量子力学复习提纲
高等量子力学复习纲要
高等量子力学复习纲要2012级硕士生高等量子力学期末考试复习纲要 1. 会证明矢量空间中矢量的一些基本运算性质和定理;由右矢空间中矢量的关系证明左矢空间中相应的关系;有限维空间中各种不同的完全集所含矢量数目相同。
2. 会利用Schmidt正交化方法构造基矢;会利用直积基矢来展开波函数。
3. 会证明一些重要的公式与定理，比如:算符有逆定理;Glauber公式;厄米算符的性质定理;幺正算符的性质定理;投影算符的性质;本征矢量的完全集等。
定理4. 会证明幺正变换不改变矢量和算符的关系式;有逆算符不改变矢量的相关性。
5. 掌握量子力学的五个基本原理。
6. 会利用Levi-Civita符号及算符的基本对易关系证明角动量算符各分量与其它算符各分量的对易关系。
7. 会利用作用在位置和动量本征矢量上的升降算符的定义证明动量算符的本征矢量在坐标表象中的表示。
8. 会利用角动量的升降算符讨论对给定的角量子数j相应磁量子数m的取值范围;利用轨道角动量的本征函数所满足的本征值方程求解。
Y(,,,)Y(,,,)lm009. 试述绘景变换与表象变换的关系;三种绘景的区别和联系;会证明Heisenber方程;相互作用绘景中态矢量和算符所满足的方程。
10. 试给出薛定谔绘景中密度算符的表达式，并由此推导Liouville方程;会证明密度算符是厄米算符。
11. 会判断纯态和混合态;会由态的密度矩阵求力学量的平均值或者相反;会由不正交参与态构成的混合态构造正交参与态构成的混合态。
12. 能写出真空和电磁场中电子的所满足的Dirac方程及其协变形式;给出其中各物理量的含义;给出并证明自由电子体系的守恒量;会说明为何自由电子的哈密顿的本征矢量为何是高度简并的。
13. 会推导位置算符和动量算符在空间反演下的变换性质;能写出空间平移和空间转动算符的形式;会区分标量和矢量算符;会区分真标量和赝标量以及真矢量和轴矢量算符。
14. 理解系统在某一空间对称变换下具有不变性的含义，能写出系统在空间变换Q下具有不变性的明确数学表达式。
量子力学复习提纲
量⼦⼒学复习提纲`2010级材料物理专业《量⼦⼒学》复习提纲要点之⼀1. 19世纪末到20世纪初，经典物理学在解释⿊体辐射、光电效应、原⼦的光谱线系和固体的低温⽐热等实验结果时遇到了严重的困难，揭露经典物理学的局限性。
2. 普朗克提出“ 能量⼦ ”（内容是能量单位hv?）的假设，解决了⿊体辐射问题；爱因斯坦在普朗克“ 能量⼦ ”假设的启发下，提出了“光量⼦” （内容是以速度c 在空间运动的粒⼦?）的假设，成功解释了光电效应现象。
爱因斯坦的的光量⼦理论1924年被康普顿效应（内容是散射光中除了有原波长λ0的x 光外，还产⽣了波长λ>λ0 的x 光，其波长的增量随散射⾓的不同⽽变化。
这种现象称为康普顿效应(Compton Effect)?）证实，被物理学界接受。
3. 德布罗意在光的波粒⼆象性的启⽰下，提出⼀切微观粒⼦（原⼦、电⼦、质⼦等）也具有波粒⼆象性的假说，在⼀定条件下，表现出粒⼦性，在另⼀些条件下体现出波动性。
德布罗意的假说的正确性，在1927年为戴维孙（Davission ）和⾰末（Germer ）所做的电⼦衍射实验所证实。
4. 描述光的粒⼦性的能量E 和动量P与描述其波动性的频率ν波⽮K由 Planck- Einstein ⽅程联系起来，即：ων ==h E （其中的各物理量的意义？）。
5. 描述微观粒⼦（如原⼦、电⼦、质⼦等）粒⼦性的物理量为能量E 和动量P，描述其波动性的物理量为频率ν（或⾓频率ω）和波长λ，它们间的关系可⽤德布罗意关系式表⽰，即：ων ==h E（其中的各物理量的意义）；。
7. 正⽐例，即描写粒⼦的波可认为是⼏率波，反映了微观粒⼦运动的统计规律。
8. 波函数在全空间每⼀点应满⾜单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。
8. 通常将在⽆穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表⽰为)(0*n m dx n m ≠=?ψψ。
量子力学期末复习资料教学提纲
简答第一章 绪论什么是光电效应？爱因斯坦解释光电效应的公式。
答：光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。
