第一章 量子力学基础知识
量子力学基础知识
一个吸收全部入射线的表面称为黑体表面。 一个带小孔的空腔可视为黑体表面。它几乎完全 吸收入射幅射。通过小孔进去的光线碰到内表面 时部分吸收，部分漫反射，反射光线再次被部分 吸收和部分漫反射……，只有很小部分入射光有 机会再从小孔中出来。如图1－1所示
图 1－ 2表 示在四种不同 的温度下，黑 体单位面积单 位波长间隔上 发射的功率曲 线。十九世纪 末，科学家们 对黑体辐射实 验进行了仔细 测量，发现辐 射强度对腔壁 温度 T的依赖 关系。
玻尔
Bohr
他获得了 1922年的 诺贝尔物 理学奖。
玻尔
Bohr(older)
1.1.3
--- 德布罗意物质波
Einstein为了解释光电效应提出了光子说， 即光子是具有波粒二象性的微粒，这一观点在科 学界引起很大震动。1924年，年轻的法国物理学 家德布罗意（de Broglie）从这种思想出发,提 出了实物微粒也有波性,他认为：“在光学上,比 起波动的研究方法，是过于忽略了粒子的研究方 法；在实物微粒上，是否发生了相反的错误？是 不是把粒子的图像想得太多，而过于忽略了波的 图像？” 他提出实物微粒也有波性，即德布罗意波。
为了解释以上结果，玻尔综合了普朗克的量子论， 爱因斯坦的光子说以及卢瑟福的原子有核模型，提出著 名的玻尔理论： （1）原子中有一些确定能量的稳定态，原子处于定态 不辐射能量。 （2）原子从一定态过渡到另一定态，才发射或吸收能量。
E E2 E
1
h
（3）各态能量一定，角动量也一定( M=nh/2π ) 并且是量子化的，大小为 h/2π 的整数倍。
E =
h v , p = h / λ
1927年，戴维逊（Davisson）与革末 （Germer）利用单晶体电子衍射实验，汤姆逊 （Thomson）利用多晶体电子衍射实验证实了德 布罗意的假设。 光（各种波长的电磁辐射）和微观实物粒 子（静止质量不为0的电子、原子和分子等）都 有波动性（波性）和微粒性（粒性）的两重性 质，称为波粒二象性。 戴维逊(Davisson)等估算了电子的运动速度， 若将电子加压到1000V,电子波长应为几十个pm， 这样波长一般光栅无法检验出它的波动性。他 们联想到这一尺寸恰是晶体中原子间距，所以 选择了金属的单晶为衍射光栅。
(01) 第一章 量子力学基础
玻尔频率规则
Bohr的轨道角动量量子化
E h E E2 E1
h h
运用玻尔模型，结合经典物理学知识，玻尔计算了氢原子定态 的轨道半径及能量，圆满的解释了氢原子光谱。 1922年, Bohr
获诺贝尔物理学奖.
mv 2 e2 r 4 0 r 2
消去v，
2
r
h M mvr n 2
34
Js
这些不同能量的谐振子出现的几率之比为：
1： h / kT ：2 hv / kT ：…： nhv / kT e e e
的平均能量为
h e h / kT 1
因此频率为ν的振子的振动
，由此可得单位时间，单位表面积上辐
射的能量。公式计算值与实验结果非常吻合。
E 2h c
)
E总
me 4 1 R 2 2 2 2 8 0 r 8 0 h n n
e2
1 13.6 2 eV ( n 1,2,3 ) n
E总 E K 1 EV 2
当n=1,E=-R=-13.6eV，即为氢原子基态。
当电子从定态n1跃迁到n2时放出或吸收辐射。其频率满足于：
这样实物微粒若以大小为p=mv的动量运动时，伴随有 的波
h p h mv
例子：以1.0×106m.s-1 的速度运动的电子，求其de.Broglie波
长：
6.6 1034 J . s 7.0 1010 m (9.1 10 31 Kg) (1.0 106 m .s 1 )
在十九世纪末，人们利用传统的经典物理学对几个问题始终不能给予
解释, 这其中包括著名的黑体辐射、 光电效应、氢原子光谱和原子
结构等问题.
