量子力学第2章习题
量子力学第一，第二章作业
1、 束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos2202ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=> （a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。
3、由下列两定态波函数计算概率流密度：（1）、11i k r e r ψ=（2）、21i k r e rψ-= 4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？5、（a ）、若已知电子、氢原子和铀原子的动能都等于100 eV , 试计算这些粒子的德布罗意波长。
（b ）、若电子和中子的德布罗意波长都等于1A, 试求它们的速度和动能。
6、一维运动的粒子处于状态(),00,0x Axe x x x λψ-⎧≥=⎨<⎩ 之中，其中0λ>，A 为待求的归一化常数，求粒子坐标的概率分布函数。
7、粒子在一维无限深势阱中运动，势能函数V(x)为:()202a x V x a x ⎧∞>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩求该粒子的定态波函数和能量允许值。
8、推导下式： [][][][])()2)(1()()12()()1()()()()()()2)(1()()12()()1()()()()(22212112222121211212222x n n x n x n n x x x x x n n x n x n n x x x x x x n n n n dx d n n n n n dxdn n n n n n n n n +-++-+-++-++++--=-=+++++-=+=ψψψψψψαψψψψψψψψααα9、设12ψψ，是S-方程的两个解，证明*12d ψψ+∞-∞Ω⎰与时间无关。
10、计算线性谐振子的第一激发态出现在经典禁区之外的概率。
一二三习题答案
B18.原子轨道指的是下列的哪一种说法？
（A）原子的运动轨迹（B）原子的单电子波函数（C）原子的振动态（D）原子状态
C19.钠原子光谱D线是双重线，其原因是下列的哪一个：
（A）电子的轨道角动量（B）外磁场;（C）自旋轨道耦合（D）3p能级高
C20.对于原子中电子的总能量，下列的哪一个说法是正确的？
D15.如果氢原子的电离能是13.6 eV，则Li2+的电离能是下列的哪一个？
（A）13.6eV，（B）27.2 eV；（C）54.4 eV；（D）122.4 eV
A16.在氢原子中，对于电子的能量，下列的哪一种说法正确？
（A）只与n有关；（B）只与l有关；（C）只与m有关；（D）与n和l有关
B17.测量3d态氢原子的轨道角动量的z轴分量，可得到几个数值？
（C）动量一定有确定值；（D）几个力学量可同时有确定值；
7.试将指数函数e±ix表示成三角函数的形式cosex±isinex
8.微观粒子的任何一个状态都可以用波函数来描述；ψψ*表示粒子出现的概率密度。
D9.Planck常数h的值为下列的哪一个？D
（A）1.38×10-30J/s（B）1.38×10-16J/s（C）6.02×10-27J·s（D）6.62×10-34J·s
(A)CA=0.90,CB=0.10；（B）CA=0.95,CB=0.32；
(C)CA=CB；（D）CA=0.10,CB=0.90；
B7.下列分子的基态中哪个是三重态？
（A）F2（B）O2（C）N2（D）H2+
B8.对分子的三重态，下列哪种说法正确？
（A）分子有一个未成对的电子（B）分子有两个自旋平行的电子
（A）Zeeman（B）Gouy（C）Stark（D）Stern-Gerlach
量子力学习题及答案
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
0?
2
?2?①
??2? (u1?e)
3
???
2
?3?0 ②
??2?e4
???
2
?
4
?0
对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
因此k1x
??1?ae ?
