量子力学第二章总结
量子力学第二章总结
第二章1.波函数/平面波：（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。
（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。
在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。
由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。
（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。
4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|25.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。
故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ½Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。
量子力学第二章知识点
量子力学第二章知识点基本概念波粒二象性量子力学中的粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
这种既是粒子又是波动的性质被称为波粒二象性。
波函数波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
波函数的模的平方表示在某一位置发现粒子的概率密度。
叠加原理量子力学中，两个波函数的线性叠加仍然是一个有效的波函数。
这个原理被称为叠加原理。
量子态所有可能的状态（波函数）构成了量子力学中的量子态。
一个量子态可以通过线性叠加得到另一个量子态。
算符和测量算符算符是描述量子系统性质变化的数学操作。
在量子力学中，算符通常用来描述物理量的测量和演化。
算符的本征值和本征态对于一个算符，它的本征值是测量该物理量时可能得到的值；而本征态是对应于这些本征值的一组特定的波函数。
观测量和平均值观测量是指用来测量物理量的实际实验装置，而平均值则是对同一量子态进行多次测量得到的结果的平均值。
不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它描述了在某些物理量的测量中，有些对应物理量无法同时精确确定的限制。
氢原子壳层和轨道氢原子中，电子围绕原子核运动的轨道被称为壳层。
氢原子的壳层用主量子数 n 来标记。
能级和能量氢原子中电子的能量是量子化的，称为能级。
能级由主量子数 n 决定，能级越高，能量越大。
轨道角动量氢原子中，电子的轨道运动导致了其具有轨道角动量。
轨道角动量用量子数 l 来标记。
磁量子数氢原子中，轨道角动量的分量在某一方向上的投影用磁量子数 m 来标记。
自旋和电子态自旋自旋是粒子固有的一种角动量，与粒子的旋转运动无关。
电子具有自旋角动量。
自旋量子数自旋量子数用 s 来标记，对于电子，其自旋量子数为 1/2。
自旋态自旋态是描述粒子自旋状态的波函数。
对于电子，自旋态可以是自旋向上的态，记作|↑⟩，也可以是自旋向下的态，记作|↓⟩。
自旋磁量子数自旋磁量子数用 m_s 来标记，对于电子，其自旋磁量子数可以是 1/2 或 -1/2。
总结本文介绍了量子力学第二章的知识点，包括波粒二象性、波函数、叠加原理、量子态、算符和测量、算符的本征值和本征态、观测量和平均值、不确定性原理、氢原子的壳层和轨道、能级和能量、轨道角动量、磁量子数、自旋和电子态等内容。
第二章 量子力学基础知识
第二讲 绪论课的主要目的是让同学们了解结构化学的大概情况，并在学习方法和重视程度上有所准备。
下面讲些预备知识。
第二章 量子力学基础知识 关于经典物理学，我们早有基础，为什么有了经典物理后还要有量子力学呢？2.1 量子力学的提出2.1.1 经典物理学的困难 经典物理学包括牛顿力学以及在电磁光热等方面建立起的电学、磁学、电磁学、电动力学、光学和热力学等一些学科，这些学科早在19世纪就比较成熟了，到了19世纪末就建立了完整的体系，对于当时所有的宏观物理现象，都可以进行解释，甚至连哈雷彗星多少年可以回归一次，都可以精确地计算出来，所以当时有很多科学家尤其是物理学家认为：物理学的大厦已经建成了，后辈物理学家只要作一些修修补补的工作就行了，如焦耳劝普朗克改行，开尔文在20世纪新年献词中讲到"在清朗洁净的的物理太空中，还只剩下两朵乌云，一朵是麦克尔逊的实验，一朵是黑体辐射，到了20世纪初又发现了光电效应和氢原子光谱等难以用经典物理学解释的现象。
2.1.2 氢原子光谱与波尔学说 光谱：光之谱线，类歌谱。
当用电弧、电火花灼热物质时，即发射谱线 特征谱线 进行元素分析。
H原子光谱是线状光谱，无法用经典物理学来解释。
按经典物理学，H原子核外电子的运动为带电体的圆周运动，应不断有辐射能放出，即为连续光谱，另外应不断放出能量。
最终电子运动不足以克服核的吸引能而掉于核上，这均与实验事实不符合。
1913年丹麦年仅28岁的波尔提出了学说解释，1922年获得诺贝尔奖。
波尔学说的基本要点：(1) 电子于核外只能在某些特许的轨道上运动，且不吸放E（不吸放能量，能量不会降低，则电子不会掉在核上）。
(2)只有在不同的轨道间跃迁时才吸放能量，且有（E不连续，υ不连续，λ不连续 线性光谱） 此假说对H光谱得到了满意的解释。
对别的有误差，说明这种圆形轨道理论没有普遍意义，后来又提出了索莫菲椭圆形轨道理论，结果还是没有普遍意义，这就说明要很好地解决微观世界的问题，必须完全摆脱经典物理的束缚，去建立新的学说，而随后发展起来的量子力学就是这样一种学说。
量子力学第二章
ν , λ 一定
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px ⋅x) ℏ
推广 ：三维自由粒子波函数
二、波函数的物理意义 波函数的物理意义
Ψ(r , t ) = Ψ0e
i − ( Et− p⋅r ) ℏ
