第二章 波函数
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波函数和波动方程
满足的波动方程
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
边界条件和归一化条件
边界条件 － 波函数 (r)及其导数 (r) / x
在边界处保持连续。 归一化条件 － 粒子在整个空间出现的几率为1
全空间 (r,t) 2d 3r 1
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
几率流密度 (1)
S方程： ( 2 2 V ) (r,t) i (r,t)
2m
t
*(r,t) 为 (r,t)的复数共轭, 它满足
( 2 2 V ) *(r,t) i *(r,t)
2m
t
其中
V
*
(r )
V
(r )
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
光子的偏振态的叠加 (1)
设有一束线性偏振光，射向一个理想的电气石 晶片
情况(a) 当光的偏振方向与晶轴平行时，光束 将全部通过。
情况(b) 当光的偏振方向与晶轴垂直时，光束 将被完全吸收。
情况(c) 当光的偏振方向与晶轴成角，光束部
分通过:
I I0 cos2
sin 0.776n
n 1
50.90
与实验结果吻合
量子力学与原子核物理
微观粒子的状态
第二章 波函数和波动方程
经典力学的决定性观念－经典力学中，对于一 个受到已知力的粒子(或系统)，只要给定初始
条后任件意，时即刻t=0粒时子的(确或切系位统置)的与位动置量r，t 与那动么量在p以t
薛定谔方程的引入 (1)
描述一维自由粒子 的波函数
(x,t)
1
i ( pxEt)
第二章 波函数
12
解
根据归一化的定义，我们有
2 3 2
2 r / a r / a d r dxdydz 4 r ( e ) e dr 1s 1s 0
4 r 2 e 2 r / a dr a 3
0
归一化的波函数为
~ 1s
1
a 3
e r / a
2
m
2E
d 2 ( ) 0 2 d
首先考虑方程的渐近解
d 2 0, 2 d
2
32
~e
2 / 2
因为波函数在无穷远处为有限，
~e
2 / 2
e
2
2
H ( )
代入薛定谔方程，得
d H dH 2 ( 1) H 0 2 d d
用级数解法，H只能为一个中断多项式，得到
2
2n 1,
n 0, 1, 2, ...
33
1 En (n ) , n 0, 1, 2, ... 2
简谐振子的能谱是等间 隔的, 间距为ħω, 基态能 量不为零, 即零点能量为 ħω/2。
这是微观粒子波粒二象
定态与定态波函数定态薛定谔方程???eru??????????222?哈密顿算符2?242?2ruh????????eh??本征值方程当体系处于能量本征态时粒子的能量有确定值en??n以en表示体系能量算符的第n个本征值??n是与en相应的波函数则体系的第相应的波函数则体系的第n个定态波函数为nietnnrtre?????25nietnnnnnnrtcrtcre?????????转至第三章一维定态问题?具体阐述薛定谔方程的求解过程?波函数的获取方法熟悉几个重要的应用过程中需要的物理26?熟悉几个重要的应用过程中需要的物理模型26一维无限深势阱在一维空间运动的粒子其势场满足?????????axaxxu027?1阱外x?ax?a因为势壁无限高粒子不能穿透阱壁按照波函数的统计解释在阱壁和阱外粒子的波函数为零
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
第二章 波函数和薛定谔方程
2.波恩（Born）对波函数的统计解释，概率波 2.波恩 Born）对波函数的统计解释， 波恩（ 水波的双狭缝干涉： 水波的双狭缝干涉：
I12 = h1 + h2 = h1 + h2 + (h h + h h )
2 2 2 * 1 2 * 1 2
= I1 + I2 +干涉项
11
子弹点射
•
1 2
ψ ψ
P1
1
2Байду номын сангаас
P
P 2
P= P +P 1 2
12
电子双缝衍射
电子的干涉现象与水波干射完全相似，但与子弹点射 完全不同。与水波干射的含意也有着本质的不同，前 者是强度，后者是接收到的电子多少！
13
电子干涉实验的结论： 电子干涉实验的结论： 大量电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个 大量电子在同一个实验中的统计结果， 电子在多次相同实验中的统计结果。 电子在多次相同实验中的统计结果。
8
何为波包？ 何为波包？
