安徽工业大学量子力学复习提纲讲解
量子力学复习提纲
量⼦⼒学复习提纲`2010级材料物理专业《量⼦⼒学》复习提纲要点之⼀1. 19世纪末到20世纪初，经典物理学在解释⿊体辐射、光电效应、原⼦的光谱线系和固体的低温⽐热等实验结果时遇到了严重的困难，揭露经典物理学的局限性。
2. 普朗克提出“ 能量⼦ ”（内容是能量单位hv?）的假设，解决了⿊体辐射问题；爱因斯坦在普朗克“ 能量⼦ ”假设的启发下，提出了“光量⼦” （内容是以速度c 在空间运动的粒⼦?）的假设，成功解释了光电效应现象。
爱因斯坦的的光量⼦理论1924年被康普顿效应（内容是散射光中除了有原波长λ0的x 光外，还产⽣了波长λ>λ0 的x 光，其波长的增量随散射⾓的不同⽽变化。
这种现象称为康普顿效应(Compton Effect)?）证实，被物理学界接受。
3. 德布罗意在光的波粒⼆象性的启⽰下，提出⼀切微观粒⼦（原⼦、电⼦、质⼦等）也具有波粒⼆象性的假说，在⼀定条件下，表现出粒⼦性，在另⼀些条件下体现出波动性。
德布罗意的假说的正确性，在1927年为戴维孙（Davission ）和⾰末（Germer ）所做的电⼦衍射实验所证实。
4. 描述光的粒⼦性的能量E 和动量P与描述其波动性的频率ν波⽮K由 Planck- Einstein ⽅程联系起来，即：ων ==h E （其中的各物理量的意义？）。
5. 描述微观粒⼦（如原⼦、电⼦、质⼦等）粒⼦性的物理量为能量E 和动量P，描述其波动性的物理量为频率ν（或⾓频率ω）和波长λ，它们间的关系可⽤德布罗意关系式表⽰，即：ων ==h E（其中的各物理量的意义）；。
7. 正⽐例，即描写粒⼦的波可认为是⼏率波，反映了微观粒⼦运动的统计规律。
8. 波函数在全空间每⼀点应满⾜单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。
8. 通常将在⽆穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表⽰为)(0*n m dx n m ≠=?ψψ。
高等量子力学复习纲要
高等量子力学复习纲要1. 会证明矢量空间中矢量的一些基本运算性质和定理；由右矢空间中矢量的关系证明左矢空间中相应的关系。
2. 会利用Schmidt正交化方法寻找基矢；会利用直积基矢来展开波函数。
3. 会证明一些重要的公式与定理，比如：算符有逆定理；Glauber公式；厄米算符的性质定理；幺正算符的性质定理；投影算符的性质；本征矢量的完全集定理等。
4. 会证明幺正变换不改变矢量和算符的关系式；有逆算符不改变矢量的相关性。
5. 掌握量子力学的五个基本原理。
6. 会利用Levi-Civita符号及算符的基本对易关系证明角动量算符各分量与其它算符各分量的对易关系。
7. 会利用作用在位置和动量本征矢量上的升降算符的定义证明动量算符的本征矢量在坐标表象中的表示。
8. 会利用角动量的升降算符讨论对给定的角量子数j相应磁量子数m的取值范围；利用轨道角动量的本征函数所满足的本征值方程求解。
9. 试述绘景变换与表象变换的关系；三种绘景的区别和联系；会证明Heisenber方程；相互作用绘景中态矢量和算符所满足的方程。
10. 试给出薛定谔绘景中密度算符的表达式，并由此推导Liouville方程。
11. 会判断纯态和混合态；会由态的密度矩阵求力学量的平均值或者相反；会由不正交参与态构成的混合态构造正交参与态构成的混合态。
12. 能写出真空和电磁场中电子的所满足的Dirac方程及其协变形式；给出其中各物理量的含义；给出并证明自由电子体系的守恒量。
13. 对称性与守恒律的关系；以氢原子为例，说明系统哈密顿属于任一本征值的本征子空间，都荷载着其对称性群的一个不可约表示；解释时间反演引起的附加简并。
14. 空间对称变换性质及相关算符；标量和矢量算符的严格定义；真标量和赝标量以及真矢量和轴矢量的区分。
15. C-G系数的定义及物理意义；根据耦合和不耦合表象基矢间的关系推导C-G系数。
16. 对称化基矢及其正交归一化关系；占有数表象中产生算符与消灭算符的对易关系及其证明；对称化B表象与X表象产生算符和消灭算符之间关系及其证明。
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学期末复习资料教学提纲
简答第一章 绪论什么是光电效应？爱因斯坦解释光电效应的公式。
答：光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。
