量子力学(第二章)
量子力学-第二章-一维势阱
3
时间依赖薛定谔方程
根据能量守恒和时间演化，推导出薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解
无限深势阱
假设粒子被限制在一个 无限深的势阱中，无法 逃逸。
波函数的边界条件
在势阱的边界处，波函 数必须满足特定的边界 条件。
波函数的对称性
在势阱中，波函数可能 具有对称或反对称的性 质。
薛定谔方程的数值解
有限差分法
含时薛定谔方程的一维势阱模型
含时薛定谔方程是一维势阱模型中描述粒子动态行为的方 程。该方程包含了时间依赖的势能项，可以描述粒子在时 间演化过程中受到的外部作用力。
含时薛定谔方程的解可以用来研究粒子在一维势阱中的动 态行为，例如粒子在受到激光脉冲作用时的运动轨迹和能 量变化。通过求解含时薛定谔方程，可以深入了解粒子在 一维势阱中的动力学性质。
01
将薛定谔方程转化为差分方程，通过迭代求解。
网格化方法
02
将连续的空间离散化为有限个网格点，对每个网格点上的波函
数进行求解。
量子隧穿效应
03
当势阱深度较小时，粒子有一定的概率隧穿势垒，从势阱中逃
逸。
03
一维势阱中的粒子行为
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
粒子在无限深势阱中的行为
时间依赖的一维势阱模型
时间依赖的一维势阱模型描述了粒子在一维空间中受到随时 间变化的势能作用的情况。这种模型可以用来研究粒子在时 间依赖的外部场中的动态行为，例如粒子在激光场中的运动 。
时间依赖的一维势阱模型需要求解含时薛定谔方程，该方程 描述了粒子在时间演化过程中的波函数变化。通过求解含时 薛定谔方程，可以了解粒子在时间依赖的势阱中的动态行为 。
量子力学第二章总结
第二章1.波函数/平面波：（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。
（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。
在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。
由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。
（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。
4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|25.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。
故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ½Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。
量子力学_第二章_线性谐振子
其中 2
2E
此式是变系数 二阶常微分方程
（2）求解
d 2 [ 2 ] ( x ) 0 2 d
1. 渐近解
为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为：
d 2 0 2 d
为此考察相邻 两项之比：
2
bk 2 k 2 2k 1 2 (k 1)(k 2) bk k
k
2 2 k
exp[ 2 ] 1
1 !
4
2!
k 2
k
( )!
k 2
k 2
( 1)!
考察幂级数exp[ξ 2}的 展开式的收敛性
§2.7 线性谐振子
（一）引言
l
（1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子
l
l
l
（二）线性谐振子
（1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式
l
l
l
（一）引言
（1）何谓谐振子
d2x 2 kx dt
其解为 x = 简谐振动，
在经典力学中，当质量为 的粒 子，受弹性力F = - kx作用，由牛 顿第二定律可以写出运动方程为：
2
欲验证解的正确性， 可将其代回方程，
2 d d 2 / 2 e / 2 e d d
其解为：ψ∞ =exp[±ξ2/2]
ξ2 >> ± 1
d d 2 d [ 2 1] 2 [ ] 2 d d d
量子力学第二章
ˆ F r r
ˆ 就称 r 为算符 F 相应本征值 的本征函数
2、本征方程的解 简并
（1）分离解：
ˆ F 本征值 本征函数
1 2
1
2
2、连续解
ˆ F
3、简并、非简并 非简并：一个本征值 m 对应一个本征函数
例题（1 p x是否是厄米算符？(x , 0, 0) ：）ˆ
(全微分
d ( * ) *
*
x
dx (
x
)* dx )
ˆ dx * ( i d ) dx Px dx i d ( * ) ( i ) ( i ( * ) (i x
z
2 2
2 ma
2
(1,2,1)
6 2 E111
121
8 a
3
sin
a
2 a
y sin
a
z
(2,1,1)
当能量次低时，发生3重简并
211
8 a
3
sin
2 a
x sin
