波函数
量子力学中的波函数解析
量子力学中的波函数解析量子力学是一门研究微观世界行为的科学，其基础是波函数，它能够描述微观粒子的性质和运动。
波函数解析是解方程求解波函数的过程，本文将简要介绍量子力学中的波函数解析方法和其在物理学研究中的应用。
一、波函数的定义与性质在量子力学中，波函数（Ψ）是描述微观粒子状态的数学函数。
它是一个复数函数，可用于计算粒子位置、能量以及其他物理量的概率分布。
波函数的物理意义由其模的平方给出，即|Ψ|^2代表粒子在空间中的概率分布密度。
二、波函数解析的数学方法1. 独立粒子体系的波函数解析独立粒子体系是指粒子间不存在相互作用的情况，这时波函数可以通过求解薛定谔方程得到。
薛定谔方程可以用于描述单个微观粒子的行为，并由以下形式给出：ĤΨ = EΨ其中Ĥ是哈密顿算符，E是粒子的能量。
对于简单系统，如自由粒子或受限粒子，可以将波函数分解为一个平面波的线性组合，进一步简化求解过程。
2. 受限系统的波函数解析对于受限系统，波函数解析的过程相对复杂。
例如，对于一维势阱中的粒子，需要边界条件和势能函数来求解波函数。
该问题的解析解可以通过求解边界值问题和应用适当的边界条件来得到。
三、波函数解析在物理学研究中的应用波函数解析在物理学研究中具有广泛的应用，以下介绍几个重要的应用领域。
1. 量子力学中的波函数叠加原理根据波函数叠加原理，两个或多个波函数可以相互叠加形成新的波函数。
叠加后的波函数描述了多粒子系统的相互作用和态叠加的情况。
这一原理在解析解中起到了重要的作用。
2. 基态和激发态的分析波函数解析可以用于分析系统的基态和激发态。
通过求解波函数，可以得到系统能量的本征值和本征态，从而确定基态和激发态的性质。
3. 波函数在相互作用系统中的应用对于相互作用系统，波函数解析可以提供系统能量和粒子位置之间的关系，从而探索系统中粒子间的相互作用情况。
这对于研究分子物理学、凝聚态物理学以及量子场论等领域非常重要。
结语波函数解析是量子力学中的重要概念，其通过数学方法求解薛定谔方程，描述了微观粒子的行为以及物理量的概率分布。
波函数与薛定谔方程
波函数与薛定谔方程引言：在量子力学中，波函数与薛定谔方程是两个核心概念。
波函数描述了粒子的量子态，而薛定谔方程则给出了波函数的时间演化规律。
本文旨在解释波函数与薛定谔方程的概念，并探讨它们在量子力学中的重要性。
一、波函数的定义与性质：波函数用符号Ψ表示，是随时间和空间变化的数学函数。
对于一个单粒子的量子系统，波函数Ψ(x,t)是描述其位置和时间依赖的函数，其中x表示位置，t表示时间。
波函数的模的平方|Ψ(x,t)|²（也称为概率密度）给出了在某个位置找到粒子的概率。
波函数的归一化要求概率密度在整个空间积分为1，即∫|Ψ(x,t)|²dx = 1。
另外，波函数是复数形式的，通过它可以得到粒子的相位和幅度信息。
二、薛定谔方程及其意义：薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，用于描述量子系统的演化。
薛定谔方程的一般形式为：ih∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，h是普朗克常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
薛定谔方程可以看作是一个时间演化方程，它告诉我们波函数如何随时间变化。
三、薛定谔方程的解与量子态的演化：薛定谔方程的解Ψ(x,t)给出了波函数在时间和空间上的演化规律。
解薛定谔方程有多种方法，其中最常见的是分离变量法、微扰法和数值计算法。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同时间、不同位置的波函数。
薛定谔方程解的平方Ψ(x,t)²表示了在经典条件下，在某个位置x找到粒子的概率密度分布。
波函数的演化规律是通过薛定谢方程来描述的，因此它反映了量子态的演化过程。
波函数的演化可以告诉我们粒子的位置、动量和能量等重要信息。
四、波函数的物理意义：波函数不仅仅是一个数学概念，它具有重要的物理意义。
首先，波函数的平方给出了在某个位置找到粒子的概率密度分布。
这一点与经典物理中的粒子位置概念是不同的，因为在量子力学中，粒子的位置是模糊的，只能通过概率来描述。
其次，波函数还包含了粒子的相位信息。
波函数知识点