3
?fe
?k
1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
1?ae
?k?be
?k1x
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.13-2#08
选择 i ，在渐进区域 x 我们有 (1 y)
代表从左边入射的平面波，而第二项代表在金属表面反射的平面波，因此
AI eikx AR eikx
（ x ）
于是反射系数是
R
AR (2 )( )( 1) ……（13） AI (2 )( )( 1)
2 2 如果 V0 E 0 ， 则有 ， 于是 是实数。 当 x 时 y
F 1 e x / a 0 ，
而 们有
y
e x / a 。于是，如果选择 0 ，则解（9）当 x 时为零。如果 E 0 ，我
2 2 ， 因 而 是 纯 虚 数 ， 比 如 说 i 。 于 是 当 x 是 ，
n 2 2 2 8ma 2
F
En a
2
n 2 2 8m
2 a3
2 En a 2 ∴ F E a
dr
0
r 2 e
r i r a
dr
令
r i r x a 1 4 原式 3 ( 2 ) a3
0
x2 ex
1 (a
i
dx )
3
1 8 a3 3 3 ( 2 )3 a3 ( i a)
批注 [JL1]: 即去掉一个 overal 相位 因子, 但好像仍有差别。
2r r2 e y dy 3 0 a 2 4 a0 4 y 3 ( ) 6e 0 a 2 3 （ a a0 ） a 2
2
2） e / r r sin (
2 2 V
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.13-2#13
U 0 e 1
x a
，入射粒子能量 E 0 时的反射系数。
解：该势场的薛定谔方程为：
U d 2 2m 2 ( E x 0 ) 0 2 dx ea 1
令 y (1 e a ) 1 ，则有 y ( y 1)
x
d 2 d 2 2 (1 2 y) ( ) 0 2 dx dy y (1 y ) y
1
1 2m 2 2m( E V0 ) 2 其中 K 2 E ， k 2 a
1 r / a0
1
2.14 设氢原子处在 （i） r 的平均值；
a
3
e
， a0 为第一波尔半径，求：
（ii）势能 e / r 的平均值；
2
（iii）能量概率的分布函数。 解： （1）首先判断题中所给波函数的归一化情况：
十三组成员 ：李俊华 200431020040
扈俊 200431020122
余功硕 200431020039
4
1
令 i ，当 x ，我们有
(1 y)
e
i x / a
eikx ，这时 1 式中 的第一项代表
代表延 x 轴正向传播的平面波，第二代表反射的平面波 因此
AI eikx AReikx , x ，因此
2
A R R AI
(v 1)(v )(2 ) ，当 E 0 时， 和 v 均为纯虚数，即 (v ) 2 (v 1)
（2）
e 2 4 e2 4e2 1 e2 2 r / a0 2 re dr r a3 a 211 a0 0
量子力学导论第2章答案
第二章 波函数与Schrödinger 方程2.1设质量为m 的粒子在势场)(r V中运动。
（a ）证明粒子的能量平均值为 ω⋅=⎰r d E 3，ψψψψωV m**22+∇=（能量密度）（b ）证明能量守恒公式 0=⋅∇+∂∂s tw⎪⎪⎭⎫⎝⎛∇∂∂+∇∂∂-=**22ψψψψt t m s （能流密度） 证：（a ）粒子的能量平均值为（设ψ已归一化）V T r d V mE +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∇-=⎰322*2ψψ （1） ⎰=ψψV r d V *3 （势能平均值） （2）()()()[]⎰⎰∇⋅∇-∇⋅∇-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-=ψψψψψψ**3222*32)(2动能平均值r d mm r d T其中T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。
因此ψψ∇⋅∇=⎰*322r d mT（3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2**2ψψψψωV m+∇⋅∇=（4）且能量平均值 ⎰⋅=ωr dE 3。
（b ）由（4）式，得...2**.....2*22**..2222*2222V Vt m t t t tV V m t t t t t t s V V t mt m s E ωψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ⎡⎤∂∂*∂∂*∂⎢⎥=∇⋅∇+∇⋅∇++∂⎢∂∂⎥∂∂⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂*∂∂*∂∂*∂⎢⎥ ⎪ ⎪=∇⋅∇+∇-∇+∇++⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫∂*∂=-∇⋅+-∇++-∇+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-∇⋅+..*t t ψψψψ⎛⎫∂*∂ ⎪+ ⎪∂∂⎝⎭ρt E s ∂∂+⋅-∇=（ρ ：几率密度）s⋅-∇= （定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）所以0=⋅∇+∂∂s tw。
