量子力学-复习要求
量子力学复习提纲
量⼦⼒学复习提纲`2010级材料物理专业《量⼦⼒学》复习提纲要点之⼀1. 19世纪末到20世纪初，经典物理学在解释⿊体辐射、光电效应、原⼦的光谱线系和固体的低温⽐热等实验结果时遇到了严重的困难，揭露经典物理学的局限性。
2. 普朗克提出“ 能量⼦ ”（内容是能量单位hv?）的假设，解决了⿊体辐射问题；爱因斯坦在普朗克“ 能量⼦ ”假设的启发下，提出了“光量⼦” （内容是以速度c 在空间运动的粒⼦?）的假设，成功解释了光电效应现象。
爱因斯坦的的光量⼦理论1924年被康普顿效应（内容是散射光中除了有原波长λ0的x 光外，还产⽣了波长λ>λ0 的x 光，其波长的增量随散射⾓的不同⽽变化。
这种现象称为康普顿效应(Compton Effect)?）证实，被物理学界接受。
3. 德布罗意在光的波粒⼆象性的启⽰下，提出⼀切微观粒⼦（原⼦、电⼦、质⼦等）也具有波粒⼆象性的假说，在⼀定条件下，表现出粒⼦性，在另⼀些条件下体现出波动性。
德布罗意的假说的正确性，在1927年为戴维孙（Davission ）和⾰末（Germer ）所做的电⼦衍射实验所证实。
4. 描述光的粒⼦性的能量E 和动量P与描述其波动性的频率ν波⽮K由 Planck- Einstein ⽅程联系起来，即：ων ==h E （其中的各物理量的意义？）。
5. 描述微观粒⼦（如原⼦、电⼦、质⼦等）粒⼦性的物理量为能量E 和动量P，描述其波动性的物理量为频率ν（或⾓频率ω）和波长λ，它们间的关系可⽤德布罗意关系式表⽰，即：ων ==h E（其中的各物理量的意义）；。
7. 正⽐例，即描写粒⼦的波可认为是⼏率波，反映了微观粒⼦运动的统计规律。
8. 波函数在全空间每⼀点应满⾜单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。
8. 通常将在⽆穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表⽰为)(0*n m dx n m ≠=?ψψ。
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学主要知识点复习资料
大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。
这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,⋅⋅⋅ 对频率为ν 的谐振子, 最小能量ε为: νh =ε2.波粒二象性波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。
波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。
在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。
前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。
1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。
1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。
根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。
德布罗意公式h νmc E ==2λhm p ==v3.波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。
波函数满足薛定格波动方程0),()](2[),(22=-∇+∂∂t r r V mt r t i ρρηρηψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。
所以，应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。
从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -⋅=ψ=ψρρη波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
量子力学复习题
量子力学练习题做题时应注意的几个问题：1.强调对量子力学概念、知识体系的整体理解。
2.注重量子力学基本原理的理解及其简单的应用，如：无限深势阱、谐振子和氢原子等重要问题的求解及其结论，并与其对应的经典理论进行比较，力争把量子力学理论融汇贯通。
3.数学手段上，应多看示例，尽量避免陷入过多的、繁难的数学计算中。
4.通过完成练习题，使自己加深对理论内容的理解，通过把实际物理过程用数学模型求解，培养自己独立解决实际问题的能力。
1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是2.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是 pton 效应证实了4.Davisson 和Germer 的实验证实了5. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为 A.δ()x . B.δ()x dx . C.δ2()x . D.δ2()x dx .6. 设粒子的波函数为 ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为7.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为A.c c 112222ψψ+.B. c c 112222ψψ++2*121ψψc c .C. c c 112222ψψ++2*1212ψψc c .D. c c 112222ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+. 8.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限. 9.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性. 10.