波函数知识点波函数是量子力学中至关重要的概念之一。
它描述了一个量子系统的状态，并提供了有关该系统的各种物理量的概率分布信息。
本文将介绍波函数的定义、性质和意义，以及在量子力学研究和应用中的重要性。
一、波函数的定义与表示波函数可以用数学形式表示为Ψ(x)，其中x表示量子系统的位置，Ψ表示该位置上的波函数振幅。
通常，波函数是关于位置的复数函数。
在三维空间中，波函数则可表示为Ψ(x, y, z)。
二、波函数的性质1. 归一化性：波函数必须满足归一化性条件，即在整个空间范围内积分的结果为1。
这反映了量子系统处于某一状态的概率为1。
2. 可域性：波函数在空间的各点均有定义，且连续可微，除非遇到特殊情况（如量子力学势垒）。
3. 可观测量与算符：波函数通过算符与可观测量相联系。
常见的可观测量包括位置、动量、自旋等。
波函数经由展开，可以用基态、激发态等来表示这些可观测量。
4. 波函数的变化规律：根据薛定谔方程，波函数随时间的演化受到哈密顿算符的影响。
这意味着波函数可以随时间进行量子力学演化，从而揭示出量子系统的动力学特性。
三、波函数的意义波函数描述了量子系统的状态，通过对波函数的解析可以得到很多关于系统性质的信息。
具体包括：1. 粒子位置的概率分布：波函数的模的平方|Ψ(x)|^2表示了粒子在不同位置上出现的可能性。
这种概率分布的解析有助于对量子粒子的位置进行预测。
2. 波函数的叠加性：波函数可以通过线性组合实现叠加。
这就意味着不同状态的波函数可以相互叠加，并形成新的波函数。
这种叠加的结果反映了量子特性中的干涉和叠加效应。
3. 能量本征值与波函数：薛定谔方程的解析求解可以得到波函数的能量本征值和对应的态函数。
通过对能量本征值的研究，可以了解量子系统的能级结构以及能量转移和转换的规律。
4. 态函数和观测量：基于波函数和算符之间的关系，可以用态函数来求解观测量的期望值。
这些期望值与实验结果相比较，可以验证波函数模型的有效性。
量子力学中的波函数与测量
量子力学中的波函数与测量在量子力学中，波函数是一种用来描述量子系统的数学工具。
它包含了关于系统可能状态的信息，并且可以通过测量得到物理量的概率。
本文将探讨波函数的定义与性质，以及与测量相关的一些重要概念。
1. 波函数的定义与性质波函数是量子力学中描述一个量子系统的核心概念。
它通常用符号Ψ表示，是一个复数函数。
波函数的模的平方，即|Ψ|²，描述了在给定条件下观测到系统处于某一状态的概率分布。
波函数的性质包括归一化和线性叠加原理。
首先，波函数必须满足归一化条件，即积分对全空间的结果为1。
这意味着系统必定处于某个状态，而且在任意时刻只能处于一个状态。
其次，根据线性叠加原理，波函数可以叠加多个可能的状态。
当系统处于叠加态时，它同时具有多种可能的属性，直到测量发生才会塌缩到某一确定态。
2. 波函数的演化在量子力学中，波函数的演化由薛定谔方程描述。
薛定谔方程是一个时间依赖的偏微分方程，它描述了波函数随着时间的演化规律。
根据薛定谔方程，波函数会随着时间的推移而发生变化。
在没有测量的情况下，波函数会按照一定的规律进行演化，从而展现出粒子或系统的特定行为，如干涉和衍射等。
3. 测量与波函数的塌缩在量子力学中，测量是一个重要的概念。
波函数描述了系统所有可能状态的概率分布，而测量则是对系统状态的获取。
测量将导致波函数的塌缩，即从多个可能状态中塌缩到一个确定的状态。
测量的结果是一个确定值，而不是概率。
在测量时，波函数塌缩到一个特定的本征态，该本征态对应一个特定的物理量的固定值。
而在测量之前，系统处于叠加态，即多种可能状态的叠加。
4. 测量与不确定性原理在量子力学中，测量不可避免地带来不确定性。
根据不确定性原理，对于某些物理量，例如位置和动量，无法同时精确测量。
不确定性原理指出，如果我们对一个物理量进行测量并得到一个确定值，那么对于另一个与之相对的物理量的测量结果将有不确定性。
这意味着精确测量一个物理量将导致另一个物理量的测量结果变得不确定。
波函数的几种不同的形式
C、若 t 一定， E k 、 E p 随 x 周期分布。
D、能量以速度 u 传播。
二、波的能流（描述波的能量传播的物理量）：
1)能流 — 单位时间内垂直通过某一截面的能量。
设波速为u ，在 时t 间内通过垂直于波速截面
E u t S
的Su能量:
S
ε为截面所在位置的能量密度。
能流为：
ut
P E u S uS 2 A2 sin2[(t x )]