波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包的频率是 波矢的函数（ ω = ω(k)），我们将频率作泰勒展开
dω 1 d 2ω 2 ω(k) = ω(0) + k+ k +L 2 dk 2! dk dω d 2ω 是波包的群速度； 2 表示 ω(0)是基波，为常数；
波包的扩散；若 扩散。 由于
r Ψ(r , t) 的变化遵从薛定谔方程。 4） 的变化遵从薛定谔方程。
5
二、波函数的统计解释
r 如果粒子处于随时间和位置变化的力场 U(r , t) 中，它 的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）， ），粒子 的动量和能量不再是常量（或不同时为常量），粒子 的状态就不能用平面波描写， 的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描 一般记为： 写，一般记为：
量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子 在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态） ②波函数一般用复函数表示。
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
第二章 波函数和薛定谔方程
思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
§2.5 一维谐振子
思考题: • 对称性 动量表象
§2.5 一维谐振子
思考题: • n维谐振子体系等间距能级 n个粒子 元激发(elementary exitation) 集合产生湮 灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并
第二章 波函数和Schroinger方程
质子在钯中的波函数 /groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• 勒让德多项式的性质
别名
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.7 势垒贯穿
如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换
§2.7 势垒贯穿
共振透射的条件和共振能量
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• • •
• •
辏力 普遍性质 若U(r)处处有界=>波函数处处有界 若U(r)有极小值,则体系平均能量必大于势场 的极小值 能量算符的本征值比大于势场的极小值 若无穷远处势场为零,则能量本征值小于零 的能谱必定是分立谱,对应束缚态
§2.5 一维谐振子
• • Motivation: 数学上: 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 通过数学,看物理
§2.5 一维谐振子
思考题: • 对称性 动量表象
§2.5 一维谐振子
思考题: • n维谐振子体系等间距能级 n个粒子 元激发(elementary exitation) 集合产生湮 灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并
第二章 波函数和Schroinger方程
质子在钯中的波函数 /groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• 勒让德多项式的性质
别名
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.7 势垒贯穿
如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换
§2.7 势垒贯穿
共振透射的条件和共振能量
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• • •
• •
辏力 普遍性质 若U(r)处处有界=>波函数处处有界 若U(r)有极小值,则体系平均能量必大于势场 的极小值 能量算符的本征值比大于势场的极小值 若无穷远处势场为零,则能量本征值小于零 的能谱必定是分立谱,对应束缚态
§2.5 一维谐振子
• • Motivation: 数学上: 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 通过数学,看物理
《波函数与波动方程》课件
玻恩那里取得博士学位， 1924～1926年又和玻尔一 起工作 。
1932年海森堡获得诺贝尔 物理学奖。
举例
