平面简谐波的波函数
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10-02 平面简谐波的波函数
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
1)以 A 为坐标原点,写出波动方程 ) 为坐标原点,
A = 3×10 m T = 0.5s = 0
2
2
λ = uT = 10 m
x y = (3 × 10 ) cos(4π t )m 5
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
2)以 B 为坐标原点,写出波动方程(首先要知道 点的振动方程) ) 为坐标原点,写出波动方程(首先要知道B点的振动方程 点的振动方程)
( 0 .01cm -1 ) x 2 ] = 2 π
λ = x2 x1 = 200 cm
周期为相位传播一个波长所需的时间 周期为相位传播一个波长所需的时间
π [(2.50s-1 )t1 (0.01cm-1 ) x1 ] = π [(2.50s-1 )t2 (0.01cm-1 ) x2 ]
x2 x1 = λ = 200 cm
第十章 波动
y(x,t) = Acos(ωt kx +)
质元的振动速度, 质元的振动速度,加速度
t x y(x,t) = Acos[2 π( ) +] T λ
角波数
k= 2π
y x v = = ωAsin[ω(t ) +] t u 2 y x 2 a = 2 = ω Acos[ω(t ) +] t u
y = A cos(ω t
O
2π
t=0 x=0
y ω
λ
x +)
π = 2
A
y y = 0, v = >0 t
t x π y = (1 . 0 m) cos[ 2 π ( ) ] 2.0s 2.0 m 2
10-2平面简谐波的波函数
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
yO Acost
yO表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
考察波线上P点(坐标x), P点比O点的振
动t 落Δ后t 时刻t 的ux,位P移点，在由t此时得刻的位移是O点在
y A
u
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
y
u
A
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为：
y
yo
(t
t)
A cos[ (t
x) u
]
对波动方程的各种形式，应着重从
物理意义上去理解从形式上看：波动是波形的传播.
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
大学物理 §§1100--22 平平面简面谐波简的谐波函波数 的波函数
一 平面简谐波的波函数
波函数：用以描述波在传播过程中空间各点 x 的振
动 y 随时间 t 变化的表达式。 y Acos[(t x) ]
u
设有一平面简谐波沿 x轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
y A
u
P
uu
Acos[(t x ) ( x0 )]
理学u院 物理u系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
例4 一平面简谐波以速度 u 20 m s-1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 3102 cos(4 π t); ( y, t单位分别为m，s).
平面简谐波的波函数标准形式
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波的波函数表达式是y=Asin(ωx+φ)，其中A为振幅，2π/ω为周期，φ为初相
平面简谐波是最基本的波动形式。
平面传播时，若介质中体元均按余弦（或正弦）规律运动，就叫平面简谐波。
如果所传播的是谐振动，且波所到之处，媒质中各质点均做同频率、同振幅的谐振动，这样的波称为简谐波，也叫余弦波或正弦波。
如果简谐波的波面是平面，这样的简谐波称为平面简谐波。
平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动，但在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同，但根据波阵面的定义知道，
在任一时刻处在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。
简谐平面波都往往被简称为简谐波或者平面波，后者频繁在量子力学中使用。
本书的量子力学部分也会大量使用平面波这个简称，无论波动是几维的。
广义来说，平面波未必是简谐的，只需要等相位面都是平面即可：例如波长随空间变化，频率随时间变化也仍然是平面波。
而简谐波也未必是平面的，球面波也可以在径向也是简谐函数。