已知波函数ψ1=-+u x i Et u x i Et ()exp()()exp() , ψ21122=-+u x i E t u x i E t ()e x p ()()e x p (),ψ312=-+-u x i Et u x iEt ()exp()()exp() , ψ41122=-+-u x i E t u x i E t ()e x p ()()e x p ().其中定态波函数是11.若波函数ψ(,)x t 归一化，则A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数) 12.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)， A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2:1c . D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同. 13 电流密度矢量的表达式为A. J q =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B. J iq =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C. J iq =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D. J q =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 14. 在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n a , B.πμ22224 n a , C.πμ22228 n a , D.πμ222216 n a. 15. 在一维无限深势阱U x x b x b (),/,/=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n b ,B.πμ2222 n b , C.πμ22224 n b , D.πμ22228 n b .16. 在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是17.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的A.能量是量子化的，而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的.18线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-122122,其位置几率分布最大处为19.线性谐振子的能量本征方程是A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E .B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 20.在极坐标系下,氢原子体系在dr 球壳内找到电子的几率为 A.r r R nl )(2. B.22)(r r R nl . C.rdr r R nl )(2. D.dr r r R nl 22)(. 21. 在极坐标系下,氢原子体系在Ωd 方向上找到电子的几率为A.),(ϕθlm Y .B. 2),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2),(ϕθ.22. F和 G 是厄密算符,则 A. FG必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FG GF ( )+必为厄密算符. D. i FGGF ( )-必为厄密算符. 23.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π 24.角动量Z 分量的归一化本征函数为A.12πϕexp()im . B. )exp(21r k i ⋅π. C.12πϕexp()im . D.)exp(21r k i⋅π.25.波函数)exp()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -=A. 是 L 2的本征函数,不是 L z 的本征函数.B.不是 L 2的本征函数,是 L z 的本征函数. C 是 L 2、 L z 的共同本征函数. D. 即不是 L 2的本征函数,也不是 L z的本征函数. 47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为26.设体系处于ψ=--123231102111R Y R Y 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为27.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为. 28.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A.[]-∇+= 2222μψψze r E s .B. []-∇+= 22222μψψze r E s.C.[]-∇-= 2222μψψze r E s . D.[]-∇-= 22222μψψze rE s.29.如果力学量算符 F和 G 满足对易关系[ , ]F G =0, 则 A. F和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. B. F和 G 一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C. F和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D. F和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.30.氢原子的能量本征函数ψθϕθϕnlm nl lm r R r Y (,,)()(,)=A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数. 31.