量子力学第二章小结
量子力学第二章总结
第二章1.波函数/平面波：（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。
（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。
在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。
由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。
（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。
4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|25.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。
故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ½Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。
量子力学第二章
C (P ,t)(21)1/2
iP x
(x,t)e dx
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27
态叠加原理复习
若 1,2, ,n 是体系的可能状态，则它们
的线性迭加态
c 11 c 22 c nn
也是体系的可能态
物理意义：处在Ψ态上的粒子体系，则仍部
分处在Ψ1、Ψ2…..Ψn上
与经典态叠加原理的区别：经典的叠加态和
德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复 函数 (r,t)来描述，函数 (r,t) — 称为波函数。
★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波
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4
i(PrEt)
P(r,t)Ae
de Broglie 波
★如果粒子处于随时间和位置变化的力场 U r,t 中 运动，它的动量和能量不再是常量（或不同时为常 量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较 复杂的波描写，一般记为：(r,t)
d
可电能子处从在晶体P 表(r面,t)出、射P 后(，r ,t既) 可, 能等处状在态 ，P 按(r,态t)态迭，加也原
理，在晶体表面反射后，电子的状态 可表示成 P
取各种可能值的平面波的线性叠加，即
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24
(r ,t) C (P )P (r ,t)
衍射图样正是这些平面波 叠加干涉的结果
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21
1.电子双缝衍射实验
1
1
P1
P
用缝到 1达表屏示B的粒状子态穿，过用上面 狭2
表示粒子通过下面狭缝到
达屏B的状态，再用 表
S•
D 2
2
示粒子穿过两个狭缝到达B 的状态，则有
P2
c11c22
量子力学第二章
ˆ F r r
ˆ 就称 r 为算符 F 相应本征值 的本征函数
2、本征方程的解 简并
（1）分离解：
ˆ F 本征值 本征函数
1 2
1
2
2、连续解
ˆ F
3、简并、非简并 非简并：一个本征值 m 对应一个本征函数
例题（1 p x是否是厄米算符？(x , 0, 0) ：）ˆ
(全微分
d ( * ) *
*
x
dx (
x
)* dx )
ˆ dx * ( i d ) dx Px dx i d ( * ) ( i ) ( i ( * ) (i x
z
2 2
2 ma
2
(1,2,1)
6 2 E111
121
8 a
3
sin
a
2 a
y sin
a
z
(2,1,1)
当能量次低时，发生3重简并
211
8 a
3
sin
2 a
x sin
a
y sin
a
z
例： 绕定轴转动的刚体称为平面转子，假设其转动惯量 用 I 表示，转角用 表示，则其哈密顿算符表示为 ，试求算符 的本征值和本征函数。
4、算符对易
BA ˆˆ ˆˆ AB ˆˆ BA ˆ ˆ A、 B对易 ˆ ˆ A、 B不对易
5、单位算符
ˆ I
例题: （ ） F d , 1 ˆ
量子力学第二章小结.
宽度为a的一维无限深方势阱
势能分布为
0, 0 x a U x ， x 0, x a
体系的能量为
2 2n2 En 2 a 2 (n 1, 2, 3,)
2 n n a sin a x, 0 x a, x 0, x a. 0,
式中
i p r 1 (r ) p e 3/ 2 （ 2）
i p r (r , t )e dxdydz
1 C ( p, t ) （ 2）3 / 2
(r ) * ( r , t )dxdydz p
在一维情况下，
1 ( x, t ) （ 2）1 / 2
1 C ( p, t ) （ 2）1 / 2
