量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.16-2#14
2r 1 a 2 e x dxdydz 3 a 2r 1 3 e a r 2 dxdydz 3a 2r 4 4 而 3 e a r dr 3a 4 a 3 g( )5 4! 3a 2 a2
x
h2 2 h2 h 2 2 x p a 所以 3a 2 3 2
这为适合流超比方程，要使Ｒ（p）在 趋于０则有解
( ) F (S 1
s 1
本征值为
a ), 2s 2, ) 2 Eh
a n 2 Eh
n＝０、１、２…..
且 所以
Enl
2
a2
2h 2 (n s 1)2
2
而 s ( (2l 1) 8 A / h 1) / 2 第 14 组 彭毅 姜麟舜 200431020117 200431020119
2h 2 2ah a3 ( p 2 h / a 2 )2
于是
px | ( p) | px dpx d p y dpz
0
由于被积函数对 px 是奇函数
2 2 px | ( p ) |2 p x dpx d p y dpz
1 | ( p) |2 p 2 dpx d p y dpz 3 8h 5 2 p4 2 5 dp sin d d 3 a 0 0 0 ( p h ) 4 a2 h2 2 3a
a A (a, A 0) ，求粒子的能量本征值。 r r2
14QM-2.1８
设势场为 U (r )
解：由于 E>0 是连续谱，所以仅讨论 E<0 在极坐标中，薛定谔方程的径向方程为
2 2 E l (l 1) R '' (r ) R ' (r ) [ 2 r h r2 2 a 2 A ] R(r ) 0 h 2 r h 2 r2
于 电 子 偶 素 来 说 ， 束 缚 态 的 能 级 为 ：
（ 1） 对
En
e4 (2 )2
2h 2 n 2
me e4 (2 )2 (n 1, 2,3, ) 4h 2 n 2
其中 为系统折合质量， me 为电子质量。 （2）对于 原子来说，束缚态的能级为：
En
令
2 2 E r h /
1 a 2 A 1 R ' ( ) [ (l (l 1) 2 ) 2 ]R( ) 0 4 h 2 Eh 2
代入得
R'' ( )
（１）
由方程可知 ，R 的近世值为 e1/ 2
0 ，解的形式为 s ，而
所以它在动量表象中的表达式为
( p)
1 (2h a)3/ 2
2
0 0
h
2
0
e ipr cos a / h e r / a r 2 sin d d dr
1Hale Waihona Puke ip 1 ip ( )r ( )r h a h a h [ e e ]rdr 21/ 2 (h a)1/ 2 gip 0 1 1 1 g [ ] 1/ 2 3/ 2 1 ip 2 1 ip 2 i p (2h ) a ( ) ( ) a h a h
s(s 1) [l (l 1) 2 A / h 2 ] 的正数解
即 所以可令
s ( (2l 1)2 8 A / h 2 1) / 2
s 2 R( ) A e 1
( ，代入（１）得 )
a ) ( ) 0 2 Eh
R '' ( ) (2s 2 ) ' ( ) ( s)1
量。
m e4 (2 )2 2h 2 n 2
207me e4 (2 ) 2 (n 1, 2,3, ) 其中 m 为 原子质量， me 为电子质 2h 2 n 2
（3） 和 e 形成的束缚态能级为：
me e4 (2 )2 En (n 1, 2,3, ) 其中 me 为电子质量。 2h 2 n 2
14QM-2.16 设氢原子处在基态，求： （1） 它在动量表象中的表达式； （2） （3）
px 和 px 2 的平均值；
x 和 x 2 的平均值；
1
r a
解：氢原子基态波函数为
0 (r , , )
2a
1
1 2
e
a
h2 e2
而动量 p 本征函数为
v (r ) p
v
vv 1 e 2 p .r / h 3/ 2 (2 h )
14QM-2.17 利用氢原子的能谱公式，写出： （1）电子偶素，即 e e 形成的束缚态的能级； （2）以 子代表核外电子所形成的 原子的能级； （3） 和 e 形成的束缚态能级。 解：氢原子束缚态的能级公式为：
En
me4 (2 )2 (n 1, 2,3, ) 2h 2 n 2
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.31-2#3
x 0
2 x
x 0
eik0 y sin Reik0 y sin Te
ik y y
ik0 cos eik0 y sin Rik0 cos eik0 y sin Tik xe
ik y y
由于势能与 y 无关,则有 k y k0 sin ,上式变为
2 Ze / x, x 0 V x 的结果相比较. , x 0
解:根据维理定律
x 1 1 E V x Ze2 dx 2 2 x 2