a
y sin
a
z
例： 绕定轴转动的刚体称为平面转子，假设其转动惯量 用 I 表示，转角用 表示，则其哈密顿算符表示为 ，试求算符 的本征值和本征函数。
4、算符对易
BA ˆˆ ˆˆ AB ˆˆ BA ˆ ˆ A、 B对易 ˆ ˆ A、 B不对易
5、单位算符
ˆ I
例题: （ ） F d , 1 ˆ
量子力学_第二章_粒子流密度
(9)
2 0
sin n xdx
=
cos n xdx
( n 1)!! n!! 2
n为正偶数 n为正奇数
2 0
(10)
(n 1)!! n!! a0 2 sin ax 0 x dx a0 2
量子力学常用积分公式
(11)
0
e ax x n dx
(4)
x sin axdx
1 1 sin ax x cos ax a a2
2x 2 x sin ax ( 2 ) cos ax a a2 a
2
(5)
x
2
sin axdx
量子力学常用积分公式 (6)
x cos axdx
2
1 x cos ax sin ax a a2
同理可得量子力学 的电荷守恒定律：
量子力学的质量 J 0 守恒定律 t | ( r , t ) |2 i e Je 0 J J ( ) t 2
在空间闭区域τ 中将上式积分，则有：
2 i （ ）d [ ]d t 2 i （ ）d [ ]d t 2
t
闭区域τ 上找到粒 子的总几 率在单位 时间内的 增量 其微分形式与 流体力学中连 续性方程的形 式相同
表明电荷总量 不随时间改变 质量密度 和 质量流密度矢 量
e e e | (r , t ) | 2 i J e eJ e ( ) 2
电荷密度 和 电流密度矢量
（二）再论波函数的性质
量子力学第二章知识点
量子力学第二章知识点基本概念波粒二象性量子力学中的粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
这种既是粒子又是波动的性质被称为波粒二象性。
波函数波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
波函数的模的平方表示在某一位置发现粒子的概率密度。
叠加原理量子力学中，两个波函数的线性叠加仍然是一个有效的波函数。
这个原理被称为叠加原理。
量子态所有可能的状态（波函数）构成了量子力学中的量子态。
一个量子态可以通过线性叠加得到另一个量子态。
算符和测量算符算符是描述量子系统性质变化的数学操作。
在量子力学中，算符通常用来描述物理量的测量和演化。
算符的本征值和本征态对于一个算符，它的本征值是测量该物理量时可能得到的值；而本征态是对应于这些本征值的一组特定的波函数。
观测量和平均值观测量是指用来测量物理量的实际实验装置，而平均值则是对同一量子态进行多次测量得到的结果的平均值。
不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它描述了在某些物理量的测量中，有些对应物理量无法同时精确确定的限制。
氢原子壳层和轨道氢原子中，电子围绕原子核运动的轨道被称为壳层。
氢原子的壳层用主量子数 n 来标记。
能级和能量氢原子中电子的能量是量子化的，称为能级。
能级由主量子数 n 决定，能级越高，能量越大。
轨道角动量氢原子中，电子的轨道运动导致了其具有轨道角动量。
轨道角动量用量子数 l 来标记。
磁量子数氢原子中，轨道角动量的分量在某一方向上的投影用磁量子数 m 来标记。
自旋和电子态自旋自旋是粒子固有的一种角动量，与粒子的旋转运动无关。
电子具有自旋角动量。
自旋量子数自旋量子数用 s 来标记，对于电子，其自旋量子数为 1/2。
自旋态自旋态是描述粒子自旋状态的波函数。
对于电子，自旋态可以是自旋向上的态，记作|↑⟩，也可以是自旋向下的态，记作|↓⟩。
自旋磁量子数自旋磁量子数用 m_s 来标记，对于电子，其自旋磁量子数可以是 1/2 或 -1/2。
总结本文介绍了量子力学第二章的知识点，包括波粒二象性、波函数、叠加原理、量子态、算符和测量、算符的本征值和本征态、观测量和平均值、不确定性原理、氢原子的壳层和轨道、能级和能量、轨道角动量、磁量子数、自旋和电子态等内容。
周世勋量子力学课件第二章
单个粒子在该处出现 （微粒观点） 的概率大 粒子在某处出现的概率和该处波函数振幅的平方成正比
物质波的 强度大
假设衍射波波幅用 Ψ(r) 描述，与光学相 似，衍射花样的强度则用 |Ψ(r)|2 描述，但意义 与经典波不同。
|Ψ(r)|2 的意义是代表粒子出现在r点附近概率的 大小，确切地说，|Ψ(r)|2ΔxΔyΔz 表示 在r点处，体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。 据此，描写粒子的物质波是概率波，反映微观客 体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为概 率波幅（概率幅）。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，由 波函数还可以得到体系的各种性质。这就是首先由 Born 提出的波函数的统计解释。 量子力学的第一条基本假定（或公设）
…………
同时粒子N出现在( rN , rN drN )中的几率
？