这些逸出的电子被称为光电子用来解释光电效应的爱因斯坦公式：221mv A h +=ν第二章 波函数和薛定谔方程1、如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c +=（1c ，2c 是复数）也是这个体系的一个可能状态。
答，由态叠加原理知此判断正确4、（1）如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c += （1c ，2c 是复数）是这个体系的一个可能状态吗？（2）如果1ψ和2ψ是能量的本征态，它们的线性迭加：2211ψψψc c +=还是能量本征态吗？为什么？答：(1)是（2）不一定，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值相等，则2211ψψψc c +=还是能量的本征态，否则，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值不相等，则2211ψψψc c +=不是能量的本征态1、 经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变；6、若)(1x ψ是归一化的波函数， 问： )(1x ψ， 1)()(12≠=c x c x ψψ )()(13x e x i ψψδ= δ为任意实数是否描述同一态？分别写出它们的位置几率密度公式。
答：是描述同一状态。
)()()()(1*1211x x x x W ψψψ== 212*22*22)()()()()()(x x x dx x x x W ψψψψψ==⎰ 213*33)()()()(x x x x W ψψψ==第三章 量子力学中的力学量2能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。
量子力学主要知识点复习资料
量子力学主要知识点复习资料<i>大学物理量子力学主要知识点归纳复习</i>大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。
这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量的整数倍,2 ,3 ,4 , ,n 对频率为的谐振子, 最小能量为: hν2.波粒二象性波粒二象性（wave-particle duality）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。
波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。
在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。
前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。
1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。
1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。
根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。
2德布罗意公式E mc hν p mvh3.波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：波函数，来描述粒子所具有的波粒二象性。
波函数满足薛定格波动方程22i (r,t) [ V(r)] (r,t) 0 t2m粒子的波动性可以用波函数来表示，中，振幅表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。
所以，其应该表示粒子出现在点(x,y,z)附件的概率大小的一个量。
从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数k Aexp[(p r Et)]i波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性4. 波函数的归一化及其物理意义)常数因子不确定性设C是一个常数，则( x , y , z )和c ( x , y , z 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。
