平面简谐波的波函数
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10-02 平面简谐波的波函数
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
1)以 A 为坐标原点,写出波动方程 ) 为坐标原点,
A = 3×10 m T = 0.5s = 0
2
2
λ = uT = 10 m
x y = (3 × 10 ) cos(4π t )m 5
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
2)以 B 为坐标原点,写出波动方程(首先要知道 点的振动方程) ) 为坐标原点,写出波动方程(首先要知道B点的振动方程 点的振动方程)
( 0 .01cm -1 ) x 2 ] = 2 π
λ = x2 x1 = 200 cm
周期为相位传播一个波长所需的时间 周期为相位传播一个波长所需的时间
π [(2.50s-1 )t1 (0.01cm-1 ) x1 ] = π [(2.50s-1 )t2 (0.01cm-1 ) x2 ]
x2 x1 = λ = 200 cm
第十章 波动
y(x,t) = Acos(ωt kx +)
质元的振动速度, 质元的振动速度,加速度
t x y(x,t) = Acos[2 π( ) +] T λ
角波数
k= 2π
y x v = = ωAsin[ω(t ) +] t u 2 y x 2 a = 2 = ω Acos[ω(t ) +] t u
y = A cos(ω t
O
2π
t=0 x=0
y ω
λ
x +)
π = 2
A
y y = 0, v = >0 t
t x π y = (1 . 0 m) cos[ 2 π ( ) ] 2.0s 2.0 m 2
平面简谐波的波函数
y
o
第十章 波动
x
7
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
3 x 、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
y
O
u
x
第十章 波动
8
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
4 沿 x轴方向传播的波动方程
A
y
O
u
P x
x
A
yO A cost
所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。
设 t 时刻 x 处的相位经 dt 传到（x +dx）处，
x x d x 则应有 （t ） （ t d t） u u
dx —— 相速度（相速） u 于是得到 dt 即简谐波的波速就是相速。
第十章 波动
第十章 波动
6
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
2πx 2 t 一定 x 变化 y A cos t 令 t C（定值） 2πx 则 y A cos 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y — x的关系）
y yo t t
对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握. 从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
第十章 波动
10
物理学
第五版
总结
10-2 平面简谐波的波函数
已知振动方程，求解波动方程 1.已知坐标原点O的振动方程，求解波动方程 若点P的振动超前于点O，则波动方程为
由初始条件给出 由最大速度和最 大加速度给出
o
第十章 波动
x
7
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
3 x 、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
y
O
u
x
第十章 波动
8
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
4 沿 x轴方向传播的波动方程
A
y
O
u
P x
x
A
yO A cost
所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。
设 t 时刻 x 处的相位经 dt 传到（x +dx）处，
x x d x 则应有 （t ） （ t d t） u u
dx —— 相速度（相速） u 于是得到 dt 即简谐波的波速就是相速。
第十章 波动
第十章 波动
6
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
2πx 2 t 一定 x 变化 y A cos t 令 t C（定值） 2πx 则 y A cos 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y — x的关系）
y yo t t
对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握. 从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
第十章 波动
10
物理学
第五版
总结
10-2 平面简谐波的波函数
已知振动方程，求解波动方程 1.已知坐标原点O的振动方程，求解波动方程 若点P的振动超前于点O，则波动方程为
由初始条件给出 由最大速度和最 大加速度给出
10-2平面简谐波的波函数
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
yO Acost
yO表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
考察波线上P点(坐标x), P点比O点的振
动t 落Δ后t 时刻t 的ux,位P移点，在由t此时得刻的位移是O点在
y A
u
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
y
u
A
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为：
y
yo
(t
t)
A cos[ (t
x) u
]
对波动方程的各种形式，应着重从
物理意义上去理解从形式上看：波动是波形的传播.
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
大学物理 §§1100--22 平平面简面谐波简的谐波函波数 的波函数
一 平面简谐波的波函数
波函数：用以描述波在传播过程中空间各点 x 的振
动 y 随时间 t 变化的表达式。 y Acos[(t x) ]
u
设有一平面简谐波沿 x轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
y A
u
P
uu
Acos[(t x ) ( x0 )]
理学u院 物理u系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
例4 一平面简谐波以速度 u 20 m s-1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 3102 cos(4 π t); ( y, t单位分别为m，s).
