2、第一章 波函数与薛定谔方程
薛定谔方程与波函数的意义
薛定谔方程与波函数的意义量子力学（Quantum Mechanics）是一种描述微观世界的理论框架，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是其中最为基本的方程之一，而波函数（Wave Function）则是薛定谔方程的解。
薛定谔方程的提出和波函数的出现，彻底改变了人们对微观粒子行为的认识，揭示了粒子实物性质背后的波动性质。
薛定谔方程的形式为：{{Hψ = Eψ}}其中，{{H}} 是系统的哈密顿算符（Hamiltonian Operator），{{ψ}} 是波函数，{{E}} 是系统的能量。
薛定谔方程通常应用于描述微观粒子的运动和相互作用。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，而波函数是描述粒子状态的数学函数。
波函数的意义体现在以下几个方面：1. 描述微观粒子的性质：波函数是描述微观粒子行为的工具。
通过波函数，可以获得粒子在空间中的分布概率和动量分布等信息。
波函数是一个复数函数，其模的平方表示在某一时刻发现粒子的概率密度。
波函数的平方和为1，意味着粒子必然处于某个位置。
2. 质点的波粒二象性：根据波动粒子二象性，粒子不仅可以表现出粒子性，还可表现出波动性。
波函数是描述波动性的数学工具，能够描述质点的位置、速度、动量和能量等经典物理量。
3. 波函数的求解：波函数通过薛定谔方程的求解得到。
不同的系统具有不同的哈密顿算符{{H}}，因此对于不同的物理系统，薛定谔方程的形式也会不同。
求解薛定谔方程可以得到粒子的能量和相应的波函数，从而揭示了粒子的量子性质。
4. 波函数的演化：根据薛定谔方程，波函数会随着时间的演化而变化。
在没有外界干扰的情况下，波函数的演化是由方程中的哈密顿算符所决定的。
通过对波函数的演化研究，可以得到粒子在不同时间下的状态信息。
5. 量子力学基本原理的体现：薛定谔方程和波函数是量子力学基本原理的数学表述。
通过方程的求解，可以计算粒子的行为，比如能谱、波包展开和散射等。
量子力学 第1章-1-2(第3讲)
越来越多的实验事实证明，波函数的位相是非常重要的物理 概念，只限于统计解释还不能完全穷尽对波函数的认识。
量子波函数的概率解释有不足
玻恩的概率解释：“波函数的振幅的平方是粒 子被发现的概率” 。不是完整诠释，只关注 所谓的可观察量（振幅），忽略了相位（因为 不属于可观察量）。
杨振宁说，规范场论就是相位场。相位是其根 本。振幅与相位合起来用复数表示。
x=0
dx
由于
d 2(x,t)
dx2
0
x0
故 x 0 处，粒子出现概率最大。
注意
（1）归一化后的波函数
(r , t
)
仍有一个模为一的因
子 ei 不定性（ δ为实函数）。
若 r,t 是归一化波函数，那末， r,tei 也是
归一化波函数，与前者描述同一概率波。
（2）只有当概率密度 (r,t) 对空间绝对可积时，才
2
(r,t) dx
A2
ea2x2 dx
A2
1
a2
归一化常数
1/ 2
A a/
归一化的波函数1/ 2Fra bibliotek1a2x2 i t
(r,t) a / e 2 2
（2）概率分布： (x, t) (x, t) 2 a ea2x2
（3）由概率密度的极值条件
d(x, t) a 2a2 xea2x2 0
相位是复杂性之源，相位导致纠缠，纠缠导致 记忆与电子相干。自由度的纠缠和相干，往往 会造就许多意想不到的结果。
作业题
1. 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态? 并指出每
个状态由哪几个波函数描写。
1 ei2x / , 4 ei3x / ,
2 ei2x/ , 5 ei2x / ,
波函数与薛定谔方程
波函数与薛定谔方程引言：在量子力学中，波函数与薛定谔方程是两个核心概念。
波函数描述了粒子的量子态，而薛定谔方程则给出了波函数的时间演化规律。
本文旨在解释波函数与薛定谔方程的概念，并探讨它们在量子力学中的重要性。
一、波函数的定义与性质：波函数用符号Ψ表示，是随时间和空间变化的数学函数。
对于一个单粒子的量子系统，波函数Ψ(x,t)是描述其位置和时间依赖的函数，其中x表示位置，t表示时间。
波函数的模的平方|Ψ(x,t)|²（也称为概率密度）给出了在某个位置找到粒子的概率。
波函数的归一化要求概率密度在整个空间积分为1，即∫|Ψ(x,t)|²dx = 1。
另外，波函数是复数形式的，通过它可以得到粒子的相位和幅度信息。