体系处于ψ=+c Y c Y 111210态中,则ψA.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数. 32.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是33.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 34.算符 Q只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n ,则算符 (,)F x i x∂∂在 Q 表象中的矩阵元的表示是A.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂.B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂. C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()* ∂∂. D.F u x F x i xu x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂. 35.用变分法求量子体系的基态能量的关键是A. 写出体系的哈密顿. B 选取合理的尝试波函数.C 计算体系的哈密顿的平均值.D 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 36 .Stern-Gerlach 实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋. 129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为A. 0.B. 1.C. 2.D. 3. 37 .Pauli 算符的三个分量之积等于 A. 0. B. 1. C. i . D. 2i .38在s z 表象中,χ=⎛⎝ ⎫⎭⎪3212//,则在该态中s z 的可测值分别为A. ,-.B. /,2.C. /,/22-.D. ,/-2.39 .全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数A.是对称的.B.是反对称的.C.具有确定的对称性.D.不具有对称性. 40 .分别处于p 态和d 态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是 41.束缚态的特点是 。
量子力学复习资料
《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
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量子力学复习提纲一、简答题1、什么是黑体？答：在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。
2、简述光的波粒二象性。
答：吸收、发射以微粒形式，传播 c 。
描述波动性的力学量λν,与描述粒子的力学量p E ,之间的联系为νh E =，λhp =。
3、试简述Bohr 的量子理论。
答：（1）定态假设：电子只能在一组特殊的轨道上运动，在这组轨道上电子处于稳定状态，简称定态。
（2）频率条件：当电子从一个定态跃迁到另一个定态时，吸收或发射的辐射频率满足：νh E E n m =- 。
（3）量子化条件：电子在轨道上运动时，其角动量必须是h 的整数倍。
4、简述德布罗意假设。
答：具有能量E 和动量P 的自由粒子与一个频率为ν、波长为λ的平面波相联系。
νh E =，λhp =。
5、粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短?答：由基本假设ph =λ，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。
6、波函数模的平方()2,t r ψ的物理意义是什么？答：()2,t r ψ表示在t 时刻r 点附近单位体积中粒子出现的概率，即概率密度。
7、按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件。
答：波函数应满足的条件是：连续，有限，单值。
8、简述态叠加原理。
答：若n ψψψ,,,21 是体系的可能状态，则n n C C C ψψψψ+++= 2211也是体系的可能状态。
这一结论称为态叠加原理。
9．何谓定态？答：能量具有确定值的状态称为定态。
它用定态波函数()()iEte r t r -=ψψ,描写。
10、简述定态的特性。
答：定态的特性有：①能量具有确定值。
②几率密度及几率流密度不随t 变化。
③任何力学量（不含t ）的平均值不随t 变化。
④任何力学量（不含t ）取各种可能测量值的几率分布不随t 变化。
11、简要解释一维线性谐振子的零点能。
答：一维线性谐振子的零点能为ω 210=E ，它是谐振子基态的能量，是一种量子效应，是测不准关系所要求的最小能量，是粒子具有波粒二象性的具体体现，谐振子永远不会静止。
量子力学复习资料
量子力学复习资料一、基本概念1、波粒二象性这是量子力学的核心概念之一。
它表明微观粒子既具有粒子的特性，如位置和动量，又具有波动的特性，如波长和频率。
例如，电子在某些实验中表现出粒子的行为，如碰撞和散射；而在另一些实验中，如双缝干涉实验，又表现出波动的行为。
2、量子态量子态是描述微观粒子状态的方式。
与经典物理学中可以精确确定粒子的位置和动量不同，在量子力学中，粒子的状态通常用波函数来描述。
波函数的平方表示在某个位置找到粒子的概率密度。
3、不确定性原理由海森堡提出，指出对于一个微观粒子，不能同时精确地确定其位置和动量，或者能量和时间。
即：＼（＼Delta x ＼cdot ＼Delta p ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），＼（＼Delta E ＼cdot ＼Delta t ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），其中＼（＼hbar\）是约化普朗克常数。