C ( p, t ) e
i p x
dp
( x, t )e
i p x
dx
展开系数C(p,t)实际上就是以动量为变量的波函数。
§2.3 薛定谔方程
2 2
2 k3 2E / 2
透射系数
D D0 e
2 2 (U 0 E ) a
透射系数随势垒的加宽（增大a）或加高（增大U0） 而减小。
对于任意形状的势垒：
贯穿势垒U(x)的透射系数应等于所有这些方形 势垒的透射系数之积，即
2
D D0 e
其中
a
b
2 (U ( x ) E )dx
U ( a) U (b) E
2
dxdydz 1
波函数的标准条件：单值、连续、有限。
对于归一化波函数Ψ： 几率密度
量子力学第二章知识点
量子力学第二章知识点基本概念波粒二象性量子力学中的粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
这种既是粒子又是波动的性质被称为波粒二象性。
波函数波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
波函数的模的平方表示在某一位置发现粒子的概率密度。
叠加原理量子力学中，两个波函数的线性叠加仍然是一个有效的波函数。
这个原理被称为叠加原理。
量子态所有可能的状态（波函数）构成了量子力学中的量子态。
一个量子态可以通过线性叠加得到另一个量子态。
算符和测量算符算符是描述量子系统性质变化的数学操作。
在量子力学中，算符通常用来描述物理量的测量和演化。
算符的本征值和本征态对于一个算符，它的本征值是测量该物理量时可能得到的值；而本征态是对应于这些本征值的一组特定的波函数。
观测量和平均值观测量是指用来测量物理量的实际实验装置，而平均值则是对同一量子态进行多次测量得到的结果的平均值。
不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它描述了在某些物理量的测量中，有些对应物理量无法同时精确确定的限制。
氢原子壳层和轨道氢原子中，电子围绕原子核运动的轨道被称为壳层。
氢原子的壳层用主量子数 n 来标记。
能级和能量氢原子中电子的能量是量子化的，称为能级。
能级由主量子数 n 决定，能级越高，能量越大。
轨道角动量氢原子中，电子的轨道运动导致了其具有轨道角动量。
轨道角动量用量子数 l 来标记。
磁量子数氢原子中，轨道角动量的分量在某一方向上的投影用磁量子数 m 来标记。
自旋和电子态自旋自旋是粒子固有的一种角动量，与粒子的旋转运动无关。
电子具有自旋角动量。
自旋量子数自旋量子数用 s 来标记，对于电子，其自旋量子数为 1/2。
自旋态自旋态是描述粒子自旋状态的波函数。
对于电子，自旋态可以是自旋向上的态，记作|↑⟩，也可以是自旋向下的态，记作|↓⟩。
自旋磁量子数自旋磁量子数用 m_s 来标记，对于电子，其自旋磁量子数可以是 1/2 或 -1/2。
总结本文介绍了量子力学第二章的知识点，包括波粒二象性、波函数、叠加原理、量子态、算符和测量、算符的本征值和本征态、观测量和平均值、不确定性原理、氢原子的壳层和轨道、能级和能量、轨道角动量、磁量子数、自旋和电子态等内容。
第二章 量子力学基础知识
第二讲 绪论课的主要目的是让同学们了解结构化学的大概情况，并在学习方法和重视程度上有所准备。
下面讲些预备知识。
第二章 量子力学基础知识 关于经典物理学，我们早有基础，为什么有了经典物理后还要有量子力学呢？2.1 量子力学的提出2.1.1 经典物理学的困难 经典物理学包括牛顿力学以及在电磁光热等方面建立起的电学、磁学、电磁学、电动力学、光学和热力学等一些学科，这些学科早在19世纪就比较成熟了，到了19世纪末就建立了完整的体系，对于当时所有的宏观物理现象，都可以进行解释，甚至连哈雷彗星多少年可以回归一次，都可以精确地计算出来，所以当时有很多科学家尤其是物理学家认为：物理学的大厦已经建成了，后辈物理学家只要作一些修修补补的工作就行了，如焦耳劝普朗克改行，开尔文在20世纪新年献词中讲到"在清朗洁净的的物理太空中，还只剩下两朵乌云，一朵是麦克尔逊的实验，一朵是黑体辐射，到了20世纪初又发现了光电效应和氢原子光谱等难以用经典物理学解释的现象。
2.1.2 氢原子光谱与波尔学说 光谱：光之谱线，类歌谱。
当用电弧、电火花灼热物质时，即发射谱线 特征谱线 进行元素分析。
H原子光谱是线状光谱，无法用经典物理学来解释。
按经典物理学，H原子核外电子的运动为带电体的圆周运动，应不断有辐射能放出，即为连续光谱，另外应不断放出能量。
最终电子运动不足以克服核的吸引能而掉于核上，这均与实验事实不符合。
1913年丹麦年仅28岁的波尔提出了学说解释，1922年获得诺贝尔奖。
波尔学说的基本要点：(1) 电子于核外只能在某些特许的轨道上运动，且不吸放E（不吸放能量，能量不会降低，则电子不会掉在核上）。
(2)只有在不同的轨道间跃迁时才吸放能量，且有（E不连续，υ不连续，λ不连续 线性光谱） 此假说对H光谱得到了满意的解释。
对别的有误差，说明这种圆形轨道理论没有普遍意义，后来又提出了索莫菲椭圆形轨道理论，结果还是没有普遍意义，这就说明要很好地解决微观世界的问题，必须完全摆脱经典物理的束缚，去建立新的学说，而随后发展起来的量子力学就是这样一种学说。
原子物理学各章节小结(1-4).