1. 设一维粒子具有确定的动量p0，即动量的 不确定度Δp＝0. 相应的波函数为平面波
p0 (x) eip0 x/
2
所以 p0 (x) 1 ，即粒子在空间各点的几率 都相同(不依赖于x)。即粒子的位置是完全 不确定，即 Δx＝∞ 。
P1 1 2
P2 2 2
P12 1 2 2 1 2 2 2 (12* 1*2 )
P1 P2 2 P1P cos
1 2
1,2 称为波函数（描述粒子波动性的函数 称为波函数），也就是说，接收器上某位置电子 数的多少，将由波函数的模的平方 2 来表征。
空间若有两个波，强度则应由波函数 1 2 的模的平方来描述。
2. 粒子是由波函数 (x,t) 来描述，但波函数并不能 告诉你，t0 时刻测量时，粒子在什么位置。粒子位 置可能在x1，可能在 x2, ，而在 x1 x1 dx 中发现 粒子的几率为 (x1,t0) 2 dx 。
也就是说， (x,t0) 2 在某 x 处越大，则在 时刻
测量发现粒子在该处的机会越多。（这表明，我
但是，这种描述是什么意思呢？它没有回答， 电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间 电子稀疏时，但时间足够长后，干涉花纹照样 出现。
几率诠释—几率波
Max Born真正将量子粒子的微粒性和波 动性统一起来。
如电子用一波函数 (x)来描述，则
1. 从上面分析可以看到，在 x x dx 范围内， 接收到电子多少是与 P(x)dx (x) 2 d的x 大小有关；
们讲的是能预言到什么，但我们不能说出测量的
结果）。
我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体 系去测量发现粒子可能就处于x1 ，只测得一个值。
1932年海森堡获得诺贝尔 物理学奖。
举例
1. 设一维粒子具有确定的动量p0，即动量的 不确定度Δp＝0. 相应的波函数为平面波
p0 (x) eip0 x/
2
所以 p0 (x) 1 ，即粒子在空间各点的几率 都相同(不依赖于x)。即粒子的位置是完全 不确定，即 Δx＝∞ 。
P1 1 2
P2 2 2
P12 1 2 2 1 2 2 2 (12* 1*2 )
P1 P2 2 P1P cos
1 2
1,2 称为波函数（描述粒子波动性的函数 称为波函数），也就是说，接收器上某位置电子 数的多少，将由波函数的模的平方 2 来表征。
空间若有两个波，强度则应由波函数 1 2 的模的平方来描述。
2. 粒子是由波函数 (x,t) 来描述，但波函数并不能 告诉你，t0 时刻测量时，粒子在什么位置。粒子位 置可能在x1，可能在 x2, ，而在 x1 x1 dx 中发现 粒子的几率为 (x1,t0) 2 dx 。
也就是说， (x,t0) 2 在某 x 处越大，则在 时刻
测量发现粒子在该处的机会越多。（这表明，我
但是，这种描述是什么意思呢？它没有回答， 电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间 电子稀疏时，但时间足够长后，干涉花纹照样 出现。
几率诠释—几率波
Max Born真正将量子粒子的微粒性和波 动性统一起来。
如电子用一波函数 (x)来描述，则
1. 从上面分析可以看到，在 x x dx 范围内， 接收到电子多少是与 P(x)dx (x) 2 d的x 大小有关；
们讲的是能预言到什么，但我们不能说出测量的
结果）。
我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体 系去测量发现粒子可能就处于x1 ，只测得一个值。
大学物理：量子物理第二章 波函数和薛定谔方程-1
量子力学
粒子状态的 坐标（位置） 基本描述 动量（运动速度） --都是确定量
粒子具有波粒二象性，不可 能同时具有确定的坐标和动 量，坐标和动量都是以一定 的几率出现。用波函数描写 体粒子的量子状态。
其它量
其它物理量如能量等都 所有其它量都是以一定几率
是坐标和动量的函数-- 出现--用波函数描写体粒子
电子在底片上各位置出现的几率不是常数，出现的几率大， 即出现干涉图样中的“亮条纹”；有些地方电子出现的几率 为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。在电子双缝干涉实 验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布。 玻恩对波函数物理意义的解释：波函数在空间某一点的 强度和在该点找到粒子的几率成正比。
8
E p2 2m
自由粒子波函数：
(x,
t
t)
i
E
( x, t )
E (x,t) i (x,t)
t
x
i
p
2
x 2
p2 2
p2
2 2
x2
2 2
i t 2m x2
3