二、数学工具1、薛定谔方程这是量子力学中的基本方程，类似于经典力学中的牛顿运动方程。
对于一个质量为＼（m\）、势能为＼（V(x)＼）的粒子，其薛定谔方程为：＼（i\hbar\frac{＼partial ＼Psi(x,t)｝｛＼partial t} ＝＼frac{＼hbar^2}｛2m}＼frac{＼partial^2 ＼Psi(x,t)｝｛＼partial x^2} ＋ V(x)＼Psi(x,t)＼）。
2、算符在量子力学中，物理量通常用算符来表示。
例如，位置算符＼（＼hat{x}＼）、动量算符＼（＼hat{p}＼）等。
算符作用在波函数上，得到相应物理量的可能取值。
三、常见量子力学系统1、一维无限深势阱粒子被限制在一个宽度为＼（a\）的区域内，势能在区域内为零，在区域外为无穷大。
其能量本征值为＼（E_n ＝＼frac{n^2\pi^2\hbar^2}｛2ma^2}＼），对应的本征函数为＼（＼Psi_n(x) ＝＼sqrt{＼frac{2}｛a}｝＼sin(＼frac{n\pi x}｛a}）＼）。
量子力学复习提纲
量子力学复习提纲一波函数一、波函数的意义及性质在量子力学理论体系中，体系的状态用波函数来描述，一般记为),(t rψ=ψ，其物理意义是玻恩的几率解释：在时刻t ，在),,(z y x 附近体积元dxdydz 内发现粒子（体系）的几率为dxdydz t r 2|),(|ψ。
对波函数，要认识一下几个问题： 1、关于波函数的归一化问题（1）几率描述中实质问题是相对几率，即要求任意两点的几率比值相同即可，因此),(t r ψ和),(t r Cψ描述的是同一个几率波。
这导致波函数总有一个不确定的常数因子。
（2）根据（1），我们一般要求波函数归一化，即选择常数C ，使1||2=ψ?τd C不过这样选择的常数C ，还有一个不确定的相因子，我们把满足这个条件的常数C ，叫归一化常数。
（3）由于我们关注的是相对几率，因此在某些情形下，我们也使用一些非归一化的波函数，如自由粒子平面波函数r p i e r=2/3)2(1)(πψ 粒子的位置本征函数)()(0r r r-=δψ2、波函数的标准化条件（1）既然波函数是几率波，因此要求波函数模方为有限，是必然的。
即=ψ2||有限值。
但实际上，只要波函数满足=ψτd 2||有限就可以了。
例如对粒子位置本征函数就是这样。
而这种放宽的条件会导致波函数在某点的值变为无穷大。
这也是允许的。
（2）波函数的连续性要根据定态薛定谔方程来确定。
)()()](2[222x E x x V dx d ψψμ=+- 因此，如果)(x V 是x 的连续函数，则)(x ψ和dxd ψ必为x 的连续函数。
如果><=ax V a x Vx V 21)(，其中21,V V 是常数，且)(12V V -有限，则波函数及其一阶导数连续。
证明：将薛定谔方程在a x =邻域积分，得0)(])([2)0()0(2l i m''=-?→?=--+?+-dx x E x V a a a a ψμψψεε所以，)('x ψ连续，从而)(x ψ也连续。
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量子力学复习要求2008. 4. 24一. 基本概念:●波粒二象性, 德布罗意关系●波函数的统计解释,波函数的标准条件,波函数的归一化●几率与几率流密度与波函数的关系●几率与几率密度的区别;●算符, 坐标算符, 动量算符, 角动量算符及哈密顿算符的构成.●本征值方程, 本征值, 本征函数●氢原子波函数的构成, 简并的概念, 4个量子数●态叠加原理, 波函数按照本征函数展开, 展开系数的意义●算符的对易关系与测不准关系●表象的概念●定态微扰论: 求能量的一级修正,二级修正,波函数一级修正的基本思路●含时微扰论: 计算跃迁几率的基本思路●自旋概念的引入, 自旋算符, 泡利矩阵●在某个自旋态求平均值, 自旋算符的本征值和本征函数●全同性原理的含义与表述●玻色子与费米子的定义与区别,泡利不相容原理的表述二.计算题与证明题● 一维薛定谔方程的求解; ● 简单的本征值方程求解; ● 几率与几率密度的计算; ● 力学量在某个态平均值的计算;● 有关厄密算符性质的证明(本征值为实数, 本征函数正交等)● 证明或检验算符的对易关系及测不准关系; ● 简单的定态微扰论求能量的一级和二级修正; ● 自旋算符的本征值问题.量子力学概念题, 证明题和计算题的具体要求1. 微观粒子的波粒二象性,徳布罗意关系的物理意义(1.2, 1.3);2. 一维无限深势阱的波函数的表达式, 习题2.3的结果可以直接用:2.3一粒子在一维势场(),0,0,0,x U x x a x a⎧∞<⎪=≤≤⎨⎪∞>⎩中运动, 求粒子的能级和对应的波函数.结果: 粒子的能级为 22222n n E a πμ=,归一化的波函数为n n x aπψ=. 3. 利用波函数的标准条件定解(2.3, 2.7);4.有关本征值,本征函数,本征值方程的概念与证明(见教材有关内容);5.波函数的统计解释, 几率密度,几率,几率流与波函数的联系(3.3, 3.4题);6.波函数按照本征函数展开,所得到展开系数的物理意义(3.9题);7.氢原子4个量子数的取值范围,各个量子数的取值与对应的算符的本征值的关系,简并态的概念(3.5, 3.9题);8.氢原子电子的基态波函数, 电子几率分布的最可几半径的计算(3.2题);9.力学量平均值的计算,对平均值公式中各个量的理解(3.1,3.2, 3.6, 3.7);10.算符的对易与测不准关系; 用测不准关系估计氢原子的基态能量(3.13题);11.非简并定态微扰论计算能量的一级修正和二级修正(理解计算公式中各个量的意义).(5.2, 5.3题)12.对电子自旋角动量取值的理解;在自旋态中计算力学量的平均值,计算力学量的均方偏差(7.2题);13.泡利矩阵与自旋角动量算符矩阵的联系, 利用自旋角动量算符的本征值方程(矩阵形式)确定自旋函数,及自旋角动量的本征值(教材有关内容及7.3题)考试题型:考试由概念题(25%)和计算题与证明题(75%)两个部分组成. 需要记住29个公式 第一章 绪论 1.德布罗意关系, E h νω==(1)hp n k λ==(2)2.