第一章量子力学基础知识总结
第一章量子力学基础知识总结微观粒子的运动特征1.黑体辐射和能量量子化●黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体。
●黑体辐射的能量量子化公式:●普朗克常数(h=6.626×10-34 J·s)2.光电效应和光子学说●只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频率）时，金属才能发射光电子。
●不同金属的临阈频率不同。
●随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。
●增加光的频率，光电子的动能也随之增加●式中h为Planck常数，ν为光子的频率●m = h ／c2所以不同频率的光子有不同的质量。
●光子具有一定的动量(p)P = mc = h /c = h／λ●光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。
Ek = h －W3.实物微粒的波力二项性● E = h v , p = h / λ●光（各种波长的电磁辐射）和微观实物粒子（静止质量不为0的电子、原子和分子等）都有波动性（波性）和微粒性（粒性）的两重性质，称为波粒二象性4.不确定度关系●具有波动性的粒子其位置偏差(△x )和动量偏差(△p )的积恒定.，有以下关系:量子力学基本假设1、波函数和微观粒子的状态●波函数ψ和微观粒子的状态●合格波函数的条件2、物理量和算符●算符：对某一函数进行运算,规定运算操作性质的符号。
如：sin，log等。
线性算符：Â( 1＋ 2)＝Â 1＋Â 2自轭算符：∫ 1*Â 1 d ＝∫ 1(Â 1 )*d 或∫ 1*Â 2 d ＝∫2(Â 1 )*d3、本征态、本征值和Schrödinger方程●A的本征方程Aψ= aψa 称为力学量算符 A 的本征值，ψ称为A的本征态或本征波函数，4、态叠加原理●若 1， 2… n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的 也是该体系可能的状态。
5、Pauli(泡利)原理●在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个自旋相反的电子。
结构化学 第1章 量子力学基本原理---量子论
光是一种电磁波
➢1856年，Maxwell建立电磁场理论，预言了电 磁波的存在。 ➢理论计算出电磁波以3×108m/s的速度在真空 中传播，与光速度相同，所以人们认为光也是 电磁波。 ➢1888年，Hertz探测到电磁波。 ➢光作为电磁波的一部分，在理论上和实验上就 完全确定了。
L. Rayleigh（瑞利） 1911年Nobel物理奖
➢R － J 方 程 只 在 波 长 很 大时与实际情况比较符
。实验 -- 维恩 -- 瑞利－金斯
合 ， 随 着 λ 减 小 ， ρλ 单调增大，与实验结果
呈现巨大分歧。
➢推 论 ： 黑 体 的 单 色 辐
射强度将随波长变短而
趋于“无限大”。
光子学说对光电效应的解释
当光照射金属中的电子时，电子吸收光子的能量，
体现为逸出功(W0)和光电子动能(Ek) ：
hn
1 mv2 2
W0
n0=W0/h，为金属材料的特征值。
当n＞n0时，如果光的强度越大，则单位体积内
通过的光子数目就越多，因而光电流也越大。
W0
W0
W0 ,逸出功, 或称为功函数，F
结构化学 —— 第一章量子力学原理
第一章
I 量子论的形成 新理论的产生
为世人接受的新 观念和新理论
传统观念 和经典理论
不能解释 实验新发现
解释实验且为 其他实验证实
修
新观念 新假设
正
结构化学 —— 第一章量子力学原理
经典物理学
1900年以前，物理学的发展处于经典物理学 (classical physics)阶段: 由经典力学，电磁波理论， 统计物理学和热力学等组成。
与此相反，Wien方程只在
－－“紫外灾难” 高频区符合。
第一章.量子力学基础知识-4
n 1,2,3,...
