大学物理3.4 平面简谐波 波的能量和强度.
大学物理3.4 平面简谐波 波的能量和强度
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
二 平面简谐波的波动式
问题： yo=y(0, t) & u 给定, 求 y=y(x, t)
(假设：媒质无吸收，所有质元振幅均为A) O点的振动方程：
y
yo A cost +
(3) 表达式还反映了波的时间、空间双重周期性
T 时间周期性
空间周期性
位相差:
t t 同一质元在先后时刻的位相差: 2 T x k x 不同质元在同一时刻的位相差: 2
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
沿x轴负向传播的平面简谐波的波动式:
x y ( x, t1 ) A cos[ (t1 ) + ] f ( x ) u
y
u
t2 t1 + t
ut x
t1
结论： t1 时刻，x 处质点的振动状态经t 时间传到了 x + ut 处, 表达式反映了波是振动状态的传播.
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
体 变 V
p
第8章 机械振动
V p K V
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
可以证明声波在空气中的速度
u
证：
p
RT
= Cp/Cv , 摩尔质量
由于声振动的频率较高(20~20000Hz)，可 以将空气的疏密过程看成绝热过程，把空气当 作理想气体。
pV = C
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
《大学物理》课程标准
《普通物理》课程标准1. 课程基本信息课程代码：课程归口：电子信息工程技术专业适用专业：电子信息工程技术学时数：64学分：4先修课程：高等数学2. 课程性质与地位大学物理是高等院校非物理类理工科各专业学生一门重要的通识性必修基础课。
物理学是研究物质的基本结构、基本运动形式、相互作用的自然科学。
它的基本理论渗透在自然科学的各个领域，应用于生产技术的许多部门，是其他自然科学和工程技术的基础。
课程所教授的基本概念、基本理论和基本方法是构成学生科学素养的重要组成部分，是一个科学工作者和工程技术人员所必备的。
该课程在培养学生的探索精神和创新意识等方面，具有其他课程不能替代的重要作用。
3.课程的内容与要求第一部分力学.第1章质点运动学1.1质点运动的描述1.2加速度为恒矢量时的质点运动1.3圆周运动1.4相对运动基本要求：1.深入地理解质点、位移、速度和加速度等重要概念，深入理解质点的运动。
2.分析加速度为恒矢量时的质点运动方程。
3.明确圆周运动中角位移、角速度、切向加速度、法向加速度的关系。
重点与难点:1.加速度为恒矢量时质点运动方程的描写。
2.质点圆周运动的分析。
第2章动力学基本定律2.1牛顿定律2.2物理量的单位和量纲2.3几种常见的力2.4惯性参考系力学相对性原理2.5质点和质点系的动量定理2.6动量守恒定律2.7动能定理2.8保守力与非保守力势能2.9功能原理机械能守恒定律2.10完全弹性碰撞完全非弹性碰撞2.11能量守恒定律基本要求：1.清晰的理解牛顿第一定律、牛顿第二定律和牛顿第三定律。
2.熟练掌握几种常见力。
3.掌握物理量的单位和量纲。
4.理解惯性参考系和力学相对性原理,能列举出牛顿定律应用的例子。
5.掌握质点和质点系的动量定理。
6.熟练掌握动量守恒定律和动能定理。
7.掌握功能原理和机械能守恒定律。
8.清晰分辩出完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞重点与难点:1.牛顿三定律的应用。
2.参考系的选择。
平面简谐波的能量
大学物理波动学基础第4讲平面简谐波的能量平面简谐波的能量在波的传播过程中, 介质中各质元的能量如何变化？遵循怎样的规律？平面简谐波的能量波动的过程是能量传播的过程.介质中各质点在各自平衡位置附近振动动能介质间相互作用产生弹性形变势能一、平面简谐波传播时媒质中体积元的能量(一)能量设平面简谐波在密度为ρ的弹性介质中沿 x 正方向传播: ϕ = 0⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=u x t A y ωcos 在 x 处取体积元 ΔV ,质量为Vx S m ∆==∆ρρd当波传到此 ΔV 时, 有⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=∂∂=u x t A t y ωωsin v 所以体积元动能为()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∆=∆=∆u x t A V m E ωωρ2222k sin 2121v 经推导(略), 体积元弹性形变势能也为()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∆=∆u x t A V E ωωρ222p sin 21体积元的总能量为()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∆=∆+∆=∆u x t A V E E E ωωρ222pk sin (1)能量的传播 (2)(2)周期性的变化(二)能量变化同相位形变最大、振速最大（势能最大、动能最大）形变最小、振速为零（势能为零、动能为零）Oxyab(三)振动与波动中能量变化的区别振动: 能量守恒波动: 能量传播过程——时大时小, 不守恒 ——(一)能量密度单位体积内波的能量————能量密度 w :()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∆∆==u x t A V E t x ωωρ222sin ，w w 能量密度的平均值:22021d 1ωρA t T T ==∫w w 机械波的能量与振幅平方, 频率平方以及介质密度成正比.二、波的能量密度 能流密度（二）能流和能流密度能流: 单位时间内垂直于波线方向流过某一面积的能量.uSP w =平均能流：uSP w = 能流密度: 在单位时间内垂直于波线方向的单位面积上通过的平均波的能量.SP I =()u SuS I ⋅=⋅=w w (1)大小:(2)方向:(3)单位：2mW −⋅(4)能流密度也称为波的强度。
物理学15-波的能量与强度
1 x 2 2 2 Wk (V ) A sin (t ) 2 u
体积元的总机械能
在波传播过程中，任一媒质元在任意时刻或任意振动状 态下，动能和势能不仅相等，而且是同步变化。总机械能 随时间作周期性变化，与简谐振动系统不同。
结论 1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随 化是同相位的.