思考题1 设粒子波函数为 ( x, y, z) ，求在(x, x+dx)范围中找到粒子的几率。
思考题2 N粒子系的波函数为(r1, r2 ,...rN , t ) ， 求在( r1 , r1 dr1 )中找到粒子1的几率(其他粒子 的位置不限)。
屏上出现的 电子说明电 子的粒子性。
7个电子在观察 屏上的图像 100个电子在 屏上的图像
单个电子的去向是概率性的，但随着电子数目的增多 显示出统计规律性。
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一 个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在 此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
(2) 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际 结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包， 因此呈现出干涉和衍射等波动现象，并且认为 波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电 子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（波长）平面波 的迭加，强度只在空间有限区域中不为零。
第二章量子力学
原子的总角动量 总角动量量子数 J 原子的总角动量 PJ = J ( J + 1) h 总角动量z分量量子数 mJ = − J , − J + 1,L, J − 1, J 原子总角动量的z分量 PJz = mJ h 角动量及其z分量与量子数之间关系的一般规律性： ⎯⎯角动量与量子数的关系为
PJ = J ( J + 1) h
远远不够。如： 四个量子数的物理含义是什么？ 固体中电子态与孤立原子相比有何差别？ ——结合成键过程中电子态如何改变
各类材料的电导率σ与载流子
材料类 超导体 导体 107～105 半导体 105～10-5 绝缘体 10-9～10-18
σ (Ω-1m-1) ≥1015
载流子
电子对 自由电子 电子、空穴 电子和/或离子
量子力学基础
1. De Broglie假设——微观粒子的波动性
（1） De Broglie假设(1924)
自由粒子 (E 、 p )∼平 面 波 (ν 、λ ) ，其中：
E = hν = hω
p = hk
间的关系为：
h = 2 π h = 6.623 × 10 −34 Js 为普朗克常数，k为粒子的波矢，它与波长之
PS = 6h
PJ = 2 5h
PSz = −2h, − h, 0, h, 2h
PJ Z = −4h, − 3h,L, 3h, 4h
亚电子层未达或超过半满时： 轨道角动量与自旋角动量分别为反平行 和平行。
氢分子中的电子态与原子结合能 固体中原子结合能一般可用下面 公式表达：
a b U (r) = − m + n r r
三、孤立原子中电子的排布与角动量合成 例：基态Fe原子(Z=26)的核外电子排布及角动量 全满的亚电子层—如3p6：L＝S＝J＝0，各角动量都为0； 未满的亚电子层为3d6：电子的排布情况
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德布罗意
de Broglie
(1892—1987) 因发现电子的波动性 荣获1929年 诺贝尔物理学奖
5
与能量为E及动量为p 的粒子相联系的波 （物质波）的频率及波长为
E h
p
h p
2ห้องสมุดไป่ตู้
例：
自由粒子 则波长
E
h p
2m
h 2mE
k
其中：
i
i
yi
j
zi
一般方法：根据非相对论能量动量关系式（体 系的哈密顿式），用能量算符和动量算符代替 能量和动量分别作用于波函数上，便可得到量 子体系所满足的薛定谔方程。
31
注： （1）方程不是由更基本的假定从数学上严格推 导出来的。它是量子力学的一个基本假定。 （2）方程为什么不是时间t 的二阶导数？
1 2 π
e
px Et
C
1 p,t 2 π
3 2
x , t
* p
( x )d x
26
注：（1）态叠加原理指的是波函数（概率幅）的线 性叠加，而不是概率的叠加。
（2）同一量子态可用不同形式的波函数表示。
2
9
又因洛伦兹力
q c vB
q F v B ，使粒子做圆周运动. c
mv r
2
v
q Br mc
与玻尔量子化条件联立,得
r
2
1 2c n 2 q B
所以,粒子能量可能值为
En 1 2 mv
2
(n
1 2
q B ) mc
( n 0 , 1, 2 , )
P 点电子流的强度
πd I 4 I 0 cos ( sin ) q
2
当 sin q
nd
此结果为实验所证实. 实验证明：电子、质子、原子、分子等都具有波 动性；波动性是物质粒子普遍具有的。 戴维孙、汤姆孙 因电子衍射实验 获1937年诺贝尔 物理学奖
( n 0,1, 2,
)
时,电子强度为极大,
22
[例题] 将波函数 f x exp a 2 x 2 2 归一化
解： 设归一化因子为C，则归一化的波函数为
( x ) C exp( a x