正交：
y
0
l
n
( x) y m ( x)dx
l
0
2 nx 2 mx sin sin dx 0 l l l l
1 sin a sin b [cos( a b) cos( a b)] 2
归一： 之前的推导过程中已引入了归一化条件
一维势箱体系的各种物理量
V
0, ,
0 xl x0 和 xl
把粒子限制在区域Ⅱ中运动，其中V=0
在，区域中，粒子不会出现，概率为0，y为0
一维势箱中粒子的薛定谔方程及解
Hamilton算符：
2 2 h d ˆ ˆ H V 8 2 m dx2
在，区域中，V∞
d 2y 2 Vy Ey 2 8 m dx 2y 8 2 m 2 Vy 0 2 x h h2
c1 1 c2 0 0
c1 0,
c2 0
c2 0
y c2 sin x
x=l: y (l ) c2 sin l 0
l n
一维势箱中粒子的薛定谔方程及解
l n
n l
n 波函数： y c2 sin x l
2 2 8 2 m E n 2 2 2 h l n2h2 n 1,2,3,... E 2 8m l
d 2y 2 y 0 2 dx
二阶齐次方程
y c1 cosx c2 sin x
一维势箱中粒子的薛定谔方程及解
y c1 cosx c2 sin x
品优波函数的连续性和单值条件:
y (0) 0,
y (l ) 0
x=0: y (0) c cos0 c sin 0 1 2
1第一章 量子力学基础
•
实例1： 运动速度为1.0×106m·s-1的电子的de Broglie波波长为
实物微粒的波粒二象性
6.6 ×10−34 J ⋅ s λ= = 7.0 ×10−10 m (9.1×10−31 kg ) × (1.0 ×106 m ⋅ s −1 )
这个波长相当于分子大小的数量级，说明原子和分子中电子运动的波效应 是重要的。而宏观粒子，如质量为1.0×10-3kg的宏观粒子以1.0×10-2 m·s-1的 速度运动时，经计算λ= 7.0×10-29 m，观察不到波动效应。 实例2：电子的运动λ =h/mυ，它由加速电子运动的电场电势差V（伏特）决定。
W 脱出功，hv0 Ek光电子动能，mυ2/2
ε = h ν， p = h/λ ε, p 粒性， v, λ 波性
实物微粒的波粒二象性
• 波粒二象性是微观粒子的基本特性，这里所指的微 观粒子既包括静止质量为零的光子，也包括静止质 量不为零的微粒，如电子、质子、原子和分子等。 • 1924年de Broglie(德布罗意)受光的二象性启发， 提出实物微粒的波粒二象性假设，三年后被 C.J.Davisson（戴维孙）等人用电子衍射实验证实。 • de Broglie的假设内容有： E = hν ， p= h/λ 这样实物微粒在以大小为p = mv 的动量运动时， 其波长 λ =h/p=h/mυ 此即de Broglie关系式， λ 为德布罗意波的波长。
者之间所应满足的关系。
例：试比较电子和质量为10g的子弹位置的不确定量，假设它 解：
们在x方向都以速度200m/s运动，速度的不确定度在0.01%内。
Δx ⋅ Δp x ≥ h
−32
h Δx = Δp x
电子: Δp x = 0.01% mv x = 10 −4 × 9.11× 10 −31 × 200
ZY第一章 量子力学基础知识
光电效应方程: 光电效应方程 mV2/2 =hν-W
(v为入射光的频率 W为金属的功函数 m和V为光电子的质量和速度 为入射光的频率, 为金属的功函数 和 光电子的质量和速度) 为入射光的频率 为金属的功函数,
光电子动能mv 光电子动能 2/2
斜率为h 斜率为
纵截距为-W 纵截距为
v0
光频率ν 光频率
2. 光电效应的实验现象： 光电效应的实验现象： 1）只有当照射光的频率超过某个最小频率νo（金属 ）只有当照射光的频率超过某个最小频率 的临阈频率） 金属才能发出光电子， 的临阈频率）时，金属才能发出光电子，不同金 属的ν 值不同。 属的 o值不同。 2）随着光强的增加，发射的电子数也会增加，但不 ）随着光强的增加，发射的电子数也会增加， 影响光电子的动能。 影响光电子的动能。 3）增加光的频率，光电子的动能也随之增加。 ）增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
它们出现的几率之比为： 它们出现的几率之比为： 1:exp(-hν/kT):exp(-2hν/kT):……:exp(-n hν/kT) 因此频率为ν的振动的平均能量为： 因此频率为 的振动的平均能量为： 的振动的平均能量为 hν/[exp(hν/kT)-1] 由此可得单位时间，单位表面积上辐射能量： 由此可得单位时间，单位表面积上辐射能量： Eν = (2πhν³/c²)*[exp(hν/kT)-1] -1 用此公式计算E 用此公式计算 ν值，与实验观察到的黑体辐射非 常吻合。式中k是玻尔兹曼 是玻尔兹曼（ 常吻合。式中 是玻尔兹曼（Boltzmann）常数；T是 ）常数； 是 绝对温度,c是光速 是光速， 称为普朗克 称为普朗克(Planck)常数。将上 常数。 绝对温度 是光速，h称为普朗克 常数 式和观察到的曲线拟合，得到h的数值， 式和观察到的曲线拟合，得到 的数值， 的数值
第01章量子力学基础
18
1.1.3 实物微粒的波粒二象性
实物微粒是指静止质量不为零的微观粒子（m0≠0） 如电子、质子、中子、原子、分子等。
（1）德布罗意（de Broglie）假设
实物微粒也具有波性。实物微粒所具 有的波就称为物质波或德布罗意波 (de Broglie Waves)。
1929年
De Broglie
E： 黑体辐射的能量
E
T=1500K T=1000K
Ed ：频率在 到 d 范围 内、单位时间、单 位表面积上辐射的 能量
۞ 随温度的升高， E增 大，极大值也向高 频移动.