一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
2
x 2
三维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
(
2
x2
2
y 2
都是确定量
的量子状态。
11
例如在量子力学中力学量表示为：
对于一维粒子出现在x坐标的平均值为
x x | (x) |2 dx *(x) x (x)dx
相应的涨落偏差
结论：经典力学能够表示粒子确定的位置和动量，但是量子力
学中的波函数只能给出粒子位置的平均值x 及其偏差(x)2 。 12
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i En t
1 n sin ( x a)e 2a a
i En t
29
束缚态：本征能 量小于势能，即 E<U0 基态：体系能量最 低的态
本征函数的奇偶性 取决于势能函数
30
2.7 线性谐振子
在自然界中一维谐振子广泛存在，任何体系在平衡位置附
近的小振动，如分子的振动、晶格的振动、原子和表面振动以
dW ( x, y , z, t ) ( x, y , z, t ) d
几率密度为：
2
w( x, y , z, t ) ( x, y , z, t )
2
归一化条件可表示为：
( x, y, z, t ) d 1
2
那么，称为归一化波函数
归一化波函数还可以含有一个相因子 e i
2.5 定态薛定谔方程
我们讨论力场中的势能U(r)与时间无关的情况
22
2 i U (r) t 2
2
考虑一种特解
(r, t ) (r) f (t )
2
i df 1 2 [ U (r ) ] 常数＝E f dt 2
Et ( r, t ) ( r )exp( i ) ( r)exp( i t )
Aei (krt )
E h p k
（2） 如果粒子受随时间或位置变化的力场的作用，可以用一个函数来描
写粒子的波，称为波函数。
（3）人们曾经错误地认为波是由它所描写的粒子组成的。
若粒子流的衍射现象是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的，
衍射图样应该与粒子流强度有关，但实验证明它们两者却无关。
利用波函数在边界处连续，
( a ) ( a ) 0
体系的能量
E
2
2 2
8m a
n , n 1, 2, 3, ...
2
28
相应的归一化的波函数为
n 1 sin ( x a ), 2a n a 0,
定态波函数为
xa x a
n ( x, t ) n e
13
2.2 态叠加原理
一、态叠加原理 经典物理中，声波和光波都遵从叠加原理。 量子力学中的态叠加原理，是量子力学原理的一个基本假设。
c11 c2 2
c1，c2是复数
含义：当粒子处于态 1 和态 2 的线性叠加态时，粒子既处 在态 1 ，又处在态 2 。
c11 c2 2 ( c1 1 c2 2 )( c11 c2 2 )
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1 微观态的波函数描述及其统计诠 释 2.2 态叠加原理
2.3 薛定谔方程
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 2.5 定态薛定谔方程
1
经典粒子的物理描述
• • • • • 1、参照系 (坐标系) 2、坐标 r 3、速度（动量） v or (p) 4、加速度 a 5、宏观实践中结果很好
（5）波恩提出的波函数统计诠释：波函数在空间某点的强度 （振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
描写粒子的波称为几率波
9
（6）波函数的特性
波函数可以用来描写体系的量子状态（简称态或状态）。
在经典力学中，一旦用来描写质点状态的坐标和动量确定后， 其他力学量也确定了。 在量子力学中，用来描写体系某一量子态的波函数确定后， 体系的力学量一般有许多可能取值，这些可能取值各自以一 定的几率出现。
2
二、能量和动量算符
E i t
p i
19
三、薛定谔方程
一般情况下
p E U (r ) 2
2
根据能量和动量算符
2 2 i U (r) t 2
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
20
几率密度
w(r, t ) (r, t ) (r, t )
及辐射场的振动等都可以分解成若干彼此独立的简谐振动。 质量为m、频率为ω的振子的哈密顿量可表示为
2 px 1 H m 2 x 2 2m 2
定态薛定谔方程
2 d 2 1 2 2 ( x ) m x ( x ) E ( x ) 2 31 2m dx 2
令
m x x,
2 2 2 2 2 2 2 x y z