这些逸出的电子被称为光电子用来解释光电效应的爱因斯坦公式：221mv A h +=ν第二章 波函数和薛定谔方程1、如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c +=（1c ，2c 是复数）也是这个体系的一个可能状态。
答，由态叠加原理知此判断正确4、（1）如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c += （1c ，2c 是复数）是这个体系的一个可能状态吗？（2）如果1ψ和2ψ是能量的本征态，它们的线性迭加：2211ψψψc c +=还是能量本征态吗？为什么？答：(1)是（2）不一定，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值相等，则2211ψψψc c +=还是能量的本征态，否则，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值不相等，则2211ψψψc c +=不是能量的本征态1、 经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变；6、若)(1x ψ是归一化的波函数， 问： )(1x ψ， 1)()(12≠=c x c x ψψ )()(13x e x i ψψδ= δ为任意实数是否描述同一态？分别写出它们的位置几率密度公式。
答：是描述同一状态。
)()()()(1*1211x x x x W ψψψ== 212*22*22)()()()()()(x x x dx x x x W ψψψψψ==⎰ 213*33)()()()(x x x x W ψψψ==第三章 量子力学中的力学量2能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。
教务处量子力学复习提纲
《量子力学》总复习一. 波粒二象性---微观粒子特性（1） 态的描述经典态（),P r →量子态（态矢—一般表示）或波函数：),...,(),,(t P t x Φψ（不同的具体表象）),(t x ψ的意义：t 时刻，x 附近，单位体积内找到粒子的几率幅 ),(t x ψ的性质：1）单值，2）连续，3）归一（2） 力学量的描述QQ ˆ→，对易关系，测不准问题 （3） 德布洛意关系 k P E ==,ω （粒子量与波量）二.力学量算符（1）Qˆ 出现的场合：Q ˆ ，（2）Q ˆ的性质：1）线性性 nnn n Q CC Q ψψ∑∑=ˆˆ（态的叠加原理的要求） 2）厄米性 Q Q ˆˆ=+ 或⎰⎰=τψψτψψd Q d Q **)ˆ(ˆ （Qˆ的本征值、平均值为实数的要求） （3）Qˆ的表示：不同表象有不同的表示 x 表象中：,ˆ,ˆxi P x xx∂∂== P 表象中：,ˆ,ˆxx xP P P i x=∂∂-= n 表象中：ˆˆˆ)xaa +=+， 注：1）<Qˆ>与表象的选择无关！ 2）算符相等的定义：ψ=ψB A ˆˆ（ψ为任意态），则B Aˆˆ= （4） 力学量算符的对易关系2ˆˆˆˆˆ[,],[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆ[,]0j k j kj kj k llxy z yz x zx yix P i L L i LL L i L L L i L L L i L L L δε==⎧=⎪⎪↔=⎨⎪=⎪⎩= ，其中110ijkε⎧⎪=-⎨⎪⎩当下标排列(,,)i j k 为偶排列时ijk ε值为1；为奇排列时ijk ε值为-1；当下标(,,)i j k 中有两个下标相同时ijk ε值为0 注：对易关系与表象的选择无关！ （5） 测不准关系222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A -≥∆∆ 表明：1）0]ˆ,ˆ[≠B A，B A ˆ,ˆ无共同的本征态，B A ,不可能同时测准； 2）0]ˆ,ˆ[=B A，B A ˆ,ˆ有共同的本征态，B A ,有可能同时测准,即 在它们的共同本征态上可同时测准。
量子力学复习资料
《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
量子力学复习资料
量子力学复习资料一、基本概念1、波粒二象性这是量子力学的核心概念之一。
它表明微观粒子既具有粒子的特性，如位置和动量，又具有波动的特性，如波长和频率。
例如，电子在某些实验中表现出粒子的行为，如碰撞和散射；而在另一些实验中，如双缝干涉实验，又表现出波动的行为。