11-2 平面简谐波的波函数
-
x u
)=
Acos ω
t
-
x u
+
0
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P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
Acos ω
t
-
x u
+
0
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
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2
1
2
x2 x1
2
x
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
o
x
x x
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当t=t1时，y
A
cos
t1
x u
0
当t=
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x1和x2表示，则
y(t1)
A cos
t1
x1 u
0
y
A cos
2
(
t
mx
)
0
y Acos(t mkx 0 )
k 2 角波数
y
y
A cos(t
Aei
(t
mx u
)0
m2 x
i (t
Ae
0
mk ) u
)
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波动表式的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A
cos
10-02 平面简谐波的波函数
波程差
∆x21 = x2 − x1
∆ϕ = 2π ∆x
∆ϕ12 = ϕ1 −ϕ2 = 2π
x2 − x1
λ
= 2π
∆x21
λ
λ
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
x t x y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] = A cos[2 π( − ) + ϕ ] u T λ
3. 若x和t两个都变化时，波方程就表示了波线上 两个都变化时， 和 两个都变化时 所有质点在各个不同时刻的位移分布情况。 所有质点在各个不同时刻的位移分布情况。 形象地说， 形象地说，在这个波动方程中包括了无数个不 同时刻的波形。随着t的增加波的表达式就描述 同时刻的波形。随着 的增加波的表达式就描述 波形沿传播方向的运动情况。 了波形沿传播方向的运动情况。
y = y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置 平衡位置
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3. 平面简谐波的波方程 （1）导出波方程的思路 ） 已知波源的振动方程，当振动传到各质元时， ◆ 已知波源的振动方程，当振动传到各质元时，各 质元都以相同的振幅、 频率来重复波源的振动。 质元都以相同的振幅、 频率来重复波源的振动。 波源的振动状态以某一速度先后传播到各个质元， ◆ 波源的振动状态以某一速度先后传播到各个质元， 沿波的传播方向上的各质元振动的相位依次落后。 沿波的传播方向上的各质元振动的相位依次落后。 （2）导出波方程步骤 ） 选定坐标并明确波的传播方向。 ◆ 选定坐标并明确波的传播方向。 给出波的传播方向上某点(参考点 波源)的振动方 参考点、 ◆ 给出波的传播方向上某点 参考点、波源 的振动方 程。 比较位于x处的任一点和参考点相位的超前和落后 ◆ 比较位于 处的任一点和参考点相位的超前和落后 关系，由参考点的振动表达式即可得出波的表达式。 关系，由参考点的振动表达式即可得出波的表达式。
10-2 平面简谐波的波函数
1010-2 平面简谐波的波函数
波线上各 点的简谐 运动图
5
2πx y = Acosωt − +ϕ λ
1010-2 平面简谐波的波函数
2 t 一定 x变化 变化 表示t时刻波上各质点的位移 时刻波上各质点的位移, 时刻的波形（ 曲线 曲线） 表示 时刻波上各质点的位移 即t时刻的波形（y-x曲线） 时刻的波形 y o x
−2
D为原点的波动方程为 为原点的波动方程为
x 9π π 9 −2 yDW = 3×10 cos[4 π(t − ) − ] = 3×10 cos(4 πt − x − π) 20 5 5 5
−2
λ = 10 m
u y A = (3 × 10 m ) cos(= 10sm )t λ 4π 8m 5m 9m
y
3 4 1.0
y/m
3 *
4 2 * 1.0 * 2.0 * t / s 0 O 2 * -1.0*1 1 ω x = 0 .5 m 处质点的振动曲线
10
1010-2 平面简谐波的波函数 沿直线传播， 例2 一平面简谐波以速度 u = 20 m⋅ s-1 沿直线传播， 波线上点 A 的简谐运动方 程 yA = 3×10−2 cos(4 πt)