如果当 x 0 时, x 不趋于零,上述积分会发散, E 会趋近于负无穷大 .这是不可能的 ,所以 我们得到 0 0 .这样我们就可以用 Laplace 变换来解决这个问题. 势能为 V x 一维薛定谔方程为
2
2
k02 sin 2
ii 在 x 0 区域中,波函数的形式和 i 中一样
在 0 x t 区域中, E V 0 ,薛定谔方程变为
2
/ 2m 2 0
在 y 方向上势能是不变的,我们有 exp ik x exp kx ,其中 k k0 sin ,
C
4ik
eikc e c 1 ik / e c 1 ik /
2 2
因为在 I 中已经取入射波的形式为 eikx ,所以透射系数 T CC * ,则有
T
k
2
2 2
4k 2 2 sinh 2 c 4k 2 2
2
当 c
1 ,即 V0 E
2
s
2
1 1 s 1 s ds
量子力学教程(二版)习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 03109.2 ,⋅⨯==-λ。
证明：由普朗克黑体辐射公式：ννπνρννd e ch d kT h 11833-=， 及λνc =、λλνd cd 2-=得1185-=kThc ehc λλλπρ，令kT hcx λ=，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 15-=x xe xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kThcm λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03⋅⨯==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长.解：010A 7.09m 1009.72=⨯≈==-mEh p h λ #1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=⨯≈===-mkTh mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-⨯⨯=m ，123K J 1038.1--⋅⨯=k #1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--⋅⨯=B μ，求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E μωμ+=可以化为()12222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+μωμE q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2μωμEb E a ==，相空间面积为,2,1,0,2=====⎰n nh EEab pdq νωππ所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν方法2：一维谐振子的运动方程为02=+''q q ω，其解为()ϕω+=t A q sin速度为 ()ϕωω+='t A q c o s ，动量为()ϕωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为 ()()nh TA dt t A dt t A pdq T T==++=+=⎰⎰⎰2)cos 1(2cos 220220222μωϕωμωϕωμω， ,2,1,0=nνμωnh Tnh A E ===222， ,2,1,0=n（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.13-2#08
选择 i ，在渐进区域 x 我们有 (1 y)
代表从左边入射的平面波，而第二项代表在金属表面反射的平面波，因此
AI eikx AR eikx
（ x ）
于是反射系数是
R
AR (2 )( )( 1) ……（13） AI (2 )( )( 1)
2 2 如果 V0 E 0 ， 则有 ， 于是 是实数。 当 x 时 y
F 1 e x / a 0 ，
而 们有
y
e x / a 。于是，如果选择 0 ，则解（9）当 x 时为零。如果 E 0 ，我
2 2 ， 因 而 是 纯 虚 数 ， 比 如 说 i 。 于 是 当 x 是 ，
n 2 2 2 8ma 2
F
En a
2
n 2 2 8m
2 a3
2 En a 2 ∴ F E a
dr
0
r 2 e
r i r a
dr
令
r i r x a 1 4 原式 3 ( 2 ) a3
0
x2 ex
1 (a
i
dx )
3
1 8 a3 3 3 ( 2 )3 a3 ( i a)
批注 [JL1]: 即去掉一个 overal 相位 因子, 但好像仍有差别。
2r r2 e y dy 3 0 a 2 4 a0 4 y 3 ( ) 6e 0 a 2 3 （ a a0 ） a 2
2
2） e / r r sin (