微观粒子的波粒二象性.3. 电子被V 伏电压加速,则电子的德布罗意波长为12.25hA λ=≈(3)4.戴维孙和革末的电子衍射实验(说明电子具有波动性的实验).作业: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5 第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释:波函数在空间某一点的强度()2,r t ψ和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波. 2.态叠加原理:如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加 1122c c ψ=ψ+ψ,也是体系的一个可能状态.3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程薛定谔方程()(),ˆ,r t i H r t t∂ψ=ψ∂ (4)定态薛定谔方程()()ˆHr E r ψ=ψ (5) 其中()22ˆ2H U r μ=-∇+ (6)为哈密顿算符,又称为能量算符,4.几率流密度和几率守恒定律与薛定谔方程的联系; 几率流密度()2i J μ**≡ψ∇ψ-ψ∇ψ (7) 几率守恒定律0wJ t ∂+∇⋅=∂ (8)其中2w *=ψψ=ψ代表几率密度.5. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性.6. 波函数的归一化,1d τ*∞ψψ=⎰(9)注意积分区域,注意不同坐标系中积分体积元和积分上下限. 7.求解一维薛定谔方程的几个例子.一维无限深势阱及其变种, 线性谐振子(不要求). 注意在势能分布具有对称性的情况下应用对称性简化定解过程.波函数的标准条件是: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性.● 波函数的连续性总是对的;● 而波函数的一阶导数的连续性在个别情况下不成立(例如一维无限深势阱的情况).作业: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7, 2.8 第三章 量子力学中的力学量1. 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则;2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念ˆF ψλψ= (10)3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.ˆF dx ψφ*=⎰()ˆF dx ψφ*⎰(11)实数性: 厄密算符的本征值是实数.正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交.完全性: 厄密算符ˆF的本征函数()n x φ和()x λφ组成完全系, 即任一函数()x ψ可以按()n x φ和()x λφ展开为级数:()()()n n nx c x c x d λλψφφλ=+∑⎰ (12)展开系数: ()()n nc x x dx φψ*=⎰, (13)()()c x x dx λλφψ*=⎰. (14)2nc 是在()x ψ态中测量力学量F 得到nλ的几率,2c d λλ是在()x ψ态中测量力学量F ,得到测量结果在λ到d λλ+范围内的几率.4. 2ˆL 和ˆZL 算符的本征值方程, 本征值和本征函数. ()22ˆ1L l l ψψ=+, ˆzL m ψψ= 本征函数 (),lm Y θφ.5. 氢原子的哈密顿算符,及其本征值,本征函数nlm ψ的数学结构, ()()(),,,nlmnl lm r R r Y ψθφθφ= (15)主量子数,角量子数和磁量子数的取值范围.简并态的概念. 6. 氢原子的能级公式和能级的简并度.422,1,2,3,...2s n e E n nμ=-= (16)7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在(),,r θφ点周围的体积元内的几率()22,,sin nlm r r drd d ψθφθθφ(17)计算电子几率的径向分布和角分布.计算在半径r 到r dr +的球壳内找到电子的几率. 8. 给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式. ()()ˆF x F x dx ψψ*=⎰ (18)注意(11)式对波函数所在的空间作积分. 9. 算符的对易关系及测不准关系.(i) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时具有确定值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数.例如氢原子的哈密顿算符ˆH ,角动量平方算符2ˆL 和角动量算符ˆz L 相互对易, 则它们有共同的本征函数nlm ψ,在态nlm ψ中,它们同时具有确定值:4222s n e E nμ=-,()21l l +和m .(ii) 测不准关系:如果算符ˆF和ˆG 不对易,则一般来说它们不能同时有确定值. 设ˆˆˆˆˆFGGF ik -= 则算符ˆF和ˆG 的均方偏差满足:()_______2ˆF∆⋅()_______22ˆ4k G ∆≥(19)其中()__________222F F F ∆=-, ()__________222G G G ∆=-(a) 利用测不准关系估计氢原子的基态能量,(b) 给定态函数ψ,计算两个力学量ˆF和ˆG 的均方偏差的乘积()_______2ˆF∆⋅()_______2ˆ?G ∆=(20)作业: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.11, 3.12 第四章 态和力学量的表象(定性要求与概念理解) 表象的概念,1． 坐标表象的波函数与动量表象的波函数及其物理意义；()2,x t dx ψ和 ()2,c p t dp2．