二、薛定谔方程及其意义：薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，用于描述量子系统的演化。
薛定谔方程的一般形式为：ih∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，h是普朗克常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
薛定谔方程可以看作是一个时间演化方程，它告诉我们波函数如何随时间变化。
三、薛定谔方程的解与量子态的演化：薛定谔方程的解Ψ(x,t)给出了波函数在时间和空间上的演化规律。
解薛定谔方程有多种方法，其中最常见的是分离变量法、微扰法和数值计算法。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同时间、不同位置的波函数。
薛定谔方程解的平方Ψ(x,t)²表示了在经典条件下，在某个位置x找到粒子的概率密度分布。
波函数的演化规律是通过薛定谢方程来描述的，因此它反映了量子态的演化过程。
波函数的演化可以告诉我们粒子的位置、动量和能量等重要信息。
四、波函数的物理意义：波函数不仅仅是一个数学概念，它具有重要的物理意义。
首先，波函数的平方给出了在某个位置找到粒子的概率密度分布。
这一点与经典物理中的粒子位置概念是不同的，因为在量子力学中，粒子的位置是模糊的，只能通过概率来描述。
其次，波函数还包含了粒子的相位信息。
波函数和薛定谔方程
波函数和薛定谔方程一、波函数的统计解释、叠加原理和双缝干涉实验微观粒子具有波粒二象性<德布罗意假设）；德布罗意关系<将描述粒子和波的物理量联系在一起）物质波<微观粒子—实物粒子）引入波函数<概率波幅）—描述微观粒子运动状态对于微观粒子来说，如果不考虑“自旋”一类的“内禀”态，单值波函数是其物理状态的最详尽描述。
至少在目前量子力学框架中，我们不能获得比波函数更多的物理信息。
b5E2RGbCAP微观粒子的状态用波函数完全描述——量子力学中的一条基本原理该原理包含三方面内容：粒子的状态用波函数表示、波函数的统计解释和对波函数性质的要求。
要明确“完全”的含义是什么。
按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述体系的量子态，若已知单粒子<不考虑自旋）波函数，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如动量等粒子的其它力学量的概率分布也均可通过波函数而完全确定。
由此可见，只要已知体系的波函数，便可获得该体系的一切物理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述。
p1EanqFDPw 必须强调指出，波函数给出的有关粒子的“信息”本质上是统计性质的。
例如，在适当条件下制备动量为p的粒子，然后测量其空间位置，我们根本无法预言测量的结果，我们只能知道获得各种可能结果的概率。
DXDiTa9E3d很自然，人们会提出这样的疑问：既然量子力学只能给出统计结果，那就只需引入一个概率分布函数<象经典统计力学那样），何必假定一个复值波函数呢？RTCrpUDGiT事实上，引入复值波函数的物理基础，乃是量子力学中的又一条基本原理——叠加原理。
这条原理告诉我们，两种状态的叠加，绝不是概率相加，而是带有相位的复值波函数的叠加<数学求和）。
正因如此，在双缝干涉实验中，我们才能看见屏上的干涉花纹。
5PCzVD7HxA实物粒子双缝干涉实验分析我们首先只打开一条狭缝，根据粒子的波动性，可以预言屏上将显示波长<为粒子动量）的单缝衍射花纹。
大学物理课件：23-2波函数与薛定谔方程
0.091
例：试求在一维无限深势阱中n=1粒子概率密度的最大值的位置。
解：一维无限深势阱中n=1粒子的概率密度为
1(x)
2
2 a
sin2
a
x
n (x)
d 1(x) 2
dx
4
a2
sin
a
x
cos
a
x0
2 sin n x
aa
因为粒子在阱内，则
sin
a
x
0
cos
a
x
0
a
x
2
由此解得最大值得位置为
在 dV 空间内发现粒子的概率： dP 2 dV *dV
概率密度 表示在某处单位体积内发现粒子的概率. Ψ 2 *
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为:
Ψ
2
dV
1
归一化条件
波函数的标准化条件
1）波函数具有有限性
有限空间内：
Ψ
2
dV
1
2）波函数是连续的
3）波函数是单值的
例：作一维运动的粒子被束缚在 0 x的 a范围内。已知其波函数
移动原子
六、一维简谐振子
微观领域中分子的振