cos(t
20
2
r2 )
在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。
y1( p, ty2 ( p, t )
A2
cos(t
20
2
r2 )
由叠加原理P 点合振动：
y y1 y2 Acos(t )
A A12 A22 2 A1 A2 cos
( 20
干涉减弱
r2 r1
(2n 1)
2
n 0,1,2,3,...
[例1]在同一媒质中相距为20m 的两平面简谐波源S1 和S2 作同方
向,同频率(ν=100Hz )的谐振动,振幅均为A=0.05m,点S1 为波峰时,点S2恰为波谷,波速u = 200m / s 。
求：两波源连线上因干涉而静止的各点位置.
y2
Acos[2 (t
20
x)]
因干涉而静止的点的条件为:
[2 (t x 20 ) ] 2 (t x ) (2n 1)
n 0,1,2,
化简上式,得:
x n 10
2
将 u 代2入m,可得:
x n 10(m)
所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为:
x 1,2,3,,17,18,19m
波函数
自由粒子能量 E 和动量 p Nhomakorabea y A cos( k r t ) ~ E E0 e i ( k r t ) ,
自由粒子平面波函数
Ψ ( x, t ) 0e
i ( Et pr )
说明：用波函数描述粒子的运动状态是量子力学 的基本假设之一。
（1）概率密度 表示在某处单位体积内粒子出现的 概率. 2 Ψ * 正实数 某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子 的概率为 2 *
Ψ dV ΨΨ dV
（2）物质波又称为概率波
（3）玻恩解释是量子力学的基本原理
三、波函数的性质 1、波函数的标准化条件：单值、有限、连续 2、 某一时刻在整个空间内发现粒子的概率 为
• 不确定度关系的本质就是粒子性与波动性的辩证统一。 对自然过程的理解，应是决定论与概率论的辩证统一。
一、 波函数及其物理意义
1）经典的波与波函数 机械波
电磁波
x E ( x, t ) E0 cos 2π (t ) x H ( x, t ) H 0 cos 2π (t )
§2.2.1波函数及其物理意义
一、单色光子的波函数 二、自由粒子的波函数 三、波函数的物理意义 四、波函数的性质
经典理论和量子理论处理问题的观念不同。
• 经典物理学的“精确性”是建立在“决定论”的基础 之上的，一旦初始条件边界条件确定，过程的结果就 是唯一的。 • 量子力学的“精确性”是建立在“概率论”的基础之 上的这与经典物理对精确性的理解具有本质的不同。
y ( x, t ) A cos 2π (t )
x
经典波为实函数
y ( x, t ) Re[ Ae
x i 2 π (t )
波函数
微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数 (r,t) 来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性， 就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）
玻恩指出：德布罗意波或
波函数 (r,t)不代表实际
物理量的波动，而是描述 粒子在空间的概率分布的 概率波。
在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数
决于波强的绝对值。
因此，将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C倍，不影响粒子 的概率密度分布，即 和C 所 描述德布罗意波的状态相同。
波动方程无归一化问题。
波函数存在归一化问题。
某粒子的 波函数为
归一化波函数
概率密度
令
求
得
概率密度最大的位置
得到归一化波函数：
令
求极大值的 x 坐标
积分得：
解得 另外两个解
x0
1
因概率密度
故在 矢端的体积元
内
发现粒子的概率为
在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。