§12-2平面简谐波的波函数
x2 − x1 −1 u= = 250 cm ⋅ s t 2 − t1
轴正方向传播， 例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播，已知振 幅 A = 1.0m T = 2 . 0 s λ = 2.0m .在 t = 0 时坐 标原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运 动 .求 1）波函数 解:写出波函数的标准式
振动向右传播 滞后的时间
x ∆t = u
t 时刻点 P 的运动
=
t-x/u时刻点 的运动 时刻点O 时刻点
P点振动方程
yP
t
= yO
t−x u
x = A cos[ω (t − ) + ϕ0 ] u
点选取的任意性，得波函数即上式。 由P点选取的任意性，得波函数即上式。 太原理工大学物理系
方法之二
相位落后法
8m 5m 9m
−2
λ = 10 m
C B o A D 点 C 的相位比点 A 超前 AC −2 yC = 3 × 10 cos[4 π t + 2 π ]
x
点的坐标x＝ 带入波函数 将D点的坐标 ＝9m带入波函数 点的坐标
−2
λ 13 −2 = 3 × 10 cos[4 π t + π] 5
t 9 y D = 3 ×10 cos[2 π( − )](m) 0.5 10
12§12-2 平面简谐波的波函数 介质中任一质点（ 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的 ） 位移（ 位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x, t ) ）随时间的变化关系， 称为波函数. 称为波函数.
y = y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移 衡位置的位移 波线上各质点 平衡位置 平衡位置
10-02 平面简谐波的波函数
波程差
∆x21 = x2 − x1
∆ϕ = 2π ∆x
∆ϕ12 = ϕ1 −ϕ2 = 2π
x2 − x1
λ
= 2π
∆x21
λ
λ
9
10– 10 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方 均变化， 向的运动情况（行波） 向的运动情况（行波）.
y
O
u
t
t + ∆t 时刻 时刻 p Q
x2 − x1 u= = 250 cm ⋅ s −1 t 2 − t1
19
第十章 波动 10– 10 2 平面简谐波的波函数 轴正方向传播， 例1 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A = 1.0m ， = 2 . 0 s ， = 2.0m . 在 t = 0 时坐标 T λ 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 1）波动方程 ） 解 写出波动方程的标准式
Y u=0.08m/s P . 0.02
yo = Acos(ω t +ϕ)
ϕ =− π
2
X
-0.04
λ = 0.04 A = 0.04
1 ∴T = = u 2
u = 0.08
λ
3π x π ) y = 0.04cos[4π (t − ) − ] (m) yP = 0.04cos(4πt − 2 )(m16 0.08 2
13
10– 10 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
讨论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 ）给出下列波函数所表示的波的传播方向 和 x = 0 点的初相位. 点的初相位
2）平面简谐波的波函数为 y = A cos( Bt − Cx ) ） 为正常数，求波长、波速、 式中 A , B , C 为正常数，求波长、波速、波传播方 的两点间的相位差. 向上相距为 d 的两点间的相位差
平面简谐波的波函数标准形式
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波的波函数表达式是y=Asin(ωx+φ)，其中A为振幅，2π/ω为周期，φ为初相
平面简谐波是最基本的波动形式。
平面传播时，若介质中体元均按余弦（或正弦）规律运动，就叫平面简谐波。
如果所传播的是谐振动，且波所到之处，媒质中各质点均做同频率、同振幅的谐振动，这样的波称为简谐波，也叫余弦波或正弦波。
如果简谐波的波面是平面，这样的简谐波称为平面简谐波。
平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动，但在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同，但根据波阵面的定义知道，
在任一时刻处在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。
简谐平面波都往往被简称为简谐波或者平面波，后者频繁在量子力学中使用。
本书的量子力学部分也会大量使用平面波这个简称，无论波动是几维的。
广义来说，平面波未必是简谐的，只需要等相位面都是平面即可：例如波长随空间变化，频率随时间变化也仍然是平面波。
而简谐波也未必是平面的，球面波也可以在径向也是简谐函数。
11-2 平面简谐波的波函数
-
x u
)=
Acos ω
t
-
x u
+
0
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P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