（2）
18
利用自由粒子
p E 2
2
和上面方程（1）、（2）
得：
2 2 i t 2
i j k x y z 1 1 er e e r r r sin 2 2 2 2 2 2 x y z
*
* w * t t t
几率密度随时间的变化率
利用薛定谔方程
2 2 i 2 U (r ) i U (r ) ; t 2 t 2 i i 2 * U (r ) * t 2 i
11
量子力学中并不排斥使用一些不能归一的理想波函数，如 描述自由粒子的平面波函数。
(r, t ) A exp[i (k r t )]
E hv
p k
例题： 求下面氢原子的1s电子的波函数的归一化系数
1s (r, , ) 1s (r ) e
r / a
(r, t ) Ae
i ( pr Et )
Ae
i ( k r t )
i E （1） t
p 2
2 2
i j k x y z 1 1 er e e r r r sin
5
2、波函数统计诠释
（1）机枪子弹的“双缝衍射”
1(x)和2(x)分别为单独开缝1或2时，靶上子弹的密度分布，
双缝齐开时，靶上子弹的密度分布1(x) ＋2(x)
6
（2）声波的双缝衍射
双缝齐开时，声波的强度分布不等于I1(x) ＋I2(x)，还包括两 者的干涉项。
7
（3）电子 的双缝衍射
26
2.6 一维无限深势阱
在一维空间运动的粒子，其势场满足
0 U ( x)
x a x a
（1）阱外（xa, x -a）
因为势壁无限高，粒子不能穿透阱壁，按照波函数的统计解
释，在阱壁和阱外粒子的波函数为零。
0,
x a
27
（2）阱内（a> x > -a）
2 2 E 2 2m x
12
解
根据归一化的定义，我们有
2 3 2
2 r / a r / a d r dxdydz 4 r ( e ) e dr 1s 1s 0
4 r 2 e 2 r / a dr a 3
0
归一化的波函数为
~ 1s
1
a 3
e r / a
2
电子的双缝衍射实验 ——经典理解
电 子 束
3
看电子的双缝衍射实验
1、设入射 电子流很微 弱，几乎是
一个一个地
通过双缝。 图中的照片 是在不同时 间下拍的。
2、强电流
短时曝光
4
2.1 波函数的统计诠释
1、如何解释一个波所描述的一个粒子的行为？
（1）平面波可以用来描述自由粒子。
x Y A cos[2 ( t )] r n A cos[2 ( t )] A cos[ k r t ]
以En表示体系能量算符的第n个本征值， n是与En相应的波 函数，则体系的第n个定态波函数为
n (r, t ) n (r )e
iEnt
(r , t ) cnn (r , t ) cn n (r )e
n n
iEnt
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转至第三章“一维定态问题”
• 具体阐述薛定谔方程的求解过程， • 波函数的获取方法 • 熟悉几个重要的应用过程中需要的物理 模型
E是体系处在这个波函数所描写的状态时的能量。 定态与定态波函数
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定态薛定谔方程
2 2 U (r ) E 2
哈密顿算符
2 ˆ H U (r ) 2
2
本征值方程
ˆ E H
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当体系处于能量本征态 n 时，粒子的能量有确定值En
式中
1 ipr / p (r) e 3/ 2 (2)
1 c(p, t ) 3/ 2 (2)
(r, t )e
i pr
dxdydz
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1 (r, t ) 3/ 2 (2)
c(p, t )e
i pr
dpx dpy dpz
(r, t)和c(p, t)是同一种状态的两种不同的描述方式， (r, t) 是以坐标为自变量的波函数， c(p, t)是以动量为自变量的波
*
w i * * ( ) t 2
令
i * J ( * ) 2
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粒子数守恒定律
高斯定理
w J 0 t
w V 诠释对波函数提出的要求： 波函数必须是有限的、连续的和单值的：标准化条件
函数。
2.3 薛定谔方程
如何获取波函数 经典力学中，决定任一时刻质点的运动方程－牛顿运动方程，
量子力学中，决定微观粒子任一时刻的状态方程－薛定谔方程 17
决定微观粒子任一时刻的状态方程必须满足两个条件：
（1）方程是线性的 （2）方程的系数不应包括状态参量。
一、描述自由粒子的状态方程
自由粒子的波函数
2
m
2E
d 2 ( ) 0 2 d