动、晶格的振动、，都
可以近似地用简谐振子模
型来描述 。
一维简谐振子的经典模型
一维简谐振子的势函数：
U (x) 1 kx2 1 m2x2
2
2
k m,
m —— 振子质量， —— 固有频率，x —— 位移
相应的定态薛定谔方程为 ：
2 d2 1 m 2 x2 E
2
2m
d2 dx2
U
x
x
E
x
2
波函数和薛定谔方程
px ∂ 2Ψ = − Ψ， ∂x 2 h2
2
py ∂ 2Ψ = − Ψ 2 2 ∂y h pz ∂ 2Ψ = − Ψ ∂z 2 h2
2
2
h p2 2 − ∇ Ψ= Ψ 2m 2m (3)
是同一个量子态的不同表述
Ψ (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数； C(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态。
r r Ψ (r , t ) 与 c( p, t ) 有类似的物理意义 r 2 Ψ (r , t ) 是指在t时刻，粒子在r处出现的概率密度 r 2 c( p, t ) 是指在t时刻，粒子具有动量p的概率密度
与能量为E及动量为p 的粒子相联系的波（物质波） h E 的频率及波长为 λ= ν = p i rr h ( p⋅r − Et ) r 自由粒子平面波函数 ψ (r , t ) = Ae h
2.1 波函数的统计解释
另一种理解： 为防止电子间 发生作用，让 电子一个一个 地入射，发现 时间足够长后 的干涉图样和 大量电子同时 入射时完全相 同。（1989） 粒子是基本的，电子的波动性是大量电子之 间相互作用的结果。
2.3 含时薛定谔方程
2.3.1 经典粒子的动力学方程
r r dr t = t 0时刻，已知初态是： r0 , p0 = m dt
t = t0
2r r d r 粒子满足的方程是牛顿 方程： F = m 2 dt
从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导 数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
dτ ∫ ∞
→∞
2.2 态叠加原理
简述薛定谔方程与波函数
简述薛定谔方程与波函数
薛定谔方程是描述量子力学中一个粒子的运动的基本方程之一，其形式为时间-空间偏微分方程。
它是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的。
薛定谔方程是描述粒子波函数的演化的方程，其中波函数是对一个粒子可能状态的描述。
波函数是一个数学函数，它描述了粒子在给定时刻的位置和动量的所有可能状态。
薛定谔方程将波函数与粒子的能量联系起来。
它描述了波函数在时间和空间上的演化方式，并将粒子的能量表示为波函数的特征值。
薛定谔方程可以用于计算粒子在各种情况下的运动和行为。
这些情况可以是粒子在外场中的运动，或者是两个或多个粒子的相互作用。
波函数是用来描述量子系统的数学对象。
它是一个数学函数，它描述了粒子在空间中的位置和运动状态的可能性。
波函数是一个复数函数，其模的平方表示在给定位置上发现粒子的概率。
波函数的模的平方越大，粒子出现在该位置的概率越高。
波函数在时间和空间上的演化可以由薛定谔方程描述。
波函数会根据薛定谔方程在不同的时间和空间位置上演化。
波函数在时间演化的过程中，其振幅和相位不断地变化。
这些变化可以用波函数的频率和波长来描述。
薛定谔方程和波函数是量子力学的基本概念之一，它们被广泛应用于研究和理解原子、分子和固体等量子系统的行为。
薛定谔方程和波函数的发展使得人们对物质世界的认识有了深刻的改变，也为现代科技的发展做出了重要的贡献。
波函数和薛定谔方程
波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程是量子力学中两个重要的概念。
波函数是用来描述量子系统状态的数学函数，而薛定谔方程则是描述波函数随时间演化的微分方程。
本文将介绍波函数和薛定谔方程的基本原理和应用，并探讨它们对量子力学的重要性。
一、波函数的概念和性质1. 波函数的定义波函数是量子力学中用来描述量子系统的数学函数。
它通常用符号ψ来表示，且是复数函数。
波函数的模的平方表示了找到该系统处于某个状态的概率。
2. 波函数的物理意义波函数的物理意义是描述了量子系统的可能状态和其对应的概率分布。
通过对波函数的求模平方，我们可以得到量子系统在不同状态的概率分布图。
3. 波函数的归一化条件波函数必须满足归一化条件，即在整个空间内积分后等于1。
归一化条件保证了系统一定会处于某个状态，并且概率总和为1。