18
1010-2 平面简谐波的波函数
y1 = Acos(100πt −15.5π ) y2 = Acos(100πt −5.5π )
Qt = 0, x = 0 y = 0 v > 0
π ∴ϕ = − 2 t x π y = cos[2π( − ) − ] (m ) 2.0 2.0 2
O
v A
y ω
8
1010-2 平面简谐波的波函数 (2)求t=1.0 s 波形图 )
平面简谐波波函数
大学物理
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波是一种特殊的波形，它的波函数表达式可以用以下公式表示：
y = A sin(ωt + φ)
其中，y表示波的振幅，A表示最大振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
平面简谐波是一种具有周期性的波形，它的周期T可以用以下公式计算：
T = 2π/ω
角频率ω是一个常数，它表示单位时间内波形的变化次数。
因此，角
频率越大，波形变化的速度就越快，周期就越短。
初相位φ是一个常数，它表示波形在t=0时的相位。
不同的初相位会导致波形的相位差异，从而产生不同的波形。
平面简谐波的波函数表达式可以用于描述许多物理现象，例如声波、
电磁波等。
在声学中，平面简谐波可以用于描述声音的振动，而在电磁学中，平面简谐波可以用于描述电磁场的振动。
平面简谐波的振幅和角频率是两个重要的参数，它们可以影响波形的形状和特性。
振幅越大，波形的振动幅度就越大，而角频率越大，波形的变化速度就越快。
平面简谐波还具有一些重要的性质，例如叠加原理和相位差。
叠加原理指出，当两个或多个平面简谐波叠加在一起时，它们的振幅可以相加，从而形成一个新的波形。
相位差指出，当两个平面简谐波的相位差为0时，它们的振幅可以相加，而当相位差为π时，它们的振幅可以相消。
总之，平面简谐波是一种重要的波形，它的波函数表达式可以用于描述许多物理现象。
了解平面简谐波的特性和性质，可以帮助我们更好地理解和应用它们。
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P
*
x
?A
太原理工大学物理系
P点落后于 O点的振动时间为 x/u
?
y(x，t) ?
A cos[?
(t
?
x u
)
?
?
0
]
由 ? ? 2?? ? 2? T 和 u ? ??
Ay u
P
Ox *
x
y ( x，t )
?
A cos[2?
(? t ?
x
?
)
?
?
?A 0]
y(x，t) ?
A cos[2?
(t T
?
△ §12-2 平面简谐波的波函数
一、平面简谐波的波函数
1.建立波函数 (波动方程 )
一列平面余弦简谐行波 ,在无吸收均匀无限大
介质中沿 x轴正方向传播，波速为 u 。取任意一波
? 线为x 轴，O点为坐标原点。设原点 O处质点的振动
方程为：
Ay u
y0 (t) ? Acos(? t ? ? 0 )
Ox
2? ?
x
?
?
0
? ?
?
— 表示x处质点的振动方程
T
2）t给定，有
y(x,t) ?
A cos ???? t ?
2? x ?
?
?
0
? ??
——t时刻 波线上各质点相对
于平衡位置的位移，即 该时
刻的波形 （集体定格） 。
P33 ，图 12-5下第1段1-3 行
太原理工大学物理系
P33 ，图 12-5下第 2段1-2 行
? u?
练P60,11
太原理工大学物理系
2.已知某时刻的波形图，求波函数（波动方程）。
例2 图为一简谐波在 t ? 0 时的波形图，频率
? ? 250Hz 且此时质点 P的运动方向向下，求：
（1）原点处质点的振动方程； （2）该波的波动方程； （3）在距原点 100m处质点的振动方程和振动速度 表达式。
解答见教案附
太原理工大学物理系
例3 一平面简谐波沿 x轴正向传播，其振幅为 A，
频率为 ,波?速为u，设 时t刻′的波形曲线如图。
求：（1）原点处质点振动方程 ；
y(m)
A
（2） 该?波的波动方程。 u
o
x(m)
-A
太原理工大学物理系
解一 （1）设o点振动方程
由图： t=t′时，
y(m )
? u
x
?
)
?
?
0
]
y(x，t) ?
A cos[2? ?
(x ? ut) ? ? 0 ]
波动方程是波线上各质点的振动方程
P32，12.6式及以下
太原理工大学物理系
2.波函数的物理意义
P33 ，12.10 式下第 1行
y
?
A cos?[
(t ?
x)? u
?0]
1）x给定，有
y(x,t) ?
Acos ???? t ?
波沿 x 负向
y
?
A cos[?
(t ?
x u
)
?
?
0
]
(x ? 0)
太原理工大学物理系
y ? A 无限大介质
cos[
y ? A cos[
?
(t
?
x) u
?
?0]
波源在－ ∞
x
?
(t
?
) u
?
?0]
波源在＋ ∞
4）波速u与质点振动速度 v不同
振动速度
v ? ?y
? ? A? sin[
?t x不变
?