(x,z相位不定性如果常数C e i ，则, y ) 和e i ( x , y , z ) 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。
教务处量子力学复习提纲
《量子力学》总复习一. 波粒二象性---微观粒子特性（1） 态的描述经典态（),P r →量子态（态矢—一般表示）或波函数：),...,(),,(t P t x Φψ（不同的具体表象）),(t x ψ的意义：t 时刻，x 附近，单位体积内找到粒子的几率幅 ),(t x ψ的性质：1）单值，2）连续，3）归一（2） 力学量的描述QQ ˆ→，对易关系，测不准问题 （3） 德布洛意关系 k P E ==,ω （粒子量与波量）二.力学量算符（1）Qˆ 出现的场合：Q ˆ ，（2）Q ˆ的性质：1）线性性 nnn n Q CC Q ψψ∑∑=ˆˆ（态的叠加原理的要求） 2）厄米性 Q Q ˆˆ=+ 或⎰⎰=τψψτψψd Q d Q **)ˆ(ˆ （Qˆ的本征值、平均值为实数的要求） （3）Qˆ的表示：不同表象有不同的表示 x 表象中：,ˆ,ˆxi P x xx∂∂== P 表象中：,ˆ,ˆxx xP P P i x=∂∂-= n 表象中：ˆˆˆ)xaa +=+， 注：1）<Qˆ>与表象的选择无关！ 2）算符相等的定义：ψ=ψB A ˆˆ（ψ为任意态），则B Aˆˆ= （4） 力学量算符的对易关系2ˆˆˆˆˆ[,],[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆ[,]0j k j kj kj k llxy z yz x zx yix P i L L i LL L i L L L i L L L i L L L δε==⎧=⎪⎪↔=⎨⎪=⎪⎩= ，其中110ijkε⎧⎪=-⎨⎪⎩当下标排列(,,)i j k 为偶排列时ijk ε值为1；为奇排列时ijk ε值为-1；当下标(,,)i j k 中有两个下标相同时ijk ε值为0 注：对易关系与表象的选择无关！ （5） 测不准关系222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A -≥∆∆ 表明：1）0]ˆ,ˆ[≠B A，B A ˆ,ˆ无共同的本征态，B A ,不可能同时测准； 2）0]ˆ,ˆ[=B A，B A ˆ,ˆ有共同的本征态，B A ,有可能同时测准,即 在它们的共同本征态上可同时测准。
量子力学总复习
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第七章 1 表象的定义 2 态和力学量算符的矩阵表示 幺正变换 3 s方程 平均值 本征方程的矩阵表示 4 Dirac符号 完备性关系 第九章 1 粒子数算符，产生，湮灭算符的定义 和相关性质 2 产生，湮灭算符对粒子数本征态的作用 3 角动量的本征值和本征态的一般形式，各种量子数 的取值方式 ， 上升，下降算符的作用
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第十章 1 微扰论的主要思想，适用条件 2 非简并态微扰理论 能级一级，二级修正公式 波函 数的一级修正 3 简并态微扰理论 能级的一级修正 零级波函数的选 取 4 变分法 变分原理（了解）
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 考试说明
1 闭卷 120分钟 A B C卷随机抽取 2 填空题 3分一题 7题 共21分 简答题 10分一题 2题 共20分 证明题 10分一题 2题 共20分 计算题 13分一题 3题 共39分 3 没讲的肯定不考 讲了的也不一定会考,课堂上讲过 的习题应该要掌握 4 卷面成绩60%
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第四章 1 守恒量的概念，证明，守恒量和定态的区别 2 海森堡方程 3 全同粒子波函数应满足的性质 全同性原理 泡利不 相容原理 两个全同粒子波函数的构造（玻色子， 费米子） 第五章 1 中心力场中角动量守恒的证明 2 氢原子的能级公式，能级简并度，本征态下标的含 义
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第一章 1 普朗克能量量子化 爱因斯坦的光电效应解释 玻 尔的原子结构理论 德布罗意的波粒二象性 2 玻恩的波函数统计解释 波函数的标准化条件 常见 的力学量算符（动量，动能） 3 s方程应满足的基本条件 s方程的最基本形式 定 态s方程（即能量本征方程） 定态的概念和性质 定 域几率守恒的证明 4 量子态叠加原理