此条件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数 波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：
波函数的三个标准条件：
连续 单值 有限
处
最大
处题设
概率密度
练习27 波函数、计算题2
解：
① 由波函数的归一化条件可得：
A2 x 2e 2xdx 1
0
用部分积分法，可得：
A2 x 2e 2 xdx
2
A e 2 x
A2
1
0
4 30 43所以 NhomakorabeaA
波函数
波函数波函数是量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数。
为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用ψ表示。
一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。
将爱因斯坦的“鬼场”和光子存在的概率之间的关系加以推广，玻恩假定就是粒子的概率密度，即在时刻t，在点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率。
波函数ψ因此就称为概率幅。
电子在屏上各个位置出现的概率密度并不是常数：有些地方出现的概率大，即出现干涉图样中的“亮条纹”；而有些地方出现的概率却可以为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。
由此可见，在电子双缝干涉实验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布，这正是玻恩对波函数物理意义的解释，即波函数模的平方对应于微观粒子在某处出现的概率密度(probability density)：即是说，微观粒子在各处出现的概率密度才具有明显的物理意义。
据此可以认为波函数所代表的是一种概率的波动。
这虽然只是人们目前对物质波所能做出的一种理解，然而波函数概念的形成正是量子力学完全摆脱经典观念、走向成熟的标志；波函数和概率密度，是构成量子力学理论的最基本的概念。
概率幅满足于迭加原理,即：ψ12=ψ1+ψ2（1.26）相应的概率分布为（1.27）波函数的数学表达[1]量子力学假设一：对于一个微观体系，他的任何一个状态都可以用一个坐标和时间的连续、单值、平方可积的函数Ψ来描述。
Ψ是体系的状态函数，它是所有粒子的坐标函数，也是时间函数。
（Ψ）Ψdτ为时刻t及在体积元dτ内出现的概率。
Ψ是归一化的：∫（Ψ）Ψdτ=1式中是对坐标的全部变化区域积分。
（注：（Ψ）指Ψ的共厄复数）[2]量子力学假设二：体系的任何一个可观测力学量A都可与一个线性算符对应，算符按以下规律构成：（1）坐标q和时间t对应的算符为用q和t来相乘。
（2）与q相关联的动量p的算符{p}=-i(h/(2π))(d/dq)(注：d指偏微分，以后不特别说明都指偏微分)（3）对任一力学量先用经典方法写成q,p,t的函数A=A(q,p,t)则对应的算符为：=A(q,-i(h/(2π))(d/dq),t)则：能量算符为：=-h^2/(8π^2m)△+V(其中△为拉普拉斯算符)△=d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2(直角坐标)△=(1/r^2)d(r^2d/dr)/dr+(1/(r^2sinθ))d(sinθd/dθ)/dθ+(1/(r^2sin^2θ))d^2/dφ^2(球坐标)角动量算符：{L[x]}=-i(h/(2π))(yd/dz-zd/dy){L[y]}=-i(h/(2π))(zd/dx-xd/dz){L[z]}=-i(h/(2π))(xd/dy-yd/dx)^2={L[x]}^2+{L[y]}^2+{L[z]}^2[3]量子力学假设三：若某一力学量A的算符作用于某一状态函数ψ后，等于一常数a乘以ψ，即ψ=aψ则称力学量A对ψ描述的状态有确定的数值a。
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反子，则吸收光子到高能级去。
31
（2）定态只能是这样的状态，电子饶核公转的动 量矩L等于 h 的整数倍。
2
L n h n n 1,2,3
2
玻尔从经典电磁理论和牛顿运动定律算出氢原子 的定态能量，从而得出氢原子所发的光的频率。
中的电子形成驻波.