对表象的理解:(1) 状态ψ: 态矢量(2) Q 表象: 坐标系 (无限维希耳伯特空间);(3) 本征函数()()()12,,...,...n u x u x u x : 坐标系的基矢量 (4) ()()()12,,...,...n a t a t a t 是态矢量ψ在Q 表象中沿各 基矢量的分量: ()()(),n n nx t a t u x ψ=∑3. 算符的矩阵表示和薛定谔方程的矩阵表示 第五章 微扰理论(I) 求解非简并定态微扰问题 1. 确定微扰的哈密顿算符:ˆH =()0ˆˆH H '+, 及与()0ˆH对应的零级近似能量()0n E 和零级近似波函数()0n ψ;(1) 计算能量的一级修正:()()()100ˆn nn E H d ψψτ*'=⎰ (21)(2) 计算波函数的一级修正:()()()()10'00mn n m mn mH E E ψψ'=-∑, (22)其中,()()00ˆmnm n H H d ψψτ*''=⎰. (23)(3) 计算能量的二级修正:()22'00nlnlnlH E E E '=-∑. (24) 简并情况下的微扰理论不作要求.含时微扰理论要求理解跃迁几率的计算思路以及教材(5.7-12)式中各项的物理意义. 作业: 5.2, 5.3第七章 自旋与全同粒子1. 电子的自旋角动量S ,它在空间任何方向的投影只能取2z S =±(25)2. 电子的自旋磁矩s M ,它和自旋角动量S 的关系为s eM S μ=-(SI)(26)s M 在空间任意方向上的投影只能取两个数值:2sz B eM M μ=±=± (SI)(27)其中B M 为玻尔磁子. 3. 自旋算符的矩阵形式01ˆ210xS ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 0ˆ20y i S i ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭, 10ˆ201z S ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭ (28) 泡利矩阵1ˆ10x σ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 0ˆ0y i i σ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭, 10ˆ01z σ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭(29) 4. 自旋算符的对易关系及测不准关系5. 全同性原理: 在全同粒子组成的体系中,两个全同粒子相互代换不会引起体系物理状态的改变.6. 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称或反对称的,它们的对称性不随时间改变.实验证明,微观粒子按照其波函数的对称性可以分为两类:(I) 费米子: 波函数是反对称的; (II) 玻色子: 波函数是对称的.7. 泡利不相容原理:不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态.作业: 7.1, 7.2, 7.3部分作业题及参考答案 第一章 1. 2, 答:7.07A 1. 3, 答:12.6A1. 4, 答:n E n ω=, n r =,动能的量子化间隔 239102k e B E μ-∆=≈⨯焦耳,14T K =和2100T K =的热运动能量分别为231138.38102E kT -=≈⨯焦耳,21223 2.07102E kT -=≈⨯焦耳, 因此12k E E E <∆<.1.5. 答:12max2.4310e h cλμ-=≈⨯米 第二章 2.1,2.3, 答: 22222n n E a πμ=,n n x a πψ=2.4,2.5, 答:x =2.7, 答: 2tg E μ= ⎪⎝⎭第三章3.1, 答: 势能平均值 14U ω=,动能平均值 14T ω=, 动量的几率分布函数 2222p p c eααπ-=.3.2, 答:半径平均值032r a =, 势能平均值 20e U a =-,最可几半径 0r a =,动能平均值, 2202T a μ=, 动量的几率分布函数, ()3524222208p a c a pπ=+3.4, 答:圆周电流的磁矩为22sin e dM r J rdrd φπθθ=,其中 2sin e nlm e m J r φψμθ=,氢原子的磁矩为 2meM μ=-3.5, 答: (1) ()22,0,1,2,...2mm E m I ==±±, im e φψ=, (2) ()()21,0,1,2,...2l l l E l I+==, (),lm Y ψθφ=.3.6, 答:平均动量 0p =, 平均动能 2258k T μ=.3.7, 答:动量的几率分布函数, ()332222221p c pλπλ=+,平均动量, 0p =. 3.8, 答:能量的几率分布()226666960,1,3,5,...240110,2,4,6,...n nn c n n n ππ⎧=⎪⎡⎤=--=⎨⎣⎦⎪=⎩能量平均值, 255E a μ=. 3.12, 答: 动量平均值 0p p =, ()_______2x ∆⋅()_______224p ∆=.3.13, 答:4213.62e E ev μ-=-第五章5.2, 答:()100E =,()2220213I E D ε=-.5.3, 答:()11E b =, ()2210102a EE E =-,21010102a E Eb E E =++-;()12E b =, ()2220201a E E E =-,22020201a E Eb E E =++-第七章 7.1, 7.2, 答:()_______2xS∆⋅()_______4216y S ∆=.7.3 答:ˆx S 的本征值为2±,对应的本征函数分别为111χ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 111χ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ˆyS 的本征值为2±,对应的本征函数分别为11i χ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 11i χ⎛⎫= ⎪-⎝⎭。