化学工程学院
6
Wien辐射波长分布类似于Maxwell分布
E( , T ) c1 exp(c2 / T )
化学工程学院
20
德布罗意波与光波不同：下列两式对于粒子正确吗？
p (m c) 1 2 E mc 2m 2m 2 hc 2 E h mc h mc hc
2
2
化学工程学院
21
（2）德布罗波波长的估算 动量为p的自由粒子，例如电子，当它的运动速度比光速小 得多时（v c） 1 2
汤姆逊实验——金-钒多晶 （G. P. Thomson）
G.P.Thomson 1937年
化学工程学院
24
戴维逊单晶电子衍射实验
电子在单晶金上的衍射
对Dovissn和Germer单晶电子衍射实验，由布拉格（Bragg）
方程 2dh k l sin hkl n 和
12.26 V
1921年
化学工程学院
13
光电效应的解释
将频率为v的光照射到金属上，当金属中的一个电 子受到一个光子的作用时，产生光电效应，光子消失， 并把它的能量传给电子。电子吸收的能量，一部分用 于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为电子的 动能 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《结构化学基础》讲稿第一章孟祥军第一章 量子力学基础知识 （第一讲）1.1 微观粒子的运动特征☆ 经典物理学遇到了难题：19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ◆ Newton 力学 ◆ Maxwell 电磁场理论 ◆ Gibbs 热力学 ◆ Boltzmann 统计物理学上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。
1.1.1 黑体辐射与能量量子化黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。
黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。
黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。
★经典理论与实验事实间的矛盾：经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。
按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。
按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线：Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。
Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。
经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。
• 1900年，Planck （普朗克）假定：黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。
• h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J •S•按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合：●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。
能量波长黑体辐射能量分布曲线 ()1/8133--=kt h c h eE ννπν1.1.2 光电效应和光子学说光电效应：光照射在金属表面，使金属发射出电子的现象。
光电子金属1900年前后，许多实验已证实：●照射光频率须超过某个最小频率ν0，金属才能发射出光电子；●增加照射光强度，不能增加光电子的动能，只能使光电子的数目增加；●光电子动能随照射光频率的增加而增加。