量子力学基本概念复习要点
量子力学基本概念复习要点量子力学基本概念复习要点1.波函数的性质完整描述微观粒子的状态概率密度几率流密度波函数的归一化重要例子: 德布罗意平面波能够描述自由粒子的状态2.薛定谔方程描述了状态随时间的变化3.定态概念定态的性质(定态下的概率密度和几率流密度)4.定态薛定谔方程（能量本征方程）的求解（无限深势阱问题）定解条件（波函数的三大标准条件、周期性条件）5.书上常见力学量的算符形式（在坐标或动量表象下，坐标算符、动量算符、动能算符、势能算符、角动量算符、哈密顿算符等等）不是所有算符都有经典对应（例如自旋算符）6.算符本征态、本征值的概念、物理含义（量子力学基本假定P56）7.厄米算符的定义、算符是否为厄米算符的判断证明（PPT第三章第一节相关例题）厄米算符的本征值8.熟练掌握氢原子的状态、能级的性质，三个量子数（n、l、m）的物理含义及它们之间的关系。
简并度的计算结合氢原子能级公式解决能量跃迁问题9.掌握厄米算符本征函数的正交归一性以及有关定理的证明常见本征函数的正交归一式10.厄米算符本征函数构成完备系波函数展开系数的物理含义（量子力学基本假定P84）会计算力学量的平均值、可能值和相应的概率（典型例题P102 3.6 3.9 PPT上有关例题）11.会计算两个算符之间的对易关系算符对易的物理含义（掌握有关定理并会证明）、书上常见算符的对易式不对易式和测不准关系式之间的关系（典型例题PPT 讲义例题例一、例三）12.知道表象变换的含义态的列矩阵表示知道矩阵元的含义13.算符的矩阵表示（矩阵元，厄米矩阵、自身表象下矩阵形式）14.知道幺正变换的定义及它在表象变换中所起的作用（态的变换和算符的变换），知道并会证明其性质（不改变量子力学的规律, 例如迹、本征值）15.常见本征矢封闭性和正交归一性的狄拉克符号表示法16.应用微扰论求解简单的微扰问题（典型例题P173 5.3，幻灯片例题）适用条件（以氢原子为例）数学要求：常用的简单积分公式和积分方法（分部积分法、换元法）常用的三角函数公式（倍、半、和角公式等等）。
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2010级材料物理专业《量子力学》复习提纲要点之一1. 19世纪末到20世纪初，经典物理学在解释黑体辐射、光电效应、原子的光谱线系和固体的低温比热等实验结果时遇到了严重的困难，揭露经典物理学的局限性。
2. 普朗克提出“ 能量子 ”（内容是什么？？?）的假设，解决了黑体辐射问题；爱因斯坦在普朗克“ 能量子 ”假设的启发下，提出了“光量子” （内容是什么？？?）的假设，成功解释了光电效应现象。
爱因斯坦的的光量子理论1924年被康普顿效应（内容是什么？？?）证实，被物理学界接受。
3. 德布罗意在光的波粒二象性的启示下，提出一切微观粒子（原子、电子、质子等）也具有波粒二象性的假说，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。
德布罗意的假说的正确性，在1927年为戴维孙（Davission ）和革末（Germer ）所做的电子衍射实验所证实。
4. 描述光的粒子性的能量E 和动量P与描述其波动性的频率ν（或角频率ω）和波矢K由 Planck- Einstein 方程联系起来，即：ων ==h E ； （其中的各物理量的意义？？？）。
5. 描述微观粒子（如原子、电子、质子等）粒子性的物理量为能量E 和动量P ，描述其波动性的物理量为频率ν（或角频率ω）和波长λ， 它们间的关系可用德布罗意关系式表示，即：ων ==h E（其中的各物理量的意义？？？）；。
6. 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述，而是用波函数来描述。
描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平。
7. 波函数在空间某点的强度，即波函数模的平方，与在该点找到粒子的几率成正比例，即描写粒子的波可认为是几率波，反映了微观粒子运动的统计规律。
8. 波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。
8. 通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表示为)(0*n m dx n m ≠=⎰ψψ。