28
§3 氢原子
一、原子光谱的实验定律
原子都会发光。原子发的光经过光谱仪后就形成 线状光谱。不同的原子，具有不同的线状光谱。 实验得知：每一种原子都有特定的一系列的光谱项，
个T1光,T谱2 ,项T3的,差。，它所发出的光的波数 ，就是两
Tn Tk n k
n为奇数时
nx A eiknx eiknx
n
2 A cos
kn x
A1
cos
x 2a21
n为偶数时
nx A eiknx eiknx
n
2iA sin kn x A2 sin 2a x
归一化（-a,a)的波函数
nx
1 cos n x
波函数。
d2x dt 2
2
x
0
x Acost
2y 1 2y x2 u2 t 2
y Acos 2 t x
8
当粒子的运动速度远小于光速时，能量E（对自由 粒子，就是动能）和动量P之间的关系：
E p2 2m
i 2 Et px
波函数
1
波函数
对于微观粒子，牛顿方程已不适用，粒子的位 置这一概念是毫无意义的。必需建立能描述微 观粒子运动的基本方程。
一、波函数：
微观粒子，具有波粒二象性，为了把波动性和粒子性 统一起来，建立了薛定谔方程，方程的解（波函数） 即能很好的反映微观粒的波粒二象性。
一个沿x轴正向传播的频率一定的平面简 谐波可用下式表示
红外区
30
经典理论无法解释：电子饶核公转，作加速运动 的电子要辐射电磁波，其频率等于公转频率。电 子辐射电磁波，能量逐渐减小，饶核公转的轨道 半径就逐渐减少，频率也随之改变。光谱应是连 续的。 二、玻尔理论解释氢原子光谱：
将普朗克的量子概念应用于原子，假设：
（1）、原子有一系列的具有一定能量的稳定状 态—定态。定态中的电子，虽作加速运动，但不辐 射电磁波。仅当原子从能量大的定态跃迁到能量小 的定态时，才发射一个光子。根据能量守恒，光子
t,x Ae h
i 2 E
t
h
2 x 2
2
h
2
p2
9
h
h2 2
i
2
t
8 2m x2
一维自由粒子
若粒子处在势场，还应考虑势能：
E
p2 2m
Ux
h
2
2 2 2 2 x2 y2 z2
a 2a
n不同、能量不同、 波函数不同。
nx
1 sin n x
a 2a
nx 2 为该处粒子 出现的几率
n4
E4 16E1
4
1 sin 2x
aa
n3
E3 9E1
3
1 cos 3x
a 2a
n2
E2 4E1
2
1 sin x
aa
-a
0
n 1
A
2
r
2e
2r a
dr
1
0
0
14
A
a3
1 2
归一化波函数
r
1
r
ea
a3
在 r r dr之间出现的概率
Wr
r
2 4r 2dr
4 a3
e
2r a
r
2dr
wrdr
15
dwr dr
4 a3
2re 2r / a 1 r 0 a
电子受原子核作用力与此类似。
17
解下列定态薛定谔方程：
2 d2
E
2m dx2
a a 0
x a
令
2mE k2
h
2
2
d2 k 2 0
dx 2
其通解为 x Aeikx Beikx
18
利用边界条件求常数A、B
a Aeika Be ika 0 a Aeika Beika 0
2 2 U E
2m
三维势场粒子的薛定谔方程
U E 是 x y z 的函数
13
例：已知氢原子中电子的径向波函数为
r
Ae a
A、ar为常数，求 r r dr
之间电子出现的概率。在何处这个 概率最大？
解：先归一化求出常数A
4r 2r
2
dr
4
h只有 2D
2
2m U0 E
时
才有明显的穿透率