2、量子态量子态是描述微观粒子状态的方式。
与经典物理学中可以精确确定粒子的位置和动量不同，在量子力学中，粒子的状态通常用波函数来描述。
波函数的平方表示在某个位置找到粒子的概率密度。
3、不确定性原理由海森堡提出，指出对于一个微观粒子，不能同时精确地确定其位置和动量，或者能量和时间。
即：＼（＼Delta x ＼cdot ＼Delta p ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），＼（＼Delta E ＼cdot ＼Delta t ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），其中＼（＼hbar\）是约化普朗克常数。
二、数学工具1、薛定谔方程这是量子力学中的基本方程，类似于经典力学中的牛顿运动方程。
对于一个质量为＼（m\）、势能为＼（V(x)＼）的粒子，其薛定谔方程为：＼（i\hbar\frac{＼partial ＼Psi(x,t)｝｛＼partial t} ＝＼frac{＼hbar^2}｛2m}＼frac{＼partial^2 ＼Psi(x,t)｝｛＼partial x^2} ＋ V(x)＼Psi(x,t)＼）。
2、算符在量子力学中，物理量通常用算符来表示。
例如，位置算符＼（＼hat{x}＼）、动量算符＼（＼hat{p}＼）等。
算符作用在波函数上，得到相应物理量的可能取值。
三、常见量子力学系统1、一维无限深势阱粒子被限制在一个宽度为＼（a\）的区域内，势能在区域内为零，在区域外为无穷大。
其能量本征值为＼（E_n ＝＼frac{n^2\pi^2\hbar^2}｛2ma^2}＼），对应的本征函数为＼（＼Psi_n(x) ＝＼sqrt{＼frac{2}｛a}｝＼sin(＼frac{n\pi x}｛a}）＼）。
量子力学总复习
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第七章 1 表象的定义 2 态和力学量算符的矩阵表示 幺正变换 3 s方程 平均值 本征方程的矩阵表示 4 Dirac符号 完备性关系 第九章 1 粒子数算符，产生，湮灭算符的定义 和相关性质 2 产生，湮灭算符对粒子数本征态的作用 3 角动量的本征值和本征态的一般形式，各种量子数 的取值方式 ， 上升，下降算符的作用
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第十章 1 微扰论的主要思想，适用条件 2 非简并态微扰理论 能级一级，二级修正公式 波函 数的一级修正 3 简并态微扰理论 能级的一级修正 零级波函数的选 取 4 变分法 变分原理（了解）
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 考试说明
1 闭卷 120分钟 A B C卷随机抽取 2 填空题 3分一题 7题 共21分 简答题 10分一题 2题 共20分 证明题 10分一题 2题 共20分 计算题 13分一题 3题 共39分 3 没讲的肯定不考 讲了的也不一定会考,课堂上讲过 的习题应该要掌握 4 卷面成绩60%
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第四章 1 守恒量的概念，证明，守恒量和定态的区别 2 海森堡方程 3 全同粒子波函数应满足的性质 全同性原理 泡利不 相容原理 两个全同粒子波函数的构造（玻色子， 费米子） 第五章 1 中心力场中角动量守恒的证明 2 氢原子的能级公式，能级简并度，本征态下标的含 义
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第一章 1 普朗克能量量子化 爱因斯坦的光电效应解释 玻 尔的原子结构理论 德布罗意的波粒二象性 2 玻恩的波函数统计解释 波函数的标准化条件 常见 的力学量算符（动量，动能） 3 s方程应满足的基本条件 s方程的最基本形式 定 态s方程（即能量本征方程） 定态的概念和性质 定 域几率守恒的证明 4 量子态叠加原理
量子力学复习提纲
量子力学复习提纲一波函数一、波函数的意义及性质在量子力学理论体系中，体系的状态用波函数来描述，一般记为),(t rψ=ψ，其物理意义是玻恩的几率解释：在时刻t ，在),,(z y x 附近体积元dxdydz 内发现粒子（体系）的几率为dxdydz t r 2|),(|ψ。