如何理解波函数和粒子之间的关系？ 如何理解波函数和粒子之间的关系？ 1 物质波就是粒子的实际结构？即三维空间连续分 物质波就是粒子的实际结构？ 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再 衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性， 者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞 了粒子性。 了粒子性。 2 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单 个电子就具有波动性。 个电子就具有波动性。 3 波函数的统计解释（Born 1926）:波函数在空间 波函数的统计解释（ ） 波函数在空间 某点的强度（振幅绝对值的二次方） 某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子 的几（ 率成比例。即物质波是几率波。 的几（概）率成比例。即物质波是几率波。
2 2 x 2
2 2
i ( p⋅r − Et ) ℏ
2 px = − 2Ψ ℏ
pz2 ∂ 2Ψ = − 2Ψ 2 ∂z ℏ
2
p ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ 2 + 2 + 2 = ∇ ψ = − 2Ψ 2 ℏ ∂x ∂y ∂z
由
p2 E= 2µ
(2.3-3)
得
i i p2 i − ℏ2 2 ∂Ψ Ψ =− = − EΨ = − ∇Ψ ℏ ℏ 2µ ℏ 2µ ∂t
《原子物理与量子力学》第2章 玻尔的旧量子论
k
T
3d
严重背离实验事实，这是著名的紫外灾难。
4. 乌云的驱散——可恶的量子假设
（1）热辐射发射的电磁波的态密度(见:王正行《近 代物理》，北京大学出版社，1995)
n0
(
)
8πh
c3
3
（2）可恶的量子假设
设温度为T的黑体达到热平衡辐射时,频率为ν的粒 子只能具有一系列的分立能量，即只能是ε0= hν的
1 2
1 2
1
泰勒展开
En
m0 c 2
1
1 2
2
1 2!
1 2
1 2
1
4
1
m0c
2
1 2
2
1 8
4
En
m0 c 2 2
Z
n
2
1
得到斯特藩—玻耳兹曼定律
R0 (T ) T 4,
2π5k 4 15c2h3
它虽然和实验结果吻合得如此之好。Planck于 年获得了
Robel物理学奖。
但假设毕竟是假设，Planck也认为这是可恶的量子假设。
二、量子假说之二：光电效应
1. 光电效应的发现
1887年，Hertz的放电实验发现了电磁波，确定了电磁波传播速度 等于光速，并注意到紫外光照射放电阴极时更容易引起放电。
Jd 2πJ nh
这就是玻尔的轨道量子化条件。
pr mr, p mr
E 1 mv2 Ze2 1 m(r2 r 22 ) Ze2
2
4π 0r 2
4π 0r
(1/ 2)mr22 (1/ 2)mr2 ——电子的转动动能
对每一个广义坐标应用量子化通则，即
pd n h
prdr nrh
量子力学第二章
光子 E = hv = hω 粒子
E v= h
u hr r r p = n = hk
λ
h h λ= = p 2 E
第二章 波函数和薛定谔方程(波函数的理解) 波函数和薛定谔方程(波函数的理解)
第二章 波函数和薛定谔方程(波函数的理解) 波函数和薛定谔方程(波函数的理解)
怎么理解 ？
分析
经典物理中粒子 有确定的质量 坐标 轨道 仔细分析粒子有确切的轨道是牛顿力学的概念， 仔细分析粒子有确切的轨道是牛顿力学的概念，从来 没有无限精确地为实验证实过 所以很可能坐标和轨道地概念是宏观情况下的近视 同时电荷、质量、 同时电荷、质量、体现出的粒子性与确切坐标和轨道 无必然联系
第二章 波函数和薛定谔方程(波函数的理解) 波函数和薛定谔方程(波函数的理解)
到底电子是什么？波函数是什么？ 到底电子是什么？波函数是什么？ 人们所普通接受的观点为 即不是粒子也不是波电子 即不是粒子也不是波->确切地说不是经典粒 子，也不是经典的波 但人我们说，即是粒子，又是波， 但人我们说，即是粒子，又是波，它是粒子和波动 两重性的矛盾统一， 两重性的矛盾统一，这个波不是经典概念下的波
dτ
r r r 2 dw(r , t ) 空间，几率密度正比与 ω (r , t ) = dτ = c φ (r , t ) 空间，
几率正比与
直接系坐标中 空间区域
r r 2 dw(r , t ) = c φ (r , t ) dτ
2
dw( x, y, z, t ) = c φ ( x, y, z , t ) dxdydz
量子力学课件第二章
2.2 态叠加原理
若(r , t )是归一化的，则 p, t 也是归一化的 c
若 ( r , t ) ( r , t )dr 1
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
强度大 强度小 或为0 粒子出现 的概率大
粒子出现 的概率小
2.1 波函数的统计解释
假设衍射波用 (x) 描述，衍射花样的强度则用振
幅的平方
2 描述。就可以得到粒子在空间任意 ( r ) ( r ) ( r ) *
一点出现的概率。
波函数（概率幅）描写体系的量子状态（态或状态）
动量算符
2 2 i t 2m
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
波叠加原理称为态叠加原理。
解释电子双缝干涉
S1 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子可能状态。
电子源
Ψ1
P
S2
Ψ2
感 光 屏
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
薛定谔波动方程
量子力学 第二章
当 m = 2n, k′a = nπ 时，R = 0, T =1 无反全 透。——共振透射 这正是经典的结论
2
当 m = 2n +1, k′a = (2n +1)π / 2 时，反射率取极大 值 经典认为，此时没有反射 V02 2
