能量为 k1 k 2
k q2 k q1
C1 k1 q1 k2 q2 C 2 k1 q2 k2 q1
1 2
这说明体系的能级是简并的, 这种与全同粒子 交换对称性相联系的简并, 称为交换简并.
反对称 对称 反对称 对称
对称 反对称 反对称 对称
费米子 玻色子
反对称 对称
例１：对两电子体系, 总波函数为
A
1 2
11 1 s1z 1 s2 z
2 2
A r1 , r2 s s1 z , s2 z
k1 r1 k 2 r2
两者相差一相因子
ˆ P ij
2.2 Pauli原理
2.2 Pauli 原理2.2.1全同粒子体系与置换对称性微观粒子自身固有的性质称为内禀性质，例如电子的质量、电荷、自旋等是电子的内禀性质，而电子的坐标和动量等则不是内禀性质. 内禀性质完全相同的粒子称为全同粒子.我们的基本假定是：全同粒子内禀性质的差别是观测不到的. 这个基本假定也常常被说成：全同粒子是不可分辨的.根据物理学的基本原理，某种基本物理量不可观测意味着物理体系存在着某种对称性. 如果人们原来认为是不可观测的量后来被实践证明可以观测了，则相应的对称性也就被破坏了.根据我们的基本假定，全同粒子内禀性质的差别是不可观测（观测不到）的，因此，全同粒子体系必定存在着某种对称性. 我们现在来研究这种对称性.假定我们用N 个数字1,2,...,N 对N 个全同粒子进行编号，然后用同样的N 个数字对这些粒子重新编号，从置换群的观点看，重新编号相当于对N 个数字的排列做一次置换. 由于全同粒子是不可分辨的，因此，重新编号不会发生任何可观测的后果，这意味着全同粒子体系存在着置换对称性. 假定第i 个粒子的坐标为i q （包括空间坐标和自旋坐标），置换对称性要求体系的任何可观测物理量应当是这N 个粒子的坐标{},1,2,...i q i N =的对称函数. 特殊地，体系的Hamilton 量应当是{},1,2,...,i q i N =的对称函数. 也就是说，当对{},1,2,...,i q i N =中的变量做任何置换或者以任何方式将它们重新编号时，Hamilton 量应当保持不变，不管有什么微扰作用在这一体系上，这个条件一定要满足. 另一方面，全同粒子体系的状态用波函数1(,...,...,...)i j N q q q q ψ描写，置换对称性要求当用置换群N D 中的任一元素对波函数中的变量做置换或者以任何方式将它们重新编号时，除了相因子外，波函数不应该发生任何变化.由于任何置换都可以写成对换的乘积，因此我们只需讨论对换算符ij P 对物理量或波函数的作用即可，这里),(j i P ij =,表示将i 粒子和j 粒子的坐标交换，或者说把i 粒子重新标记为j ，而把j 粒子重新标记为i .2.2.2 Pauli 原理的第一种表述根据以上讨论，N 电子体系的Hamilton 算符12(,,...)N H q q q 在对换算符作用下应当保持不变，因而有1(...,,...,,...)(...,,...,,...)ij i j ij i j P H q q p H q q-= （2.2.1）或写为ij ij HP H P = （2.2.2）这表明ij P 和Hamilton 量对易，例如（2.0.2）式表示的Hamilton 量就满足（2.2.1）式. 必须强调指出，（2.2.2）式中的Hamilton 量不限于（2.0.2）式，而是更一般的Hamilton 量，其中可能包含各种微扰项（含时与不含时）. 如前所述，不论Hamilton 量的具体形式如何，（2.2.2）式都应该满足. 更一般地，对任意置换P ，我们都有,1H P H P =- HP PH = （2.2.3）对波函数),...,,(21n q q q ψ，我们有,...),...,(...,,...),...,(...,i j j i ij q q q q P ψ=ψ （2.2.4）和(...,,...,,...)(...,,...,,...),...)i j i j j i i j P q q q q q q λψ=ψ=ψ （2.2.5） （2.2.5）式表示ψij P 和ψ只能差一相因子. 另一方面，也可以把（2.2.5）式看作算符ij P 的本征方程，本征函数为ψ，本征值为λ. 