经典理论不能解释光电效应：经典理论认为：光波的能量与其强度成正比，而与频率无关；只要光强足够，任何频率的光都应产生光电效应；光电子的动能随光强增加而增加，与光的频率无关。
这些推论与实验事实正好相反。
1905年，Einstein在Planck能量量子化的启发下，提出光子学说：★光是一束光子流，每一种频率的光其能量都有一个最小单位，称为光子，光子的能量与其频率成正比：ε=hν★光子不但有能量，还有质量（m），但光子的静止质量为零。
根据相对论的质能联系定律ε＝mc2，光子的质量为：m＝hν/c2，不同频率的光子具有不同的质量。
★光子具有一定的动量：p＝mc＝hν/c＝h/λ (c＝λν）★光的强度取决于单位体积内光子的数目（光子密度）。
产生光电效应时的能量守恒：hν＝w＋E k＝hν0+mv2/2 （脱出功：电子逸出金属所需的最低能量，w＝hυ0）用Einstein光子说，可圆满解释光电效应：○当hυ< w 时，υ<υ0，光子没有足够能量使电子逸出金属，不发生光电效应；○当hυ＝w时，υ＝υ0，这时的频率就是产生光电效应的临阈频率（υ0）；○当hυ>w时，υ>υ0，逸出金属的电子具有一定动能，Ek＝hυ-hυ0，动能与频率呈直线关系，与光强无关。
光的波粒二象性只有把光看成是由光子组成的光束，才能理解光电效应；而只有把光看成波，才能解释衍射和干涉现象。
即，光表现出波粒二象性。
波动模型是连续的，光子模型是量子化的，波和粒表面上看是互不相容的，却通过Planck 常数，将代表波性的概念ν和λ与代表粒性的概念ε和p联系在了一起，将光的波粒二象性统一起来：ε=hν，p＝h/λ1.1.3 实物微粒的波粒二象性de Broglie(德布罗意)假设：1924年，de Broglie受光的波粒二象性启发，提出实物微粒（静止质量不为零的粒子，如电子、质子、原子、分子等）也有波粒二象性。
认为ε=hν，p＝h/λ也适用于实物微粒，即，以p＝mv的动量运动的实物微粒，伴随有波长为λ＝h/p＝h/mv的波。
此即de Broglie关系式。
de Broglie波与光波不同：光波的传播速度和光子的运动速度相等；de Broglie波的传播速度（u）只有实物粒子运动速度的一半：v＝2u。
对于实物微粒：u＝λν，E＝p2/(2m)＝(1/2)mv2 , 对于光：c＝λν，E＝pc＝mc2。
微观粒子运动速度快，自身尺度小，其波性不能忽略；宏观粒子运动速度慢，自身尺度大，其波性可以忽略：以1.0⨯106m/s的速度运动的电子，其de Broglie波长为7.3⨯10－10m（0.73nm），与分子大小相当；质量为1g的宏观粒子以 1⨯10－2m/s 的速度运动，de Broglie 波长为7 ⨯10－29m，与宏观粒子的大小相比可忽略，观察不到波动效应。
de Broglie波被证实：1927年，Davisson和Germer用镍单晶电子衍射、Thomson用多晶金属箔电子衍射，分别得到了与X-射线衍射相同的斑点和同心圆，证实电子确有波性。
后来证实：中子、质子、原子等实物微粒都有波性。
电子衍射示意图CsI箔电子衍射图实物微粒波的物理意义——Born的统计解释Born认为，实物微粒波是几率波：在空间任一点上，波的强度和粒子出现的几率成正比。
用较强的电子流可在短时间内得到电子衍射照片；但用很弱的电子流，让电子先后一个一个地到达底片，只要时间足够长，也能得到同样的电子衍射照片。
电子衍射不是电子间相互作用的结果，而是电子本身运动所固有的规律性。
实物微粒的波性是和微粒行为的统计性联系在一起的，没有象机械波（介质质点的振动）那样直接的物理意义，实物微粒波的强度反映粒子出现几率的大小。
对实物微粒粒性的理解也要区别于服从Newton力学的粒子，实物微粒的运动没有可预测的轨迹。
一个粒子不能形成一个波，但从大量粒子的衍射图像可揭示出粒子运动的波性和这种波的统计性。
原子和分子中电子运动可用波函数描述，而电子出现的几率密度可用电子云描述。
1.1.4 Heisenberg不确定度关系测不准原理：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动量。
测不准原理是由微观粒子本身特性决定的物理量间相互关系的原理。
反映的是物质的波性，并非仪器精度不够。