对于宏观粒子 m , D 很大 p 0
U U=U0
E
U=0
U=0
x
27
扫描隧道显微镜
隧道电流I与样品和 针尖间距离S的关系
I UeA S
1993年（M.F.Crommie) 把蒸发到 铜表面的 48 个Fe原子排列形成 7.13 nm 的“量子围栏”，围栏
定态轨道半径：
rn
n2
4 02
me 2
33
定态氢原子的能量：
E
me
32 2
4 0
2
h
21 n2源自me48 0 2 h
2
1 n2
能量是分立的。
n增大 则En增大
电子从高能级跃迁到低能级时，就发射一个光子：
En Ek h
me4
8 02h3
1 k2
1 n2
3、波函数的归一化：
2
x, y,zdv cx, y,z dxdydz 1
v
v
看来任意一个波函数模的平方对体积积分 不一定等于1
x,y,z v
2
dxdydz
1 c
若另有一个波函数： x, y,z
cx, y,z
2
2
v x, y,z dv v cx, y,z dv 1
Aeikx Be ikx ei2t
Acos 2 t x B cos 2 t x
25
是沿x轴正向、负向传播的波，形成驻波。两端 为波节。只有某些波长的波才能形成驻波。
n的取值不同,能量不同，波腹的数目不同。波腹 的数目等于n的数目。2a为半波长的整数倍.
d2wr 0 dr 2 r a 处出现的概率密度最大
W wrdr
概率最大
概率密度与概率不一样
16
§2 势阱中的粒子
一、 势阱中的粒子：
Ux 设粒子在势场中运动
x a x a
势能为零
势能为U 0
U0
-a 0 +a x
这样的势场称为方势阱，若U0 无限大，称为 无限方势阱。粒子在阱内自由，不能越出阱外。 阱外波函数必为零。
波数 即为波长的倒数
含完整波形的数目。
1
，单位长度波列中包
光谱学中常用 来区别不同波长的光
氢原子的光谱项： 29
Tn
R n2
n 1,2,3
R为里德伯恒量，R 1.096776107 m1
对氢原子来说，它所发的光的波数，就是某两
个光谱项的差。
赖 T曼n 线T1系 R：112
4、视为粒子：粒子出现的几率为该处归一化波函 数模的平方。
二、遂道效应：
如果势阱深度有限，E
的值不等于零，随 x
U0的而定衰态减波的函。数这在是阱和外经
典物理很不相同的量子效应。只能用波的反射
和透射来解释。
能量低的粒子能穿透有一定宽度的高势垒称为
遂道效应。
26
穿透概率为
p
e
2D
2mU0 E
y Acos 2 t x
2
上式是波动 方程的解
2 y x2
1 u2
2 y t 2
y Ae 用指数形式表示：
i
2
t
x
取复数实部
ei cos i sin ei cos i sin
对于动量为p、能量为E的微观粒子
2a很大，认为能量是连续的。
3、视为波
24
应在通解 x Aeikx Be ikx
e e i 2 Et
乘上单色因子
h
i 2t
因k 2 2mE 而E p2
2
2m
k 2 p2 k 2
2
p h h
2
i 2 Et
xe h
c
me4
8 0 2 h3c
1 k2
1 n2
所以：R
me4
8 02h3c
1.097373107
m 1
34
氢原子中的电子可按一 系列轨道运动。轨道半 径越大，原子能量也越 大。这一系列不连续的 能量值称为能级。
高 低，发射光子; 反 子，吸收光子。
缺陷：把电子当经典粒 子来处理，为了要得出 正确的结果，人为的附 加一个量子条件来挑选 定态。