P I wu S
1 2 2 I A u 2
单位：瓦 米
2
分析平面波和球面波的振幅 例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波 在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距 离成反比。 证明： 对平面波：
在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等
I1 S1T I 2 S2T ,
振动动能
1 x 2 2 2 Wk (V ) A sin (t ) 2 u
可见，波的平均能量密度与振幅平方、频率平方都成正比。
弹性势能
1 2 dWP k y 2
由弹性力关系式
O O
x
x
y y y
x x
纵波杨氏模量
则形变势能可写成
y x A sin (t ) x u u 1 x 2 2 2 振动势能 W p VA sin (t ) 2 u
T
0
sin 2 d 2
1 w A2 2 2
举例说明论证：波的能量公式
以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
O O
x
x
y
y y
x x
1 1 2 2 Wk m v V v 2 2 y x v A sin (t ) t u
第三节 波动过程的能量和波强度
A1 A2
平面波在媒质不吸收的情况下, 各处振幅相同。
8
2. 球面波 一个周期内通过两个球面的能量分别为
W1 I1S1T A122u 4π r12 T / 2
W2 I2S2T A222u 4π r22 T / 2
介质不吸收能量
S2
S1
W1 W2
A1r1 A2r2
• r1 r2
dx
Ox
x
说明
(1) 为介质吸收系数，与介质的性质及
波的频率有关。
(2) 波的强度随传播距离按指数衰减。
11
u
I wuTS wu TS
I 1 A2 2u
2
udt
S
写成矢量形式为
I wu
7
三、平面波和球面波的振幅（介质不吸收能量）
1. 平面波
一个周期内通过两个面的能量分别为
W1 I1S1T A122uST / 2
u
W2 I2S2T A222uST / 2
介质不吸收能量 W1 W2
S1 S2
v
y t
A
sin[
(t
x u
)
0 ]
l T1
y
y
T2
(1) 线元的动能
O
x x
Wk
1 2
mv2
1 2
x A2 2
sin
2[(t
x u
)
0
]
在波的传播过程中，由原长△x 变成△l，
形变为△l -△x ，线两端受张力T=T1=T2。 张力做的功等于线元的势能
Wp T (l x)
2
l (x)2 (y)2 x[1 ( y )2 ]1/2 x
5
2. 能量密度w 单位体积介质中波的能量。
大学物理学课件-平面简谐波规律
y 波形曲线
0
t = t0
x
大学物理学
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5.2 平面简谐波规律
3、如x、t 均变化，波函数表示波形沿传播方向
的运动情况
t 时刻，x处质点的相位
(t x )
u
t 时t 刻， x 处 质Δx点的相位
dWk
1 2
A2 2
sin
2
(t
x u
)dV
2) 介质元的弹性势能：
dW p
1 2
k(dy
)2
dW p1 2来自A2 2sin2(t
x u
) dV
dWk
3) 介质元的总能量：
dW
dWk
dWp
A2 2
sin2
(t
x u
)
dV
大学物理学
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5.2 平面简谐波规律
dW
dWk
dWp
(t
1)] 8
在下列情况下试求波函数(设波速为u)：
(1) 以 A 为原点； (2) 以 B 为原点；
x1
x
BA
(3) 若u沿x 轴负向，以上两种情况又如何？
解: (1)在x轴上任取一点P ，
该点振动方程为：
yp
Acos[4π
(t
x u
1)] 8
x1
u
x
BA P
波函数为： y(x,t) Acos[4π (t x 1)] u8
y Acos[t kx ]
k 2
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平面简谐波概念
解：
•
（1）T 2， 40，u 2０，A 10， 2
T
T
且t 0时：yo 5，vo 0
O
2 3
(2) OB长度
Y(cm)
10 •
u
-5 •
解：O B （O B）2
oB
C
20
-5
x(cm)
•
t 0时：yB 0，vB 0
O
-A
x
P
x
P点比O点超前时间 反向波波函数
y
O
P
x
x
以波线上x0处点为参考点
y
则Q点处质点的振动方程为 A x0 Q
O -A
x
P
x
Q点的任一振动状态传到P点，需要时间
则波动方程：
其中：x xo u
— 表示x处质元的振动落后(或超前）xo处质元
振动的时间
(
x u
xo
)
—
表示x处质元的振动落后(或超前）于xo处质元
(2)同一时刻,沿波线各质元振动状态不同,各质元相位 依次落后
*u
=
T
=
u由介质的性质决定
T T振
振 由振源决定.