测不准关系式的导出：OP－AP＝OC＝λ/2狭缝到底片的距离比狭缝的宽度大得多当CP ＝AP时，∠PAC,∠PCA,∠ACO均接近90°，sinθ＝OC/AO=λ/DD越小（坐标确定得越准确），θ越大，电子电子单缝衍射实验示意图经狭缝后运动方向分散得越厉害（动量不确定程度越大）。
落到P点的电子在狭缝处其p x＝p sinθ，即△p x＝p sinθ＝pλ/D=h/D，而△x＝D所以△x△p x＝h，考虑二级以上衍射，△x△p x≥h●测不准关系是经典力学和量子力学适用范围的判据例如，0.01kg的子弹，v＝1000m/s，若△v＝v1%，则，△x＝h /（m△v）＝6.6⨯10－33m，完全可忽略，宏观物体其动量和位置可同时确定；但对于相同速度和速度不确定程度的电子，△x＝h /（m△v）＝7.27⨯10－5m，远远超过原子中电子离核的距离。
●测不准关系是微观粒子波粒二象性的客观反映，是对微观粒子运动规律认识的深化。
它限制了经典力学适用的范围。
●微观粒子和宏观粒子的特征比较：▲宏观物体同时有确定的坐标和动量，可用Newton力学描述；而微观粒子的坐标和动量不能同时确定，需用量子力学描述。
▲宏观物体有连续可测的运动轨道，可追踪各个物体的运动轨迹加以分辨；微观粒子具有几率分布的特征，不可能分辨出各个粒子的轨迹。
▲宏观物体可处于任意的能量状态，体系的能量可以为任意的、连续变化的数值；微观粒子只能处于某些确定的能量状态，能量的改变量不能取任意的、连续的数值，只能是分立的，即量子化的。
▲测不准关系对宏观物体没有实际意义（h可视为0）；微观粒子遵循测不准关系，h不能看做零。
所以可用测不准关系作为宏观物体与微观粒子的判别标准。
课外作业：1阅读教材相关部分上交作业：P20 1.1 1.3 1.7教学效果评价:第一章量子力学基础知识（第二讲）1.2 量子力学基本假设量子力学：微观体系运动遵循的规律。
主要特点是能量量子化和运动的波性。
是自然界的基本规律之一。
主要贡献者有：Schrödinger，Heisenberg，Born & Dirac 量子力学由以下5个假设组成，据此可推导出一些重要结论，用以解释和预测许多实验事实。
半个多世纪的实践证明，这些基本假设是正确的。
1.2.1 波函数和微观粒子的状态假设Ⅰ：对于一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数ψ(x,y,z,t)表示。
ψ是体系的状态函数，是体系中所有粒子的坐标和时间的函数。
定态波函数：不含时间的波函数ψ(x,y,z)。
本课程只讨论定态波函数。
ψ一般为复数形式：ψ＝f＋ig，f和g均为坐标的实函数。
ψ的共轭复数ψ*＝f－ig，ψ*ψ＝f2＋g2，因此ψ*ψ是实函数，且为正值。
为书写方便，常用ψ2代替ψ*ψ。
由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，所以在该点附近找到粒子的几率正比于ψ*ψ，用波函数ψ描述的波为几率波。
◆几率密度：单位体积内找到电子的几率，即ψ*ψ。
◆电子云：用点的疏密表示单位体积内找到电子的几率,与ψ*ψ是一回事。
◆几率：空间某点附近体积元dτ中电子出现的概率，即ψ*ψdτ。
●用量子力学处理微观体系，就是要设法求出ψ的具体形式。
虽然不能把ψ看成物理波，但ψ是状态的一种数学表达，能给出关于体系状态和该状态各种物理量的取值及其变化的信息，对了解体系的各种性质极为重要。
●波函数ψ(x,y,z)在空间某点取值的正负反映微粒的波性；波函数的奇偶性涉及微粒从一个状态跃迁至另一个状态的几率性质（选率）。
●波函数描述的是几率波，所以合格或品优波函数ψ必须满足三个条件：①波函数必须是单值的，即在空间每一点ψ只能有一个值；②波函数必须是连续的，即ψ的值不能出现突跃；ψ(x,y,z) 对x,y,z的一级微商也应是连续的；③波函数必须是平方可积的，即ψ在整个空间的积分∫ψ*ψdτ应为一有限数，通常要求波函数归一化，即∫ψ*ψdτ＝1。
1.2.2 物理量和算符假设Ⅱ：对一个微观体系的每个可观测的力学量，都对应着一个线性自轭算符。
算符：对某一函数进行运算,规定运算操作性质的符号。