2 2 V
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.13-2#13
U 0 e 1
x a
，入射粒子能量 E 0 时的反射系数。
解：该势场的薛定谔方程为：
U d 2 2m 2 ( E x 0 ) 0 2 dx ea 1
令 y (1 e a ) 1 ，则有 y ( y 1)
x
d 2 d 2 2 (1 2 y) ( ) 0 2 dx dy y (1 y ) y
1
1 2m 2 2m( E V0 ) 2 其中 K 2 E ， k 2 a
1 r / a0
1
2.14 设氢原子处在 （i） r 的平均值；
a
3
e
， a0 为第一波尔半径，求：
（ii）势能 e / r 的平均值；
2
（iii）能量概率的分布函数。 解： （1）首先判断题中所给波函数的归一化情况：
十三组成员 ：李俊华 200431020040
扈俊 200431020122
余功硕 200431020039
4
1
令 i ，当 x ，我们有
(1 y)
e
i x / a
eikx ，这时 1 式中 的第一项代表
代表延 x 轴正向传播的平面波，第二代表反射的平面波 因此
AI eikx AReikx , x ，因此
2
A R R AI
(v 1)(v )(2 ) ，当 E 0 时， 和 v 均为纯虚数，即 (v ) 2 (v 1)
（2）
e 2 4 e2 4e2 1 e2 2 r / a0 2 re dr r a3 a 211 a0 0
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
苏汝铿量子力学讲义第二章波函数和Schroinger方程
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 能量本征函数性质,以x趋近正无穷大为例
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 能量本征谱性质
•
振荡解,连续谱,二度简并,散射态
•
指数衰减解
振荡解
本征谱连续,无简并,非束缚态解
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
• 简并
两端均指数衰减,束缚态解,分立谱,无
➢ 多粒子体系的推广
§2.1 波函数的统计解释
▪ 动量几率分布函数 =>Fourier变换频谱 展开
§2.1 波函数的统计解释
➢
可描写体系状态,
也可描写体系状态
是同一个态,不同自变量
§2.1 波函数的统计解释
➢
代表在
出现单色平面波
态中,
的几率
§2.1 波函数的统计解释
➢ 处在
的粒子,动量无确定值
2 2
2n 1
n 0,1,2,
H
n
2
n
nn
12
n2
nn
1n
2!
2n
3
2
n4
n
1 2
n!
2 n2
n 2
n 2
!
{ n
2
n/2
n 1/ 2
(n为偶数)
n为奇数
En
n
1 2
n 0,1,2,
En1 En
E0
1 2
1 2x2
n x Nne 2 Hn x
§2.3 薛定谔方程
➢ 力学量用算符表示 ➢ 两个惯例
1)只在直角坐标中适用,因为微商不协变 例:二维极坐标下的薛定谔方程
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.22-2#11
2 3/ 2
1 a
'3/ 2
e z / a
'
me2 z ' 4 2 exp ,a 2 me2 4
me4 32 2 1 me4 2 2 p p x y 32 2n2 2m
基态能量 E1,0,0
所以电子的能量 E
基态能量。 解：(1)令 X
1 1 x y ,Y x y 2 2
Y , E3 Z
则 E1
X , E2
1 2A E 1 n1 1 , 1 1 2 m 1 2A E2 n2 2 , 2 1 2 m 1 2B E3 n3 3 B 2 , 3 2 m
2.22 一个质量为 m 的粒子在一个三维方势阱 V（r）中运动。 （i）证明：对于一个半径 R 一定的阱，只有阱深至少有一个极小值时，才可能有束缚态， 并计算这一极小值。 （ii）在一维情况下，类似问题的结果和三维的有何不同？ （iii）上述结果中的一半性质对任意形状的势阱是否仍然成立？例如在一维情况下，若
但是
0
0
p2 p2 V x 0 0 Vs x 0 2m 2m
所以
p2 V x 0 0 2m
即题中所给的 V x 形式的势阱均有束缚态。
2.23 一电子在一无限大接地的平面导体上方运动， 它被自己的象电荷吸收， 但电子不能穿透 导体表面， 试写出电子作三维运动的哈密顿量和它满足的边界条件， 并求出电子的能级和在 基态时，电子和导体表面之间的平均距离。 解： （1）设导体表面法向沿 Z 轴方向，系统电能 V
f ( x) 0 a <x b U ( x) x a或x b 0
量子力学课后习题答案