二、薛定谔方程的基本形式和解析解1. 薛定谔方程的基本形式薛定谔方程是描述量子系统波函数在时间上演化的基本方程。
一维情况下，薛定谔方程可以写为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ式中符号的含义为ħ为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为势能函数。
2. 薛定谔方程的解析解对于某些特定的势能函数，薛定谔方程存在解析解。
比如自由粒子情况下的薛定谔方程的解为平面波，简谐振子情况下的薛定谔方程的解为倒谐波。
三、波函数和薛定谔方程的应用1. 粒子在势阱中的行为波函数和薛定谔方程被广泛应用于研究粒子在势阱中的行为。
通过对势能函数和初始条件的设定，可以计算出粒子的波函数演化，并分析粒子的行为，比如能量谱和态密度等。
2. 电子在固体中的行为波函数和薛定谔方程在固体物理学中有着重要的应用。
通过求解薛定谔方程，可以得到电子在晶体中的波函数，从而研究电子的能带结构、载流子运动以及材料的电导性等性质。
3. 分子和化学反应波函数和薛定谔方程在化学领域中也有广泛的应用。
通过求解薛定谔方程，可以得到分子的波函数，从而研究化学反应的动力学过程、反应速率以及分子能谱等性质。
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3、波函数的统计诠释
2 ( r ) 为概率密度 波函数( r )称为概率波
据此，描写粒子的波函数Ψ (r)可以认为是概率 波，反映微观粒子运动的一种统计规律性。
这就是首先由 Born 提出的波函数的概率解释， 它是量子力学的基本原理。
3、波函数的统计诠释
概率与概率密度
•根据波函数的概率解释：在t时刻，r 附近，dτ体 积内，找到由波函数粒子的概率是：
2 动量分布概率密度： ( p)
( p) 是 ( r )
( r ) 1 ( 2)3 / 2
按傅里叶展开的波幅：
ip ( p ) e r / d 3 p
逆表达式： ( p )
1 ( 2)3 / 2
ip ( r ) e r / d 3 r
P 电子源 O 感 光 屏
P O Q
Q
经典物理实验： 经典的波——水波穿过小孔 经典的粒子——子弹（手枪瞄准小孔打枪）穿 过小孔
2、电子衍射实验
单个电子衍射实验
•电子枪发射稀疏到，任何时刻空间中只有一个电子， 电子一个一个地通过小孔，但只要时间足够长，底片 上数目增加呈现出衍射花纹。 •电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才 有的现象，单个电子就具有波动性。
例(P8) : 4,5
3、波函数的统计诠释
统计诠释对波函数的要求
2 •统计诠释要求 (r , t ) 取有限制 2 •统计诠释要求 (r , t ) 单值
•统计诠释要求真实的波函数满足归一化条件
全
2 (r , t ) d 1
4、归一化的波函数
归一化系数
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭 情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
第一章 波函数和薛定谔方程
§1.1 波函数的统计诠释 §1.2 薛定谔方程
§1.1 波函数的统计诠释
1、波粒二象性 2、电子衍射实验 3、波函数的统计诠释 4、归一化的波函数 5、力学量的平均值 6、动量分布概率波函数
1、波粒二象性
经典的粒子： •有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; •确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。 经典的波： •实在的物理量的空间分布作周期性的变化; •干涉、衍射现象，即相干叠加性。
动量平均值
：p
2 3 p ( p) d p
作
业：P8（练习1,4,5）
已知下列波函数： x A a bx ( x,0) A ba 0 求归一化常数 A
2
0 xa a xb x 0或x b
画出 ( x,0) ，t 0时，粒子在何处最易发 现
物质波
E h , p
h
( r , t )
例如：自由粒子平面波
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
i A exp ( p r Et)
问题： 如何体现波粒二象性？ 描述怎样的粒子状态？ 描写怎样的波？
2、电子衍射实验