2.2考虑单粒子的Schrödinger 方程()()()()[]()t r r iV r V t r mt r t i ,,2,2122ψψψ++∇-=∂∂（1） 1V 与2V 为实函数。
量子力学教程（二版）习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b bTm3109.2 ,×´==-l 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：由普朗克黑体辐射公式：n n p nr n nd ec hd kTh 11833-=， 及ln c=、l ln d c d 2-=得1185-=kThcehc l l l p r ，令kT hc x l =，再由0=l r l d d ，得l .所满足的超越方程为所满足的超越方程为15-=x x e xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m l ，将数据代入求得C m 109.2 ,03×´==-b b T ml 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=´»==-mEh p h l # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=´»===-mkT h mE h p h l其中kg 1066.1003.427-´´=m ，123K J 1038.1--×´=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--×´=B m ，求动能的量子化间隔E D ，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E mw m +=可以化为()12222222=÷÷øöççèæ+mw m E q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2mw m Eb E a ==，相空间面积为，相空间面积为,2,1,0,2=====òn nh EE ab pdq nw pp 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E n方法2：一维谐振子的运动方程为02=+¢¢q q w ，其解为，其解为()j w +=t A q sin速度为速度为 ()j w w +=¢t A q c o s ，动量为()j w mw m +=¢=t A q p cos ，则相积分为，则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=òòò2)cos 1(2cos 220220222mw j w mw j w mw ， ,2,1,0=n nmw nh T nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
量子力学 第四版 卷一(曾谨言 著) 答案----第2章
当时间足够长后（所谓 t → ∞ ） ，上式被积函数中的指数函数具有 δ 函数的性质，取
mx α = t 2m ， u = k − ， t
参照本题的解题提示，即得
（2）
ψ ( x, t ) ≈
1 imx 2 2 t e ⋅ 2π
2π m − iπ e t
+∞ /4
−∞
∫ ϕ ( k )δ k −
2.2 设一维自由粒子的初态ψ ( x,0) = δ ( x ) ，求 ψ ( x, t ) 。
2 +∞
提示：利用积分公式
−∞ +∞
∫ cos(ξ )dξ
2
=
+∞
−∞
∫ sin (ξ )dξ
2
=
π 2
或
−∞
∫ exp[iξ ]dξ
2
=
π exp[ iπ 4] 。
1 ϕ ( p ) eipx dp ， ∫ 2π − ∞ 1 2π
（1）
V1 与 V2 为实函数。
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积 τ 内的几率随时间的变化为
d dt
∫∫∫
τ
d 3 rψ *ψ = −
ψ *∇ ψ − ψ ∇ ψ ∫ ∫ 2im S
(
*
) ⋅ dS +
2V2
∫∫∫ d
τ
3
rψ *ψ
证：（a）式（1）取复共轭， 得
−∞
∫ ψ ( x,0) e
− ikx
dx 是ψ ( x,0) 的 Fourier 变换。提示：利用 lim
α → ∞
α iπ / 4 − iα x 2 e e = δ ( x) 。 π
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240
n6 6
,
n = 1, 2, 3L
n 为偶 n 为奇
能量平均值
E
a
Hˆ
dx
0
a c2 x(a
0
x)(
h2 2μ
)
d2 dx 2
x(a
x)dx
h2 30 a
5h2
x(a x)dx
μ a5 0
μa 2
能量平方的平均值
E 2
a
Hˆ
2
dx
0
a c2 x(a
0
x)(
h2 )2 2μ
a
2
讨论：显然 M 0, N 0,且N M > 0
令：
N M =n N nM
= n ,
a
En
2h2 2a2
n2 ,
n 1, 2,L
( x) = Asin( 1 n x + 1 n + M )
a
2
Asin n x + a
a2
（2.4）题
先归一化
1 a dx a A2 x2 ( x a)2 dx
(
z
)
=
0
2 3
2 μE3 h2
方程的解：
1( x) = A1sin(1 x) + B1cos(1 x) 2( y) = A2sin(2 y) + B2cos(2 y) 3(z) = A3sin(2z) + B3cos(3z)