对波函数，要认识一下几个问题： 1、关于波函数的归一化问题（1）几率描述中实质问题是相对几率，即要求任意两点的几率比值相同即可，因此),(t r ψ和),(t r Cψ描述的是同一个几率波。
这导致波函数总有一个不确定的常数因子。
（2）根据（1），我们一般要求波函数归一化，即选择常数C ，使1||2=ψ?τd C不过这样选择的常数C ，还有一个不确定的相因子，我们把满足这个条件的常数C ，叫归一化常数。
（3）由于我们关注的是相对几率，因此在某些情形下，我们也使用一些非归一化的波函数，如自由粒子平面波函数r p i e r=2/3)2(1)(πψ 粒子的位置本征函数)()(0r r r-=δψ2、波函数的标准化条件（1）既然波函数是几率波，因此要求波函数模方为有限，是必然的。
即=ψ2||有限值。
但实际上，只要波函数满足=ψτd 2||有限就可以了。
例如对粒子位置本征函数就是这样。
而这种放宽的条件会导致波函数在某点的值变为无穷大。
这也是允许的。
（2）波函数的连续性要根据定态薛定谔方程来确定。
)()()](2[222x E x x V dx d ψψμ=+- 因此，如果)(x V 是x 的连续函数，则)(x ψ和dxd ψ必为x 的连续函数。
如果><=ax V a x Vx V 21)(，其中21,V V 是常数，且)(12V V -有限，则波函数及其一阶导数连续。
证明：将薛定谔方程在a x =邻域积分，得0)(])([2)0()0(2l i m''=-?→?=--+?+-dx x E x V a a a a ψμψψεε所以，)('x ψ连续，从而)(x ψ也连续。
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2008级材料物理专业《量子力学》复习提纲要点之一1. 20世纪初，经典理论在解释黑体辐射、光电效应和原子光谱的线状结构等实验结果时遇到了严重的困难。
爱因斯坦在普朗克“ 能量子 ”假设的启发下，提出了“光量子”的概念，认为光是由一颗颗具有一定能量的粒子组成的粒子流。
2. 描述光的粒子性的能量E 和动量P与描述其波动性的频率（或角频率）和波矢K由 Planck- Einstein 方程联系起来，即：ων ==h E ；K n h P ==λ。
3. 德布罗意提出，一切物质粒子（原子、电子、质子等）都具有粒子、波动二重性，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。
4. 描述微观粒子（如原子、电子、质子等）粒子性的物理量为能量E 和动量P，描述其波动性的物理量为频率（或角频率）和波长， 它们间的关系可用德布罗意关系式表示，即：ων==h E ； K n h P==λ。
5. 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述，而是用波函数来描述。
描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波，即：)(),(Et r p i p Ae t r -⋅=ψ。
6. 波函数在空间某点的强度，即波函数模的平方，与在该点找到粒子的几率成正比例，即描写粒子的波可认为是几率波，反映了微观粒子运动的统计规律。
7. 波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。
8. 通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表示为)(0*n m dx n m ≠=⎰ψψ。
9. 设G ˆˆ和F的对易关系为k i G F ˆ]ˆ,ˆ[=，且G G G F F F -=∆-=∆ˆˆ,ˆˆ，则G ˆˆ和F 的测不准关系式为：4)ˆ()ˆ(222k G F≥∆⋅∆；如果k 不等于零，则的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着Fˆ和G ˆ不能同时测定。
10. 当体系处于定态时，则体系有：1）能量有确定值；2）粒子在空间几率密度与时间无关；3）几率流密度与时间无关。
11. 粒子在一维无限深势阱中的定态解可表示为：.......,3,2,1,)(2sin 1)(=+==ψ--n e a x a n aex t E it E in n n nπψ，当n 为奇数时，波函数具有偶宇称，当n 为偶数时，波函数具有奇宇称。