Acos ω
t
-
x u
+
0
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
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2
1
2
x2 x1
2
x
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
o
x
x x
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当t=t1时，y
A
cos
t1
x u
0
当t=
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x1和x2表示，则
y(t1)
A cos
t1
x1 u
0
y
A cos
2
(
t
mx
)
0
y Acos(t mkx 0 )
k 2 角波数
y
y
A cos(t
Aei
(t
mx u
)0
m2 x
i (t
Ae
0
mk ) u
)
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波动表式的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A
cos
10-2 平面简谐波的波函数
1010-2 平面简谐波的波函数
波线上各 点的简谐 运动图
5
2πx y = Acosωt − +ϕ λ
1010-2 平面简谐波的波函数
2 t 一定 x变化 变化 表示t时刻波上各质点的位移 时刻波上各质点的位移, 时刻的波形（ 曲线 曲线） 表示 时刻波上各质点的位移 即t时刻的波形（y-x曲线） 时刻的波形 y o x
−2
D为原点的波动方程为 为原点的波动方程为
x 9π π 9 −2 yDW = 3×10 cos[4 π(t − ) − ] = 3×10 cos(4 πt − x − π) 20 5 5 5
−2
λ = 10 m
u y A = (3 × 10 m ) cos(= 10sm )t λ 4π 8m 5m 9m
y
3 4 1.0
y/m
3 *
4 2 * 1.0 * 2.0 * t / s 0 O 2 * -1.0*1 1 ω x = 0 .5 m 处质点的振动曲线
10
1010-2 平面简谐波的波函数 沿直线传播， 例2 一平面简谐波以速度 u = 20 m⋅ s-1 沿直线传播， 波线上点 A 的简谐运动方 程 yA = 3×10−2 cos(4 πt)
18
1010-2 平面简谐波的波函数
y1 = Acos(100πt −15.5π ) y2 = Acos(100πt −5.5π )
Qt = 0, x = 0 y = 0 v > 0
π ∴ϕ = − 2 t x π y = cos[2π( − ) − ] (m ) 2.0 2.0 2
O
v A
y ω
8
1010-2 平面简谐波的波函数 (2)求t=1.0 s 波形图 )
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dWk、dW p均随 x 周期变化
y=0 dWk、dWp最大
o 能量 极大
x
y
能量 极小
27
y最大
dWk、dWp为 0
第十章 波动
物理学
第五版
说明：
dWk dWp
1 2
A sin [ (t ) ]dSdx
2 2 2
x
u
1)任意时刻，质元动能与势能相等，即动能与势能同 时达到最大或极小。即同相的随时间变化。这不同于 孤立振动系统。 2）在波传动过程中,任意质元的能量不守恒.其与邻近 的质元进行能量交换,表明了波的传播正是能量的传播.
t=5 t 0.2 0.4 o y/m t=0
19
x=1m处质点的运动方程为
第十章
波动
物理学
第五版
把u=1.0m/s，x=1.0m代入波动方程一般形式
并与x=1.0m处的运动方程作比较，得
波动方程为
第十章
波动
20
物理学
第五版
例5 已知一沿X轴负向传播的平面简谐波在t=0时的 波形曲线如图所示。试求该波的波函数 解 确定坐标原点的 振动初相0 Y A A/2 0 -A 由图知：t=0时，x=1m 处的质点位于平衡位置 处且向位移负方向运动 u=100m/s
第十章 波动
30
A
2
物理学
第五版
二. 能流和能流密度 能流（flow of energy):单位时间内垂直通过某一面积的 能量称为波通过该截面的能流。P dt时间内通过S的能量应等于体积Sudt中的能量
P wuS
平均能流：在一个周期内能流的平均值。
u
udt 能流密度:(波的强度) 通过垂直于波动传播方向单位面 积的能流。 I P w u 1 A2 2u 单位：瓦 米2
2 2 2
x u
) ]
平均能量密度：一个周期内能量密度的平均值。
w 1 T
T
wdt 1
1 T
0
T
A sin [ (t
2 2 2 2
0
1) ]dt 2 2 A u 2
x
说明： 2 1、能量密度随时间周期性变化，其周期为波动 周期的一半。T 2、能量密度与振幅平方 A2 频率平方 2 和质量密度 均成正比。
关键问题：确定位于x 处的质点的振动初相(x)。
第十章 波动
2
物理学
第五版
波动是振动 相位的传播
u
a
沿波的传播方向,各质元 的振动相位依次落后。
传播方向
b
L
x
沿着波动传播的方向上相距L的两个质元间的 振动相位差如何？ 图中b点比a点的相位落后
a点的振动传到b点需时间：
在这段时间内a点的振动相位增加量（即旋转矢量 又转过的角度）为：
第十章 波动
3
物理学
第五版
沿波线上相距为一个波长的两点，振动的 相位差为2。
设原点振动表达式为：
第十章
波动
4
物理学
第五版
为坐标原点O点在t=0时刻的振动相位,设为已知.