量子力学课后习题详解 第二章波 函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m 2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m2i )(m2i J e )r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i **Et i Et i **Eti）（）（， 可见t J 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikr ikr e re r1)2( 1)1(21 从所得结果说明1 表示向外传播的球面波，2 表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中sin r 1e r 1e r r 0r mrk r mr k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(r J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikx e x )( ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？dx dx *∴波函数不能按1)(2dx x 方式归一化。
其相对位置几率分布函数为12表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场a x a x x x U ，，，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。
其定态S —方程)()()()(2222x E x x U x dx d m 在各区域的具体形式为Ⅰ： )()()()(2 0111222x E x x U x dx d m x ①Ⅱ： )()(2 0 22222x E x dx d m a x②Ⅲ： )()()()(2 333222x E x x U x dxd m a x ③由于(1)、(3)方程中，由于 )(x U ，要等式成立，必须0)(1 x 0)(2 x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.10-2#07
x Nne
1 2 x2 2
H n x
Ek
势能平均值
2 p2 2 , 2m 2m x 2
Ep
1 m 2 x 2 2
1 E p n* x m 2 x 2 n x dx 2 m 2 2 2 y2 2 3 N n y e H n y dy 2
a
1 n* x n x
0
An 2 sin 2
0
a
n xdx a
a 2 An 2
a 0 a
1 * x x A2 x 2 a x dx
2 0
a5 2 A 30
得：
A
30 , a5
An
2 a
由态叠加定理有：
2
2m
2
Nn2 e
1 2 x2 2
H n x
2 x2 2 1 2 e H n x dx 2 x
2m
2
N n 2 e
1 y2 2
H n y y 2 1 H n 4nyH n 1 4n n 1 H n 2 e
可想而知，对两个方势垒，则需解八元一次代数方程组，这是不好做的。
我们认为近似处理可以得到： D D1D2 e
2 [ 2 m (U1 E )a 2 m (U 2 E ) c b ]
12.证明对于一维谐振子，无论处在哪个本征态，它的动能平均值恒等于势能平均值。 证明： 一维谐振子的波函数是
6
其中，查表可得：
480 2 ma 2 4 5 2 ma 2
量子力学答案 苏汝铿 第二章课后答案2#02
d 2W dV ( ) 0 ， 相 应 的 必 有 )， 则 若 满 足 W ( 0) 0， 且 dx 2 dx
d ( ) 0. dx
(1) 证 决定 2 P 和 3D 态能级的 Schondinger 方程是 (2m
1)
批注 [JL1]:
u "
g2 2 u 2 u V u r r g2 6 v 2 v V v r r
u 2 v2 dr r r
(5)
d r
0
r
u r v 2 r dr r r
2
u 2 v 2 dr 0
0
而在 r 很大时 , 由 I r 的特性知 I r 0 , 所以 J r I r dr 0 , 综合上述可知在
U ( x) ( x d ) U ( x) 0 ( x d )
中运动，求：
（i）当势壁离粒子很远时，对束缚态能量的修正值。并据此说明“远离”的意义； （ii）至少存在一个束缚态时， U 0 和 d 应满足的条件。 解： （1） x d 时，势为无穷大，波函数 0
则 U ( x) 的束缚态不超过 V2 ( x) 的束缚态个数，而后者的束缚态个数为 [
2m a 2
] 1，
则所给的势 U ( x) 对应的束缚态个数在 [
2m a 2 m a 2 ] 和[ ] 1 之间 2
v 无节点，且满足
u(0) v(0) 0 ？
uv ' vu ' (
0
r
4 E2 P E3 D )uvdr ' F (r ) ， r '2