9. 设G ˆˆ和F的对易关系为k i G F ˆ]ˆ,ˆ[=，且G G G F F F -=∆-=∆ˆˆ,ˆˆ，则G ˆˆ和F 的如果k 不等于零，则的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着Fˆ和G ˆ不能同时测定。
10. 当体系处于定态时，则体系有：1）能量有确定值；2）粒子在空间几率密度与时间无关；3）几率流密度与时间无关。
11. 粒子在一维无限深势阱中的定态解可表示为：.......,3,2,1,)(2sin 1)(=+==ψ--n e a x a n aex t E it E in n n nπψ，当n 为奇数时，波函数具有偶宇称，当n 为偶数时，波函数具有奇宇称。
12. 在点电荷的库仑场中运动的电子，其处于束缚态的波函数可表示成：),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =，其中，主量子数n =1，2，3，…，角量子数l =0，1，2，….，n -1，磁量子数m=0，±1，±2，….，±l 。
),,(ϕθψr nlm 是算符Hˆ、2L ˆ和zL ˆ共同本征函数，当电子处于该波函数描述的状态时，力学量H 、2L 和z L 可以同时测得， 体系22422 n e Z E s n μ-=， L 2=2)1( +l l ，L z = m 。
13. 角动量算符2L ˆ和zL ˆ对易，即0],ˆ[2=z L L ，因此它们有共同的本征函数完备系)},({ϕθlm Y 。
在),(ϕθlm Y 描述的状态中，力学量2L 和z L 可以同时测得，L 2=2)1( +l l ，L z = m ，此时总磁矩（沿z 轴方向）M z 14. 电子在点电荷的库仑场中运动，其处于束缚态的第n 个能级 E n 只与n 有关，而与l 、m 无关，是 n 2 度简并的；若n = 2 时，对应E 2的波函数有 ),,(200ϕθψr 、),,(210ϕθψr 、),,(211ϕθψr 和),,(121ϕθψr -。
而在非点电荷的库仑场中运动的电子，如 Li ，Na ，K 等碱金属原子中最外层价电子是在由核和内壳层电子所产生的有心力场中运动，这个场不再是点电荷的库仑场，因此价电子的能级由主量子数n 和角量子数l 决定，仅对m 简并。
15. 两个算符F ˆ与G ˆ有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。
16. 选定一个特定Q 表象，就相当于在Hilbert 空间中选定一个特定的坐标系，力学量算符Q ˆ的正交归一完备函数系{)(x u n}构成Hilbert 空间中的一组正交归一完备基底。
任意态矢量),(t x ψ在Q 表象中的表示是一列矩阵，矩阵元)(t a n 是态矢量),(t x ψ在Q ˆ算符的本征矢上的投影，即：⎰=dx t x x u t a nn ),()()(*ψ。
17. 选定力学量Q 表象，Q ˆ算符的正交归一的本征函数完备系记为)}({x u n，一力学量算符F ˆ在Q 表象中是一个矩阵F =（F mn ），其矩阵元为：厄米矩阵，对角矩阵元为实数。
一力学量算符Fˆ在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵，对角元就是算符F ˆ的本征值。
18. 在坐标表象中，x x =ˆ，x p ˆ=x ˆ=x p ˆp x 。
19. 若力学量算符Fˆ不显含时间t ，且与哈米顿算符H ˆ对易，力学量F ˆ的平均值F 不随时间而变化，则称Fˆ为运动积分，或在运动中守恒。
20. 动量算符x Pˆ、y P ˆ、z P ˆ 彼此对易，它们有共同的本征函数完备系：x Pˆ、y P ˆ、z P ˆ同时具有确定的值。
要点之二1. 态叠加原理：若ψ1，ψ2，⋅⋅⋅ , ψn 是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态ψ=c 1ψ1+c 2ψ2+….+ c n ψn ；当体系处于ψ 态时，发现体系处于ψk 态的几率是2k c （k=1，2，3，⋅⋅⋅⋅⋅），并且12=∑kkc 。
2. 隧道效应：粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象称为隧道效应。
它是粒子具有波动性的生动表现。
只有当粒子的质量和势垒宽度比较小时，这种效应才显著。