12. 在点电荷的库仑场中运动的电子，其处于束缚态的波函数可表示成：),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =，其中，主量子数n =1，2，3，…，角量子数l =0，1，2，….，n -1，磁量子数m=0，1，2，….，l 。
),,(ϕθψr nlm 是算符Hˆ、2L ˆ和z L ˆ共同本征函数，当电子处于该波函数描述的状态时，力学量H 、2L 和zL 可以同时测得， 体系22422 n e Z E s n μ-=， L 2=2)1( +l l ，L z = m 。
13. 角动量算符2L ˆ和zL ˆ对易，即0],ˆ[2=z L L ，因此它们有共同的本征函数完备系)},({ϕθlm Y 。
在 ),(ϕθlm Y 描述的状态中，力学量2L 和z L 可以同时测得，L 2=2)1( +l l ，L z = m ，此时总磁矩（沿z 轴方向）M z =m cme B μμ-=-2 。
14. 电子在点电荷的库仑场中运动，其处于束缚态的第n 个能级 E n 只与n 有关，而与l 、m 无关，是 n 2度简并的；若n = 2 时，对应E 2的波函数有 ),,(200ϕθψr 、),,(210ϕθψr 、),,(211ϕθψr 和),,(121ϕθψr -。
而在非点电荷的库仑场中运动的电子，如 Li ，Na ，K 等碱金属原子中最外层价电子是在由核和壳层电子所产生的有心力场中运动，这个场不再是点电荷的库仑场，因此价电子的能级由主量子数n 和角量子数l 决定，仅对m 简并。
15. 两个算符Fˆ与G ˆ有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。
16. 选定一个特定Q 表象，就相当于在Hilbert 空间中选定一个特定的坐标系，力学量算符Qˆ的正交归一完备函数系{)(x u n }构成Hilbert 空间中的一组正交归一完备基底。
任意态矢量),(t x ψ在Q 表象中的表示是一列矩阵，矩阵元)(t a n 是态矢量),(t x ψ在Q ˆ算符的本征矢上的投影，即：⎰=dx t x x u t a n n ),()()(*ψ。
17. 选定力学量Q 表象，Q ˆ算符的正交归一的本征函数完备系记为)}({x u n，一力学量算符F ˆ在Q 表象中是一个矩阵F =（F mn ），其矩阵元为：⎰∂∂-=dx x u xi x F x u F mn nm )(),(ˆ)(* ；该矩阵为厄米矩阵，对角矩阵元为实数。
一力学量算符Fˆ在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵，对角元就是算符F ˆ的本征值。
18. 在坐标表象中，x x=ˆ，=x p ˆxi ∂∂- ；而在动量表象中，=x ˆx p i ∂∂ ，=x p ˆ p x 。
19. 若力学量算符Fˆ不显含时间t ，且与哈米顿算符H ˆ对易，力学量F ˆ的平均值F 不随时间而变化，则称Fˆ为运动积分，或在运动中守恒。
20. 动量算符x Pˆ、y P ˆ、z P ˆ 彼此对易，它们有共同的本征函数完备系：r p i p er⋅-=3)2()(πψ；在该本征函数描述的状态中，x Pˆ、y P ˆ、z P ˆ同时具有确定的值。
要点之二1. 态叠加原理：若1，2，,n是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态=c 11+c 22+….+n；当体系处于态时，发现体系处于k态的几率是2k c （k=1，2，3，），并且12=∑kkc 。
2. 隧道效应：粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象称为隧道效应。
它是粒子具有波动性的生动表现。
只有当粒子的质量和势垒宽度比较小时，这种效应才显著。
3. 厄密算符：若算符F 满足 dx F dx F φψφψ**)(⎰⎰=，则算符F 称为厄密算符，其性质是厄密算符的本征值必为实数，因此量子力学的力学量算符都是厄密算符。
4. 偶宇称与奇宇称：在空间反射下，如果有),(),(t r t rψψ±=-，则称波函数有确定的宇称。
当),(),(t r t r ψψ=-，则称波函数具有偶宇称；当),(),(t r t rψψ-=-，则称波函数具有奇宇称。
5. Hilbert 空间：以某一力学量的本征波函数为基底， 构成的无限维的函数空间，称为Hilbert 空间。
任意态矢量),(t x ψ在该力学量表象中的表示是一列矩阵，矩阵元是态矢量),(t x ψ在该力学量算符的本征矢上的投影。