2
)
14
rm 3.07 10 m
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结束
玻尔氢原子理论小结
1、氢原子光谱的实验规律
1 1 RH ( 2 2 ) T ( m ) T ( n) m n m 1, 2, 3 n m 1, m 2, RH 1.0967758 107 m 1
总共有：2l+1个
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结束
6、夫兰克-赫兹实验
结果表明：原子体系的内部能量是量
子化的，原子能级确实存在。
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结束
例题:1、试计算一次电离的He+的第一玻尔轨道半 径，电离电势，第一激发电势和赖曼系第一条谱线 波长。
解：当不考虑原子核的运动时，由玻尔理论有 Z=2 ◆（1）第一玻尔轨道半径：
b ctg
2
Ze 2 2
代入数值，可得
b 64.8 fm
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结束
1.5 一个5MeV的α粒子射向金原子核，瞄准距离 b=260fm，试求散射角θ。
Mv 2 b ) 2 解：由公式 ctg 4 0 ( 2 2 Ze
1 5 1.6 1019 106 15 ctg 260 10 2 9 109 79 (1.6 1019 )2
原子物理学各章节小结
原子位形小结 玻尔氢原子理论小结
量子力学初步小结
碱金属原子光谱小结
塞曼效应小结
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结束
原子位形小结
一、原子的质量和大小 原子的线度 r 为10
量子力学第二章
ν , λ 一定
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px ⋅x) ℏ
推广 ：三维自由粒子波函数
二、波函数的物理意义 波函数的物理意义
Ψ(r , t ) = Ψ0e
i − ( Et− p⋅r ) ℏ
如何理解波函数和粒子之间的关系？ 如何理解波函数和粒子之间的关系？ 1 物质波就是粒子的实际结构？即三维空间连续分 物质波就是粒子的实际结构？ 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再 衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性， 者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞 了粒子性。 了粒子性。 2 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单 个电子就具有波动性。 个电子就具有波动性。 3 波函数的统计解释（Born 1926）:波函数在空间 波函数的统计解释（ ） 波函数在空间 某点的强度（振幅绝对值的二次方） 某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子 的几（ 率成比例。即物质波是几率波。 的几（概）率成比例。即物质波是几率波。
2 2 x 2
2 2
i ( p⋅r − Et ) ℏ
2 px = − 2Ψ ℏ
pz2 ∂ 2Ψ = − 2Ψ 2 ∂z ℏ
2
p ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ 2 + 2 + 2 = ∇ ψ = − 2Ψ 2 ℏ ∂x ∂y ∂z
由
p2 E= 2µ
(2.3-3)
得
i i p2 i − ℏ2 2 ∂Ψ Ψ =− = − EΨ = − ∇Ψ ℏ ℏ 2µ ℏ 2µ ∂t
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i Et
定态薛定谔方程
2 2 U r r E r 2
可写为
ˆ r E r H
ˆ H r ,t E r ,t
能量本征方程
n 以 E n 表示体系能量算符的第n个本征值， 是与 E n 相应的波函数，则体系的第n个定态波
2
波函数有一个常数因子不定性： Φ 与CΦ 描述的是同一个状态。 归一化
2
dxdydz 1
波函数的标准条件：单值、连续、有限。
对于归一化波函数Ψ： 几率密度
w x, y, z x, y, z , t
2
t 时刻，在 x x dx，y y dy，z z dz小 区 间 内 找到粒子的几率为
§2-8 势垒贯穿
方形势垒
U 0 , U ( x) 0, 0 xa ( x 0, x a )
透射系数
D D0 e
2 2 (U 0 E ) a
透射系数随势垒的加宽（增大a）或加高（增大U0） 而减小。
对于任意形状的势垒：
贯穿势垒U(x)的透射系数应等于所有这些方形 势垒的透射系数之积，即
p2 2 2 ˆ T T 2 2
§2.5
定态薛定谔方程
薛定谔方程：
2 2 i r , t r , t U r , t t 2
若U不显含时间， 则方程解的形式为
r , t r f t r e
函数是
n (r , t ) n (r )e
i Ent
含时薛定谔方程的一般解，可以写为这些 定态波函数的线性叠加： i Ent (r , t ) Cn n (r )e
n
§2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
设描写粒子状态的归一化波函数是 (r , t ) ，
体系的能量为
2 2n2 En 2 8a
(n 1, 2, 3,)
1 n sin x a , n a 2a 0,
对应的波函数为
x a, x a.