Acos[?
(t
?
x
u) ? ? 0]? Acos{? [(t
?
? t) ?
x
?? u
x
]
?
?
0}
即 ?t? ?x ? 0 u
? x ? u? t
说明：x处质点的振动状态是以速度 u向前传播的 ，
经过 ? t时间向前传播了 ? x=u? t 的距离。整个波形
也就以速度 u向前传播。可见， 波速 就是振动状态 的传播速度，也就是 波形的传播速度。
?
?
0
]
y?
A cos[
2? ?
(x ? ut) ? ? 0 ]
太原理工大学物理系
2）波函数中 x项前符号，表示波的传播方向，即 “－”号表示波沿 x正向传播； “+”号表示波沿 x负向传播。
3）波动方程本身与已知点是否是波源或、原点无关。 波源本身限制 x取值范围。
如：波源在 x=0处，
x
波沿x正向 y ? A cos[? (t ? u ) ? ? 0 ] (x ? 0)
于零，所以在 t=t′时刻o点的相位等于 ?/2
2??
t ??
?0
?
?
2
y/m
u
A
? ? 0
?
?
2
?
2??
t?
?A
o
x /m
O
y
-A
太原理工大学物理系
x=0处振动方程为
y ? A cos[2 ?? (t ? t?) ? ? ] m
2
（2）该波的波动方程
因波沿 x 正向传播，故波的波动方程为
3) 若x,t均变化，波函数表示波线上所有质点在不同 时刻的位移 ——描述了波形的传播（行波） .
y
u
t 时刻
t ? ? t 时刻
O
x
x
?x
x处质点在 t时刻的振动状态经 ? t 时间后，沿
着波的传播方向到达 (x ? ? x)处，故有
y(t，x) ? y(t ? ? t，x ? ? x)
太原理工大学物理系
(t
?
x )
u
?
?0]
振动加速度
a ? ?v
? ? A? 2 cos[
?t x不变
?
(t
?
x) u
?
?
0
]
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二、波动的微分方程
将沿x轴正方向传播的平面简谐波式 (1)分别对x和t
求二阶偏导数，有
?2y ?x2
?
－
A? 2
u2
cos?[
(t
?
x) u
?
?
0]
比较可得
?2y ?t2
?
?
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?
3.说明：
Ay u
1）若波沿 x轴负方向传播
P点的振动比 0点的振动超前 O
x /u ，因而 波函数为
x
?A
x
P
*
x
y ? A cos[ ? (t ? u ) ? ? 0 ]
P34，12.11 式
y?
A cos[2
? (? t ?
x
?
)
?
?
0
]
y?
A cos[2
?(t
T
?
x
?
)
例1 一平面简谐波沿 x轴正方向传播 ,波速为u。 已知距原点 x0处的P0点处质点振动方程为 y=A cosωt ，求波函数（波动方程）。
解：在x轴上任取一点 P， 其坐标为 x，振动由 P0点 传到 P 点所需的时间为 （x -x 0）/u ，因而 P处质 点t时刻的波动方程为
y ? Acos? ??t－ x ? x0 ??
A
o
-A 太原理工大学物理系
x(m
x=0处质点振动方程为
y0
?
A cos[2
?? (t ? t?) ?
?]
2
m
（2）该波的波动方程
因波沿 x 正向传播，故波的波动方程为
y ? A cos[2 ?? (t ? t?? x ) ? ? ] m
u2
太原理工大学物理系
解二 （1）设o点振动方程
由图：在 t=t′时刻，o点位移为零，振动速度小
A?
2
cos?[
(t
?
x) u
?
?
0]
?2y 1 ?2y
推广?到x 2三?维u空2间?，t 2 则—?—2平? 面? 波u1波2 ?动?2t的?2 微分方P34程，12.12式
其中
?
2
?
?2 ?x2
?
?2 ?y 2
?
?2 ?z 2
太原理工大学物理系
三、五类应用题
1.已知某点振动方程及波的传播方向，求波函数