2 2
2)
由
(x)
C
2
d x 1
计算积分得
2
a
π
,所以，C
a
π
e
iδ
取 d＝0，则归一化的波函数为
(x)
19
设波函数 x, y, z, t
t 时刻处于 x—x+dx，y—y+dy，z—z+dz内 的概率
dW
x, y, x,t
C
x, y, z,t
2
dxdydz
概率密度：
w x, y, z, t dW dV C
x, y, z,t
2
3.波函数的性质
17
2. 概率波 德布罗意：“物质波”不是经典波所代表的某种物 理量的波动，而是所描写粒子空间分布的概率波， 把粒子的“原子性”与波的“叠加性”统一了起来。 电子衍射实验：
电子枪
电子束
金箔 屏
18
因为x处的强度 ∝ x处感光点子数 ∝ x处电子数
∝ 电子出现 x 处的几率 又因为强度 ∝ 波幅平方 所以，电子在t 时刻，x处的概率∝电子波函数的模方 玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出 现的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间 出现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
体系的能量 作代换 薛定谔方程：
i t
n
n
E
i 1
2 pi 2mi
t
U
x1 , x 2 , , x n
E i
p i i
i
i 1
2
2mi
xi
i U
2
x1 , x 2 , , x n
RETURN
Clinton Davisson 1881—1958
15
二、 波函数
量子力学基本假说之一 ： 一切微观粒子的状态可用相应的波函数 来描写. 自由粒子：
E, p
是常量 v , k
对应
是常量
平面波
自由粒子平面波函数
p r E t (r , t) A e
第二章 一、波粒二象性
波函数和薛定谔方程
§2.1 波函数及其统计解释
1. 光的波粒二象性
光子的能量和动量
E h
h h p n n k c
(
2π k n 其中
，
h 2π
1 .0 5 4 5 1 0
34
J s
)
4
2.微观粒子的波粒二象性
l
1 q p d l mv A dl n h l c 2
于是，
A dl
l
S
2 A dS= B dS= πr B
S
1 m v 2πr πr B n h c 2 q
i
如：平面波函数 A e
p r E t
* p
r , t
p
p p x 2 dx r , t dx A e
i
21
1 2 A 2 π 2π
i
e
p
p x
RETURN
a
π
exp( a x
2
2
2)
23
§2.2 态叠加原理
一、量子态
二、态叠加原理——量子力学假设之二
RETURN
24
§2.2 态叠加原理
一、量子态： 波函数描写体系的量子状态。
二、态叠加原理——量子力学假设之二
量子力学叠加原理： 如果 1 和 2 是体系的可能态，则它们的 线性叠加 c 1 1 c 2 2 也是体系的可能态。 设 1 态中测力学量A值为 a1， 2 态中测力学量 A值为a2 ,则 c 1 1 c 2 2 态中测A 结果既可能 是 a 1，也可能是 a2 。或：体系处于态时，体系既 处在态 1 ,又处在态 2 。
1
第二章
波函数和薛定谔方程
§2.1 波函数及其统计解释
§2.2 态叠加原理 §2.3 含时薛定谔方程 §2.4 定态薛定谔方程 §2.5 薛定谔方程的简单应用
§2.6 势垒贯穿 §2.7 例 题
RETURN
2
§2.1 波函数及其统计解释 一、波粒二象性
二、波函数
三、波函数的统计解释
RETURN
3
x,t C p,t
x,t 与 C
C
——坐标表象
——动量表象
p , t 是互为付氏变换式。
i p x x 3
p,t
C
的归一性：
p
2
dp
d p d x d x
2
a
E
π 2ma
2
2 2
n
2
2m
——能量不连续
7
[例题] 氢原子的角动量。 解： 驻波条件：轨道圆周长= n倍周长
2p r n ( n 1, 2 … )
德布罗意关系：
h p hmv
所以，角动量为 驻波
L rp nh 2π n
角动量是量子化的 [问题] 物质粒子既然具有波动性，为什么 过去长期把它们看成经典粒子？ 8
电子在电场中 则波长
E eU
h 2em U 1 2 .2 6 U V
6
nm
定态 驻波
[例题] 粒子在无限深势阱中运动。
解：n =0，a，为节点
驻波条件： n 所以
2 a n 1, 2 , 3,
n
p h
2
2a
n nh
p
o
2 2
2a
n h 8m a
一、方程的建立
量子力学基本假设之三： 量子态随时间的变化规律满足薛定谔方程. 1.含时薛定谔方程
（1） 单粒子体系的薛定谔方程
i t
2
U
2
2m
x
r [建立] 设粒子在势场 U x 中运动，则粒子能量
E 2 p 2m U
x
29
由
作代换
x 2 d A 2 πδ p p
取 A
2ph
1
12
所以
1 (2 π)
1 2 i
p (r , t)
e
p r E t
③ 箱归一化——加上周期性边界条件限制
(x) (x L)
id
L ——周期
4.存在不确定的相因子 e （其既不影响空间各 点粒子的概率，也不影响到归一性）