再用ij P 分别作用于（2.2.4）和（2.2.5）式两边，由于对i 和j 做两次交换等于不交换，故由（2.2.4）式得，,...),...,(...,,...),...,(...,2j i j i ij q q q q P ψ=ψ （2.2.6）由（2.2.5）式得，,...),...,(...,,...),...,(...,,...),...,(...,22j i j i ij j i ij q q q q P q q P ψ=ψ=ψλλ （2.2.7）比较（2.2.6）和（2.2.7）式，我们有，,...),...,(...,,...),...,(...,2j i j i q q q q ψ=ψλ （2.2.8）于是有12=λ， 1±=λ （2.2.9） 即ij P 的本征值1±=λ。
全同粒子体系的波函数泡利原理
§ 7.1 电子的自旋
一、提出电子自旋的依据 1、1912年反常塞曼效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线 分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释 ，因 为这只能分裂谱线为 （2n+1）重，即奇数重。
2、原子光谱的精细结构 。比如，对应于氢原子2p→1s的跃 迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也 存在双线结构等
4
S
2 x
S
2 y
S
2 z
2 4
.
(7.2 3)
所以，
Sˆ
2
Sˆx2
Sˆy2
Sˆz2
3 4
2
(7.2 4)
令 S 2 s(s 1)2 (7.2 5)
将上式与轨道角动量平方算符的本征值L2 l (l 1) 2
比较，可知s与角量子数 l 相当，我们称s为自旋量子数。但
这里s只能取一个数值，即s=1/2.
nlm 也是Hˆ Hˆ 0 Hˆ B 的本征函数。在强磁场中，
因为外磁场很强，可以略去自旋轨道耦合。波函 数中自旋和空间部分可以分离变量。哈密顿量H 的本征态可选为守恒量完全集（H, L2, Lz , Sz)的共 同本征态。能量的本征值为：
当 Sz
时， 2
nlm 1 2
RnlYlm 1
二、泡利算符
为简便起见，引进一个算符ˆ
，它和
Sˆ
的关系是
Sˆ
ˆ
2
Sˆ
x
Sˆ y
Sˆ
z
2
ˆ
x
2
ˆ
y
2
ˆ
z
(7.2 6)
将（7.2-6）式代入（7.2-1）式，得到ˆ 所满足的对易关系：
ˆ
第七章 自旋与全同粒子(二十讲) 量子力学教学课件
说明：对连续情况下，上式仍成立。 4、N 个粒子组成的全同体系。 （相互独立，不显含时间）
ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) ＝ H ˆ (q ) H 0 1 0 2 0 i
i1
N
哈密顿算符
ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 1 i 1 i i 1
ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 2 j 2 j j 2
3） 两费米子组成的体系是反称的。 若两个粒子状态相同 则 A (q1 , q 2 ) 0
i (q1 ) | j (q1 )
i (q2 ) | A (q1 , q 2 ) A (q2 , q1 ) j (q2 )
2、 泡利原理： 两体系中两个费米子不可能处于同一状态。
C 2 =1, C
=±1。
当 c=＋1 是对称的 (qi q j ） = (q j qi ) 当 c=－1 是反对称 (qi q j ） =－ (q j qi ) 结论：1）全同粒子组成波函数只能对称和反对称。 2）全同粒子组成波函数对称性不随时间 t 改变而改变 证明：设φ 是对称的。 t 时刻： 在 t+dt
A
1 N!
i (q1 ) j (q1 )
k (q1 )
i (q2 ) j (q2 )
k (q2 )
i (q N ) j (q N )
k (q:N )
有两个或两个以上的费米子不能处于同一状态（泡利不相容原
理）
① 交换粒子位置变号 ② 有两行状态相同 交换两列符号改变，两列相等 A＝0 上式中，若 i j ,则行列式等于“0” ，即不能有两个或两个
1，2，3 中的任一态， 单粒子态， 试求体系可能态的数目， 并写出相应波函数，分三种情况：a、两个粒子为全同玻