得波动方程:
当x确定: y(t)——x处质元的振动方程 当t确定： y(x)——t时刻的波形
二、波的强度
1、能流P : 单位时间通过某一面积的波能 P su
—单位:焦耳/秒米2
波动在无吸收的、均匀无限大介质中传播，
1、平面波：A保持不变。
1
2
2、球面波：A与r成反比。 证明：1、 无吸收， P1 P2
大学物理机械波知识点及试题带答案
机械波一、基本要求1、掌握描述平面简谐波的各物理量及各量之间的关系。
2、理解机械波产生的条件，掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波动方程的方法及波动方程的物理意义。
理解波形图，了解波的能量、能流、能量密度。
3、理解惠更斯原理，波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。
4、了解驻波及其形成条件，了解半波损失。
5、了解多普勒效应及其产生的原因。
二、主要内容1、波长、频率与波速的关系 /u T λ= u λν=2、平面简谐波的波动方程])(2cos[ϕλπ+-=xT t A y 或 ])(cos[ϕω+-=ux t A y 当0ϕ=时上式变为)(2cos λπx T t A y -= 或 )(cos uxt A y -=ω3、波的能量、能量密度，波的吸收（1）平均能量密度：2212A ϖρω= （2）平均能流密度：2212I A u u ρωϖ==（3）波的吸收：0x I I e α-=4、惠更斯原理介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后任意时刻，这些子波的包络就是新的波前。
5、波的叠加原理（1）几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变, 并按照原来的方向继续前进, 好象没有遇到过其他波一样.（独立性） （2）在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.（叠加性）6、波的干涉121220,1,221)0,1,2k k A A A k k A A A ϕπϕπ∆=±==+⎧⎪⎨∆=±+==-⎪⎩，… （干涉相长）（，… （干涉相消） 12120,1,2(21)0,1,22k k A A A k k A A A δλλδ=±==+⎧⎪⎨=±+==-⎪⎩，… （干涉相长），… （干涉相消） 7、驻波两列频率、振动方向和振幅都相同而传播方向相反的简谐波叠加形成驻波，其表达式为22coscos xY A t πωλ=8、多普勒效应（1）波源静止，观测者运动 00(1)V u υυ=+ （2）观测者静止，波源运动 0'suuu V υυλ==- （3）观测者和波源都运动 000'xu V u V u V υυλ++==- 三、习题与解答1、振动和波动有什么区别和联系？平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同？又有什么联系？振动曲线和波形曲线有什么不同？解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为)(t f y =；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x ，又是时间t 的函数，即),(t x f y =． (2)在谐振动方程)(t f y =中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程),(t x f y =中有两个独立变量，即坐标位置x 和时间t ，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律． 当谐波方程)(cos ux t A y -=ω中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．(3)振动曲线)(t f y =描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y ，横轴为t ；波动曲线),(t x f y =描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y ，横轴为x ．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x 变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图．2、波动方程0cos x y A t u ωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦中的xu表示什么？如果改写为0cos x y A t u ωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，x u ω又是什么意思？如果t 和x 均增加，但相应的0x t u ωϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值不变，由此能从波动方程说明什么？解: 波动方程中的u x /表示了介质中坐标位置为x 的质元的振动落后于原点的时间；uxω则表示x 处质元比原点落后的振动位相；设t 时刻的波动方程为)cos(0ϕωω+-=ux t A y t 则t t ∆+时刻的波动方程为])()(cos[0ϕωω+∆+-∆+=∆+ux x t t A y t t其表示在时刻t ，位置x 处的振动状态，经过t ∆后传播到t u x ∆+处．所以在)(uxt ωω-中，当t ，x 均增加时，)(uxt ωω-的值不会变化，而这正好说明了经过时间t ∆，波形即向前传播了t u x ∆=∆的距离，说明)cos(0ϕωω+-=uxt A y 描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程．3、在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同？解: 取驻波方程为vt x A y απλπcos 2cos2=，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为x A λπ2cos2．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反．4、已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y ＝A cos (Bt －Cx )，其中A ，B ，C 为正值恒量.求：(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程；(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d 的两点的位相差. 解: (1)已知平面简谐波的波动方程)cos(Cx Bt A y -= (0≥x )将上式与波动方程的标准形式)22cos(λππυxt A y -=比较，可知： 波振幅为A ，频率πυ2B =， 波长C πλ2=，波速CB u ==λυ， 波动周期BT πυ21==．(2)将l x =代入波动方程即可得到该点的振动方程)cos(Cl Bt A y -=(3)因任一时刻t 同一波线上两点之间的位相差为 )(212x x -=∆λπϕ将d x x =-12，及Cπλ2=代入上式，即得 Cd =∆ϕ．5、图示为一平面简谐波在t ＝0时的波形图，求：（1）该波的波函数；（2）P 处质点的振动方程。