宽度为a的一维无限深方势阱
势能分布为
0, 0 x a U x ， x 0, x a
其中
2 (U 0 E ) k 2
2 1
2 ( U 1 E ) k 2
2 2
2 k3 2E / 2
几个力学量算符
ˆ, E i H 能量算符： t 2 2 ˆ E U H 2
哈米顿算符
动量算符：
ˆ p i p
ˆ ˆ ˆz 动量分量算符： i x p x , i y p y , i z p
动能算符：
i
因为动量可以连续变化，就可以用积分来代替 求和。
(r )dp dp dp (r , t ) C ( p, t ) p x y z
式中
i p r 1 (r ) p e 3/ 2 （ 2）
i p r (r , t )e dxdydz
dp
( x, t )e
i p x
dx
展开系数C(p,t)实际上就是以动量为变量的波函数。
§2.3 薛定谔方程
量子力学的第二个基本假设：
微观粒子状态的变化遵从薛定谔方程。
2 2 i r ，t r ，t U r ，t t 2
体系的能量为
2 2n2 En 2 a 2 (n 1, 2, 3,)
2 n n a sin a x, 0 x a, x 0, x a. 0,
对应的波函数为
求解定态薛定谔方程的步骤
①根据物理问题确定出粒子的势能表达式（有的 问题是直接给出的）。 ②列出定态薛定谔方程，引入参数，简化方程，求 出方程的通解。 ③利用波函数的标准条件，求出能量本征值和本 征函数。
2
D D0 e
其中
a
b
2 (U ( x ) E )dx
U ( a ) U ( b) E
作业：2.8
答案：
k1 e k1a e k1a k 2 k1 e k1a e k1a tgk2 (b a) (1 ) ( ) k1a k1a k1a k1a k3 e e k3 k2 e e
dW x, y, z , t x, y, z , t dxdydz
2
在有限空间V中找到粒子的几率为：
W x, y, z, t dW x, y, z, t dxdydz
2 V V
在整个空间找到粒子的几率为：
dW x, y, z , t
则粒子在空间出现的几率密度是
* w(r , t ) (r , t ) (r , t )
i * * 几率流密度矢量： J ( ) 2
w J 0 t
§2.6 一维无限深方势阱
势能分布为
0, x a U x ， x a
12
， Nn n 2 n !
厄密多项式的一般形式可用一个简单公式表示：
H n ( ) (1) e
n
2
d n 2 e n d
满足两个递推公式：
dHn 2nHn1 ( ) d
H n1 ( ) 2H n ( ) 2nHn1 ( ) 0
§2.1 波函数的统计解释
量子力学的第一个基本假设：
微观粒子的状态用波函数来描述。
波函数的统计解释：
波函数在某一点的强度 和在该点找 到粒子的几率成正比。
2
在x x dx，y y dy，z z dz小区 间内 的几 率为
dW x, y, z, t C x, y, z, t dxdydz
ˆ i r ，t H r ，t t
2 ˆ H 2 U 2
——哈密顿算符
薛定谔方程反映了微观粒子的运动规律。
多粒子体系的薛定谔方程
N 2 2 i i U t i 1 2 i
pi i
2
2
2
i i j k xi yi zi
④利用波函数的归一化条件，将波函数归一化。
§2.7
势能分布 能量本征值
线性谐振子
1 U x 2 x 2 2
1 E n ( n ) 2
(n 0， 1, 2, 3,)
能量本征函数
其中
n ( x) N n e
2 x 2 / 2
H n ( x)
1 C ( p, t ) （ 2）3 / 2
(r ) * ( r , t )dxdydz p
在一维情况下，
1 ( x, t ) （ 2）1 / 2
1 C ( p, t ) （ 2）1 / 2
C ( p, t ) e
i p x
2
dxdydz 1 ——归一化条件
§2.2 态叠加原理
设1， 2， ， n， 是粒子的各种可能状态，那 么，各种可能状态的线性叠加 C11 C22 Cnn Cnn
也是粒子的可能状态。 任意波函数都可以用平面波函数（动量本征函数） 进行展开，即 C ( pi , t ) p i