( x, y, z) =1( x) 2( y) 3(z) = [ A1sin(1 x) + B1cos(1 x)] [ A2sin(2 y) + B2cos(2 y)] [ A3sin(2z) + B3cos(3z)]
边条件： Asin( a + ) = 0 , x a
2
2
Asin( a + ) = 0 , x a
2
2
a + = M (1) a + = N (2)
2
2
2 = (M + N = 1 ( N + M
2
a = ( N M = 1 ( N M
a
解为：
( x) = Asin[1 (N M x + 1 (N + M ]
dx
ih 1 d u2 ( x)dx (ih)ik 2 dx
2 dx
ih
1 2
u2
(
x)
(ih)ik
2 dx]
0 (ih)ik hk
（3-20）题
已知 Kˆn nn, [LˆMˆ Mˆ Lˆ] = 1 定义 n = Lˆn, n = Mˆ n
Kˆn = LˆMˆ Lˆ n = Lˆ(Mˆ Lˆ 1) n = Lˆ(Kˆ 1) n = Lˆ(n 1) n = (n 1)Lˆ n = (n 1)n
(1)
2
2
2
Asin( a ) + Bcos( a ) = 0 , x a (2)
2
2
2
改写：
sin(
a )
2
sin(
a 2
)
cos( cos(
a 2 a 2
) )
A B
0
系数A,B不全为0： 所以：
sin( a ) cos( a )
2
2 0
sin( a ) cos( a )
2
2
e2
d dx
0(
x)
2
=
(2 2 x)e2x2 = 0 x = 0
0 (0) 2 =
h
作业：已知一维谐振子第一激发态
1(x) =
1 2 x2
2 xe 2 =
2
2 3
1 2 x2
xe 2
计算概率密度最大的位置， 及最大的概率密度取值。
（3-6）题
基态 0(x) =
12x2
e2
动量分布函数
dz2
)
E2
得到：
h2 2μ
1 2(
y)
d
2 2(
dy2
y)
E2
和：
h2 2μ
1 3(z
)
d
2 3(z)
dz2
E
E1
E2
令： 得到：
2 2
2 μE2 h2
E3 E E1 E2
2 3
2 μE3 h2
d
2 2
dy
(
2
y
)
+
22
2
(
y
)
=
0
2 2
2 μE2 h2
和：
d
2 3 (
dz 2
z
)
+
32
3
习题（2.1）：求三维无限深势阱中粒 子的能量本征值和本征函数
0, V (x, y,z) =
0 < x < a,0 < y < b,0 < z < c, 其它
如a=b=c，讨论能及的简并度。
解：
[
h2
2
V
r (r
)]
r (r
)
=
E
r (r
)
2μ
在势阱外
(rr) = 0
在势阱内
V (r) = 0
2a 2 a
4a 2a
n 为偶时
cn
1 2 2a
[ 4a
(n+
2)
cos
4a
(n +
2) x
aa
+
4a (n
2)
cos
4a
(n
2)
x
aa
]
=
0
n
为
cn
1 a
1 a cos xcos n xdx
2a a 2a
4a
奇 时
1
a
n
cos( x + x)dx
2 2a a
4a 2a
1 a cos( n x x)dx
2 2a a
4a 2a
2
4a
2a
[
n
1 +
2
sin
4a
(n
+
2)
x
aa
+
n
1
2
sin
4a
(n
2)
x
aa
]
计算出
cn
16
2
n
n
(n2 4) cos 4
能量的可能测值 n 为奇数
E
I n
=
n2 2h2 8 (2a )2
=
n2 2h2 32 a 2
对基态 n=1 取值概率
c1
8
3
c1
2
(
8
3
)2
p2
2 2h2
动量分布函数
( p)
2 h
e e dx
1
2
2
(
x
+
i
2
h
)2
1
2 2
h2
p2
1 p2
e 2 2h2
2
1
1 p2
e 2 2h2
2 h
h
1
1 p2
e 2h ,
h
h
动能平 均值
T 1 p2 1
1
1 p2
p2e h dx
2
2 h
动量平 均值
1 1
3
(h ) 2
归一化系数：
2
2
2
波函数：
A1 = a , A2 = b , A3 = c
n1n2n3 ( x, y, z) =
= 2 2 sin( n1 x)sin( n2 y)sin( n2 z)
abc a
b
c
能级：
En1n2n3
=
E1
+
E2
+
E3
h2
2
(12
2 2
2 3
)
h2 2 2
(
n12 a2
n22 b2
计算出
c0 2
2 12 1 + 2
2(
k
)
1 4
(
2k
1
)4
k + 2k
5
(2) 4 1+ 2
（3-10）题
p
(ih d ) dx
dx
(ih)
u( x)eikx d [u( x)eikx ]dx
dx
(ih)[
u( x)eikxeikx d [u( x)]dx
dx
u( x)u( x)eikx d eikxdx]
h2 2μ
2 ( x 2
2 y2
2 z2
( x,
y, z)
=
E
( x,
y, z)
分离变量 ( x, y, z) = 1( x) 2 ( y) 3(z)
代入方程：
h2 2μ
[
2
(
y)
3
(
z
)
d
2 1(
dx2
x)
1
(
x
)
3
(
z
)
d
2 2
dy
(
2
y
)
1(
x)
2
(
y)
d
2 3(z)
dz2
=
E1(x) Nhomakorabea2
同理
Kˆn = LˆMˆ Mˆ n = (1 Mˆ Lˆ )Mˆ n = (Mˆ Mˆ Kˆ ) n = (1 n )Mˆ n = (n 1)n