6. 测不准原理：量子力学揭示，要同时测出微观粒子的位置和动量，其精度是有一定的限制。
海森伯推得，测量一个微粒的位置时，如果不确定围是x ∆，那么同时测量其动量也有一个不确定围x p ∆，且位置不确定度x ∆和动量的不确定度x p ∆的乘积总是大于一定的数值，即2≥∆⋅∆x p x 。
粒子的位置和动量不能同时准确测定源于物质具有微粒和波动二象性。
测不准原理是普遍存在的；若两个力学量不对易，则它们不可能同时被准确测定，其不确定度的乘积总是大于一定的值。
7. 定态：当薛定谔方程中的势能U 与时间t 无关，则薛定谔方程的解可表示成)()(t f rψ=ψ，通过分离变量求解薛定谔方程，得到薛定谔方程的解是Etie r -=ψ)(ψ（分离变量过程中引入的常数E 为粒子的能量），当粒子处在由该波函数所描述的状态时，粒子的能量E 有确定的值，这种状态称为定态。
8. 零点能：也就是线性谐振子基态的能量ω 210=E ，其中是谐振子的角频率。
零点能不等于零是量子力学中特有的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的” 波是没有意义的，零点能是量子效应，已被绝对零点情况下电子的晶体散射实验所证实。
要点之三：1. 请阐述力学量的算符、力学量算符的本征值、力学量测量值及力学量平均值之间的关系。
答：量子力学中的所有力学量用厄米算符来表示。
算符的本征函数组成正交归一本征波函数完备系。
当体系处于力学量算符F ˆ的本征态n时，Fˆ表示的力学量F 有确定值，该值就是Fˆ在n态中的本征值n，此时力学量F 的测得值即为n，F 的平均值为n；当体系处在一般状态中，Fˆ表示的力学量F 没有确定值，而是具有一系列的可能值，这些可能值就是表示力学量算符Fˆ的本征值n（n=1,2,3,…..），每个可能值都以确定的几率被测得，F 的平均值为τψψd FF ˆ⎰*=。
2．设粒子在一维无限深方势阱中运动，方势阱⎩⎨⎧<<≥≤∞=a x ax x x U 0,0,0,)(当当。
求：（1）处于基态的粒子的动量几率分布；（2）处于基态粒子的动量平均值。
解：由于势阱⎩⎨⎧<<≥≤∞=a x ax x x U 0,0,0,)(当当，在阱粒子所满足的定态薛定谔方程为ψψE dxd m =-2222 (1) 在阱外粒子满足的定态薛定谔方程为ψψψE U dxd m =+-02222 (2) 在（2）中，∞→0U ，根据波函数满足的连续性和有限性条件，只有当0=ψ时，（2）才能成立，所以有),0(0a x x ≥≤=ψ (3)为了方便，引入符号2122⎪⎭⎫⎝⎛= mE α，则（2）式简写为)0(022222a x dxd m <<=+-ψαψ (4)它的解是x B x A ααψcos sin += (5)根据ψ的连续性，由（3）式的),0(0a x x ≥≤=ψ，代入(5)，有00cos 0sin =⋅+⋅ααB A 0cos sin =+a B a A αα由此求得0=B0sin =a A αA 和B 不能同时为零，否则ψ到处为零，在物理上无意义。
因此求得,.......3,2,1,==n an πα 归一化的定态薛定谔方程的解为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥<<⎪⎭⎫⎝⎛=0,00,sin 2x a x ax x an a n πψ 定态能量为：222⎪⎭⎫⎝⎛=a n E n πμ基态波函数： ⎪⎭⎫ ⎝⎛=x a a πψsin 21 将基态波函数用动量本征函数展开：px i p p edp x p Cπψψψ21,)()(11==⎰dx eaxp C px ia-⎰=)sin(221)(01πππ= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+--⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-p a e p a e a a p a i ap a i πππππ1121221(1) 动量的几率分布为：.........)(21=p C (2) 动量的平均值：...........=p3. 在一维无限深势阱中运动的粒子，方势阱⎩⎨⎧<<≥≤∞=a x ax x x U 0,0,0,)(当当，如果粒子的状态由波函数)()(x a Ax x -=ψ描写，其中A 为归一化常数，a 为势阱宽度。