是常数。 因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的 2 2 相对几率之比是： C ( r ( r 1, t ) 1, t )
C ( r2 , t ) ( r2 , t )
•由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空 间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的 相对比例，而不取决于强度的绝对大小。 这与经典波不同。
电子衍射实验： 入射电子流强小，开始显示电子的微粒性， 长时间亦显示衍射图样;入射电子流强大，较 快显示衍射图样。
2、电子衍射实验
关于波粒二象性
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒 子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电 子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾 的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子 也不是经典概念中的粒子。
2 dW ( r , t ) C ( r , t ) d , C为常数
•在 t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率称为概率密 度
( r , t ) dW ( r , t ) / d C ( r , t )
2
•在体积V内，t时刻找到粒子的几率为：
V V
2 W ( r , t ) ( r , t )d C ( r , t ) d
量子力学导论
Introduction to Quantum mechanics
成都理工大学 2016年9月—11月
课程内容
第一章 波函数和薛定谔方程 第二章 一维势场中的粒子 第三章 力学量用算符表达 第四章 力学量随时间的演化 第五章 中心力场 第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换 第九章 力学量本征值问题的代数解法 第十章 微扰论
粒子性：有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 波动性：干涉、衍射现象，即相干叠加性。
3、波函数的统计诠释
衍射实验结果显示的是：许多电子在同一个实验中的 统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统 计结果。 在电子衍射实验中，照相底片上： r 点附近衍射花样的强度
正比于该点附近感光点的数目； 正比于该点附近出现的电子数目； 正比于电子出现在 r 点附近的几率。
5、力学量的平均值
粒子处于波函数 ( r ) 所描述的状态下，位置 具有确定的概率分布，因而具有确定的平均值： 2 3 x x (r ) d r
势能的平均值为： V Nhomakorabea
2 3 V (r ) (r ) d r
其他力学量的平均值呢？
6、动量分布概率波函数
求x a区间发现粒子的概率
x的期望值
4、归一化的波函数
波函数的不确定
归一化的波函数有常数的不确定性
C ( r , t )与( r , t )描述同一状态
归一化波函数有一个模为一的因子不确定性。
e (r , t )与(r , t )描述同一状态
i
请问下列波函数中，哪 些与 1描写同一状态？
1 ei 2 x / ； 2 e i 2 x / ； 3 ei 3 x / , 4 ei 2 x / ； 5 3e i ( 2 x ) / ； 6 (4 2i )ei 2 x /
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在 此基础上，Born 提出了波函数意义的统计诠释。
3、波函数的统计诠释
电子衍射实验得出：衍射花样强度正比于此点附近找
到粒子的几率
假设衍射波波幅用 ( r ) 描述，与光学相似
衍射花纹的强度则用
2 (r )
描述，但意义与经典波不
同。
2 ( r ) d (d dxdydz ) 粒子出现在r 点附近体积元 d中的概率
2 C ( r , t ) d 1
2 ( r , t ) d
归一化系数 ：
C 1/
这即是要求描写 粒子量子状态的 波函数Ψ必须是 绝对值平方可积 的函数。
（注意：自由粒子波函数不满足这一要求，有 专门的归一化处理办法）。
例( P8) : 1
4、归一化的波函数
(r , t) 和 C (r , t ) 所描写状态是相同的，这里的 C