3. 厄密算符：若算符F 满足 dx F dx F φψφψ**)(⎰⎰= ，则算符F 称为厄密算符，其性质是厄密算符的本征值必为实数，因此量子力学的力学量算符都是厄密算符。
4. 偶宇称与奇宇称：在空间反射下，如果有),(),(t r t rψψ±=-，则称波函数有确定的宇称。
当),(),(t r t r ψψ=-，则称波函数具有偶宇称；当),(),(t r t rψψ-=-，则称波函数具有奇宇称。
5. Hilbert 空间：以某一力学量的本征波函数为基底， 构成的无限维的函数空间，称为Hilbert 空间。
任意态矢量),(t x ψ在该力学量表象中的表示是一列矩阵，矩阵元是态矢量),(t x ψ在该力学量算符的本征矢上的投影。
6. 测不准原理：量子力学揭示，要同时测出微观粒子的位置和动量，其精度是有一定的限制。
海森伯推得，测量一个微粒的位置时，如果不确定范围是x ∆，那么同时测量其动量也有一个不确定范围x p ∆，且位置不确定度x ∆和动量的不确定度x p ∆的乘积总是大于一定的数值，即2≥∆⋅∆x p x 。
粒子的位置和动量不能同时准确测定源于物质具有微粒和波动二象性。
测不准原理是普遍存在的；若两个力学量不对易，则它们不可能同时被准确测定，其不确定度的乘积总是大于一定的值。
7. 定态：当薛定谔方程中的势能U 与时间t 无关，则薛定谔方程的解可表示成)()(t f rψ=ψ，通过分离变量求解薛定谔方程，得到薛定谔方程的解是Etie r -=ψ)(ψ（分离变量过程中引入的常数E 为粒子的能量），当粒子处在由该波函数所描述的状态时，粒子的能量E 有确定的值，这种状态称为定态。
8. 零点能：也就是线性谐振子基态的能量ω 210=E ，其中ω是谐振子的角频率。
零点能不等于零是量子力学中特有的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的” 波是没有意义的，零点能是量子效应，已被绝对零点情况下电子的晶体散射实验所证实。
要点之三：1. 请阐述力学量的算符、力学量算符的本征值、力学量测量值及力学量平均值之间的关系。
答：量子力学中的所有力学量用厄米算符来表示。
算符的本征函数组成正交归一本征波函数完备系。
当体系处于力学量算符Fˆ的本征态φn 时，F ˆ表示的力学量F 有确定值，该值就是Fˆ在φn 态中的本征值λn ，此时力学量F 的测得值即为λn ，F 的平均值为λn ；当体系处在一般状态ψ中，Fˆ表示的力学量F 没有确定值，而是具有一系列的可能值，这些可能值就是表示力学量算符Fˆ的本征值λn （n=1,2,3,…..），每个可能值都以确定的几率被测得，F 的平均值为τψψd FF ˆ⎰*=。
2. 请阐述，在量子力学中的力学量怎样用算符来表示的。
3. 求氢原子处于基态时电子动量的几率分布（基态波函数为31001a r ea-=πψ）。
解：基态波函数为 031001a r ea-=πψ动量算符的本征函数：r p i per⋅-=23)2()(πψ将基态波函数用动量算符的本征函数展开：p d r C r p p3100)()(⎰=ψψ其中，τψψd r r C pp )()(100*⎰=ϕθθππθπd drd r eea pr ia rsin )2(1200cos 202302⎰⎰⎰∞--=1cos 2320102cos (2)r ipr a e e r drd a θθπ∞---=⎰⎰032002[](2)r i i pr pr ai re e e dr p a π∞--=-⎰[]22220230)2(+=p a a πC p 与动量p 的大小有关，与p 的方向无关，由此得到动量p 的几率分布：()42220253028)(+==p a a C p W p π4．设粒子在一维无限深阱中运动，如果t =0时刻，粒子的状态由波函数x a x a ax ππψ2cos sin 4)(=描写，求粒子能量的可能值和相应的几率。
[解] 一给无限深势阱⎩⎨⎧<<≥≤∞=ax ax x x U 0,0,0,)(当当 式中a 为势阱宽度。
粒子具有一定能量的状态为本征态，它满足本征方程ψψE Hˆˆ= 粒子在阱内时有 222222ˆˆdxd p H μμ -== 代入本征方程得 02222=+ψμψE dx d其解为 x an a n πψs i n 2=能量为 222⎪⎭⎫⎝⎛=a n E n πμ任意状态)(x ψ，可视为一系列本征态的线性迭加，亦即)()(x c x n n ψ∑ψ=只要求出各个n c ，就可以求出能量的各个可能值n E 及相应的几率2n C 。