P点与O点的相位差为：
P点的振动 初相位：
所以，p 点的振动方程为：
右行波
这就是平面简谐波的波函数，或称为波动方程
P点在t时刻的位移等于原点处质点
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
简谐波（harmonic waves): 波源的振动是简谐
振动，介质中的质元都作简谐振动。
平面简谐波（plane harmonic waves）
波பைடு நூலகம்是平面的简谐波。
等幅平面简谐波 ：介质不吸收波动的能量，介质中
的质元都作振幅相等的简谐振动
波线
平面简谐波
第十章 波动
第十章
波动
14
物理学
第五版
2）利用波函数研究质点的运动
任意 x 处质点的运动方程为：
该质点的速度和加速度分别为：
该质点的振动初相位为：
第十章 波动
15
物理学
第五版
2、建立平面简谐波的波函数
已知质元的振动情况，确定波函数。 难点是确定坐标原点的初相 例3 已知一沿X轴正向传播的平面简谐波的振幅A、 周期T、波速u。t=0时，x=0处的质点位于-A/2处且向 位移的负方向运动。试求该波的波函数。 解 确定坐标原点的振动初相0
第十章 波动
12
物理学
第五版
三、有关波函数的应用
均为已知.
1、已知波函数—即
1) 从波函数表达式中求: 利用比较法:将所给的波函数化为标准形 式,再与标准式比较,得到所求.
第十章 波动
13
物理学
第五版
例1
已知某一简谐波的波函数为：
求该波的波长、波速、周期、和坐标原点的振动初相 解 将原式变形为标准形式： 立即可得： y( x , t ) A cos[ ( t x ) ] 0 u
由图知：t=0时，x=0 处的质点位于A/2处 且向位移正方向运动
1
X(m)
第十章
波动
21
物理学
第五版
0
π 3
, 2.4m, u 100(m/s)
T /u 0.024s
2/T 250/3(rad/s)
y ( x , t ) A cos[ ( t A cos[ 250 π 3 (t x 100 x u ) ) 0 ] π 3 ](SI)
S 2
P wuS
S
声学中声波的强度称为声强。
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。
第十章 波动
31
第十章 波动
24
x x
物理学
第五版
质元的振动速度
质元的动能为：
（可以证明）因为形变该质元的弹性势能为：
dWk = dWp
体积元内媒质质点的总能量为：
第十章
波动
25
物理学
波动质元： W k 第五版
W p
1
V A sin ( t u ) 2
2 2 2
x
第十章
波动
3)以上结论针对棒中的纵波得出,对其余的波虽能量的 具体形式不同,但动能势能同相位的结论仍成立.
第十章
波动
28
物理学
第五版
EP
Ek
Y
t
Wp Wk x = x 0
(1/4) 2A2
o y
T t
第十章
波动
29
物理学
第五版
能量密度：介质中单位体积内的波动能量。
w dW dV dW dSdx A sin [ ( t
该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y — x 的关系）
y
o
x
第十章
波动
11
物理学
第五版
3. t 与 x 都发生变化
y y
u
t
时刻
t t 时刻
O
x x
x
波在t时刻x处的相位经t时间后传到x+x处， 传播的距离是u t, x ut
总之：当t, x都发生变化时，波函数就描述了波 的传播过程。波函数就是普适性的振动方程.
26
物理学
第五版
dWk dWp
1 2
A sin [ (t ) ]dSdx
2 2 2
x
u
(1/4) 2A2
Wp W k
x = x0
• 物理意义
(1) 固定x
o y
u
T t
dWk、dWp均随 t 周期变化
dWk = dWp (2) 固定t
Wk
(1/4) 2A2
t = t0 Wp
1 x一定， 变化 t
y
O
t
表示 x点处质点的振动方程（ y — t 的关系）
y ( x , t ) y ( x , t T ) （波具有时间的周期性）
第十章 波动
9
物理学
第五版
波线上各点的简谐运动图
第十章
波动
10
物理学
第五版
2 t 一定
2 πx x 变化 y A cos t
波面
1
物理学
第五版
一、（等幅）平面简谐波的波函数
波函数:能够描述波动中所有质点运动状态的函数 y=y(x,t) 右行波:沿x轴正向传播 介质中所有质点均作同频率、 左行波:沿x轴负向传播 同振动方向、同振幅的简谐振动。
Y
P X
x O 平面简谐波函数的一般形式应为：
y A cos t ( x )
第十章
波动
22
物理学
第五版
复 习
第十章
波动
23
物理学
第五版
15-3
波的能量和能流
波不仅是振动状态(相位)的传播，而且也是伴 随着振动能量的传播。 一、波的能量和能量密度 振动动能 + 形变势能 = 波的能量
O
x
dx
O y y dy 以棒中的纵波为例,有一 y A cos[ ( t x ) ] 平面简谐波： u 在x处取一体积元 dV dSdx, 质量为 dm dV dSdx
由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
第十章
波动
18
物理学
第五版
例4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播.图 （a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方程。
解：t=0时此质点的相位