R = (2E −V0 )2 E−
共振透射是各透射波产生 相长干涉
2π 2a = nλ = n, k′a = nπ k′
规则势场 定
理 7 定 理 4 4
B=F=0 i. 偶宇称态 Aeβx , x < −a / 2 ψ (x) = 2C cos kx, x ≤ a / 2 Ae−βx , x >a/ 2
a / 2处 ′ /ψ连 ψ 续
k tan(ka / 2) = β
ii. 奇宇称态Aeβx , x < −a / 2 ψ (x) = 2iC sin kx, x ≤ a / 2 − k cot(ka / 2) = β
定理6 定理 若 ψ1(x),ψ2 (x) 是 Eq. S对应同一E 的解， 对应同一 的解，
ψ1 ψ2 则 =c ′ ′ ψ1 ψ2
证明： ψ ψ ′′ + (2m/ h2 )[E −V(x)] ψ = 0 证明： ψ2 1 1 2
′ - ψ2ψ1′+ (2m/ h )[E −V(x)]ψ1ψ2 = 0
对于低能入射，E 较小
ex −e−x shx ≡ 2
16E(V0 − E) 16k κ e T≈ 2 = e 2 2 2 (k +κ ) V0
2 2 −2κa
−
2a 2m(V0 −E) h
16E(V0 − E) = e 2 V0
2 − h
∫
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第二章
1.波函数/平面波：
（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。
（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。
在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数
2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.
3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。
由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。
（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。
4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|2
5.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2
d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2
d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。
故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2
d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2
d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ½Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2
故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2
d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。
8.δ—函数 δ(x-x 0)= 0 x ≠x 0 ∞ x=x0 ∫+∞
-∞δ（x-x 0）dx=1 9.波函数的标准化条件： （1）单值、有限、连续 （2）正交 归一 完备 10.态叠加原理： 态叠加原理一般表述：若Ψ1 ，Ψ2 ……Ψn …… 是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C 1Ψ1+ C 2Ψ2+……+C n Ψn 也是体系的一个可能状态。
11.能量算符/哈密顿算符 定态波函数满足下面两个方程：
两个方程的特点：都是以一
个算符作用于Ψ(r, t)等于E Ψ(r, t)。
→哈密顿算符 这两个算符都是能量算符 12.薛定谔方程:
13.几率流密度
单位时间内通过τ的封闭
表面S 流入（面积分前面的负号）τ内的几率，因而可以自然的把J 解释为概率密度矢量。
14.质量守恒定律：
15.电荷守恒定律：
16.状态波函数或态函数 所谓态函数,就是指它们的数值由系统的状态唯一地确定,而与系统如何达到这个状态的过程无关。
17.量子力学的基本假定 (1)微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。
波函数一般应满足连续性、有限性、单值性三个条件。
(2)力学量用厄米算符表示。
如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量得算符.表示力学量的算符有组成完备系的本征函数。
(3)将体系的状态波函数Ψ用算符F 的本征函数Φ展开（F Φn =λn Φn F Φλ=λΦλ）: Ψ=ΣCn Φn+∫C λΦλd λ, 则在Ψ态中测量力学量F 得到结果为λn 的概率为
|Cn|2,
得到结果在λ→λ+d λ范围内的概率是|C λ|2d λ （4）体系的状态波函数满足薛定谔方程
（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系状态（全同性原理）
18.定态/定态波函数/定态S 方程：
求解薛定谔方程 的特解
(1) 由此可见，体系处于(1)式所描写的状态是，能量具有确定值，所以这种状态成为 定态..(1)式称为定态波函数（在定态中概率密度和概率流密度都与时间无关） (2)
函数Ψ由方程（2）和具体问题中的波函数应满足地条件得出，方程(2)为定态薛定谔方程。